2.2.1有理數(shù)的乘法（2）乘法的簡便運(yùn)算 提分練-2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版（2024）（含解析）

2.2.1有理數(shù)的乘法（2）乘法的簡便運(yùn)算（新教材，五大類型分層提分練）題型一、有理數(shù)乘法運(yùn)算律的理解1．（23-24七年級(jí)上·河北唐山·期末）夕夕總結(jié)了以下結(jié)論，不正確的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查加法交換律、乘法運(yùn)算律，關(guān)鍵是根據(jù)加法交換律乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律解答．根據(jù)加法交換律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律判斷即可．【詳解】解：A、，說法正確；B、，說法正確；C、，說法正確；D、，說法錯(cuò)誤；故選：D.2．（23-24七年級(jí)上·福建泉州·期中）在算式：中，運(yùn)用了（）A．乘法結(jié)合律 B．乘法交換律 C．分配律 D．加法交換律【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握乘法分配律．據(jù)此解答即可．【詳解】解：算式中，運(yùn)用了分配律．故選：C．3．（23-24七年級(jí)上·湖南湘西·期中）計(jì)算最簡便的方法是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的乘法的分配律是解答本題的關(guān)鍵．利用乘法分配律將因數(shù)進(jìn)行變形即可．【詳解】解：，可以使計(jì)算簡便，故答案為：D4．（22-23七年級(jí)上·河北石家莊·期中）為了使的計(jì)算結(jié)果是，在“□”中填入的運(yùn)算符號(hào)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了有理數(shù)乘法運(yùn)算律，根據(jù)題意可以看出括號(hào)內(nèi)之和為分?jǐn)?shù)，與之積為只有乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則．【詳解】解：，，，故選：．5．（23-24七年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期末）在計(jì)算時(shí)，利用乘法的可以簡單運(yùn)算；其計(jì)算結(jié)果是．【答案】分配律【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算．掌握乘法分配律，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在計(jì)算時(shí)，利用乘法的分配律可以簡單運(yùn)算；原式；故答案為：分配律，．題型二、利用有理數(shù)乘法運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算6．（23-24七年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）計(jì)算：．【答案】1【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法分配律，根據(jù)乘法分配律把原式變形為，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減法即可．【詳解】解；，故答案為：1．7．（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·期末）計(jì)算的結(jié)果是．【答案】3【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，利用有理數(shù)的乘法分配律求解，然后計(jì)算加減；解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．【詳解】．故答案為：3．8．（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）簡便運(yùn)算(1)(2)【答案】(1)25(2)【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練乘法分配律簡便計(jì)算．（1）運(yùn)用乘法分配律簡算；（2）先將變形為，再根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．9．（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）用簡便方法計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）本題考查了有理數(shù)加減混合運(yùn)算，掌握加法的交換律是解決問題的關(guān)鍵．（2）本題考查了有理數(shù)的四則運(yùn)算，掌握有理數(shù)的乘法的分配律是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：

（2）解：10．（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）用簡便方法計(jì)算．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，掌握乘法分配律，是解題的關(guān)鍵．（1）逆用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（2）除法變乘法，利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）原式．題型三、有理數(shù)乘法運(yùn)算律有關(guān)材料問題11．（23-24七年級(jí)上·江蘇連云港·開學(xué)考試）觀察下圖，它的計(jì)算過程可以解釋（）這一運(yùn)算規(guī)律

A．加法交換律 B．乘法結(jié)合律 C．乘法交換律 D．乘法分配律【答案】D【分析】根據(jù)圖形，可以寫出相應(yīng)的算式，然后即可發(fā)現(xiàn)用的運(yùn)算律．【詳解】解：由圖可知，，由上可得，上面的式子用的是乘法分配律，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算律是解答本題的關(guān)鍵．12．（23-24七年級(jí)上·寧夏中衛(wèi)·期中）小陽在做一道計(jì)算題：■時(shí)，不小心一滴墨水滴在了本子上，蓋住了其中一個(gè)數(shù)字，導(dǎo)致他無法計(jì)算，在求助老師時(shí)老師告訴他：“被蓋住的數(shù)字是4，7，10，11其中的一個(gè)，并且這道題直接用乘法結(jié)合律來計(jì)算會(huì)非常簡便”，則被蓋住的數(shù)字可能是．【答案】7【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘法運(yùn)算，根據(jù)直接用乘法結(jié)合律來計(jì)算會(huì)非常簡便來確定即可．【詳解】解：被蓋住的數(shù)字是4，7，10，11其中的一個(gè)，并且直接用乘法結(jié)合律來計(jì)算會(huì)非常簡便，觀察■，只有數(shù)字7可以直接用乘法結(jié)合律來計(jì)算．故答案為：7．13．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，把，，三個(gè)電阻串聯(lián)起來，線路上的電流為，電壓為，則．當(dāng)，，，時(shí)，的值為．

【答案】220【分析】本題考查了代數(shù)式求值，乘法運(yùn)算律，掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．根據(jù)，將數(shù)值代入計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)，，，時(shí)，，故答案為：220．14．（2021·湖南永州·一模）符號(hào)“”表示一種運(yùn)算，它對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算如下：＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．利用以上運(yùn)算的規(guī)律求出2021＝【答案】2023【分析】由＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…具體的運(yùn)算，總結(jié)出一般規(guī)律為：再利用規(guī)律解題即可得到答案．【詳解】解：＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的規(guī)律探究，有理數(shù)的混合運(yùn)算，列代數(shù)式，掌握利用代數(shù)式總結(jié)數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．15．（24-25七年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的計(jì)算．逆用乘法分配律解題我們知道，乘法分配律是，反過來．這就是說，當(dāng)中有相同的a時(shí)，我們可以逆用乘法分配律得到，進(jìn)而可使運(yùn)算簡便．例如：計(jì)算，若利用先乘后減顯然很繁瑣，注意到兩項(xiàng)都有，因此逆用乘法分配律可得，這樣計(jì)算就簡便得多計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，逆用分配律簡便計(jì)算是關(guān)鍵；（1）逆用分配律把原式化為，再計(jì)算即可；（2）逆用分配律把原式化為，再計(jì)算即可；（3）逆用乘法分配律計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）．（3）．題型四、有理數(shù)乘法的新定義問題16．（22-23七年級(jí)上·重慶萬州·期末）定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)定：等式右邊的運(yùn)算就是加、減、乘、除四則運(yùn)算，例如：，．則的值是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)新運(yùn)算的運(yùn)算法則，先計(jì)算，再計(jì)算即可得解．【詳解】解：由題意，得：，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算．理解并掌握新運(yùn)算的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．17．（22-23六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）若規(guī)定，例，則．【答案】【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確理解題意列得算式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公式列式計(jì)算可得答案．【詳解】解：，故答案為：．18．（23-24七年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)完《有理數(shù)》后，小奇對(duì)運(yùn)算產(chǎn)生了濃厚的興趣．借助有理數(shù)的運(yùn)算，定義了一種新運(yùn)算“”，規(guī)則如下：．下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的幾個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是．【答案】①②/②①【分析】①將，代入計(jì)算可得②根據(jù)法則，先計(jì)算，再計(jì)算⊕可得；根據(jù)新定義分別驗(yàn)證交換律與結(jié)合律，即可判斷③④．【詳解】解：①解：∵，∴；故①正確；②∵，∴；故②正確；③例如：由①知又∵∴，④例如②∴∴故答案為：．①②【點(diǎn)睛】本題主要考查新運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及新定義的運(yùn)用．19．（2024·浙江金華·二模）對(duì)于有理數(shù)，，定義新運(yùn)算“”，規(guī)則如下：，如．(1)求的值．(2)請(qǐng)你判斷交換律在“”運(yùn)算中是否成立？并給出證明．【答案】(1)(2)成立，見解析【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算；（1）根據(jù)新定義進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)交換律結(jié)合新定義進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）（2）交換律在“”運(yùn)算中成立證明如下：即交換律在“”運(yùn)算中成立．題型五、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用問題20．（23-24七年級(jí)上·陜西咸陽·階段練習(xí)）某商場9月24日銷售襯衫100件，下表是該商場9月25日至9月30日六天的銷售變化情況（注：正號(hào)表示銷售量比前一天上升，負(fù)號(hào)表示銷售量比前一天下降）：日期9月25日9月26日9月27日9月28日9月29日9月30日銷售量/件(1)這六天中哪一天銷售襯衫的數(shù)量最多？哪一天最少？(2)若每件襯衫的價(jià)格是80元，該商場這六天銷售襯衫的總收入是多少元？【答案】(1)這六天中9月27日銷售襯衫的數(shù)量最多，9月26日銷售襯衫的數(shù)量最少．(2)該商場這六天銷售襯衫的總收入是56480元．【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則，弄清有理數(shù)的加減混合運(yùn)算的實(shí)質(zhì)就是加法運(yùn)算是解本題關(guān)鍵．（1）計(jì)算出每天的銷售襯衫的數(shù)量，通過比較，就可以得出結(jié)果；（2）計(jì)算出6天的銷售襯衫的總數(shù)量，然后與單價(jià)相乘，即可得出銷售襯衫的總收入．【詳解】（1）解：9月25日：（件），9月26日：（件），9月27日：（件），9月28日：（件），9月29日：（件），9月30日：（件），答：這六天中9月27日銷售襯衫的數(shù)量最多，9月26日銷售襯衫的數(shù)量最少．（2）（元），答：該商場這六天銷售襯衫的總收入是56480元．21．（22-23七年級(jí)上·云南·期中）小蝸牛從大樹上某點(diǎn)出發(fā)，將大樹看成一條直線，假設(shè)向上爬行的路線記為正數(shù)，則小蝸牛爬行的路線依次為：（單位：），，，，，，．(1)蝸牛最后是否能回到出發(fā)點(diǎn)？(2)在爬行過程中，如果每爬行1獎(jiǎng)勵(lì)兩片葉子，則小蝸牛一共得到幾片葉子？【答案】(1)能(2)112片【分析】（1）把記錄數(shù)據(jù)相加，結(jié)果為0，說明蝸牛最后回到出發(fā)點(diǎn)；（2）蝸牛一共得到的葉子數(shù)，與它爬行的方向無關(guān)，只與爬行的距離有關(guān)，所以應(yīng)把爬行距離的絕對(duì)值相加，再求得到的葉子數(shù)．【詳解】（1）解：，∴蝸牛最后回到出發(fā)點(diǎn)；（2）蝸牛爬行的總路程為：，（片），所以，蝸牛一共得到112片葉子．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義、有理數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用、化簡絕對(duì)值等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量．在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．22．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）某蛋糕店在某一時(shí)段的銷售情況如下，請(qǐng)分別完成下列問題：(1)該蛋糕店在一周的銷售中，盈虧情況如表盈利為正，虧損為負(fù)，單位：元．星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合計(jì)35019004600表中星期四的盈虧被墨水涂污了，請(qǐng)你算出星期四的盈虧數(shù)，并說明星期四是盈還是虧，盈虧是多少．(2)該蛋糕店去年月平均每月盈利3萬元，月平均每月虧損2萬元，月平均每月虧損1萬元，月平均每月盈利5萬元，則該蛋糕店去年總的盈虧情況如何．【答案】(1)盈利元(2)盈利萬元【分析】本題考查了有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用以及正負(fù)數(shù)的實(shí)際意義：（1）根據(jù)合計(jì)可計(jì)算出星期四的數(shù)值，以此可判斷出是盈還是虧；（2）根據(jù)題意可得到正負(fù)數(shù)，進(jìn)行運(yùn)算即可；正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：星期四的數(shù)值為：，∴星期四是盈利元；（2）解：蛋糕店去年月平均每月盈利3萬元，即三個(gè)月盈利（萬元），月平均每月虧損2萬元，即三個(gè)月虧損（萬元），月平均每月虧損1萬元，即兩個(gè)月虧損（萬元），月平均每月盈利5萬元，即四個(gè)月盈利（萬元），則（萬元），即該蛋糕店去年情況為盈利萬元．一、單選題1．（2022·河北唐山·一模）計(jì)算的結(jié)果是（

）A．1 B． C．10 D．【答案】A【分析】原式利用乘法分配律計(jì)算即可求出值【詳解】解：原式==-22+28-18+13=6-18+13=-12+13=1，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．2．（20-21七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）下列運(yùn)算過程中，有錯(cuò)誤的是（）A．（3﹣4）×2＝3﹣4×2B．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）C．9×16＝（10﹣）×16＝160﹣D．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]【答案】A【分析】各式計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：A、原式＝3×2﹣×2＝6﹣9＝﹣3，符合題意；B、原式＝﹣（4×125×7），不符合題意；C、原式＝（10﹣）×16＝160﹣，不符合題意；D、原式＝3×[（﹣25）×（﹣2）]，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．3．（23-24七年級(jí)上·福建福州·期中）對(duì)式子進(jìn)行簡便計(jì)算，如圖所示，運(yùn)用到的運(yùn)算律①是（

）．A．乘法交換律 B．乘法分配率 C．乘法結(jié)合律 D．加法交換律【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算律，根據(jù)計(jì)算過程結(jié)合有理數(shù)的乘法運(yùn)算律進(jìn)行判斷即可得出答案，熟練掌握有理數(shù)的乘法運(yùn)算律是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，上面的計(jì)算中運(yùn)用到的運(yùn)算律是乘法結(jié)合律，故選：C．4．（20-21六年級(jí)上·山東威?！て谥校┮?guī)定“！”的運(yùn)算規(guī)則：1！=1；2！＝2×1＝2；3?。?×2×1＝6；4！＝4×3×2×1＝24，…．那么的值為（

）A． B．99！ C．100 D．2！【答案】C【分析】先根據(jù)運(yùn)算規(guī)則發(fā)現(xiàn)規(guī)律：n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1，然后根據(jù)新運(yùn)算法則將待求式轉(zhuǎn)化為一般的算式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義可得：n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1所以，==100．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算、有理數(shù)的除法、有理數(shù)的乘法等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題目所給的已知條件歸納出新運(yùn)算的法則是解答本題的關(guān)鍵．5．（2020·河北唐山·一模）三位同學(xué)在計(jì)算時(shí)，用了不同的方法：小小說：12的，，分別是3，2和6，所以結(jié)果應(yīng)該是；聰聰說：先計(jì)算括號(hào)里面的數(shù)，，再乘以12得到；明明說：把12與，，分別相乘后再相加，得到結(jié)果是．對(duì)于三位同學(xué)的計(jì)算方式，下面描述正確的是（

）A．三位同學(xué)都用了運(yùn)算律 B．聰聰使用了加法結(jié)合律 C．明明使用了分配律 D．小小使用乘法交換律【答案】C【分析】根據(jù)運(yùn)算律的特點(diǎn)判斷即可．【詳解】根據(jù)題意，明明使用了分配律，是正確的，其余三位同學(xué)的描述都是錯(cuò)誤的。故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)算律，正確理解運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．6．（23-24七年級(jí)上·河北邯鄲·期中）若的值記為p，則的值可表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查乘法分配律．利用乘法分配律將轉(zhuǎn)化為，求解后即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵的值記為p，∴；故選C．二、填空題7．（24-25七年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的簡算，把應(yīng)用乘法分配律展開，再把、、展開成整數(shù)和分?jǐn)?shù)的和，然后整數(shù)和整數(shù)一起簡算，分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)一起簡算，再結(jié)合減法的性質(zhì)解答，靈活應(yīng)用乘法分配律、減法性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．8．（23-24七年級(jí)上·遼寧盤錦·階段練習(xí)）觀察下列各式：，，，…，根據(jù)觀察計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了數(shù)字類的規(guī)律探究，乘法運(yùn)算律．根據(jù)題意確定數(shù)的分解規(guī)律是解題的關(guān)鍵．由題意知，，然后利用乘法運(yùn)算律計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，故答案為：．9．（23-24七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算的值是．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算，簡便計(jì)算的方法，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算即可求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘法運(yùn)算，簡便計(jì)算，掌握有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則及簡便計(jì)算的方法是解題的關(guān)鍵．10．（2021·湖南永州·一模）符號(hào)“”表示一種運(yùn)算，它對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算如下：＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．利用以上運(yùn)算的規(guī)律求出2021＝【答案】2023【分析】由＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…具體的運(yùn)算，總結(jié)出一般規(guī)律為：再利用規(guī)律解題即可得到答案．【詳解】解：＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的規(guī)律探究，有理數(shù)的混合運(yùn)算，列代數(shù)式，掌握利用代數(shù)式總結(jié)數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．（18-19七年級(jí)上·浙江杭州·開學(xué)考試）已知4個(gè)不相等的整數(shù)、、、，它們的積，則．【答案】0【分析】先根據(jù)整數(shù)性求出、、、的值，再代入求解即可得．【詳解】、、、是4個(gè)不相等的整數(shù)、也是整數(shù)或（1）當(dāng)時(shí)兩個(gè)整數(shù)的積等于5只有兩種情況，即，4個(gè)不相等的整數(shù)、、、的值只能是從中各取一個(gè)數(shù)則（2）當(dāng)時(shí)兩個(gè)整數(shù)的積等于只有兩種情況，即，4個(gè)不相等的整數(shù)、、、的值只能是從中各取一個(gè)數(shù)則綜上，故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法法則、整數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握乘法法則是解題關(guān)鍵．12．（19-20七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）規(guī)定一種新運(yùn)算：，請(qǐng)比較.（填“＞”“＜”或“＝”）【答案】=【分析】根據(jù)新運(yùn)算法則，計(jì)算比較即可.【詳解】由，可得=（-3）×4-（-3）-4+1=-