浙江省臺州市臨海市第六教研區(qū)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023學(xué)年第二學(xué)期第六教研區(qū)八年級期中評估試題數(shù)學(xué)親愛的考生：歡迎參加考試！請你認(rèn)真審題，仔細(xì)答題，發(fā)揮最佳水平．答題時，請注意以下幾點(diǎn)：1．全卷共4頁，滿分120分，考試時間120分鐘．2．答案必須寫在答題卷相應(yīng)位置上，寫在試題卷、草稿紙上無效．3．答題前，請認(rèn)真閱讀答題卷上的《注意事項》，按規(guī)定答題．4．本次考試不得使用計算器．祝你成功！一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．請選出各題中一個符合題意的正確選項，不選、多選、錯選，均不給分）1.下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了最簡二次根式的識別，被開方數(shù)含有開不盡方的因數(shù)或因式，且不含分母，這樣的二次根式是最簡二次根式，根據(jù)此概念進(jìn)行判斷即可．掌握最簡二次根式的概念是關(guān)鍵．【詳解】解：A、此二次根式再也不能化簡了，故是最簡二次根式，符合題意；B、，故不是最簡二次根式，不符合題意；C、，故不是最簡二次根式，不符合題意；D、，故不是最簡二次根式，不符合題意；故選：A．2.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次根式的乘法和除法，以及二次根式的加法和減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的乘法、除法、加法和減法法則計算即可．【詳解】解：A．，錯誤，不符合題意；B．，錯誤，不符合題意；C．正確，符合題意；

D．，錯誤，不符合題意；故選：C．3.下列各命題的逆命題成立的是（）A.全等三角形的面積相等 B.如果，那么C.對頂角相等 D.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了逆命題，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．熟悉課本中的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、“全等三角形的面積相等”的逆命題是“面積相等的三角形是全等形”是假命題，故A不符合題意；B、“如果，那么”的逆命題是“如果，那么”是假命題，故B不符合題意；C、“對頂角相等”的逆命題是“相等的角是對頂角”是假命題，故C不符合題意；D、“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的逆命題是“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”是真命題，故D符合題意；故選：D．4.如圖，平行四邊形ABCD中，∠A的平分線AE交CD于E，AB=6，BC=4，則EC的長（）A.1 B.1.5 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及AE為角平分線可知：BC＝AD＝DE＝4，又有CD＝AB＝6，可求EC的長．【詳解】解：根據(jù)平行四邊形的對邊相等，得：CD＝AB＝6，AD＝BC＝4，根據(jù)平行四邊形的對邊平行，得：CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，又∵∠DAE＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED，∴ED＝AD＝4，∴EC＝CD?ED＝6?4＝2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時，一般可構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解題．5.若為實(shí)數(shù)，“”的運(yùn)算結(jié)果為有理數(shù)，則可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)平方差公式的特征，即可得出結(jié)論．【詳解】解：，故選：C．6.如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）米．A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，過C點(diǎn)作于E，連接，則四邊形是矩形，得，則，再由勾股定理求出的長即可．【詳解】解：如圖，過C點(diǎn)作于E，連接，則是矩形，設(shè)大樹高為，小樹高為，，在中，由勾股定理得：即小鳥至少飛行，故選：C．7.如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論不正確的是（）A.當(dāng)時，它是菱形 B.當(dāng)時，它是菱形C.當(dāng)時，它矩形 D.當(dāng)時，它是正方形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)矩形、菱形及正方形的判定可進(jìn)行求解．【詳解】解：A、由四邊形是平行四邊形，，可知該四邊形是菱形，故不符合題意；B、由四邊形是平行四邊形，，可知該四邊形是菱形，故不符合題意；C、由四邊形是平行四邊形，，可知該四邊形是矩形，故不符合題意；D、由四邊形是平行四邊形，，可知該四邊形是矩形，故符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形、菱形及正方形的判定，熟練掌握它們的判定定理是解題的關(guān)鍵．8.如圖所示，在菱形中，若，，則菱形的面積為（）A.20 B.24 C.26 D.32【答案】B【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)得，由勾股定理求出，則，由菱形面積公式即可得出答案．【詳解】解：連接交于點(diǎn)O，如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴，∴菱形的面積，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及菱形面積公式等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．9.如圖，將矩形沿折疊后點(diǎn)D與B重合，若原矩形的長寬之比為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查矩形的翻折變換、勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理得到，據(jù)此即可解答．【詳解】解：將矩形沿折疊后點(diǎn)D與B重合，∴，∵原矩形的長寬之比為，∴設(shè)，∴，∵，∴，解得：，∴∴．故選：D．10.如圖，在中，，以的三邊為邊向外作正方形，正方形，正方形，連結(jié)，，作交于點(diǎn)，記正方形和正方形的面積分別為，，若，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出如圖輔助線，根據(jù)平分，即可得出．再根據(jù)正方形和正方形的面積之比為，即可得到，進(jìn)而利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)P作，交的延長線于點(diǎn)M，作，交的延長線于點(diǎn)N，由題可得，，∴，又∵，∴，即平分，又∵，，∴，∵正方形和正方形的面積分別為，，且，，∴正方形的面積，∴正方形和正方形的面積之比為，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的難點(diǎn)是利用角平分線的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)，將的值轉(zhuǎn)化為的值．二、細(xì)心填一填（本題共6小題，每小題4分，共24分）11.若二次根式有意義，則x的取值范圍是___．【答案】【解析】【詳解】解：根據(jù)題意，使二次根式有意義，即x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案為：x≥2．【點(diǎn)睛】本題主要考查使二次根式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．12.比較大?。篲_________．（填“＞”“＜”或“＝”）【答案】＜【解析】【分析】先比較兩個數(shù)平方大小即可得到它們的大小關(guān)系．【詳解】解：，，，．故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較：對于帶根號的無理數(shù)的大小比較，可以利用平方法先轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的大小比較．13.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DE上一點(diǎn)，∠AFC=90°，BC=10cm，AC=6cm，則DF=________cm．【答案】2【解析】【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出EF的長，再根據(jù)中位線的性質(zhì)得到DE的長，兩者之差即為DF的長.【詳解】∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)∴DE是△ABC的中位線，DE=BC=5又因?yàn)椤螦FC=90°，根據(jù)直角三角形的斜邊中線長等于斜邊的一半，所以EF=AC=3∴DF=DE-EF=2cm，答案是2.【點(diǎn)睛】主要考查三角形中位線的性質(zhì)和直角三角形的斜邊中線長等于斜邊的一半的定理，熟練掌握這些知識是解答本題的關(guān)鍵.14.我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，固定點(diǎn)A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點(diǎn)D落在y軸正半軸上點(diǎn)D′處，此時，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵；由已知條件得到，，根據(jù)勾股定理得到，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是正方形∴∵∴∴∴∴∴∵∴故答案為：．15.如圖，一根長為的吸管一端觸底放在一個圓柱形杯子中，測得杯子的內(nèi)部底面直徑為，高為，則吸管露出杯口外的長度x的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，并在實(shí)際問題中構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵；根據(jù)杯子內(nèi)吸管的長度取值范圍得出杯子外面長度的取值范圍，即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)吸管與杯底垂直時x最大，；當(dāng)吸管與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時x最小，∴故答案為：．16.如圖，在正方形中，，為邊上一點(diǎn)，，為對角線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)分別作于點(diǎn)、于點(diǎn)，連接、，當(dāng)運(yùn)動到中點(diǎn)時，的長度為________；在運(yùn)動過程中，的最小值為________．【答案】①.②.【解析】【分析】本題考查矩形、正方形，勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，即可．連接，，根據(jù)矩形的判定，則四邊形是矩形，，根據(jù)正方形的性質(zhì)，則點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，，從而得到；根據(jù)正方形的對稱性，則，則，當(dāng)有最小值時，有最小值，此時、、共線，即的最小值為，根據(jù)勾股定理，，即可．【詳解】連接，，∵四邊形是正方形，∴，∵、，∴四邊形是矩形，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵運(yùn)動到中點(diǎn)，∴，，∴點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，∴，∵，∴，∴；連接，，∵、，∴四邊形是矩形，∴，∵四邊形是正方形，∴（正方形的對稱性），∴，∴，∴當(dāng)有最小值時，有最小值，此時、、共線，即的最小值為，∵，，∴，∴．故答案為：，．三、耐心解一解（本題共8小題，第17-19題每小題6分，第20-21題每小題8分，第22-23題每小題10分，第24題12分，共66分）17.計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（）利用二次根式的性質(zhì)化簡，再合并即可求解；（）根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可求解；本題考查了二次根式的運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】解：原式，．18.如圖，在中，，是對角線上的兩個點(diǎn)，且，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查平行四邊形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，連接，與的交點(diǎn)為點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，則，，根據(jù)，則，根據(jù)平行四邊形的判定，即可．【詳解】證明：連接，與的交點(diǎn)為點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．19.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有一個問題，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．（丈、尺是長度單位，1丈=10尺）．意思是有一個水池，水面是一個邊長為1丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？【答案】水深12尺，蘆葦?shù)拈L度是13尺【解析】【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)水深尺，蘆葦尺，1丈=10尺，由勾股定理：，解得：，∴，答：水深12尺，蘆葦長度是13尺．【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．20.如圖是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）為______三角形；（2）僅用無刻度的直尺畫圖（畫圖用實(shí)線，要體現(xiàn)過程并保留痕跡）①在圖（1）中的上畫點(diǎn)D．連接，使；②在圖（2）中的網(wǎng)格上畫格點(diǎn)E，使．【答案】（1）直角；（2）①作圖見詳解；②作圖見詳解【解析】【分析】（1）利用勾股定理分別求出，再利用勾股定理逆定理證明即可；（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得到點(diǎn)D為中點(diǎn)即可；②平行線間的距離處處相等，得到與等高同底，即可求解．【小問1詳解】解：，∴，∴，∴為直角三角形；小問2詳解】解：①如圖，即為所求：根據(jù)矩形對角線相等且互相平分得到點(diǎn)D為中點(diǎn)，∵，∴；②如圖，即為所求：此時與水平線的夾角為，∴，∴根據(jù)平行線間的距離處處相等，得到與等高，又同底，∴．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計作圖，勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考常考題型．21.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長及斜邊上的高分別為a，b及h，求證：．【答案】見解析【解析】【分析】設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理即可得出c＝，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】證明：設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理即可得出c＝，∵ab＝ch，∴ab＝h，即a2b2＝a2h2+b2h2，∴＝，即．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．22.如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)．（1）請你猜想EF與AC的位置關(guān)系，并給予證明；（2）當(dāng)AC＝16，BD＝20時，求EF的長．【答案】（1）EF⊥AC，見解析；（2）EF＝6【解析】【分析】（1）結(jié)論：EF⊥AC．利用直角三角形斜邊中線以及等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．（2）在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】（1）EF⊥AC．理由如下：連接AE、CE，∵∠BAD＝90°，E為BD中點(diǎn)，∴AE＝DB，∵∠DCB＝90°，∴CE＝BD，∴AE＝CE，∵F是AC中點(diǎn)，∴EF⊥AC；（2）∵AC＝16，BD＝20，E、F分別是邊AC、BD的中點(diǎn)，∴AE＝CE＝10，CF＝8，∵EF⊥AC．∴EF=＝＝6．【點(diǎn)睛】此題考查直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，勾股定理.23.閱讀材料：已知，求代數(shù)式的值．解：∵，∴，∴，∴．∴．請你用上述方法解答下列問題：（1）已知，求代數(shù)式的值；（2）已知，求代數(shù)式的值．【答案】（1）；（2）2024．【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值、求代數(shù)式的值等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先將原式配方變形后，然后再代入計算即可；（2）先求出的值，原式變形后，將各自的值代入計算即可求出值．【小問1詳解】解：∵，∴，∴，∴．∴．【小問2詳解】解：∵，，∴．24.我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形；這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊，這條對角線稱為這個四邊形的弦邊．（1）在平行四邊形、矩形、菱形，正方形四種圖形中，一定為勾股四邊形的是_______；（2）如圖1所示，四邊形的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，每個小正方形的邊長為1，試說明四邊形是勾股四邊形，并指出它的勾股邊與弦邊；（3）如圖2，是一個直角三角形，，記，，．現(xiàn)構(gòu)造平行四邊形與平行四邊形，若四邊形是一個勾股四邊形，對角線是這個勾股四邊形的弦邊，且；①求的周長；②點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，請直接寫出的值，使四邊形為勾股四邊形．【答案】（1）矩形，正方形；（2）說明見詳解；勾股邊為和，弦邊為；（3）①；②或．【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形和正方形中相鄰兩邊的平方和等于對角線的平方，即可得出結(jié)論；（2），根據(jù)勾股定理得出，，，，，得出，即可證出四邊形是勾股四邊形；勾股邊為和，弦邊為；（3）①延長、，交于點(diǎn)，由平行四邊形的性質(zhì)得出，，，，，證出四邊形是矩形，得出，，，