2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)檢測八第一章集合與常用邏輯用語1.5.1全稱量詞與存在量詞含解析新人教A版必修第一冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測八全稱量詞與存在量詞(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.(多選題)下列四個命題中是假命題的為 ()A.存在x∈Z,1<4x<3B.存在x∈Z,5x+1=0C.隨意x∈R,x2-1=0D.隨意x∈R,x2+x+2>0【解析】選ABC.選項A中,QUOTE<x<QUOTE且x∈Z,不成立;選項B中,x=-QUOTE,與x∈Z沖突;選項C中,x≠±1時,x2-1≠0;選項D正確.2.下列是全稱量詞命題并且是真命題的是 ()A.?x∈R,x2>0 B.?x,y∈R,x2+y2>0C.?x∈Q,x2∈Q D.?x∈Z,x2>1【解析】選C.首先D項是存在量詞命題,不符合要求;A項不是真命題,因為當x=0時,x2=0;B項也不是真命題,因為當x=y=0時,x2+y2=0;只有C項是真命題,同時也是全稱量詞命題.3.已知a>0,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.若x0滿意關(guān)于x的方程2ax+b=0,則下列選項的命題中為假命題的是 ()A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.?x∈R,f(x)≥f(x0)C.?x∈R,f(x)≤f(x0) D.?x∈R,f(x)≥f(x0)【解析】選C.由題知:x0=-QUOTE為函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程,所以f(x0)為函數(shù)的最小值,即對全部的實數(shù)x,都有f(x)≥f(x0),因此?x∈R,f(x)≤f(x0)是錯誤的.4.給出四個命題:①末位數(shù)字是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除;②有的菱形是正方形;③存在實數(shù)x,使x>0;④對于隨意實數(shù)x,2x+1都是奇數(shù).下列說法正確的是()A.四個命題都是真命題 B.①②是全稱量詞命題C.②③是存在量詞命題 D.四個命題中有兩個假命題【解析】選C.①④為全稱量詞命題;②③為存在量詞命題;①②③為真命題;④為假命題.5.下列說法中,正確的個數(shù)是 ()①存在一個實數(shù),使-2x2+x-4=0;②全部的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù);③在同一平面中斜率相等且不重合的兩條直線都平行;④至少存在一個正整數(shù),能被5和7整除.A.1B.2C.3D.4【解析】選B.①方程-2x2+x-4=0無實根;②2是質(zhì)數(shù),但不是奇數(shù);③④正確.6.已知a>0,則“x0滿意關(guān)于x的方程ax=b”的充要條件是 ()A.?x∈R,QUOTEax2-bx≥QUOTEaQUOTE-bx0B.?x∈R,QUOTEax2-bx≤QUOTEaQUOTE-bx0C.?x∈R,QUOTEax2-bx≥QUOTEaQUOTE-bx0D.?x∈R,QUOTEax2-bx≤QUOTEaQUOTE-bx0【解析】選C.由于a>0,令函數(shù)y=QUOTEax2-bx=QUOTE-QUOTE,故此函數(shù)圖象的開口向上,且當x=QUOTE時,取得y=-QUOTE,且y=QUOTEax2-bx≥-QUOTE,而x0滿意關(guān)于x的方程ax=b,那么x0=QUOTE,故?x∈R,QUOTEax2-bx≥QUOTEaQUOTE-bx0.二、填空題(每小題5分,共10分)7.下列命題中全稱量詞命題是________;存在量詞命題是________.

①正方形的四條邊相等;②有兩個角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正數(shù)的平方根不等于0;④至少有一個正整數(shù)是偶數(shù).【解析】①②③是全稱量詞命題,④是存在量詞命題.答案:①②③④8.已知命題“?x∈R,2x2+(a-1)x+QUOTE≤0”是假命題,則實數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】由題意可得“對?x∈R,2x2+(a-1)x+QUOTE>0恒成立”是真命題,令Δ=(a-1)2-4<0得-1<a<3.答案:QUOTE【補償訓(xùn)練】若“對隨意x∈R,ax2-2ax-1<0”為真命題,則實數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】依題意,問題等價于對隨意x∈R,ax2-2ax-1<0恒成立.當a=0時,不等式明顯成立;當a≠0時,有Δ=4a2+4a<0且a<0,解得-1<a<0,故實數(shù)a的取值范圍是QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.用量詞符號“?”“?”表述下列命題,并推斷真假.(1)肯定有實數(shù)x能使2x2+x+2=0成立.(2)對全部實數(shù)a,b,方程ax+b=0恰有一個解.(3)肯定有整數(shù)x,y,使得3x-2y=10成立.(4)全部的有理數(shù)x都能使QUOTEx2+QUOTEx+1是有理數(shù).【解析】(1)?x∈R,2x2+x+2=0;假命題.(2)?a,b∈R,ax+b=0恰有一解;假命題.如當a=0,b=0時,該方程的解有多數(shù)個.(3)?x,y∈Z,3x-2y=10;真命題.(4)?x∈Q,QUOTEx2+QUOTEx+1是有理數(shù);真命題.10.若命題“?x∈R