貴州省貴陽第一中學2023屆高三上學期高考適應(yīng)性月考卷（二）數(shù)學（理）試題（解析版）

秘密★啟用前理科數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．在試題卷上作答無效．3．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時120分鐘．一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.復數(shù)z滿足，則在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算法則化簡復數(shù)得，進而得其共軛，即可根據(jù)復數(shù)的幾何意義得對應(yīng)點的象限.【詳解】由，得，，故在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點為，在第四象限，故選:D．2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定義即可得出答案.【詳解】，，所以，故選：C．3.設(shè)，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合面面平行、垂直的判定定理逐一判斷即可．【詳解】解：對于A：若，則或，故A錯誤；對于B：若，，，則或，故B錯誤；對于C：若，，，則或或與相交（不垂直），故C錯誤；對于D：由線面垂直的性質(zhì)定理可知，若，，則，故D正確；故選：D．4.在2022年北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計時驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩詞，將中國人獨有的浪漫傳達給了全世界．我國古代天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復始．已知立夏的晷長為4.5尺，處暑的晷長為5.5尺，則夏至所對的晷長為（）A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的定義即可求解.【詳解】設(shè)相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為，則夏至到處暑增加4d，立夏到夏至減少3d，夏至的晷長為x，則，解得，故選:A．5.若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)約束條件得可行域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義即可求解最值.【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域如圖所示，作出直線，可知z要取最小值，即直線經(jīng)過點A，解方程組得，所以，故選：C．6.如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，P是線段AB上的動點，則的最小值為（）A. B.5 C. D.7【答案】D【解析】【分析】如圖，以B點為坐標原點，建立平面直角坐標系，所以，，，分別表示出，，再由向量的模長公式代入即可得出答案.【詳解】如圖，以B點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設(shè)，，因為，，所以，，，所以，，，所以，所以，所以當，即時，的最小值為7，故選：D．7.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦的和差角公式可得，平方可得，進而化切為弦即可求解.【詳解】由，得，∴，所以，∴，所以，故選：A．8.開學典禮上甲、乙、丙、丁、戊這5名同學從左至右排成一排上臺領(lǐng)獎，要求甲與乙相鄰且甲與丙之間恰好有1名同學的排法有（）種．A.12 B.16 C.20 D.24【答案】C【解析】【分析】甲乙丙是三個特殊元素，分類討論甲與丙之間為乙與甲與丙之間不是乙兩種情況，利用捆綁法即可求得所求排法總數(shù).【詳解】若甲與丙之間為乙，即乙在甲、丙中間且三人相鄰，共有種情況，將三人看成一個整體，與丁戊兩人全排列，共有種情況，則此時有種排法；若甲與丙之間不是乙，先從丁、戊中選取1人，安排在甲、丙之間，有種選法，此時乙在甲的另一側(cè)，將四人看成一個整體，考慮之前的順序，有種情況，將這個整體與剩下的1人全排列，有種情況，此時有種排法，所以總共有種情況符合題意.故選：C．9.已知隨機變量，且，則的最小值為（）A.9 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解，進而根據(jù)基本不等式乘“1”法即可求解.【詳解】由隨機變量，則正態(tài)分布的曲線的對稱軸為，又因為，所以，所以．當時，,所以有，當且僅當，即時等號成立，故最小值為4，故選:C．10.設(shè)函數(shù)，有4個不同的零點，則正實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在定理可得當時函數(shù)有一個零點，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即得.【詳解】當時，單調(diào)遞增，且，，故有一個零點，所以當時，函數(shù)有3個零點，令，即，，解得，由題可得區(qū)間內(nèi)的3個零點分別是，1，2取得，所以即在和之間，即，解得.故選：A．11.已知，分別為橢圓E：的左、右焦點，E上存在兩點A，B使得梯形的高為c（其中c為半焦距），且，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，可得，則，為梯形的兩條底邊，作于點P，所以，則可求得，再結(jié)合，建立的關(guān)系即可得出答案.【詳解】如圖，因為，所以，則，為梯形的兩條底邊，作于點P，則，因為梯形的高為c，所以，在中，，則即．設(shè)，則，在，即，解得，同理，又，所以，即，所以.故選：A．12.在給出的①；②；③三個不等式中，正確的個數(shù)為（）A.個 B.個 C.個 D.個【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導數(shù)判斷單調(diào)性，可判斷①；由，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得，進而判斷②；由函數(shù)的單調(diào)性可得，進而，即，再構(gòu)造，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，進而判斷③.【詳解】令，則，所以時，，即在上單調(diào)遞增，當時，，即在上單調(diào)遞減；可得，即，故①正確；因為，所以，即，所以，即，故②錯誤；再令，則，所以當時，，即在上單調(diào)遞增，所以，則，即．又，，所以，即，即，所以，即，所以，即，故③錯誤；故選：B．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知數(shù)列的前n項和為，若，，則___________．【答案】94【解析】【分析】由，可得當時，，兩式相減可證得數(shù)列是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，可求出的通項公式，即可求出.詳解】由已知，，①，當時，，當時，②，①－②得：，整理得：，即，所以數(shù)列是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，，所以．故答案為：94.14.已知向量，，若與的夾角為60°，則___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，根據(jù)夾角公式即可求解.【詳解】由題意得，故，解得，由于或，故不合題意，舍去，故．故答案為：15.如圖，經(jīng)過坐標原點O且互相垂直的兩條直線AC和BD與圓相交于A，C，B，D四點，則四邊形ABCD面積的最大值為___________．【答案】45【解析】【分析】根據(jù)圓中的弦長公式可得,，結(jié)合以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.【詳解】由題設(shè)，則圓心，半徑，,若圓心到直線AC，BD的距離則，且，則,，而，所以，令，則，當，即時，四邊形ABCD面積最大值．故答案為：

16.如圖,在棱長為4的正方體中,已知點P為棱上靠近于點的四等分點,點Q為棱CD上一動點．若M為平面與平面的公共點,N為平面與平面ABCD的公共點,且點M,N都在正方體的表面上,則由所有滿足條件的點M,N構(gòu)成的區(qū)域的面積之和為___________．【答案】【解析】【分析】把平面與平面和平面ABCD的交線畫出，從運動的觀點觀察即可獲解.【詳解】過點作交AB于點則平面平面,平面平面所以構(gòu)成的區(qū)域為運動到點時的構(gòu)成的區(qū)域為運動到點時的梯形AKQD此時所以M,N構(gòu)成的區(qū)域的面積之和為故答案：三、解答題（共70分．解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知△ABC中的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，角B為鈍角，且．（1）求角B的大??；（2）若點D在AC邊上，滿足，且，，求BC邊的長．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）由正弦定理邊角關(guān)系得，根據(jù)三角形內(nèi)角的性質(zhì)求得，即可確定B的大小；（2）由，根據(jù)已知及向量數(shù)量積的運算律，列方程求的模長即可.【小問1詳解】由已知，得：，則．由正弦定理，，∵A，，故，∴，∴，即．∵，則，∴，即．【小問2詳解】由題意，得．∵，∴，∴．∵，，，∴，∴，，則，∴．18.如圖，在直三棱柱中，△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，，點D，E分別為棱BC，上的中點．（1）求證：AD//平面；（2）若二面角的大小為，求實數(shù)t的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形可得線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理即可求證，（2）根據(jù)面面垂直得線面垂直，進而根據(jù)幾何法可得二面角的平面角，進而根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系即可求解，或者建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向求解二面角.【小問1詳解】點D，E分別為BC，中點，在直三棱柱中，，，所以四邊形為平行四邊形，連接DE，則，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因為平面，平面，所以平面．【小問2詳解】方法一：在平面ABC內(nèi)，過點C作AD的垂線，由ABC為等腰直角三角形知垂足為D，由于平面平面,且交線為,由于平面,所以平面,平面,故,又,則為二面角的平面角，即，在等腰直角三角形ABC中，不妨設(shè)，，則，在中，，∴，∴．方法二：平面ABC，又，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，設(shè)，，則，則，，，所以，．設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得，又平面ADC的一個法向量為，因為二面角的大小為，所以．即，，∴，∴．19.某中學為增強學生的環(huán)保意識，舉辦了“愛貴陽，護環(huán)境”的知識競賽活動，為了解本次知識競賽活動參賽學生的成績，從中抽取了n名學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分，所有學生的得分都在區(qū)間中）作為樣本進行統(tǒng)計，按照，，，，，的分組作出如圖甲所示的頻率分布直方圖，并作出如圖乙的樣本分數(shù)莖葉圖（圖中僅列出了得分在，的數(shù)據(jù)）．（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中x，y的值；（2）在選取的樣本中，從競賽成績不低于80分的2組學生中按分層抽樣抽取了5名學生，再從抽取的這5名學生中隨機抽取2名學生到觀山湖公園參加環(huán)保知識宣傳活動，設(shè)抽到的學生成績在的人數(shù)為X，將樣本頻率視為概率，求X的概率分布列及期望．【答案】（1），，（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖與莖葉圖分數(shù)在同區(qū)間中的頻率與頻數(shù)，可求得所求；（2）利用頻率分布直方圖分別求出分數(shù)在與的學生人數(shù)，從而求得在兩區(qū)間抽取出的學生人數(shù)，再利用古典概型與組合數(shù)求得的分布列與期望.【小問1詳解】由直方圖可知，分數(shù)在中的頻率為，根據(jù)莖葉圖可知，分數(shù)在中的頻數(shù)為3，所以樣本容量，根據(jù)莖葉圖可知，分數(shù)在中的頻數(shù)為1，所以分數(shù)在中的頻率為，所以由得，再由，得，所以，，．【小問2詳解】由題意，本次競賽成績樣本中分別在中的學生有名，分數(shù)在中的學生有名，抽取分數(shù)在中的學生有名，抽取分數(shù)在中的學生有名，由題可知，的所有取值有0，1，2，，，，所以，X的分布列為：X012P∴．20.已知橢圓C：的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，M為橢圓上的點，若|MF|的最小值為．（1）求橢圓C的方程；（2）若圓E：的切線l與橢圓C交于A，B兩點，求△FAB面積的最大值．【答案】（1）;（2）4.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率及|MF|的最小值列方程求解即可；（2）分直線斜率存在不存在兩種情況討論，當斜率存在時，設(shè)出直線方程與橢圓聯(lián)立，由韋達定理結(jié)合弦長公式、點到直線距離求出三角形面積，再換元求最值即可，當斜率不存在時直接求解.【小問1詳解】橢圓的離心率，又|MF|的最小值為，即：，得，，∴，故橢圓C的方程為．【小問2詳解】由（1）點，若直線l的斜率不存在，l不能過點，則l的方程只能為，∴，．若直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為：，，，由直線l與圓E相切得，化簡得，則，．由，得，，則，．．又到直線l的距離．．設(shè)，則，．綜上，△FAB面積的最大值為4．21.已知函數(shù)，．（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導，分類討論導函數(shù)的正負，即可求解單調(diào)性，（2）將不等式等價變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求解的最小值即可.【小問1詳解】，當時，由，得出，．當，由，得或，由，得，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，，由，得或，由，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，，由，得，由，得，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，，則在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】由可轉(zhuǎn)化為，令，，令，，當時，，故在上單調(diào)遞減，又所以時，在內(nèi)存在唯一零點，當時，，，單調(diào)遞減，當時，，，單調(diào)遞境，故．因為，所以，所以，所以，即．【點睛】本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，當含參數(shù)時，需要根據(jù)參數(shù)的大小進行分類討論.利用導數(shù)求解恒成立問題時，常采用兩種方式：①對含參函數(shù)的參數(shù)進行討論，確定函數(shù)的最值，②進行參數(shù)分離，構(gòu)造無參數(shù)的函數(shù)，利用導數(shù)求解最值.請考生在第22、23兩題中任選一題作答，并用2B鉛筆在答題卡，上把所選題目的題號涂黑．注意所做題目的題號必須與所涂題目的題號一致，在答題卡選答區(qū)域指定位置答題．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4；坐標系與參數(shù)方程]22.在直角坐標系xOy中，