人教A版（2019）必修第二冊第七章《復(fù)數(shù)》同步練習(xí)（含答案）

人教A版(2019)必修第二冊第七章復(fù)數(shù)同步練習(xí)

一、單選題

1.若Z"號，則z2+z4+z6+z8+z'°+z%-+z2o2o=()

A.0B.1-iC.-1-iD.-1+i

2.設(shè)〃則“=2"是‘復(fù)數(shù)z=(m+2i)(l+i)為純虛數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z+l)(l+i)=l-i,(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)位于

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.若復(fù)數(shù)z=sin"|+(cosY)是純虛數(shù)淇中6為實(shí)數(shù)/為虛數(shù)單位，則tan]”(

的值為

A.-7B.-17C.7D.-7或-17

5.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=N(-2+3。對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.復(fù)數(shù)z=±二包(其中i為虛數(shù)單位)的虛部為()

2+1

A.-2B.-1C.1D.2

7.若z(l+i)=l-i,則Z=()

A.1—iB.1+iC.-iD.i

1-i

8.復(fù)數(shù)z=/可的虛部是()

A.—B.!C.--iD.-

2222

9.歐拉公式e*=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位)是由著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函

數(shù)定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有

非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋''.根據(jù)歐拉公式，若將「'表示的復(fù)數(shù)記為z,

則z-(l+2i)的值為()

A.-2+iB.—2—iC.2+iD.2-i

10.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z".=-l+i,則口=()

A.1B.&C.6D.V10

11.若復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=|l+i|,貝”的虛部為()

A.-V2iB.-y/2C.--iD.--

22

12.已知尸x+yi,x,yGR,，是虛數(shù)單位.若復(fù)數(shù)三+i是實(shí)數(shù)，則|z|的最小值為

1+Z

()

5L

A.0B.-C.5D.&

2

二、填空題

13.若復(fù)數(shù)吁3+(病-9)/0,則實(shí)數(shù)，"的值為.

14.已知復(fù)數(shù)z=l+i(i是虛數(shù)單位)，則|z|=.

15.已知方程彳2-2》+°=0,06/?的兩個(gè)根在復(fù)平面上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為由,

貝!1P=.

16.設(shè)Z1=2(cosq+ising),z,=^(sin-+icos-Y則z「z?的三角形式為

三、解答題

17.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=,〃2(i+。一,*(2+3i)—4(2+i),當(dāng)機(jī)分別取何實(shí)數(shù)

時(shí)，z滿足如下條件？

(1)實(shí)數(shù)；

(2)虛數(shù)；

(3)純虛數(shù)；

(4)零.

18.已知復(fù)數(shù)z=l-2i(i為虛數(shù)單位).

(1)若z-Zo=2z+z,),求復(fù)數(shù)z。的共輾復(fù)數(shù):

(2)若z是關(guān)于x的方程》2_,n+5=()一個(gè)虛根，求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

19.(1)已知復(fù)數(shù)2=(1+初)(2+好(力€/?)是純虛數(shù)，求空衛(wèi)的模；

(2)已知zwC,且|z|=2,求|z—3］的取值范圍.

20.設(shè)復(fù)數(shù)z=3cos6+2isin。，求函數(shù)y=?-argz(0<0<、)的最大值以及對應(yīng)的，

值.

21.設(shè)復(fù)數(shù)Z1、z?滿足z「Z2+2iZ1-2iz?+l=0.

⑴若Z1、Z2滿足Z2-4=2i,求Z|、z2；

⑵若㈤=石，則是否存在常數(shù)&,使得等式|z2-4i|=A恒成立？若存在，試求出％的

值；若不存在，請說明理由.

參考答案:

1.D

根據(jù)=i,將z2+z4+z6+z8+/°+…+Z2020,轉(zhuǎn)化為

i+i2+i3+i4+i5+i6+-+i，0，°，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

【詳解】

???,2Z,+4z,+6z,+8z,+,1z0,H--,FZ,2020，

;,:2.;3,-4,;5,;6,,;1010

=1+1+1+14-1+1H-------F1，

???1010=4x252+2,

Ei3+i^+i^+i?=f+f+f+i'?=...=i'?n+,.008+i1009+il0I0=0f

z2+z4+z6+z8+zK,+-+z2O2O=i+i2=-l+i.

故選：D.

2.C

求出z=(加+2i)(l+i)為純虛數(shù)時(shí)m的值，與機(jī)=2比較，判斷出結(jié)果

【詳解】

z=(m+2i)(l+i)=m—2+(優(yōu)+2)i,復(fù)數(shù)z=(〃?+2i)(l+i)為純虛數(shù)，則〃?2=0,解得:

m=2,所以則“加=2”是“復(fù)數(shù)z=(/n+2i)(l+i)為純虛數(shù)”的充要條件

故選：C

3.C

根據(jù)復(fù)數(shù)表達(dá)式，先表示出z.由復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求得點(diǎn)所在象限.

【詳解】

復(fù)數(shù)Z滿足(z+l)(l+i)=l-i

答案第1頁，共11頁

即「仔

由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡可得

Z=X1

1+1

=(-E__1

(i+0(1-0

=-1—Z

在復(fù)平面內(nèi)Z對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1),所以位于第三象限

故選:C

本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.

4.A

根據(jù)純虛數(shù)的定義，求出sin。,cos。，進(jìn)而求出tan。，將tan[O-iJ展開，即可求解.

【詳解】

3

sin?！?0,

由已知條件可得，:

cos0——工0,

5

八34八4

/.sin。=M且cos—cos0=--,

八sin63

/.tan0=------=——,

cos，4

/、

(八7T\tan0-14r

/.tan0——=----------=4f=-7.

(4)1+tan6i3

i—

4

故選:A.

本題考查純虛數(shù)的定義，以及同角間的三角函數(shù)關(guān)系,考查兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)

題.

5.C

答案第2頁，共11頁

利用復(fù)數(shù)的乘法法則化簡復(fù)數(shù)Z,由此可得出結(jié)論.

【詳解】

?.?z=2i(-2+3i)=-6-4"因此，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于第三象限.

故選：C.

6.A

根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，求出復(fù)數(shù)z,然后由虛部的定義即可求解.

【詳解】

陋h二后魴4-3i(4-3i)(2-i)5-10i,..

解：因?yàn)閺?fù)數(shù)Z=.-~\-22=1—21，

2+1(2+i)(2-i)2+1

所以復(fù)數(shù)z的虛部為-2,

故選：A.

7.D

先利用除法運(yùn)算求得［,再利用共軌復(fù)數(shù)的概念得到z即可.

【詳解】

因?yàn)閣=lzi=(1一獷

,所以z=i.

1+Z(1+0(1-/)

故選：D

【點(diǎn)晴】

本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，涉及到共輾復(fù)數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題.

8.A

先根據(jù)模的定義計(jì)算，并化簡得到z=g-gi,再根據(jù)虛部的定義作出判定.

【詳解】

答案第3頁，共11頁

_l-il-i」-i_11.

vZ=FH=^p=v=^1

?*-z的虛部為-;，

故選：A.

9.A

根據(jù)歐拉公式求出z,再由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算即可求出.

【詳解】

根據(jù)歐拉公式可得z=-cos—+zsin—=i

22f

則z?(l+2i)=i?(l+2i)=—2+i.

故選：A.

10.B

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可求解.

【詳解】

解析因?yàn)閦=±

所以z=1-3卜卜枝.

故選：B

11.D

先利用復(fù)數(shù)的模長和除法運(yùn)算化簡得到z=正-變i,再根據(jù)虛部的定義，即得解

22

【詳解】

由(l+i)z=|1+i|=>/2,

答案第4頁，共11頁

組近0(1—i)&72.

1+i(l+i)(l-i)22

，Z的虛部為-也.

2

故選：D

12.D

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件可得x=y+2,再利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式和二

次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

【詳解】

z(x+yz')(l-/)1.

解：；復(fù)數(shù)L+i(1+/)(1-DZ、+y+c；7+2),是實(shí)數(shù)

y-x+2=0

^x=y+2

|z|=y/x2+y2=J(y+2)2+y2=J2y2+4y+4=^2(y+l)2+2>0

當(dāng)且僅當(dāng)y=-Lx=1時(shí)取等號

|z|的最小值為e

故選：D

13.3

由題意知機(jī)-3+(,/-9)，為實(shí)數(shù)，實(shí)部大于或等于0,虛部等于0,即可求解.

【詳解】

因?yàn)閺?fù)數(shù)不能比較大小，所以加-3+(裙-9"為實(shí)數(shù),

〃?-320

可得解得，"=3

nr-9=0

所以實(shí)數(shù)m的值為3,

故答案為：3

14.V2

答案第5頁，共II頁

利用復(fù)數(shù)模的概念求解即可.

【詳解】

由z=1+i,

得|z|=Jf+產(chǎn)=夜;

故答案為：V2.

設(shè)方程的兩根分別為％=。+萬，x2=c+di,用。力表示出c,4,利用韋達(dá)定理求得匕=0或

a=\,分情況結(jié)合兩個(gè)根在復(fù)平面上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為G，求得。的值.

【詳解】

解：方程Y-2犬+〃=0的兩個(gè)根在復(fù)平面上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為6，

設(shè)方程的兩根分別為玉=”+此x2=c+di,

貝ijX]+%=a+c+(b+d)i=2,得a+c=2,b+d=0,貝iJc=2-4，d=-b

22

x,x2=(a+bi)(c+di)=(a+/?i)(2-a-bi)=b-a+2a+(ab-2ab)i=p

嚴(yán)M+2a=p

[2/7-2^=0

則Z?=0或a=1

當(dāng)Z?=0時(shí)，Xj=a,x2=2-a,

p=b2+2a=-。2+2a=-1).4-1,

設(shè)玉在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為A,則A(a,O),設(shè)巧在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為8,則

8(2-60),

則\AB\=^(2-67-67)2+(0-0)2=2|<2-1|=A/3,得,_1]=#，

答案第6頁，共11頁

、31

則p=—(a—t)+1=——+1=—,

44

當(dāng)a=l時(shí)，％=1+4，x2=\-bi,

p=Z?2—l+2=/?2+l,

此時(shí)4(1,6),8(1,-6),即|AB|=-1J+9_(_3了=20=6，即網(wǎng)=^，

先將Z”Z?化簡，然后計(jì)算Z「Z2,再轉(zhuǎn)化為三角形式即可

【詳解】

71..K

因?yàn)閆1=2cos——l-isin—

所以4?z?

V6.瓜.3應(yīng)

故答案為

17.(1)m=—1或〃?=4；(2)1且》7#4；(3)，〃=—2；(4)m=4.

答案第7頁，共11頁

(1)由虛部等于0求得〃7的值；

(2)由虛部不為0求得〃?值；

(3)由實(shí)部為0且虛部不為0求得加值；

(4)由實(shí)部為。且虛部為。求得〃?值.

【詳解】

z=序(1+i)-m(2+3i)—4(2+/)化為z=(6？_26一8)+-3"-4)i

(1)由一3"[-4=0,得機(jī)=4,或加=一1,

，當(dāng)〃?=4,或加=-1時(shí)，z是實(shí)數(shù)；

(2)由m2-3根一4H0,得加。4且〃2W—1,

當(dāng)mW4且〃2W-1時(shí),Z為虛數(shù)；

(3)由加2—2〃7—8=0,且裙一3/〃一4工0,解得機(jī)=-2,

???當(dāng)加=-2時(shí)，z為純虛數(shù)；

m2-2/n-8=0

(4)由，解得m=4,

m2-3〃z—4=0

，當(dāng)〃？=4時(shí)，z為零.

18.(1)2-z；(2)2.

【詳解】

分析：(1)因?yàn)閦-z0=2z+z(),所以z0=工一，求出z0,即可得到z。的共規(guī)復(fù)數(shù)；

Z-1

(2)將z=l-2，?代入方程/-,加+5=0,根據(jù)復(fù)數(shù)相等可求求實(shí)數(shù)m的值.

詳解：(1)因?yàn)閦-z0=2z+z。，所以芍二二二？0-2,)=2+/

z-1-21

所以復(fù)數(shù)Z。的共枕復(fù)數(shù)為2-，.

(2)因?yàn)閦是關(guān)于x的方程丁-g+5=0的一個(gè)虛根，

所以(1-2。2-機(jī)(1-2。+5=0,Bp(2-m)+(2m-4)i=0.

又因?yàn)榧邮菍?shí)數(shù)，所以機(jī)=2.

點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等的充要條件、共軻復(fù)數(shù)的定義，考查了計(jì)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.(1)V5；(2)[1,5].

答案第8頁，共11頁

（1）根據(jù)Z是純虛數(shù)，求出分，求出代數(shù)式的值即可;

(2)設(shè)z=a+6i,貝1」/+/=4,-2釉2,得到|z-3|=|(a-3)+明|=\13-6。,求出z的取值

范圍即可.

【詳解】

解：(1)z=(l+W)(2+i)=2+(2fe+l)z-Z>=(2-/j)+(2/7+l)/,

若z是純虛數(shù)，則2-》=0,解得：b=2,

^2h+3i4+3i4-8i+3i+6、.

故———=----=--------——=2-1,

1+bi1+2/1+4

故I鬻卜尚

(2)由題意設(shè)z=a+6i,貝1」/+從=4，-2^2,

故Iz-31=|(a-3)+歷|=”“-3)2+6=yJa2+b2_6(l+9="Ya,

。=2時(shí)，|z-3|取最小值，最小值是1,

”=-2時(shí)，|z-3|取最大值,最大值是5,

故Iz-3]的取值范圍是1,5].

20.當(dāng)。=arctan逅時(shí)，y取得最大值arctan逅

212

根據(jù)輻角的主值定義，結(jié)合兩角差的正切公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

2sin02

由z=3cos^+2isin0,可得tan(argz)=———-=一tan。,

3cos夕3

2

tan6——tan0

/萬、tan^-tan(argz)tan。

tany=tan("—argz)=------------------——3---------，因?yàn)?/p>

l+tan0tan(argz)i22n3+2tan20

-------F2tan0

3tan。

0<^<—,所以tan6>0,于是一--+2tan0>2/——?2tan=2\/6,

2tan。VAtan0

當(dāng)且僅當(dāng)二｝=2tan。時(shí)取等號，則當(dāng)tan，=逅時(shí)取等號，即當(dāng)。=arctan逅時(shí)取等號,

tan<922

答案第9頁，共11頁

因此有tany<一!尸=一^,因此函數(shù)y=e-argz(0<的最大值為arctan逅，此時(shí)

，2761212

"arctan近

2

21.⑴有