貴州省遵義市2024屆高三第一次質量監(jiān)測統(tǒng)考數(shù)學試題含答案解析

遵義市2024屆高三第一次質量監(jiān)測統(tǒng)考試卷數(shù)學（滿分：150分，時間：120分鐘）注意事項：1.考試開始前，請用黑色簽字筆將答題卡上的姓名，班級，考號填寫清楚，并在相應位置粘貼條形碼.2.選擇題答題時，請用2B鉛筆答題，若需改動，請用橡皮輕輕擦拭干凈后再選涂其它選項；非選擇題答題時，請用黑色簽字筆在答題卡相應的位置答題；在規(guī)定區(qū)域以外的答題不給分；在試卷上作答無效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.2.若復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.3.已知均為實數(shù)，下列不等式恒成立的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則4.若，則（）A. B. C. D.5.若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的可能取值為（）A.2 B.3 C.4 D.56.今年月日,日本不顧國際社會的強烈反對,將福島第一核電站核污染廢水排入大海,對海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關研究,福島核污水中的放射性元素有種半衰期在年以上;有種半衰期在萬年以上.已知某種放射性元素在有機體體液內(nèi)濃度與時間（年）近似滿足關系式為大于的常數(shù)且.若時,;若時,.則據(jù)此估計,這種有機體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時,大約需要（）（參考數(shù)據(jù):）A.年 B.年 C.年 D.年7.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，再將所得的函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；則（）A. B. C. D.8.若，則的大小關系為（）A. B.C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，則與是終邊相同的角B.若角的終邊過點，則C.若扇形的周長為3，半徑為1，則其圓心角的大小為1弧度D.若，則角終邊在第一象限或第三象限10.對于任意實數(shù)，函數(shù)滿足：當時，.下列關于函數(shù)的敘述正確的是（）A.B.是奇函數(shù)CD.，使得11.已知，且，則下列選項正確的是（）A. B..C.的最大值為 D.12.數(shù)學家切比雪夫曾用一組多項式闡述余弦的倍角公式，即，稱為第一類切比雪夫多項式.第一類切比雪夫多項式的前幾項為：，探究上述多項式，下列選項正確的是（）A.B.C.D.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題,則命題的否定為__________.14.若函數(shù)，則不等式的解集為__________.15.已知雙曲線的左焦點為，坐標原點為，若在雙曲線右支上存在一點滿足，且，則雙曲線的離心率為__________.16.已知函數(shù)，若關于的不等式恰有一個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，求的值.18.已知數(shù)列的前項和為，且當時，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，求的前項和.19.函數(shù)，其一條切線的方程為.（1）求值；（2）令，若有兩個不同的極值點，且，求實數(shù)的取值范圍.20.某學?，F(xiàn)有1000名學生，為調查該校學生一周使用手機上網(wǎng)時間的情況，收集了名學生某周使用手機上網(wǎng)時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時）.將數(shù)據(jù)分為6組：，并整理得到如下的頻率分布直方圖：附：.0.10.050.0100.00500012.7063.8416.6357.87910.828（1）估計該校學生一周平均使用手機上網(wǎng)時間（每組數(shù)據(jù)以該組中點值為代表）；（2）將一周使用手機上網(wǎng)時間在內(nèi)定義為“長時間使用手機上網(wǎng)”；一周使用手機上網(wǎng)時間在內(nèi)定義為“不長時間使用手機上網(wǎng)”，在樣本數(shù)據(jù)中，有名學生不近視.請補充完成該周使用手機上網(wǎng)時間與近視程度的列聯(lián)表，若有以上的把握認為“該校學生一周使用手機上網(wǎng)時間與近視程度有關”.那么本次調查的人數(shù)至少有多少？近視不近視合計長時間使用手機不長時間使用手機合計21.已知為橢圓的兩個焦點，為橢圓上異于左?右頂點的任意一點，的周長為6，面積的最大值為：（1）求橢圓方程；（2）直線與橢圓的另一交點為，與軸的交點為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的單調區(qū)間；（2）若時，，求實數(shù)的取值范圍.遵義市2024屆高三第一次質量監(jiān)測統(tǒng)考試卷數(shù)學（滿分：150分，時間：120分鐘）注意事項：1.考試開始前，請用黑色簽字筆將答題卡上的姓名，班級，考號填寫清楚，并在相應位置粘貼條形碼.2.選擇題答題時，請用2B鉛筆答題，若需改動，請用橡皮輕輕擦拭干凈后再選涂其它選項；非選擇題答題時，請用黑色簽字筆在答題卡相應的位置答題；在規(guī)定區(qū)域以外的答題不給分；在試卷上作答無效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結合交集的運算可得.【詳解】由，解得：或，故.故選：A2.若復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)除法法則計算出，從而求出虛部.【詳解】，故復數(shù)的虛部是.故選：C3.已知均為實數(shù)，下列不等式恒成立的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】結合特殊值與不等式的性質可求.【詳解】A，當時，，A錯誤；B，當時，沒意義，B錯誤；C，由，知，所以，C正確；D，當時，不成立，D錯誤.故選：C4.若，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以為整體，結合誘導公式運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：C.5.若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的可能取值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】由，結合題意在上恒成立求范圍，即可判斷所能取的值.【詳解】由題設在區(qū)間上單調遞增，所以恒成立，所以上恒成立，即恒成立，而在上遞增，故.所以A符合要求.故選：A6.今年月日,日本不顧國際社會的強烈反對,將福島第一核電站核污染廢水排入大海,對海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關研究,福島核污水中的放射性元素有種半衰期在年以上;有種半衰期在萬年以上.已知某種放射性元素在有機體體液內(nèi)濃度與時間（年）近似滿足關系式為大于的常數(shù)且.若時,;若時,.則據(jù)此估計,這種有機體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時,大約需要（）（參考數(shù)據(jù):）A.年 B.年 C.年 D.年【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件得,解方程組求出的值,當時,在等式兩邊取對數(shù)即可求解.【詳解】由題意得:,解得,所以,當時,得,即,兩邊取對數(shù)得,所以,即這種有機體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時,大約需要年.故選:B.7.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，再將所得的函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖象的變換法則得出，再由和角公式求解.【詳解】由題意可知，，.故選：B8.若，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構建函數(shù)，結合導數(shù)可得；構建，，結合導數(shù)可得，進而可得.【詳解】令，則當時恒成立，則在內(nèi)單調遞增，可得，即，可得，故；令，則當時恒成立，則在內(nèi)單調遞增，可得，所以，令，則當時恒成立，則在內(nèi)單調遞增，可得，所以，可得，所以，故；綜上所述：.故選：D.【點睛】方法點睛：對于比較實數(shù)大小方法：（1）利用基本函數(shù)的單調性，根據(jù)函數(shù)的單調性判斷，（2）利用中間值“1”或“0”進行比較，（3）構造函數(shù)利用函數(shù)導數(shù)及函數(shù)單調性進行判斷.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，則與是終邊相同的角B.若角的終邊過點，則C.若扇形的周長為3，半徑為1，則其圓心角的大小為1弧度D.若，則角的終邊在第一象限或第三象限【答案】CD【解析】【分析】舉反例判斷A；由三角函數(shù)的定義判斷B；由弧長公式判斷C；由與同號判斷D.【詳解】對于A：當時，，但終邊不同，故A錯誤；對于B：，當時，，故B錯誤；對于C：由，得，故C正確；對于D：，即與同號，則角的終邊在第一象限或第三象限，故D正確；故選：CD10.對于任意實數(shù)，函數(shù)滿足：當時，.下列關于函數(shù)的敘述正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.D.，使得【答案】ACD【解析】【分析】結合題中定義和特殊值即可.【詳解】A，根據(jù)定義，，所以，A正確；B，取，，，取，，，不滿足奇函數(shù)的定義，B錯誤；C，，則，C正確；D，當時，，D正確.故選：ACD11.已知，且，則下列選項正確的是（）A. B..C.的最大值為 D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式可判定A、B選項，利用排除法可判定C選項，利用柯西不等式可判定D選項.【詳解】由題意可得，當且僅當時取得等號，即A正確；，當且僅當時取得等號，即B正確；先證柯西不等式，設，則，所以，由柯西不等式可知：，當且僅當，即時取得等號，即D正確；若，則，此時，故C錯誤.故選：ABD12.數(shù)學家切比雪夫曾用一組多項式闡述余弦的倍角公式，即，稱為第一類切比雪夫多項式.第一類切比雪夫多項式的前幾項為：，探究上述多項式，下列選項正確的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用三角恒等變換即可判斷A，據(jù)題意總結出時，，即可判斷B，利用二倍角公式、三角恒等變換即可判斷選項CD.【詳解】對于A，.A正確；對于B，歸納可得時，，所以，B正確；因為，所以，即，即，解得，C錯；有上述知，則，D正確.故選：ABD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題,則命題的否定為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可寫出答案.【詳解】因為命題,所以命題的否定為:.故答案為:.14.若函數(shù)，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】分和兩種情況，結合指、對數(shù)函數(shù)的單調性運算求解.【詳解】因，則有：當時，可得，解得；當時，可得，則，解得；綜上所述：不等式的解集為.故答案為：.15.已知雙曲線的左焦點為，坐標原點為，若在雙曲線右支上存在一點滿足，且，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】構建焦點三角形，判斷出其為直角三角形，進而可求.【詳解】如圖，因為，所以，所以，則，，，解得.故答案為：16.已知函數(shù)，若關于不等式恰有一個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】由導數(shù)得出函數(shù)的圖像，討論與的關系，結合圖像得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，，即函數(shù)在上單調遞增函數(shù)的圖像如下圖所示：由得出，當時，顯然不成立.但時，解得，使得不等式只有唯一整數(shù)解，此時.即時，唯一整數(shù)解是，當時，，使得不等式只有唯一整數(shù)解，此時，即時，唯一整數(shù)解是.綜上，.故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結合五點法作圖，由周期得，結合最值點可得，代入點的坐標得A，即可得函數(shù)解析式；（2）由題意知和的圖象有兩個不同交點，作出函數(shù)在上的圖象，結合函數(shù)的對稱性可得的值．【小問1詳解】設的最小正周期為，則，可得,且，解得，由圖象可知：當時，取到最大值，且，則，可得，解得，又因為，可得，則，且的圖象過點，則，解得，所以.【小問2詳解】令，由，可得，可知的零點等價于與的圖象交點橫坐標，且，作出在內(nèi)的圖象，不妨設，如圖所示：由圖象可知：，且關于直線對稱，所以.18.已知數(shù)列的前項和為，且當時，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，求的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)與之間的關系，分和兩種情況運算求解；（2）由（1）可得，利用裂項相消法運算求解.【小問1詳解】因為當時，，且，若，則，解得，若，則，兩式相減可得：，整理得，即，可得；可知不符合上式，符合上式，所以.【小問2詳解】由（1）可得：，當時，則；當時，則；可知符合上式，所以.19.函數(shù)，其一條切線的方程為.（1）求的值；（2）令，若有兩個不同的極值點，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）求導，設切點為，從而得到方程組，求出，；（2）求導，得到為的兩根，由得到，得到兩根之和，兩根之積，計算出，由計算出不等式解集，得到實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】，設函數(shù)在切點處的切線的方程為，則，，解得，；【小問2詳解】由（1）可知，，，即為的兩根，故，解得或（舍去），且，，由可得，即，因為，所以，解得或（舍去），綜上：20.某學?，F(xiàn)有1000名學生，為調查該校學生一周使用手機上網(wǎng)時間的情況，收集了名學生某周使用手機上網(wǎng)時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時）.將數(shù)據(jù)分為6組：，并整理得到如下的頻率分布直方圖：附：.0.10.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）估計該校學生一周平均使用手機上網(wǎng)時間（每組數(shù)據(jù)以該組中點值為代表）；（2）將一周使用手機上網(wǎng)時間在內(nèi)定義為“長時間使用手機上網(wǎng)”；一周使用手機上網(wǎng)時間在內(nèi)定義為“不長時間使用手機上網(wǎng)”，在樣本數(shù)據(jù)中，有名學生不近視.請補充完成該周使用手機上網(wǎng)時間與近視程度的列聯(lián)表，若有以上的把握認為“該校學生一周使用手機上網(wǎng)時間與近視程度有關”.那么本次調查的人數(shù)至少有多少？近視不近視合計長時間使用手機不長時間使用手機合計【答案】（1）小時（2）列聯(lián)表見解析，有的把握認為“該校學生的每周使用手機上網(wǎng)時間與近視程度有關【解析】【分析】（1）利用平均數(shù)公式求解；（2）根據(jù)列聯(lián)表已有的數(shù)據(jù)和頻率分布直方圖求解；【小問1詳解】解：根據(jù)頻率分布直方圖得：；估計該校學生每周平均使用手機上網(wǎng)時間為小時；【小問2詳解】根據(jù)題意填寫列聯(lián)表如下，近視不近視合計長時間使用手機不長時間使用手機合計由表中數(shù)據(jù)，計算，所以有的把握認為“該校學生的每周使用手機上網(wǎng)時間與近視程度有關”．21.已知為橢圓的兩個焦點，為橢圓上異于左?右頂點的任意一點，的周長為6，面積的最大值為：（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓的另一交點為，與軸的交點為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.【答案】（1）（2），理由見解析【解析】【分析】（1）利用橢圓的定義及橢圓的性質即可求解；（2）根據(jù)已知條件作出圖形并設出直線方程，將直線與橢圓方