江西省2020年高二數(shù)學上學期期中考試卷（八）

江西省2020年高二數(shù)學上學期期中考試卷（八）

（文科）

（考試時間120分鐘滿分150分）

一、單項選擇題（共12題，每題5分，共60分）

1.命題“存在x（）GR,2*040"的否定是（）

A.不存在x（）GR,2x0>0B.存在x（）GR,2xo>0

C.對任意的xeR,2x<0D.對任意的xeR,2x>0

2.橢圓的長軸為2,離心率為J,則其短半軸為（）

A.立B.aC.爽D.6

22

3.若x>0,y>0,則“x2+y2>「是"x+y>l”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.己知數(shù)據(jù)X],X2,X3，…，Xn是武漢市n（n>3,n6N*）個普通職工的2014年的年收入，設這n

個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x,平均數(shù)為y,方差為z,如果再加上比爾.蓋茨的2014年的年收入Xn+i（約80

億美元），則這n+1個數(shù)據(jù)中，下列說法正確的是（）

A.年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)一定變大，方差可能不變

B.年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差變大

C.年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差也不變

D.年收入平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變

5.經過拋物線y2=4x的焦點且垂直于直線3x-2y=0的直線1的方程是（）

A.3x-2y-3=0B.6x-4y-3=0C.2x+3y-2=0D.2x+3y-1=0

6.一個袋中裝有2個紅球和2個白球，現(xiàn)從袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，則取出的兩

個球同色的概率為（）

1112

A-2C-4D-5

7.如圖，中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點，M,N是雙曲線的兩頂點.若M,O,N將

橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是（）

8.如圖是11月6日下午高安二中紅歌會比賽中七位評委為某班級打出的分數(shù)的莖葉圖，去掉一個最

高分和一個最低分后所剩數(shù)據(jù)的平均分為85分，釁*的最小值為（

)

78

83a6b8

94

A.6B.7C.8D.9

9.某工廠生產某種產品的產量x（噸）與相應的生產能耗y（噸標準煤）有如表幾組樣本數(shù)據(jù)：

x3456

y2.5344.5

據(jù)相關性檢驗，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關關系，通過線性回歸分析，求得其回歸直線的斜率為07

則這組樣本數(shù)據(jù)的回歸直線方程是（）

A.v=0.7x4-0.35B.v=0.7x+1C.y=0.7x+2.05D.；=0.7x4-0.45

10.如圖，過拋物線x2=4y焦點的直線依次交拋物線與圓x2+（y-1）2=1于點A、B、C、D,則|AB岡CD|

的值是（）

11.程序框圖如圖，如果程序運行的結果為S=132,若要使輸出的結果為1320,則正確的修改方法是

A.在①處改為k=13,s=lB.在②處改為K<10

C.在③處改為S=Sx(K-1)D.在④處改為K=K-2

2v2

12.如圖，已知雙曲線C：鼻-二廠1(a>0,b>0)的右頂點為A,O為坐標原點，以A為圓心的

ab2

圓與雙曲線C的某漸近線交于兩點P、Q,若NPAQ=60。且加=3而，則雙曲線C的離心率為()

二、填空題(共4題，每題5分，共20分)

13.拋物線y=ax2的準線方程是y=2,則a的值為

14.直線y=x+3與曲線工!-江江=1交點的個數(shù)為

94

15.如圖，平行光線與水平地面成30。角，已知足球在地面上的影子是橢圓形，則該橢圓的離心率

16.高安二中高中年級早上7點早讀，假設該校學生小x與小y在早上6：30-6：50之間到校且每

人在該時間段的任何時間到校是等可能的，則小x比小y至少早5分鐘到校的概率為.

三、解答題（17題10分，18-22題每題12分，共70分）

17.已知命題p：對1],不等式a2-5a-恒成立；命題q：不等式x2+ax+2<0有

解.若p是真命題，q是假命題，求a的取值范圍.

18."世界睡眠日”定在每年的3月21日.2015年的世界睡眠日主題是“科學管理睡眠"，以提高公眾

對健康睡眠的自我管理能力和科學認識.為此某網站2015年3月13日到3月20日持續(xù)一周的在線

調查，共有200人參加調查，現(xiàn)將數(shù)據(jù)整理分組如題中表格所示.為了對數(shù)據(jù)進行分析，采用了計算

機輔助計算.分析中一部分計算見算法流程圖.

序號分組組中值頻數(shù)頻率

(i)睡眠時間(m,)（人數(shù)）（儲

1[4,5)4.580.04

2[5,6)5.5520.26

3[6,7)6.5m0.30

4[7,8)7.5560.28

5[8,9)8.520n

6[9,10]9.540.02

（1）求表格中m與n的值

（2）求輸出S的值

（3）S的統(tǒng)計意義是什么？

19.已知關于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax2-4bx+l.

（1）設集合P={1,2,3}和、={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b,

求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［1,+8）上是增函數(shù)的概率；

'x+y-8<0

（2）設點（a,b）是區(qū)域x〉0內的隨機點，求y=f（x）在區(qū)間［1,+-）上是增函數(shù)的概率.

卜y>0

20.在一個不透明的箱子里裝有5個完全相同的小球，球上分別標有數(shù)字1、2、3、4、5.甲先從箱

子中摸出一個小球，記下球上所標數(shù)字后，再將該小球放回箱子中搖勻后，乙從該箱子中摸出一個小

球.

（I）若甲、乙兩人誰摸出的球上標的數(shù)字大誰就獲勝（若數(shù)字相同為平局），求甲獲勝的概率；

（II）若規(guī)定：兩人摸到的球上所標數(shù)字之和小于6則甲獲勝，否則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？

22I-

21.已知橢圓二7=1（a>b>0）的右焦點為F,橢圓過（2,72）且離心率為乂2,

2,2v乙9

ab4

（1）求橢圓的標準方程;

（2）A為橢圓上異于橢圓左右頂點的任意一點，B與A關于原點O對稱，直線AF交橢圓于另外一

點C,直線BF交橢圓于另外一點D,

①求直線DA與直線DB的斜率之積

②判斷直線AD與直線BC的交點M是否在一條直線上？說明理由.

22.已知A,B是拋物線y2=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸交于點P.

（I）若直線AB經過拋物線y2=4x的焦點，求A,B兩點的縱坐標之積；

（II）若點P的坐標為（4,0）,弦AB的長度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在,

請說明理由.

參考答案

一、單項選擇題

1.解：根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，得；

命題"存在x°eR,2x()40”的否定是

"對任意的xGR,都有2X>0”.

故選：D.

2.解：由已知可得：a=l,￡金，

a2

.*.c=—.

2

.?.b2=a2-c2T

4

...b考，

故選：c.

3.解：若x2+y2>],因為x>0、y>0,所以(x+y)2=x2+y2+2xy>x?+y2>1,'x+y〉1成立，故充

分性成立，

可取x=y=1,使x+y>l成立，而x2+y2>l不能成立，故必要性不成立

綜上所述，x2+y2>1"是"x+y>1”充分不必要條件

故選：B

4.解：?.?數(shù)據(jù)X],X2,x3,Xn是武漢市普通職工n(n>3,n￡N*)個人的年收入,

而Xn+i為世界首富的年收入，則Xn+i會遠大于X],X2，X3,…，xn,

故這n+1個數(shù)據(jù)中，年收入平均數(shù)大大增大，但中位數(shù)可能不變，也可能稍微變大，

但由于數(shù)據(jù)的集中程序也受到Xn+i比較大的影響，而更加離散，則方差變大.

故選：B.

5.解：設垂直于直線3x-2y=0的直線1的方程為2x+3y+c=0,

由于直線1經過拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),

所以c=-2.

故選C.

6.解：現(xiàn)從袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，共有4種結果(紅，紅)(紅，白)(白，

紅)(白，白)

記"取出的兩個球同色”為事件A,則A包含的結果有(白，白)(紅，紅)2種結果

由古典概率的計算公式可得P(A)=]

故選：A

7.解：：M,N是雙曲線的兩頂點，M,O,N將橢圓長軸四等分

二橢圓的長軸長是雙曲線實軸長的2倍

???雙曲線與橢圓有公共焦點，

雙曲線與橢圓的離心率的比值是2

故選B.

8.解：?.?由題意知，選手的分數(shù)去掉一個最高分和一個最低分有有83,80+a,86,80+b,88,87,

...選手的平均分是J(83+80+a+86+80+b+88)=85,

5

:.a+b=8,

[(a+b)(痔)=1(40+陶>1(40+2,為卜33=%

故選：D.

9.解：設回歸直線方程；=0.7x+a,由樣本數(shù)據(jù)可得，彳=4.5,y=3.5.

因為回歸直線經過點0,y),所以3.5=0.7x4.5+a,解得a=0.35.

故選A.

10.解：方法一：特殊化，拋物線x2=4y的焦點是F(0,1),

取過焦點的直線y=l,依次交拋物線與圓x2+(y-1)2=1的點是

A(-2,1)、B(-1,1)、C(1,1)、D(2,1),

.e.|AB|x|CD|=lxl=l；

法二：??,拋物線焦點為F(0,1),

設直線為y=kx+l,

直線與x2=4y聯(lián)立得：

y2-(4k2+2)y+l=O；

V|AB|=|AF|-l=yA)

|CD|=|DF|-l=yB；

.?.|AB|.|CD|=yAyB=L

故選：D.

11.解：由題設條件可以看出，此程序是一個求幾個數(shù)的連乘積的問題,

第一次乘入的數(shù)是12,以后所乘的數(shù)依次減少1,

由于1320=10x11x12,

故判斷框中應填ks9,或者k<10

故：B.

12.解：因為NPAQ=60。且了=3而，

所以4QAP為等邊三角形，

設AQ=2R,則OP=R,

bI-ab|

漸近線方程為ylx,A(a,0),取PQ的中點M,則AM=R-；

aVa'+b”

、I-ab|.

由勾股定理可得(2R)2-R2=(J2匕2)2，

所以(ab)2=3R2(a2+b2)①

在△OQA中，(殂)2+(2R)2一屋二，所以7R2=a2②

2-3R-2R2

①②結合c2=a2+b2,可得e-

a2

故選：B.

二、填空題

13.解：拋物線y=ax2的標準方程是x2」y,

則其準線方程為y=-*2,

所以a=-￡.

故答案為：

O

22

14.解：當行0時一，曲線方程為g-fl,圖形為雙曲線在y軸的右半部分;

22

當x<0時，曲線方程為卷+三_=1，圖形為橢圓在y軸的左半部分；如圖所示,

由圖可知，直線y=x+3與曲線工!-以讓=1交點的個數(shù)為3.

94

故答案為3.

15.解：已知桌面上有一個球，半徑為R,一束平行光線與桌面成8(0/y)角,

則球在桌面上的投影橢圓的離心率e=cos0.

如圖，h和12是兩條與球相切的光線，分別切于點A和點C,分別與桌面交于點B和點D,則AC就

是球的直徑，BD的長就是橢圓的長軸長.過點A作AE〃BD,交%于點E,則BD=AE.在RtaAEC

中，因為NAEC=8,所以AE-PR,即..R,

又因為b=R,所以c：

VsintJsinD

所以e=cos9=cos30°=^-^.

2

故答案為：嗎

2

16.解：設小x到校的時間為x,小y到校的時間為y.

(x,y)可以看成平面中的點試驗的全部結果所構成的區(qū)域為Q={(X,y|0<x<20,04y<20}是一個矩

形區(qū)域，對應的面積S=20x20=400,

則小x比小y至少早5分鐘到校事件A={x|y-X25}作出符合題意的圖象,

則符合題意的區(qū)域為^ADE,聯(lián)立MS得產產

即D(15,20),

[y=201y=20

y一x=5(x=0

聯(lián)立1得,即E(0,5),

.x=0{y=5

則S△ADE=~1X[5X]5=2；§

225

幾何概率模型可知小張比小王至少早5分鐘到校的概率為=2—.

?'一

故答案為：

三、解答題

17.解：Vm￡[-1,1],

3],

,對m￡[-1,1],不等式a2-5a-32｛屋+8怛成立，可得a?-5a-323,

...a>6或aW-1.

故命題p為真命題時，a>6或aV-1.

又命題q：不等式x2+ax+2<0有解，

/.A=a2-8>0,

；.a>2加或a<-272-

從而命題q為假命題時，-2j%a42&,

二命題p為真命題，q為假命題時，a的取值范圍為-2后aS-1.

18.解：(1)m=200x0.30=60,n=4^7=0.1

(2)首先要理解直到型循環(huán)結構圖的含義，輸入m|,力的值后，

由賦值語句：S=S+mi?fi可知，流程圖進入一個求和狀態(tài).

令藥m疇(i=l,2,....6),數(shù)列出｝的前i項和為T”

即：T6=4.5x0.04+5.5x0.26+6.5x0.30+7.5x0.28+8.5x0.10+9.5x0.02=6.70,則輸出的S為6.70.

(3)S的統(tǒng)計意義是參加調查者的平均睡眠時間或參加調查者的睡眠時間的期望值.

19.解：(1)由題意知本題是一個等可能事件的概率，

???試驗發(fā)生包含的事件是3x5=15,

函數(shù)f(x)=ax2-4bx+l的圖象的對稱軸為

a

要使f(x)=ax2-4bx+l在區(qū)間［1,+8)上為增函數(shù)，

當且僅當a>0且辿<1，即2b4a

a

若a=l則b=-1,若a=2貝ijb=-1,1；若a=3則b=-1,1；

???事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5

...所求事件的概率為《

lbJ

(2)由(I)知當且僅當2bva且a>0時，

函數(shù)f(x)=ax2-4bx+l在區(qū)是間［1,+8)上為增函數(shù),

a+b-8<0

依條件可知試驗的全部結果所構成的區(qū)域為｛(a,b)|a>0]

b>0

構成所求事件的區(qū)域為三角形部分

a+b-8=0

由a得交點坐標為(芋，T)，

933

20.解：用(x,y)(x表示甲摸到的數(shù)字，y表示乙摸到的數(shù)字)表示甲、乙各摸一球構成的基本

事件，則基本事件有：(1,1),(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,1)、(2,2)、

(2,3)、(2,4)、(2、5)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3、5)、(4,1)、

(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,5)

共25個；

(1).則事件A包含的基本事件有：(2,1)、(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)、(4,3)、

(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、共有10個；

則P(A)=笑=4)

255

(2).設：甲獲勝的事件為B,乙獲勝的事件為C.事件B所包含的基本事件有：事件B所包含的

基本事件有：(1,1),(1,2)、(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2.3),(3,1),

(3,2),(4,1)共有10個；

則p(B)-%2

255

所以P(C)=1-P(B)=1

因為P(B)wP(C),所以這樣規(guī)定不公平.

21.(1):?離心率為迤，...￡=^，a2=2b2…

2a2

將A(2,&)代入橢圓方程得告角=1

解得@2=8,b2=4

故所求橢圓的標準方程為(+*=1

(2)①設A(xi，yp,D(X2，y2)?

,y2*yiyo+yi

貝-yi)'kDA-kDB=,'77^-=—~2

x2X1x2x1X2x1

?:A,D都在橢圓上，二x；+2y；=8，x介2。=8

.亞-y源-統(tǒng)一(4-甘)=[(x：T)??,kDA?kDB=-,

②M在定直線x=4上....

y1xi+2

VkDB=kBF=7^+2，kDA=~

xi+2