新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第06講 向量法求空間角（含探索性問題） 講（學(xué)生版）

第06講向量法求空間角（含探索性問題）(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析題型一：異面直線所成的角題型二：直線與平面所成的角角度1：求直線與平面所成角(定值問題）角度2：求直線與平面所成角(最值問題）角度3：已知線面角求其他參數(shù)（探索性問題）題型三：二面角角度1：求平面與平面所成角(定值問題）角度2：求平面與平面所成角(最值問題）角度3：已知二面角求其他參數(shù)（探索性問題）第四部分：高考真題感悟第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：異面直線所成角設(shè)異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，其方向向量分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；則異面直線所成角向量求法：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)二：直線和平面所成角設(shè)直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.知識(shí)點(diǎn)三：平面與平面所成角（二面角）（1）如圖①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的兩個(gè)面內(nèi)與棱SKIPIF1<0垂直的直線，則二面角的大小SKIPIF1<0．（2）如圖②③，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是二面角SKIPIF1<0的兩個(gè)半平面SKIPIF1<0的法向量，則二面角的大小SKIPIF1<0滿足：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0若二面角為銳二面角（取正），則SKIPIF1<0；若二面角為頓二面角（取負(fù)），則SKIPIF1<0；（特別說明，有些題目會(huì)提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．（2022·廣西南寧·一模（理））在正方體SKIPIF1<0中O為面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0為面SKIPIF1<0的中心.若E為SKIPIF1<0中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國(guó)·高二）點(diǎn)A，B分別在空間直角坐標(biāo)系O-xyz的x，y正半軸上，點(diǎn)C（0，0，2），平面ABC的法向量為SKIPIF1<0，設(shè)二面角C—AB—O的大小為θ，則cosθ的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，點(diǎn)M，N分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，Q為線段SKIPIF1<0上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)A，B），若使異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0或4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·全國(guó)·高二）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角最大時(shí)，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：異面直線所成的角典型例題例題1．（2022·江蘇泰州·高二期末）在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·安徽·高二期末）直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，將三角形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折疊到SKIPIF1<0位置，使得二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·廣西·高三階段練習(xí)（文））某圓錐的正視圖如圖所示，SKIPIF1<0為該圓錐的頂點(diǎn)，SKIPIF1<0分別是圓錐底面和側(cè)面上兩定點(diǎn)，SKIPIF1<0為其底面上動(dòng)點(diǎn).SKIPIF1<0四點(diǎn)在其正視圖中分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角最大時(shí)，SKIPIF1<0的長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題4．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（理））現(xiàn)有四棱錐SKIPIF1<0（如圖），底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上.當(dāng)空間四邊形SKIPIF1<0的周長(zhǎng)最小時(shí)，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為___________.題型歸類練1．（2022·河南安陽·高一階段練習(xí)）已知在四棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為正方形，側(cè)棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正三角形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，則直線MN，PB所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，M為AD的中點(diǎn)，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，SKIPIF1<0是棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方體，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是下底面的棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是上底面的棱SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的平面交上底面于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為___________．5．（2022·陜西·長(zhǎng)安一中高二期末（理））空間四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值等于___________．6．（2022·山西太原·一模（理））已知在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若三棱錐的外接球體積為SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為__________.題型二：直線與平面所成的角角度1：求直線與平面所成角(定值問題）典型例題例題1．（2022·江蘇·南京師大附中高二期末）已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為4，SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<01，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為___________．例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為___________.例題3．（2022·江蘇省阜寧中學(xué)高二期中）已知SKIPIF1<0是圓柱底面圓的一條直徑，SKIPIF1<0是圓柱的一條母線，SKIPIF1<0為底面圓上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為________．例題4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0兩兩垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正切值為___________.題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是對(duì)角線BD1上的點(diǎn)，且BE∶ED1=1∶3，則AE與平面BCC1B1所成的角的正弦值是___________.2．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）在菱形ABCD中，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿BD折疊，使平面ABD⊥平面BCD，則AD與平面ABC所成角的正弦值為___________.3．（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若平面SKIPIF1<0軸，且SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值為___________.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所在平面垂直，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為___________.角度2：求直線與平面所成角(最值問題）典型例題例題1．（2022·福建南平·高一期末）如圖，正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角最大時(shí)，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·浙江·慈溪市三山高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）在三棱錐SKIPIF1<0中，所有棱的長(zhǎng)均為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，滿足SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.試確定動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，使線段SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大.例題4．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知，如圖四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)請(qǐng)確定SKIPIF1<0點(diǎn)的位置，使得直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角取最大值．題型歸類練1．（2022·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0是底面上圓SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．12．（2022·安徽·高二開學(xué)考試）已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在上底面SKIPIF1<0內(nèi)(不包含邊界)，若SKIPIF1<0，則AE與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值的最大值為_______4．（2022·江蘇淮安·高二期末）已知四棱錐SKIPIF1<0的底面為正方形，側(cè)面PAD為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0平面PAD；(2)設(shè)M為l上一點(diǎn)，求PC與平面MAD所成角正弦值的最小值．5．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，M為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0是正三角形，P為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的取值范圍．角度3：已知線面角求其他參數(shù)（探索性問題）典型例題例題1．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的一動(dòng)點(diǎn).(1)求證：當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0位于線段SKIPIF1<0的什么位置時(shí)，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，請(qǐng)說明理由.例題2．（2022·江蘇·泰興市第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，已知三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)棱與底面垂直，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0時(shí)，求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng).例題3．（2022·江蘇蘇州·高一期末）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與底而所成的角為SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0：(2)在線段SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0？若存在，求出有SKIPIF1<0的值：若不存在，說明理由.題型歸類練1．（2022·陜西省安康中學(xué)高二期末（理））已知梯形SKIPIF1<0如圖甲所示，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為1的正方形，沿SKIPIF1<0將四邊形SKIPIF1<0折起，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到如圖乙所示的幾何體．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)度.2．（2022·浙江·湖州市菱湖中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱柱SKIPIF1<0所有的棱長(zhǎng)為2，SKIPIF1<0，M是棱BC的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：SKIPIF1<0平面ABC;（Ⅱ）在線段B1C是否存在一點(diǎn)P，使直線BP與平面A1BC所成角的正弦值為SKIPIF1<0?若存在，求出CP的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.3．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高一期末）如圖所示的幾何體中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面SKIPIF1<0，F(xiàn)為PA的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點(diǎn)N.(1)求證：SKIPIF1<0平面DEF；(2)在線段EF上是否存在一點(diǎn)Q，使得BQ與平面BCP所成角的大小為SKIPIF1<0？若存在，求出FQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.4．（2022·廣東廣州·高二期末）如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面為矩形，SKIPIF1<0底面ABCD．過AD的平面SKIPIF1<0分別與線段SKIPIF1<0相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，試問是否存在平面SKIPIF1<0，使得直線PB與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0？若存在，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．（2022·江蘇泰州·高二期末）如圖，在正四棱錐P－ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求二面角SKIPIF1<0的大?。?2)在線段AD上是否存在一點(diǎn)Q，使得PQ與平面APB所成角的正弦值為SKIPIF1<0？若存在，指出點(diǎn)Q的位置；若不存在，說明理由．題型三：二面角角度1：求平面與平面所成角(定值問題）典型例題例題1．（2022·廣東·興寧市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若在正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)E是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則二面角SKIPIF1<0的平面角的正切值為（

）．A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書中將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，四面體SKIPIF1<0為鱉臑，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則二面角SKIPIF1<0的正弦值為______.題型歸類練1．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是矩形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·重慶長(zhǎng)壽·高二期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書中將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如下圖，四面體P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SKIPIF1<0，則二面角A-PC-B的余弦值為__________．3．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，AB＝2，AD＝1，SKIPIF1<0，點(diǎn)E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則二面角SKIPIF1<0的余弦值為______.角度2：求平面與平面所成角(定值探索性問題）典型例題例題1．（2022·河南·信陽高中高二期末（理））如圖1，在等邊SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)且滿足SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0.將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0的位置并使得平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得到圖2，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)當(dāng)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的值；(2)試探究：隨著SKIPIF1<0值的變化，二面角SKIPIF1<0的大小是否改變？如果改變，請(qǐng)說明理由；如果不改變，請(qǐng)求出二面角SKIPIF1<0的正弦值大?。}2．（2022·云南·彌勒市一中高二階段練習(xí)）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的點(diǎn)．(1)若SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若存在點(diǎn)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的點(diǎn)，使得直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．題型歸類練1．（2022·貴州黔西·高二期末（理））如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在平面SKIPIF1<0的上方.(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且平面CDE與平面ABE所成銳二面角的余弦值為SKIPIF1<0，求四棱錐SKIPIF1<0的體積.2．（2022·江蘇常州·高二期末）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形ABB1A1為正方形，四邊形AA1C1C為菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，點(diǎn)D為棱BB1的中點(diǎn)．(1)求證：AA1⊥CD；(2)棱B1C1（除兩端點(diǎn)外）上是否存在點(diǎn)M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值為SKIPIF1<0？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．（2022·福建·莆田一中高二期末）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)若點(diǎn)Q在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值．4．（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖1，在平面四邊形PDCB中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.將SKIPIF1<0沿BA翻折到SKIPIF1<0的位置，使得平面SKIPIF1<0平面ABCD，如圖2所示.(1)設(shè)平面SDC與平面SAB的交線為l，求證：BC⊥l；(2)點(diǎn)Q在線段SC上（點(diǎn)Q不與端點(diǎn)重合），平面QBD與平面BCD夾角的余弦值為SKIPIF1<0，求線段BQ的長(zhǎng).角度3：已知二面角求其他參數(shù)（最值探索性問題）典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）長(zhǎng)方體SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在長(zhǎng)方體的側(cè)面SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，SKIPIF1<0，則二面角SKIPIF1<0的平面角正切值的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期末（理））如圖，正三棱柱SKIPIF1<0的所有棱長(zhǎng)均為2，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0不包括端點(diǎn)SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng);(2)當(dāng)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0不包括端點(diǎn)SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的余弦值的最大值.題型歸類練1．（2022·重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等邊三角形，點(diǎn)A在平面SKIPIF1<0上的投影是線段BC的中點(diǎn)E，AB=AD=AC，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0BC=2BD，點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn)SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角最小.2．（2022·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0