廣東省2024年普通高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試模擬測(cè)試卷四含解析

2024年廣東省一般中學(xué)學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷(四)(時(shí)間:90分鐘滿分:150分)一、選擇題(共15小題,每小題6分,共90分)1.已知集合M={1,2,3,4},集合N={1,3,5},則M∩N等于()A.{2} B.{2,3}C.{1,3} D.{1,2,3,4,5}2.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()A.y=sinx B.y=x3C.y=e|x-1| D.y=lnx3.某中學(xué)有高一年級(jí)560人,高二年級(jí)540人,高三年級(jí)520人,用分層抽樣的方法抽取容量為81的樣本,則在高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)抽取的人數(shù)分別為()A.28,27,26 B.28,26,24C.26,27,28 D.27,26,254.設(shè)α為銳角,若cosa+π6=45,則sinA.1225 B.2425 C.-2425 D5.已知平面對(duì)量a=(0,-1),b=(2,2),|λa+b|=2,則λ的值為()A.1+2 B.2-1C.2 D.16.已知點(diǎn)A(1,2),B(3,1),則線段AB的垂直平分線的方程是()A.4x+2y=5 B.4x-2y=5C.x+2y=5 D.x-2y=57.如圖(1)、(2)、(3)、(4)為四個(gè)幾何體的三視圖,依據(jù)三視圖可以推斷這四個(gè)幾何體依次分別為()(1)(2)(3)(4)A.三棱臺(tái)、三棱柱、圓錐、圓臺(tái)B.三棱臺(tái)、三棱錐、圓錐、圓臺(tái)C.三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺(tái)D.三棱柱、三棱臺(tái)、圓錐、圓臺(tái)8.已知f(x)=x+1x-2(x>0),則f(x)有()A.最大值為0 B.最小值為0C.最大值為-4 D.最小值為-49.利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)a,則使不等式9a2-9a+2<0成立的概率是()A.13 B.C.12 D.10.在△ABC中,A∶B=1∶2,sinC=1,則a∶b∶c=()A.1∶2∶3 B.3∶2∶1C.2∶3∶1 D.1∶3∶211.等差數(shù)列{an}中,a3+a4+a5=12,那么{an}的前7項(xiàng)和S7=()A.22 B.24 C.26 D.2812.在△ABC中,N是AC邊上一點(diǎn),且AN=12NC,P是BN上的一點(diǎn),若AP=mAB+29A.19 B.C.1 D.313.cosπ12-sinπA.-32 B.-1C.12 D.14.已知某幾何體的三視圖都是邊長(zhǎng)為2的正方形,若將該幾何體削成球,則球的最大表面積是()A.16π B.8π C.4π D.2π15.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=-10,an+1=an+3(n∈N*),則Sn取最小值時(shí),n的值是()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空題(共4小題,每小題6分,共24分)16.若點(diǎn)(2,1)在y=ax(a>0,且a≠1)關(guān)于y=x對(duì)稱的圖象上,則a=.

17.已知f(x)=x2+(m+1)x+(m+1)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn),則m的取值范圍是(用區(qū)間表示).

18.設(shè)f(x)=lgx,x>0,10x,x19.已知4x+9y=1,且x>0,y>0,則x+y三、解答題(共3小題,每小題12分,共36分)20.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2c·cosB-b=2a.(1)求角C的大小;(2)設(shè)角A的平分線交BC于D,且AD=3,若b=2,求△ABC的面積.21.已知圓C經(jīng)過(guò)A(3,2),B(1,6)兩點(diǎn),且圓心在直線y=2x上.(1)求圓C的方程;(2)若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,3)且與圓C相切,求直線l的方程.22.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是側(cè)棱PA上的動(dòng)點(diǎn).(1)求四棱錐P-ABCD的體積;(2)假如E是PA的中點(diǎn),求證:PC∥平面BDE;(3)是否不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?證明你的結(jié)論.答案：1.C【解析】M∩N={1,2,3,4}∩{1,3,5}={1,3},故選C.2.D【解析】選項(xiàng)A,B為奇函數(shù),選項(xiàng)C為非奇非偶函數(shù),lnx2+1=ln(-3.A【解析】依據(jù)題意得,用分層抽樣在各層中的抽樣比為81560+540+520=120,則在高一年級(jí)抽取的人數(shù)是560×120=28(人),高二年級(jí)抽取的人數(shù)是540×120=27(人),高三年級(jí)抽取的人數(shù)是520×4.B【解析】因?yàn)棣翞殇J角,且cosa+所以sina+所以sin2a+π=2sina+π=2×355.C【解析】λa+b=(2,2-λ),那么4+(2-λ)2=4,解得,λ=2.故選C.6.B【解析】線段AB的中點(diǎn)為2,32,kAB=1∴垂直平分線的斜率k=-1k∴線段AB的垂直平分線的方程是y-32=2(x-2)?4x-2y-5=0.故選B7.C【解析】(1)三視圖復(fù)原的幾何體是放倒的三棱柱.(2)三視圖復(fù)原的幾何體是四棱錐.(3)三視圖復(fù)原的幾何體是圓錐.(4)三視圖復(fù)原的幾何體是圓臺(tái).所以(1)(2)(3)(4)的依次為:三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺(tái).故選C.8.B【解析】由x>0,可得1x>即有f(x)=x+1x-2≥2x·1x-2=2當(dāng)且僅當(dāng)x=1x,即x=1時(shí),取得最小值09.A【解析】解不等式知13<a<23,區(qū)間長(zhǎng)度為1310.D【解析】在△ABC中,A∶B=1∶2,sinC=1,可得A=30°,B=60°,C=90°.a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=12∶32∶1=1∶故選D.11.D【解析】∵等差數(shù)列{an}中,a3+a4+a5=12,∴3a4=a3+a4+a5=12,解得a4=4,∴S7=7(a1+a7)2=12.B【解析】如圖,因?yàn)锳N=所以AN=13AC,因?yàn)锽,P,N三點(diǎn)共線,所以m+23=1,所以m=113.D【解析】cosπ12-sinπ12cosπ12+sinπ12=cos14.C【解析】∵三視圖均為邊長(zhǎng)為2的正方形,∴幾何體是邊長(zhǎng)為2的正方體,將該幾何體削成球,則球的最大半徑為1,表面積是4π×12=4π.故選C.15.B【解析】在數(shù)列{an}中,由an+1=an+3,得an+1-an=3(n∈N*),∴數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列.又a1=-10,∴數(shù)列{an}是公差為3的遞增等差數(shù)列.由an=a1+(n-1)d=-10+3(n-1)=3n-13≥0,解得n≥133∵n∈N*,∴數(shù)列{an}中從第五項(xiàng)起先為正值.∴當(dāng)n=4時(shí),Sn取最小值.故選B.16.2【解析】∵點(diǎn)(2,1)在y=ax(a>0,且a≠1)關(guān)于y=x對(duì)稱的圖象上,∴點(diǎn)(1,2)在y=ax(a>0,且a≠1)的圖象上,∴2=a1,解得a=2.17.(-1,3)【解析】依題意Δ=(m+1)2-4(m+1)=(m+1)(m-3)<0?-1<m<3,故m的取值范圍用區(qū)間表示為(-1,3).18.-2【解析】∵x=-2<0,∴f(-2)=10-2∴f(10-2)=lg10-2=-2,即f(f(-2))=-2.19.25【解析】∵4x+9y=1,且∴x+y=4x+9=13+4yx+9xy當(dāng)且僅當(dāng)4yx=9xy20.【解】(1)由已知及余弦定理得2c×a2+c2整理得a2+b2-c2=-ab,∴cosC=a2+b又0<C<π,∴C=2π3,即角C的大小為(2)由(1)C=2π3,依題意畫(huà)出圖形.在△ADC中,AC=b=2,AD=由正弦定理得sin∠CDA=AC·又△ADC中,C=2π∴∠CDA=π4故∠CAD=π-2π∵AD是角∠CAB的平分線,∴∠CAB=π6∴△ABC為等腰三角形,且BC=AC=2.∴△ABC的面積S=12BC·ACsin221.【解】(1)方法一:設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),依題意得,(解得a=2,b=4,r2=5.所以圓C的方程為(x-2)2+(y-4)2=5.方法二:因?yàn)锳(3,2),B(1,6),所以線段AB中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4),直線AB的斜率kAB=6-2因此直線AB的垂直平分線l'的方程是y-4=12(x-2),即x-2y+6=0圓心C的坐標(biāo)是方程組x-2解此方程組,得x=2,y=4圓C的半徑長(zhǎng)r=|AC|=(3所以圓C的方程為(x-2)2+(y-4)2=5.(2)由于直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,3),當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),x=-1與圓C:(x-2)2+(y-4)2=5相離.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),可設(shè)直線l的方程為y-3=k(x+1),即kx-y+k+3=0.因?yàn)橹本€l與圓C相切,且圓C的圓心為(2,4),半徑為5,所以有|2解得k=2或k=-12所以直線l的方程為y-3=2(x+1)或y-3=-12(x+即2x-y+5=0或x+2y-5=0.22.【解】(1)∵PA⊥底面ABCD,∴PA為此四棱錐底面上的高.∴V四棱錐PABCD=13S正方形ABCD·PA=