2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時檢測23棱柱棱錐棱臺的表面積和體積含解析新人教A版必修第二冊

PAGEPAGE6棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積[A級基礎(chǔ)鞏固]1．正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．96解析：選B設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝96，∴a＝4.∴其體積V＝a3＝43＝64.故選B.2．設(shè)正六棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為eq\r(5)，那么它的體積為()A．6eq\r(3) B.eq\r(3)C．2eq\r(3) D．2解析：選B由底面邊長為1和側(cè)棱長為eq\r(5)，可知高h(yuǎn)＝2.又因?yàn)榈酌娣eS＝eq\f(3\r(3),2)，所以體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×2＝eq\r(3).3．一個棱柱和一個棱錐的高相等，底面積之比為2∶3，則棱柱與棱錐的體積之比為()A.eq\f(1,2) B．2C.eq\f(1,3) D．3解析：選B設(shè)棱柱的高為h，底面積為S，則棱錐的高為h，底面積為eq\f(3,2)S，故二者的體積之比為eq\f(V1,V2)＝eq\f(Sh,\f(1,3)×\f(3,2)Sh)＝eq\f(2,1)＝2.4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何也有深化的探討，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱ABC-A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，當(dāng)“陽馬”即四棱錐B-A1ACC1體積最大時，“塹堵”即三棱柱ABC-A1B1C1的表面積為()A.eq\r(2)＋1 B.eq\r(3)＋1C.eq\f(2\r(2)＋3,2) D.eq\f(\r(3)＋3,2)解析：選CV四棱錐B-A1ACC1＝eq\f(1,3)AC·AA1·BC＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)AC·BC·AA1＝eq\f(2,3)V三棱柱ABC-A1B1C1，V三棱柱ABC-A1B1C1＝eq\f(1,2)AC·BC·AA1＝eq\f(1,2)AC·BC≤eq\f(1,4)(AC2＋BC2)＝eq\f(1,4)AB2＝eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)時取等號，即當(dāng)AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)時，V三棱柱ABC-A1B1C1取得最大值，此時四棱錐B-A1ACC1的體積最大．則此時三棱柱ABC-A1B1C1的表面積為2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)＋1))×1＝eq\f(3＋2\r(2),2).故選C.5．魯班鎖起源于中國古代建筑的榫卯結(jié)構(gòu)．魯班鎖類玩具比較多，形態(tài)和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝．圖①是一個魯班鎖玩具，圖②是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖玩具的表面積為()A．8(6＋6eq\r(2)＋eq\r(3)) B．6(8＋8eq\r(2)＋eq\r(3))C．8(6＋6eq\r(3)＋eq\r(2)) D．6(8＋8eq\r(3)＋eq\r(2))解析：選A由題圖，可知該魯班鎖玩具可以看成是由一個棱長為2(1＋eq\r(2))的正方體截去了8個正三棱錐而得到的，且被截去的正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq\r(2)，則該魯班鎖玩具的表面積為6×[4×(1＋eq\r(2))2－4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)]＋8×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝8(6＋6eq\r(2)＋eq\r(3))．故選A.6．如圖，三棱柱ABC-A′B′C′的體積為1，則四棱錐C-AA′B′B的體積是________．解析：∵VC-A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC-A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC-AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)7．已知某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成，如圖所示，其中長方體的長、寬、高分別為4，3，3，三棱柱底面是直角邊分別為4，3的直角三角形，側(cè)棱長為3，則此幾何體的體積是________，表面積是________．解析：該幾何體的體積V＝4×6×3＋eq\f(1,2)×4×3×3＝90，表面積S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋eq\f(1,2)×4×3×2＋eq\r(32＋42)×3＋3×4＝138.答案：901388．有一個正四棱臺形態(tài)的油槽，可以裝油190L，假如它的兩底面邊長分別等于60cm和40cm，則它的深度為________cm.解析：設(shè)油槽的上、下底面積分別為S′，S.由V＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h，得h＝eq\f(3V,S＋\r(SS′)＋S′)＝eq\f(3×190000,3600＋2400＋1600)＝75(cm)．答案：759.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a.截面A1DB將正方體分成兩部分，其體積分別為V1，V2，且V2>V1.(1)求V1，V2以及V1∶V2；(2)求點(diǎn)A到平面A1BD的距離d.解：(1)截面將正方體分為兩個幾何體，其中較小部分是一個三棱錐A1-ABD，其中底面△ABD是腰長為a的等腰直角三角形，其面積S＝eq\f(1,2)×AB×AD＝eq\f(1,2)a2.底面ABD上的高為h＝AA1＝a.所以其體積V1＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,6)a3.正方體的體積V＝a3，所以V2＝V－V1＝a3－eq\f(1,6)a3＝eq\f(5,6)a3.所以V1∶V2＝1∶5.(2)三棱錐A1-ABD與三棱錐A-A1BD是同一個幾何體．在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2)a，如圖，取BD的中點(diǎn)H，連接A1H，則A1H⊥BD，BH＝HD＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，所以A1H＝eq\r(A1B2－BH2)＝eq\r(（\r(2)a）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),2)a.其面積S2＝eq\f(1,2)BD·A1H＝eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(6),2)a＝eq\f(\r(3),2)a2.因?yàn)閂A1-ABD＝VA-A1BD，即eq\f(1,6)a3＝eq\f(1,3)S2·d，所以eq\f(1,6)a3＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a2×d，解得d＝eq\f(\r(3),3)a，即點(diǎn)A到平面A1BD的距離為eq\f(\r(3),3)a.10．已知正四棱臺(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面邊長為6，高和下底面邊長都是12，求它的側(cè)面積．解：如圖，E，E1分別是BC，B1C1的中點(diǎn)，O，O1分別是下、上底面正方形的中心，則O1O為正四棱臺的高，則O1O＝12.連接OE，O1E1，則OE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×12＝6，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3.過E1作E1H⊥OE，垂足為H，則E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×42＋32＝32×17，所以E1E＝3eq\r(17).所以S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).[B級綜合運(yùn)用]11．現(xiàn)有一個封閉的正三棱柱容器，高為3，內(nèi)裝水若干(如圖甲，底面處于水平狀態(tài))．將容器放倒(如圖乙，一個側(cè)面處于水平狀態(tài))，這時水面所在的平面EE1F1F與各棱的交點(diǎn)分別為其所在棱的中點(diǎn)，則圖甲中水面的高度為()A.eq\r(3) B．2C.eq\f(3\r(3),2) D.eq\f(9,4)解析：選D設(shè)正三棱柱的底面積為S，則VABC-A1B1C1＝3S.∵E，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1分別為其所在棱的中點(diǎn)，∴eq\f(S△AFE,S)＝eq\f(1,4)，即S△AFE＝eq\f(1,4)S，∴S四邊形BCFE＝eq\f(3,4)S，∴VBCFE-B1C1F1E1＝eq\f(3,4)S×3＝eq\f(9,4)S，∴圖甲中水面的高度為eq\f(9,4).故選D.12．(多選)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，側(cè)面AA1C1C的中心為O，點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個動點(diǎn)，有下列推斷，正確的是()A．直三棱柱側(cè)面積是4＋2eq\r(2)B．直三棱柱體積是eq\f(1,3)C．三棱錐E-AA1O的體積為定值D．AE＋EC1的最小值為2eq\r(2)解析：選ACD在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，側(cè)面全是矩形，所以其側(cè)面積為1×2×2＋eq\r(12＋12)×2＝4＋2eq\r(2)，故A正確；直三棱柱的體積為V＝S△ABCAA1＝eq\f(1,2)×1×1×2＝1，故B不正確；如圖，由BB1∥平面AA1C1C，且點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個動點(diǎn)，所以三棱錐E-AA1O的高為定值eq\f(\r(2),2)，S△AA1O＝eq\f(1,4)eq\r(2)×2＝eq\f(\r(2),2)，所以VE-AA1O＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,6)，故C正確；將四邊形BCC1B1沿BB1翻折，使四邊形ABB1A1與四邊形BCC1B1位于同一平面內(nèi)，連接AC1與BB1相交于點(diǎn)E，此時AE＋EC1最小，即AE＋EC1＝AC1＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)＋（A1B1＋B1C1）2)＝2eq\r(2)，故D正確．13．在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的對角線長分別為9，15，高是5，則該直四棱柱的表面積為________．解析：如圖所示，設(shè)底面對角線AC＝a，BD＝b，交點(diǎn)為O，對角線A1C＝15，BD1＝9.故有a2＋52＝152，b2＋52＝92，所以a2＝200，b2＝56.因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以AB2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2＋b2,4)＝eq\f(200＋56,4)＝64，即AB＝8.所以該直四棱柱的側(cè)面積為4×8×5＝160，表面積為160＋2×eq\f(1,2)×eq\r(200×56)＝160＋40eq\r(7).答案：160＋40eq\r(7)14．如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上隨意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．解：如圖，連接EB，EC，AC.V四棱錐E-ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF，∴V三棱錐F-EBC＝V三棱錐C-EFB＝eq\f(1,2)V三棱錐C-ABE＝eq\f(1,2)V三棱錐E-ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱錐E-ABCD＝4.∴多面體的體積V＝V四棱錐E-ABCD＋V三棱錐F-EBC＝16＋4＝20.[C級拓展探究]15．一個正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，高為h.一個正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的頂點(diǎn)A1，B1，C1分別在三條棱上，A0，B0，C0分別在底面△ABC上，何時此三棱柱的側(cè)面積取到最大值？解：設(shè)三棱錐的底面中心為O，連接PO(圖略)，則PO為三棱錐的高，設(shè)A1，B1，C1所在的底面與PO交于O1點(diǎn)，則eq\f(A1B1,AB)＝eq\f(PO1,PO)，令A(yù)1B1＝x，而PO＝h，則PO1＝eq\f(h,a)x，于是OO1＝h－PO1＝h－eq\f(h,a)x＝heq\b\lc