云南省昆明市東川區(qū)明月中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGEPAGE15云南省昆明市東川區(qū)明月中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）（考試時間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：1.設(shè)集合，則=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：∵，∴，∴考點(diǎn)：集合的交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算2.下列函數(shù)是偶函數(shù)且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：和均是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，但在上是減函數(shù)；二次函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，∴正確選項D．考點(diǎn)：（1）函數(shù)奇偶性的推斷；（2）函數(shù)單調(diào)性推斷．3.設(shè)sin，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：，兩邊平方后得，整理為，即，故選A.考點(diǎn)：三角函數(shù)4.已知:、是不共線向量，，，且，則的值為A.8 B.3 C.-3 D.【答案】D【解析】【詳解】【分析】∵，是不共線向量，=，=，且∥，∴存在實數(shù)λ使得.∴==6λ．∴解得k=﹣8．故選D．5.已知是等比數(shù)列，，則公比=（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得到關(guān)于q的方程，解方程即可確定公比的值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，即：，解得：.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.6.已知中，，，，則等于（）A. B.或 C.60° D.或【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，得，再依據(jù)大邊對大角和三角形內(nèi)角和定理即可.【詳解】解：中，，，，由正弦定理得，，或滿意和故選：D【點(diǎn)睛】考查正弦定理的應(yīng)用，留意大邊對大角和三角形內(nèi)角和定理，基礎(chǔ)題.7.設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的形態(tài)為（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，利用兩角和公式化簡求得的值進(jìn)而求得，推斷出三角形的形態(tài).【詳解】∵，由正弦定理得：，∵，∴，，故三角形為直角三角形，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵時利用正弦定理把等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，屬于基本學(xué)問的考查.8.設(shè)，且，則n的值為（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】D【解析】【分析】由裂項相消法求和法推導(dǎo)出，再由，解方程即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又，所以，解得故選D.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用裂項相消法求和及其應(yīng)用，解題時要仔細(xì)審題，留意裂項相消法求和的合理運(yùn)用.9.已知長方體一個頂點(diǎn)上三條棱的長分別是3、4、5，且它的頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：長方體的外接球的直徑就是長方體的對角線，求出長方體的對角線，即可求出球的直徑，然后求出球的表面積.詳解：長方體的一個頂點(diǎn)上的三條棱長分別是，且它的個頂點(diǎn)都在同一個球面上，長方體的對角線就是球的直徑，長方體的對角線為，球的半徑為，則這個球的表面積是，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查球的內(nèi)接多面體的有關(guān)學(xué)問，球的表面積的求法，意在考查計算實力與空間想象力，留意球的直徑與長方體的對角線的轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵.10.如圖所示，三棱錐的高，，，分別在和上，且，，圖中的四個圖象大致描繪了三棱錐的體積與的改變關(guān)系，其中正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，則，可得，求出，可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為面，而在上，所以面，因為，所以，因為，所以，從而可得，函數(shù)圖象是開口向下的拋物線一部分，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查棱錐的體積、空間線面關(guān)系，考查了函數(shù)的圖象，考查了空間想象實力函數(shù)思想的應(yīng)用，意在考查敏捷運(yùn)用所學(xué)學(xué)問解答問題的實力，屬于難題.11.函數(shù)，若對于隨意的有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：，，最小值考點(diǎn)：1,三角函數(shù)化簡；2.不等式恒成立12.已知函數(shù)，若方程有兩個解，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】當(dāng)時，必有一解，所以只需時有一解即可，而在減函數(shù)，只需，即.故選：C.二、填空題：13.數(shù)列的前項和,則的通項公式_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)和之間的關(guān)系,應(yīng)用公式得出結(jié)果【詳解】當(dāng)時,；當(dāng)時,；∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了和之間的關(guān)系式,留意當(dāng)和時要分開探討,題中的數(shù)列非等差數(shù)列.本題屬于基礎(chǔ)題14.如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的一條棱的長為______.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由三視圖知，幾何體是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個正方形，邊長是2，四棱錐的一條側(cè)棱和底面垂直，且這條側(cè)棱長是2，這樣在全部的棱中，連接與底面垂直的側(cè)棱的頂點(diǎn)與相對的底面的頂點(diǎn)的側(cè)棱是最長的長度是，考點(diǎn)：三視圖點(diǎn)評：本題考查由三視圖還原幾何體，所給的是一個典型的四棱錐，留意視察三視圖，看出四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直．15.在邊長為1的等邊三角形ABC中,設(shè)=2=3,則=_____.【答案】【解析】試題分析：因為，所以為的中點(diǎn)即，∵，∴，∴考點(diǎn)：向量線性運(yùn)算與數(shù)量積的幾何運(yùn)算.16.如下圖，為了測量正在海面勻速行駛的某輪船的速度，在海岸上選取距離1千米的兩個視察點(diǎn)，在某天10：00視察到該輪船在處，此時測得，2分鐘后該輪船行駛至處，此時測得，則該輪船的速度為千米/分鐘．【答案】【解析】此題考查正弦定理和余弦定理應(yīng)用；此題關(guān)鍵求出長度即可；在中，；在中，所以是等腰直角三角形，所以；在中，依據(jù)余弦定理得：，所以輪船的速度為千米/分鐘；三、解答題：17.已知一個幾何體的三視圖如圖所示.（1）求此幾何體的表面積；（2）在如圖正視圖中，假如點(diǎn)為所在線段中點(diǎn)，點(diǎn)為頂點(diǎn)，求在幾何體側(cè)面上從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑的長.【答案】(1);(2).【解析】試題分析：（1）由三視圖知：此幾何體是一個圓錐和一個圓柱的組合體，底面圓半徑長2，圓柱高為4，圓錐高為2，由此可求得該幾何體的表面積；（2）將圓柱側(cè)面綻開，在平面矩形內(nèi)線段長為所求．試題解析：（1）由三視圖知：此幾何體是一個圓錐加一個圓柱，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個底面積之和，即，，，所以.（2）沿點(diǎn)與點(diǎn)所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖：則，所以從點(diǎn)到點(diǎn)在側(cè)面上的最短路徑的長為.考點(diǎn)：1、多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題；2、由三視圖求面積、體積．18.在中，內(nèi)角對邊的邊長分別是，已知，．（Ⅰ）若的面積等于，求；（Ⅱ）若，求的面積．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．【解析】【詳解】試題分析：（1）由余弦定理及已知條件得，，又因為△ABC的面積等于，所以，得.聯(lián)立方程組解得.（Ⅱ），由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，所以的面積點(diǎn)評：本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，考查了函數(shù)方程思想，在兩道小題中，均通過建立方程組，以便求的等．19.在△ABC中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知.(Ⅰ)求證：成等比數(shù)列；(Ⅱ)若，求△的面積S.【答案】(I)見解析(II)【解析】試題分析：（1）先依據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和“化切為弦”思想轉(zhuǎn)化成，再利用正弦定理將角角關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，即證得成等比數(shù)列；（2）先利用等比中項求出邊，利用余弦定理求出，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出，再利用三角形的面積公式求其面積．試題解析：（1）由已知得：，，則，再由正弦定理可得：，所以a，b，c成等比數(shù)列．（2）若，則，∴，．∴的面積．考點(diǎn)：1．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式；2．等比數(shù)列；3．正弦定理；4．余弦定理．20.已知函數(shù)部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1).(2).【解析】【分析】試題分析：（1）視察圖象可知，周期，依據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，得到，結(jié)合，求得；再依據(jù)點(diǎn)（0，1）在函數(shù)圖象上，求得，即得所求.（2）首先將化簡為，利用“復(fù)合函數(shù)單調(diào)性”，由，得，得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【詳解】（1）由圖象可知，周期，∵點(diǎn)在函數(shù)圖象上，∴，∴，解得，∵，∴；∵點(diǎn)（0，1）在函數(shù)圖象上，∴，∴函數(shù)的解析式為.（2）==，由，得，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為21.數(shù)列是等差數(shù)列且，，數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和為.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)等差數(shù)列的首項和公差求通項公式；依據(jù)與的關(guān)系求等比數(shù)列的通項公式；（2）依據(jù)數(shù)列特征，采納錯位相減法求和.【詳解】（1）數(shù)列是等差數(shù)列且，，∴，解得，，∴∵，①∴，，②①-②，得∴又，解得∴是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，∴（2）∵，∴，①∵，②①﹣②，，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的定義、通項公式，錯位相減法求和，考查了推理實力、運(yùn)算能實力，屬于中檔題.22.已知二次函數(shù)（，為常數(shù)，且）滿意條件：，且方程有兩等根.（1）求的解析式；（2）求在上的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）首先依據(jù)有兩等根，可得，解得，依據(jù)二次函數(shù)得對稱軸為，再依據(jù)可得對稱軸為；（2）求在上的最大值須要對定義域進(jìn)行探討：分和兩種情形.試題解析：（1）方程有兩等根，即有兩等根，，解得；,得是函數(shù)圖象的對稱軸.而此函數(shù)圖象的對稱軸是直線，故.（2）函數(shù)的圖象的對稱軸為，