考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷2（共209題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷2（共9套）（共209題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)=則f(x)在x=0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)D、連續(xù)可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(0-0)=f(0)=f(0+0)=0．所以f(x)在x=0處連續(xù)．又因?yàn)椴淮嬖?，所以f(x)在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)．選(B)．2、當(dāng)x＞0時(shí)，f(lnx)=則∫-22xf’(x)dx，為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由f(lnx)=則∫-22xf’(x)dx=∫-22xdf(x)=xf(x)∫-22一∫-22f(x)dx=選(C)．3、設(shè)f(x)=∫0xdt∫0ttln(1+u2)du，g(x)=(1一cost)dt，則當(dāng)x→0時(shí)，f(x)是g(x)的()．A、等價(jià)無(wú)窮小B、低階無(wú)窮小C、高階無(wú)窮小D、同階但非等價(jià)的無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：則f(x)是g(x)的低階無(wú)窮小，選(B)．4、設(shè)f(x，y)=則f(x，y)在(0，0)處()．A、連續(xù)但不可偏導(dǎo)B、可偏導(dǎo)但不連續(xù)C、連續(xù)、可偏導(dǎo)但不可微D、可微標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?≤|f(x，y)一0|=所以=0=f(0，0)，故f(x，y)在(0，0)處連續(xù)．，所以fx’(0，0)=0，同理fy’(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)．所以f(x．y)在(0，0)處不可微，選(C)．5、設(shè)A為m×n矩陣，以下命題正確的是()．A、若AX=0只有零解，則AX=b只有唯一解B、若AX=0有非零解，則AX=b有無(wú)數(shù)個(gè)解C、若r(A)=n則AX=b有唯一解D、若r(A)=m，則AX=b一定有解標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)r(A)=m時(shí)，則r(A)==m,于是若r(A)=m，則AX=b一定有解，選(D)．6、設(shè)A為三階矩陣，其特征值為λ1=λ2=1，λ3=2，其對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為α1，α2，α3，令P=(α1一α2，2α1+α2，4α3)，則P-1AP=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?，α2為λ1=λ2=1對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，所以α1一α2，2α1+α2仍為λ1=λ2=1對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，又4α3顯然是λ3=2對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，故P-1AP=．應(yīng)選(B)．7、設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ．σ2)，其分布函數(shù)為F(x)，又Y=F(X)，則P{Y≤}等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄～N(μ，σ2)，所以F(x)=于是Y=F(X)=8、設(shè)X1，X2．…．X16為正態(tài)總體X～N(μ，4)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，設(shè)H0：μ=0，H1：μ≠0的拒絕域?yàn)椋瑒t犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為()．A、2φ(1)-1B、2—2φ(1)C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?=4已知，所以取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率選(B)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、曲線(xiàn)在t=0對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線(xiàn)方程為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)t=0時(shí)，x=3，y=1，10、差分方程yx+1一3yx=2.3x的通解為_(kāi)____．標(biāo)準(zhǔn)答案：y(x)=A3x+2x3x-1知識(shí)點(diǎn)解析：齊次差分方程yx-1一3yx=0的通解為y=A3x，設(shè)差分方程yx+1一3yx=2．3x的特解為y0(x)=Cx3x，將y0(x)=Cx3x代入方程yx+1一3yx=2．3x得，故原差分方程的通解為y(x)=A3x+2x3x-1．11、設(shè)f有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則=______標(biāo)準(zhǔn)答案：2xf+2x3y(f1’+)知識(shí)點(diǎn)解析：=2xy(x2y，)，12、微分方程y"一3y’+2y=2ex滿(mǎn)足的特解為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=一3ex+3e2x-2xex．知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為λ2一3λ+2=0，特征值為λ1=1，λ2=2，y"一3y’+2y=0的通解為y=C1ex+C2e2x．令原方程的特解為y0(x)=Axex，代入原方程為A=-2，原方程的通解為y=C1ex+C2e2x一2xex由得y(0)=0，y’(0)=1，代入通解得C1=一3．C2=3，特解為y=一3ex+3e2x一2xex．13、已知三階方陣A，B滿(mǎn)足關(guān)系式E+B=AB，A的三個(gè)特征值分別為3，一3，0，則|B-1+2E|=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：一8知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳的特征值為3．一3．0．所以A_-E的特征值為2，一4，一1，從而A—E可逆，由E+B=AB得(A—E)B=E，即B與A-E互為逆陣，則B的特征值為，B-1的特征值為2，一4，一1，從而B(niǎo)-1+2E的特征值為4，一2，1，于是|B-1+2E|=一8．14、設(shè)X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中E(X)=μ，D(X)=σ2，令U=則ρUV=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、計(jì)算二重積分|x2+y2一1|dσ，其中D={(x，y)|0≤x，y≤1}。標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)|x2+y2≤1,x≥0，y≥0}，D2=D＼D1，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)可導(dǎo)，f(1)=0，∫01xf’(x)dx=2，證明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．標(biāo)準(zhǔn)答案：由分部積分，得∫01xf’(x)dx=xf(x)|01-∫01f(x)dx=∫01f(x)dx=2，于是∫01f(x)dx=一2．由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)-f(1)=f’(η)(x一1)，其中η∈(x，1)，f(x)=f’(η)(x一1)兩邊對(duì)x從0到1積分，得∫01f(x)dx=∫01f’(η)(x一1)dx=一2．因?yàn)閒’(x)在[0，1]上連續(xù)，所以f’(x)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，由M(x一1)≤f’(η)(x-1)≤m(x—1)兩邊對(duì)x從0到1積分，得即m≤4≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需投入兩種生產(chǎn)要素，x，y分別為兩種生產(chǎn)要素的投入量，Q為產(chǎn)品的產(chǎn)量，設(shè)生產(chǎn)函數(shù)Q=2xαyβ，其中α＞0，β＞0且α+β=1．設(shè)兩種生產(chǎn)要素的價(jià)格分別為p1及p2，問(wèn)當(dāng)產(chǎn)量為12時(shí)，兩種生產(chǎn)要素投入多少可使投入總費(fèi)用最少?標(biāo)準(zhǔn)答案：投入費(fèi)用函數(shù)為C=p1x+p2y，令F(x，y，λ)=p1x+p2y+λ(2xαyβ一12)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域及和函數(shù)，并求標(biāo)準(zhǔn)答案：得收斂半徑為R=1．當(dāng)|x|＜1時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)|x|＞1時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)x=±1時(shí)，因?yàn)闉槭諗康慕诲e(cuò)級(jí)數(shù)，故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇一1，1]．因?yàn)镾1(0)=0，所以S1(x)=S1(x)一S1(0)=∫0xS1’(x)dx=arctanx，故S(x)=xarctanx(-1≤x≤1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、當(dāng)隕石穿過(guò)大氣層向地面高速墜落時(shí)，隕石表面與空氣摩擦產(chǎn)生的高溫使隕石燃燒并不斷揮發(fā)，實(shí)驗(yàn)證明，隕石揮發(fā)的速率(即體積減少的速率)與隕石表面積成正比，現(xiàn)有一隕石是質(zhì)量均勻的球體，且在墜落過(guò)程中始終保持球狀，若它在進(jìn)入大氣層開(kāi)始燃燒的前3s內(nèi)，減少了體積的，問(wèn)此隕石完全燃盡需要多少時(shí)間?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)隕石體積為V，表面積為S，半徑為r，它們都是時(shí)間t的函數(shù)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)，問(wèn)a，b，c為何值時(shí)，矩陣方程AX=B有解?有解時(shí)求出全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令X=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，矩陣方程化為A(ξ1，ξ2，ξ3)=(β1，β2，β3),當(dāng)a=1，b=2，c=一2時(shí)，矩陣方程有解，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=XTAX經(jīng)過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f=2y12一y22一y32，又A*α=α，其中α=(1，1，一1)T．(Ⅰ)求矩陣A；(Ⅱ)求正交矩陣Q，使得經(jīng)過(guò)正交變換X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化為標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)顯然A的特征值為λ1=2，λ2=一1，λ3=一1，|A|=2，伴隨矩陣A*的特征值為μ1=1，μ2=一2，μ3=一2．由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，一1)T是矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值λ1=2的特征向量令ξ=(x1，x2，x3)T為矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值λ2=一1，λ3=一1的特征向量，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以αTξ=0，即x1+x2一x3=0，于是λ2=一1，λ3=一1對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為(Ⅰ)求常數(shù)k；(Ⅱ)求X的邊緣密度；(Ⅲ)求當(dāng)X=x下Y的條件密度函數(shù)fY|X(y|x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xm+n(m＜n)獨(dú)立同分布，其方差為σ2，令求：(Ⅰ)D(Y)，D(Z)；(Ⅱ)ρYZ．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)閄1，X2，…，Xm+n相互獨(dú)立，(Ⅱ)Cov(Y，Z)=CovF(X1+…+Xm)+(Xm+1+…+Xn)，Xm+1+…+Xm+n]=Cov(X1+…+XmXm+1+…+Xm+n)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xm+1+…+Xm+n)=D(Xm+1+…+Xn)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xn+1+…+Xm+n)=(n一m)σ2，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f（x）是（一∞，+∞）上連續(xù)的偶函數(shù)，且|f（x）|≤M當(dāng)x∈（一∞，+∞）時(shí)成立，則F（x）=∫0xte一t2f（t）dt是（一∞，+∞）上的A、無(wú)界偶函數(shù)．B、有界偶函數(shù)．C、無(wú)界奇函數(shù)．D、有界奇函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：首先討論F(x)的奇偶性．注意有可見(jiàn)F(x)是(一∞，+∞)上的偶函數(shù)．這樣就可排除(C)與(D)．其次討論F(x)的有界性．因F(x)是(一∞，+∞)上的偶函數(shù)，所以可限于討論x≥0時(shí)F(x)的有界性．由于由此可知，F(xiàn)(x)也是(一∞，+∞)上的有界函數(shù)．故應(yīng)選(B)．2、設(shè)有函數(shù)f1（x）=|lnx|，f1（x）=lnx+x（x一1），f3（x）=x2一3x2+x+1，f4（x）=|x一1+lnx|，則以（1，0）為曲線(xiàn)拐點(diǎn)的函數(shù)有A、1個(gè)．B、2個(gè)．C、3個(gè)．D、4個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：首先f(wàn)i(1)=0，i=1，2，3，4，說(shuō)明點(diǎn)(1，0)都在曲線(xiàn)上．由|lnx|的圖形容易判斷(1，0)是f1(x)的拐點(diǎn)令f2"(x)=0，x=1(x=一1不在定義域內(nèi))，由于f2"(x)在x=1的左、右異號(hào)，故(1，0)是f2(x)的拐點(diǎn)．f3’(x)=3x2—6x+1，f3"(x)=6(x一1)，f3"(1)=0，又f3"(x)在x=1左右異號(hào)，故(1，0)是f3(x)的拐點(diǎn)．對(duì)f(x)求導(dǎo)比較麻煩，我們可以由g(x)=x一1+lnx來(lái)討論．故g’(x)=+1＞0(x＞0)可知g(x)↑，有g(shù)"(x)=＜0，故g(x)的圖形上凸，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)g(x)＜0，當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)g(x)＞0，所以f4(x)=|g(x)|的圖形以(1，0)為拐點(diǎn)．綜上所述，應(yīng)選(D)．3、設(shè)m與n是正整數(shù)，則∫01xm（lnx）ndx=A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：用分部積分法計(jì)算．這里積分下限0是瑕點(diǎn)，從而在積分下限處都理解為求極限。繼續(xù)進(jìn)行分部積分可得故應(yīng)選(B)．4、設(shè)=x2一xy+y2，則fx’（1，1）=A、1．B、0．C、一1．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：先求出f(x，y)的表達(dá)式，為此令u=x+y，υ=從而解得代入題設(shè)中5、設(shè)A是m×n矩陣，且方程組Ax=β有解，則A、當(dāng)AX=β有唯一解時(shí)必有m=n．B、當(dāng)AX=β有唯一解時(shí)必有r(A)=n．C、當(dāng)AX=β有無(wú)窮多解必有m＜n．D、當(dāng)AX=β有無(wú)窮多解必有r(A)＜m．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：方程組有唯一解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩和增廣矩陣(A|β)的秩相等并且等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)n(也就是A的列數(shù)．)．顯然(B)正確．(A)不對(duì)，因?yàn)槲ㄒ唤庵荒芡瞥鰉≥n，不必m=n．(C)不對(duì)，在方程組有解時(shí)，m＜n是有無(wú)窮多解的充分條件，不是必要條件．(D)不對(duì)，在方程組有解時(shí)，有無(wú)窮多解的充分必要條件是r(A)＜n．6、則下列矩陣中與A合同但不相似的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：首先可排除(A)，因?yàn)閞(A)=2，而(A)矩陣的秩為1，所以它與A不合同．兩個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣合同的充分必要條件是它們的特征值的正負(fù)性一樣．(即正，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)相等．)而相似的充分必要條件是它們的特征值相同．因此應(yīng)該從計(jì)算特征值下手．求出|λE—A|=λ(λ+3)(λ一3)，A的特征值為0，一3，3．顯然(C)中矩陣的特征值也是0，一3，3，因此它和A相似，可排除．剩下(B)(D)兩個(gè)矩陣中，只要看一個(gè)．(D)中矩陣的特征值容易求出，為0，一1，1，因此它和A合同而不相似．(也可計(jì)算出(B)中矩陣的特征值為0，1，4，因此它和A不合同．)7、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)關(guān)于x=μ對(duì)稱(chēng)，F(xiàn)（x）為其分布函數(shù)，則有A、F(μ+x)=F(μ一x)．B、F(μ+x)+F(μ一x)＞1．C、0＜F(μ+x)+F(μ一x)＜1．D、F(μ+x)+F(μ一x)=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系及密度函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，作積分變量替換可導(dǎo)出所需要的結(jié)論．F(μ+x)=∫一∞μ+xf(t)dt∫一∞xf(μ+u)duF(μ一x)=∫一∞μ一xf(t)dt∫+∞xf(μ一u)du=∫0xf(μ一u)du又f(μ一u)=f(μ+u)，u∈(一∞，+∞)所以F(μ+z)+F(μ一x)=∫一∞xf(μ+u)du+∫x+∞f(μ—u)du=∫一∞+∞f(μ+μ)du=∫一∞+∞f(x)dx=1．故選(D)8、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則下列服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于可知X～N(一3，2)，而(A)，(B)，(C)三個(gè)選項(xiàng)都不符合，只有(D)符合，可以驗(yàn)證二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)f（x）為連續(xù)函數(shù)，且f（0）=f（1）=1，F(xiàn)（x）=，則F’（1）=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2．知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)f(x)連續(xù)，α(x)，β(x)可導(dǎo)，則有一般的變限定積分的求導(dǎo)公式f(β(x)β’(x)一f(α(x))α’(x)于是F’(x)=f(lnx)F’(1)=2．11、已知y1=xex+e2x，y2=xex+e一x，y3=xex+e2x—e一x是某二階線(xiàn)性非齊次微分方程的三個(gè)解，則此微分方程為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y"一y’一2y=(1—2x)ex．知識(shí)點(diǎn)解析：y1—y2=e2x一e一x，y2一y3=e一x都是相應(yīng)齊次方程的解．而(y1一y2)+(y1—y3)=e2x也是齊次方程的解，e2x與e一x是兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，而y2=xex+e一x是非齊次方程的解，從而y2一e一x=xex也是非齊次方程的解，由e一xe2x是齊次方程的解，可知特征根r1=一1，r2=2，特征方程為(r+1)(r一2)=0，即r2一r一2=0．設(shè)所求非齊次方程為y"一y’一2’，=f(x)．將非齊次解xex代入，得f(x)=(xex)"一(xex)’一2xex=(1—2x)ex故所求方程為y"一y’一2y=(1—2x)ex．12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：A是矩陣方程A4X=A5的解．求出A4=(A2)2=用初等變換法解此矩陣方程：13、一學(xué)徒工用同一臺(tái)機(jī)床連續(xù)獨(dú)立生產(chǎn)3個(gè)同種機(jī)器零件，且第i個(gè)零件是不合格品的概率pi=（i=1，2，3）．則三個(gè)零件中合格品零件的期望值為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：以Ai表示第i個(gè)零件合格，i=1，2，3，Ai相互獨(dú)立，于是有以X表示3個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)，則P{X=3}=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=P{X=2}=1一P{X=0}一P{X=1}一P{X=3}=EX=三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)14、求n及a的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：分子的極限不為零，當(dāng)n=2時(shí)，分母的極限不為零，所以當(dāng)n=2時(shí)，a=-2e2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)冪級(jí)數(shù)的系數(shù){an}滿(mǎn)足a0=2，nan=an一1+n一1，n=1，2，3，…．求此冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)S（x），其中x∈（一1，1）．標(biāo)準(zhǔn)答案：求解本題的關(guān)鍵是確定冪級(jí)數(shù)的系數(shù)an(n=0，1，2，…)．為此在系數(shù)的遞推公式nan=an一1+n一1中依次令n=1，2，3即得a1=a0=2，由此可猜想對(duì)n=2，3，4，…都成立．用數(shù)學(xué)歸納法只需證明若成立，則an+1=也成立即可．事實(shí)上，由(n+1)an+1=an+n可得即系數(shù){an}的遞推公式對(duì)任何n≥2成立．從而冪級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、計(jì)算二重積分其中D是由x2+y2=1的上半圓與x2+y2=2y的下半圓圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：因區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，為偶函數(shù)．對(duì)D1，D2引入極坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，試證：標(biāo)準(zhǔn)答案：引進(jìn)輔助函數(shù)，把證明常數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)不等式(可用單調(diào)性方法)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、已知四元齊次方程組的解都滿(mǎn)足方程式（Ⅱ）x1+x2+x3=0．①求a的值．②求方程組（Ⅰ）的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：①條件即(Ⅰ)和(Ⅱ)的聯(lián)立方程組和(Ⅰ)同解，也就是矩陣對(duì)B用初等行變換化階梯形矩陣，并注意過(guò)程中不能用第4行改變上面3行，以保證化得階梯形矩陣的上面3行是由A變來(lái)的．顯然a=0時(shí)r(A)=1，r(B)=2，因此a≠0．因?yàn)閍≠0，所以r(A)=3．要使得r(B)=3，a=1／2．得(Ⅰ)的通解：c(一1，一1，2，2)T，c任意．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、已知A是3階矩陣，α1，α2，α3是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的3維列向量組，滿(mǎn)足Aα1=一α1—3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3．①求A的特征值．②求A的特征向量．③求A*一6E的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：①記P=(α1，α2，α3)，因?yàn)棣?，α2，α3是線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以P是可逆矩陣．AP=(Aα1，Aα2，Aα3)=(一α1一3α2—3α3，4α1+4α2+α3，一2α1+3α3)得A的特征值為1，2，3．②思路：先求B的特征向量，用P乘之得到A的特征向量．(如果Bη=λη，則P一1APη=λη，即A(Pη)=λ(Pη)．)對(duì)于特征值1：B的屬于特征值1的特征向量(即(B一E)x=0的非零解)為c(1，1，1)T，c≠0．則A的屬于特征值1的特征向量為c(α1+α2+α3)T，c≠0．對(duì)于特征值2：B的屬于特征值2的特征向量(即(B一2E)x=0的非零解)為c(2，3，3)T，c≠0．則A的屬于特征值2的特征向量為c(2α1+3α2+3α3)T，c≠0．對(duì)于特征值3：B的屬于特征值3的特征向量(即(B一3E)x=0的非零解)為c(1，3，4)T，c≠0．則A的屬于特征值3的特征向量為c(α1+3α2+4α3)T，c≠0．③由A的特征值為1，2，3，|A|=6．于是A*的特征值為6，3，2，A*一6E的特征值為0，一3，一4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)離散型二維隨機(jī)變量（X，Y）的取值為（xi，yj）（i，j=1，2），且P{X=x2}=，P{Y=y1|X=x2}=，P{X=x1|Y=y1}=，試求：（Ⅰ）二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率分布；（Ⅱ）條件概率P{Y=yj|X=x1}，j=1，2．標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意，隨機(jī)變量X與Y的可能取值分別為x1，x2與y1，y2，且P{X=x1}=1一P{X=x2}=又題設(shè)P{X=x1|Y=y1}=于是有P{x=x1|Y=y1}=P{x=x1}，即事件{X=x1}與事件{Y=y1}相互獨(dú)立，因而{X=x1}的對(duì)立事件{X=x2}與{Y=y1}獨(dú)立，且{X=x1}與{Y=y1}的對(duì)立事件{Y=y2}獨(dú)立；{X=x2}與{Y=y2}獨(dú)立，即X與Y相互獨(dú)立．(Ⅰ)因X與Y獨(dú)立，所以有P{Y=y1}=P|Y=y1|X=x2}=P{Y=y2}=1一P{Y=y1}=P{X=x1，Y=y1}=P{X=x1}P{Y=y1=P{X=x1，Y=y2}=P{X=x1}P{Y=y2}=P{X=x2，Y=y1}=P{X=x2}P{Y=y1}=P{X=x2，Y=y2}=P{X=x2}P{Y=y2}=或P{X=x2，Y=y2}=于是(X，Y)的聯(lián)合概率分布為(Ⅱ)因X與Y獨(dú)立，所以P{Y=yj|X=x1}=P{y=yj}，j=1，2，于是有P{Y=y1|X=x1}=P{y=y1}=P{Y=y2|X=x1}=P{Y=y2}=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)在某一時(shí)間段內(nèi)進(jìn)入某大型超市的顧客人數(shù)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且每一顧客購(gòu)買(mǎi)A類(lèi)商品的概率為p．假定各顧客是否購(gòu)買(mǎi)A類(lèi)商品是相互獨(dú)立的，求進(jìn)入該超市的顧客購(gòu)買(mǎi)A類(lèi)商品的人數(shù)Y的概率分布及Y的期望層EY．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知，P{X=m}=，m=0，1，2，…；A＞0．購(gòu)買(mǎi)A類(lèi)商品的人數(shù)Y，在進(jìn)入超市的人數(shù)X=m的條件下服從二項(xiàng)分布B(m，p)，即P{Y=k|X=m}=cmkpkqm一k，k=0，1，2，…，m；q=1一P．由全概率公式有又因?yàn)楫?dāng)m＜k時(shí)，P{Y=k|X=m}=0，所以由此可知，Y服從參數(shù)為λp的泊松分布，故EY=λp．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)=在x=0處連續(xù)，則f(x)在x=0處()．A、不可導(dǎo)B、f’(0)=ln23+1C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：2、f(x)=漸近線(xiàn)的條數(shù)為()．A、4B、3C、2D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：故曲線(xiàn)共有3條漸近線(xiàn)，選(B)．3、設(shè)f(x)連續(xù)，且滿(mǎn)足f(x)+2∫0xf(t)dt=x2+，則關(guān)于f(x)的極值問(wèn)題有()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：等式兩邊求導(dǎo)，得f’(x)+2f(x)=2x，其通解為f(x)=Ce-2x+因?yàn)閒(0)=．所以C=1，從而f(x)=e-2x+令f’(x)=一2e-2x+1=0，得唯一駐點(diǎn)為x=因?yàn)閒"(x)=4e-2x＞0，故x=是極小值點(diǎn)，極小值為4、設(shè)δ＞0，f(x)在(一δ，δ)內(nèi)恒有f"(x)＞0，且|f(x)|≤x2，記I=∫-δδf(x)dx，則有()．A、I=0B、I＞0C、I＜0D、不能確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閨f(x)|≤x2，所以f(0)=0，由|f(x)|≤x2，得，由夾逼定理得f’(0)=0．由泰勒公式得f(x)=f(0)+f’(0)x+其中ξ介于0與x之間，因?yàn)樵?一δ，δ)內(nèi)恒有f"(x)＞0，所以I=∫-δδf(x)dx=∫-δδf"(ξ)x2dx＞0，選(B)．5、已知四維列向量α1，α2，α3線(xiàn)性無(wú)關(guān)，若向量βi(i=1，2，3，4)是非零向量且與向量α1，α2，α3均正交，則向量組β1，β2，β3，β4的秩為()．A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)αi=(ai1,ai2,ai3,aijT(i=1，2，3)，由已知條件有βiTαj=0(i=1，2，3，4；j=1，2，3)．即βi(i=1，2，3，4)為方程組的非零解．由于α1，α2，α3線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以方程組系數(shù)矩陣的秩為3，所以其基礎(chǔ)解系含1個(gè)解向量，從而向量組β1，β2，β3，β4的秩為1，選(A)．6、設(shè)A是n階矩陣，下列結(jié)論正確的是()．A、設(shè)r(A)=r，則A有r個(gè)非零特征值，其余特征值皆為零B、設(shè)A為非零矩陣，則A一定有非零特征值C、設(shè)A為對(duì)稱(chēng)矩陣，A2=2A，r(A)=r，則A有r個(gè)特征值為2，其余全為零D、設(shè)A，B為對(duì)稱(chēng)矩陣，且A，B等價(jià)，則A，B特征值相同標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：取A=，顯然A的特征值為0，0，1，但r(A)=2，(A)不對(duì)；設(shè)顯然A為非零矩陣，但A的特征值都是零，(B)不對(duì)；兩個(gè)矩陣等價(jià)，則兩個(gè)矩陣的秩相等，但特征值不一定相同，(D)不對(duì)；應(yīng)選(C)．事實(shí)上，令A(yù)X=λX，由A2=2A得A的特征值為0或2，因?yàn)锳是對(duì)稱(chēng)矩陣，所以A一定可對(duì)角化，由r(A)=r得A的特征值中有r個(gè)2，其余全部為零．7、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)，且f(x)為偶函數(shù)，F(xiàn)(x)為X的分布函數(shù)，則對(duì)任意a，有()．A、F(-a)=1一∫0af(x)dxB、F(-a)=一∫0af(x)dxC、F(一a)=F(a)D、F(-a)=2F(a)一1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：F(一a)=P(x≤一a}=∫+∞af(x)dx=∫+∞af(一t)(一dt)=∫a+∞f(t)dt=1一∫-∞af(t)dt=1一∫-∞0f(t)dt-∫0af(t)dt=-∫0af(t)dt，選(B)8、設(shè)總體X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，(X1，X2，…，Xn)為總體的簡(jiǎn)單樣本，，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄1，X2，…，Xn與總體服從相同的分布。所以(A)不對(duì)；顯然，所以(B)不對(duì)；二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)f(x)=，則f(100)(0)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一100!知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)==(1一x)(1+x3+x6+…)=1一x+x3-x4+x6一x7+…+x99一x100+…，又f(x)=，即f(100)(0)=-100!．11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以12、y"一2y’一3y=e-x的通解為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為λ2-2λ-3=0，特征值為λ1=一1，λ2=3，則方程y"-2y’一3y=0的通解為y=C1e-x+C2e3x．令原方程的特解為y0(x)=Axe-x，代入原方程得A=，于是原方程的通解為y=C1e-x+C2e3x一13、設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，α1=(m,一m，1)T是方程組AX=0的解，α2=(m，1，1一m)T是方程組(A+E)X=0的解，則m=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由AX=0有非零解得r(A)＜3，從而λ=0為A的特征值，α1=(m，-m,1)T為其對(duì)應(yīng)的特征向量；由(A+E)X=0有非零解得r(A+E)＜3，|A+E|=0，λ=一1為A的另一個(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量為α2=(m，1，1-m)T，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，于是有m=1．14、設(shè)總體X～N(0，σ2)，X1，X2，X3，X4為總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，標(biāo)準(zhǔn)答案：t(3)知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，且f(0)=0，令g(x)=(Ⅰ)確定a的取值，使得g(x)為連續(xù)函數(shù)；(Ⅱ)求g’(x)并討論函數(shù)g’(x)的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，當(dāng)這兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為q1(噸)與q2(噸)時(shí),總收入函數(shù)為R(q1，q2)=15q1+34q2-q2-4q22一2q1q2-36(萬(wàn)元)，設(shè)生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品要支付排污費(fèi)1萬(wàn)元，生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品要支付排污費(fèi)2萬(wàn)元．(Ⅰ)如不限制排污費(fèi)支出，這兩種產(chǎn)品產(chǎn)量分別為多少時(shí)總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)多少?(Ⅱ)若排污費(fèi)總量為6萬(wàn)元時(shí)，這兩種產(chǎn)品產(chǎn)量各為多少時(shí)總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(q1，q2)=R((q1，q2)-q1一2q2=14q1+32q2…q12一4q22-2q1q2-36．令得q1=4，q2=3，因?yàn)轳v點(diǎn)唯一，且該實(shí)際問(wèn)題存在最大值，故當(dāng)q1=4，q2=3時(shí)L(q1，q2)達(dá)到最大，最大值為L(zhǎng)(4，3)=40(萬(wàn))．(Ⅱ)令F(q1，q2，λ)=L(q1，q2)+λ(q1+2q2—6)，令，得q1=2，q2=2，于是在q1+2q2=6下，當(dāng)q1=2，q2=2時(shí)，L(q1，q2)取到最大值，最大值為L(zhǎng)(2，2)=28(萬(wàn))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)1≤a＜b≤e，證明：函數(shù)f(x)=xln2x滿(mǎn)足不等式0＜f(a)+f(b)-＜(e一1)(b-a)標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(x)=f(x)+f(a)-顯然g(a)=0．g’(x)=f’(x)一由于f’(x)=ln2x+2lnx，f"(x)=(1+lnx)＞0(x＞a≥1)，從而x＞a≥1時(shí)，g’(x)＞0，即當(dāng)x＞a≥1時(shí)g(x)單調(diào)增加，再由g(a)=0，則有g(shù)(b)＞0，從而左端不等號(hào)得證．令h(x)=(e—1)(x一a)+2f一f(x)-f(a)，顯然h(a)=0．因此h(x)為單調(diào)增加的函數(shù)，從而有h(b)＞h(a)=0，即右端不等號(hào)得證．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x)為二階連續(xù)可導(dǎo)，且．證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)u=二階連續(xù)可導(dǎo)，又，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)A是n階矩陣，證明：(Ⅰ)r(A)=1的充分必要條件是存在n階非零列向量α，β，使得A=αβT；(Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0，證明A可相似對(duì)角化．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)若r(A)=1，則A為非零矩陣且A的任意兩行成比例，即于是，顯然α，β都不是零向量且A=αβT；反之，若A=αβT，其中α，β都是n維非零列向量，則r(A)=r(αβT)≤r(α)=1．又因?yàn)棣?β為非零列向量，所以A為非零矩陣，從而r(A)≥1，于是r(A)=1．(Ⅱ)因?yàn)閞(A)=1,所以存在非零列向量α，β，使得A=αβT，顯然tr(A)=(α，β)，因?yàn)閠r(A)≠0，所以(α，β)=k≠0．令A(yù)X=λX，因?yàn)锳2=kA，所以λ2X=kλX，或(λ2一kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩陣A的特征值為λ=0或λ=k．因?yàn)棣?+λ2+…+λn=tr(A)=k，所以λ1=k，λ2=λ3=…λn=0·由r(OE-A)=r(A)=1，得A一定可以對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)α1，α2，β1，β2為三維列向量組，且α1，α2與β1，β2都線(xiàn)性無(wú)關(guān)．(Ⅰ)證明：至少存在一個(gè)非零向量可同時(shí)由α1，α2和β1，β2線(xiàn)性表示；(Ⅱ)設(shè)，求出可由兩組向量同時(shí)表示的向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)棣?，α2，β1，β2線(xiàn)性相關(guān)，所以存在不全為零的常數(shù)k1，k2，l1，l2使得k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，或k1α1+k2α2=一l1β1—l2β2．令γ=k1α1+k2α2=一l1β1因?yàn)棣?，α2與β1，β2都線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以k，k2及l(fā)1，l2都不全為零，所以γ≠0．(Ⅱ)令k1α2+k2α2+l1β1+l2β2=0，則，所以γ=kα1—3kα2=一kβ1+0β2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為X作兩次獨(dú)立觀察，設(shè)兩次的觀察值為X1，X2，令(Ⅰ)求常數(shù)a及P{X1＜0，X2＞1}；(Ⅱ)求(Y1，Y2)的聯(lián)合分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由，因?yàn)閄1，X2相互獨(dú)立．所以P{X1＜0，X2＞1}=P{X1＜0}P{X2＞1}，注意到f(x)為偶函數(shù)，所以P{X1＜0}=于是(Ⅱ)(Y1，Y2)可能的取值為(0．0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)P{Y1=0，Y2=0}=P{X1＞1，X2＞1)=P{X1＞1}P{X2＞1}=P{Y1=0，Y2=1}=P{X1≤1，X2＞1}=P{X1≤1}P{X2＞1}P{Y1=1，Y2=1}=P{X1≤1，X2≤1}=P{X1≤1}P{X2≤1}=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)總體X的密度函數(shù)為其中θ＞0為未知參數(shù)，(X1，X2，…．Xn)為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求參數(shù)θ的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：E(X)=0，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)=則().A、f(x)在x=1連續(xù)，在x=一1間斷B、f(x)在x=1間斷，在x=一1連續(xù)C、f(x)在x=1，x=一1都連續(xù)D、f(x)在x=1，x=一1都間斷標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由(x+1)arctan=0，f(一1)=0，得f(x)在x=一1處連續(xù).由f(1－0)=(x+1)arctan=－π，f(1+0)=(x+1)arctan=π，得x=1為f(x)的跳躍間斷點(diǎn)，選(B)．2、設(shè)f(x)連續(xù)，且=2，則下列結(jié)論正確的是()．A、f(1)是f(x)的極大值B、f(1)是f(x)的極小值C、(1，f(1))不是曲線(xiàn)y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(1)不是f(x)的極值，但(1，f(1))是曲線(xiàn)y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?2，所以由極限的保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x一1｜＜δ時(shí)，有＞0，即當(dāng)x∈(1一δ，1)時(shí)，f’(x)<0；當(dāng)z∈(1，1+δ)時(shí)，f’(x)＞0．根據(jù)極值的定義，f(1)為f(x)的極小值，選(B)．3、設(shè)t＞0，則當(dāng)t→0時(shí)，f(t)=[1一cos(x2+y2)]dxdy是t的n階無(wú)窮小量，則n為()．A、2B、4C、6D、8標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：f(t)=[1－cos(x2+y2)]dxdy因?yàn)?，所以f(t)～，即n=6，選(C)．4、設(shè)φ1(x)，φ1(x)，φ3(x)是微分方程+P(x)y’+Q(x)y=f(x)的三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，則該方程的通解為()．A、C1φ1(x)+C1φ2(x)+C3φ3(x)B、C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2/sub>[φ1(x)一φ33(x)]+C3[φ2(x)一φ3(x)]+φ11(x)C、C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2φ2(x)+φ3(x)D、C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]+[φ1(x)+φ2(x)+φ3(x)]標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：顯然C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2[φ1(X)一φ3(X)]為+P(X)y’+Q(X)y=0的通解，且[φ1(X)+φ2(x)+φ3(x)]為+P(x)y’+Q(x)y=f(x)的特解，選(D)．5、設(shè)A，B及A*都是n(n≥3)階非零矩陣，且ATB=0，則r(B)等于()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳TB=O且B為非零矩陣，所以方程組ATX=0有非零解，從而r(AT)=r(A)T)=n一1．由ATB=0得r(AT)+r(B)≤n，于是r(B)≤1，又B為非零矩陣，所以r(B)≥1，于是r(B)=1，選(B)．6、設(shè)三階矩陣A的特征值為一2，0，2，則下列結(jié)論不正確的是()．A、r(A)=2B、tr(A)=0C、Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個(gè)解向量構(gòu)成D、一2和2對(duì)應(yīng)的特征向量正交標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳的特征值都是單值，所以A可相似對(duì)角化，從而r(A)=2，(A)是正確的；由tr(A)=一2+0+2=0得(B)是正確的；因?yàn)棣?0是單特征值，所以λ=0只有一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，即方程組(OE－A)X=0或AX=0的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量，(C)是正確的；一2與2對(duì)應(yīng)的特征向量一般情況下線(xiàn)性無(wú)關(guān)，只有A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)才正交，選(D)．7、設(shè)隨機(jī)變量X～，向量組a1，a2線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則Xa1－a2，－a1+Xa2線(xiàn)性相關(guān)的概率為()．A、B、C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：(Xa1－a2，－a1+Xa2)=(a1，a2)，因?yàn)閍1，a2線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以向量組Xa1一a2，－a1+Xa2線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是，即X=1，故向量組Xa1一a2，一a1+Xa2線(xiàn)性相關(guān)的概率為P{X=1}=，選(C)．8、設(shè)X，y為兩個(gè)隨機(jī)變量，其中E(X)=2，E(y)=－1，D(X)=9，D(Y)=16，且X，Y的相關(guān)系數(shù)為ρ=，由切比雪夫不等式得P{｜X+Y一1｜≤10}≥()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令Z=X+Y，則E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13,則P{｜X+Y一1｜≤10}=P{｜Z—E(z)｜≤10}≥1一=，選(B)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且x2+y2+z2=φ(x+y一t)dt，則z()_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-[f(x)－f(y)]－(x+y)知識(shí)點(diǎn)解析：x2+y2+z2=f(x+y—t)出兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得2x+2z=一f(x)，再將x2+y2+z2=f(x+y一t)dt兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得2y+2z=f(y)，兩式相加得z()=一[f(x)一f(y)]一(x+y)．11、設(shè)φ連續(xù)，且x2+y2+z2=(x+y－t)dt，則2z()________．標(biāo)準(zhǔn)答案：φ(y)－φ(x)－2(x+y)知識(shí)點(diǎn)解析：φ(x+y—t)dtφ(u)(一du)=φ(u)du，x2+y2+z2=φ(u)du兩邊對(duì)z求偏導(dǎo)得2x+2z=一φ(x)，解得=一；x2+y2+z2=φ(u)du兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得2y+2z=φ(y)，解得，則2z()=φ(y)一φ(x)－2(x+y)．12、冪級(jí)數(shù)(一1)n+1的和函數(shù)為_(kāi)___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln(1+)(x∈[一])知識(shí)點(diǎn)解析：由得級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=，當(dāng)x=±時(shí)，收斂，收斂域?yàn)閇一]令S(x)=，則S(x)=．13、設(shè)矩陣A=不可對(duì)角化，則a=_____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：0或4知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE一A｜==λ(λ一a)(λ一4)=0得λ1=0，λ2=a，λ3=4．因?yàn)锳不可對(duì)角化，所以A的特征值一定有重跟，從而a=0或a=4.當(dāng)a=0時(shí)，由r(0E－A)=r(A)=2得λ1=λ2=0只有一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，則A不可對(duì)角化，a=0和題意；當(dāng)a=4時(shí)，4E—A=，由r(4E－A)=2得λ2=4只有一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，故A不可對(duì)角化，a=4合題意．14、10件產(chǎn)品中有3件產(chǎn)品為次品，從中任取2件，已知所取的2件產(chǎn)品中至少有一件是次品，則另一件也為次品的概率為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令事件A={所取兩件產(chǎn)品中至少有一件次品}，B={兩件產(chǎn)品都是次品}，P(A)=1一p()=1一，P(B)=，則P(B｜A)=．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，｜(x)｜≤1(x∈[0，1])，f(0)=f(1)．證明：對(duì)任意的x∈[0，1]，有｜f’(x)｜≤．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)任意的x∈[0,1]，由勒公式得f(0)=f(x)一f’(x)x+，其中ξ1介于0與x之間；f(1)=f(x)+f’(x)(1一x)+(1～x)2，其中ξ2介于x與1之間．兩式相減得0=f’(x)+，于是由｜(x)｜≤1(x∈[0，1])，得｜f’(x)｜≤[(1一x)2+x2]，令φ(x)=(1－x)2+x2令φ’(x)=0，得x=，因?yàn)棣?0)=φ(1)=1，φ()=，所以φ(x)=(1－x)2+x2在[0，1]上的最大值為1，故｜f’(x)｜≤．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、某商品進(jìn)價(jià)為30元／件，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)銷(xiāo)售為80元／件時(shí)日銷(xiāo)售量為100件，日常調(diào)查表明，銷(xiāo)售每下降10％，可使日銷(xiāo)售量增加30％，該商家在一日內(nèi)以72元價(jià)格出售一批該商品后，決定再作一次性降價(jià)銷(xiāo)售其余商品，當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，商家才能獲得最大利潤(rùn)？標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)該商品的售價(jià)從p降到p2時(shí)，對(duì)應(yīng)的日常銷(xiāo)售量從q1上升為q2,由題意有即q2=q1+3q1(1－)，商家以72元／件的價(jià)格出售該商品的日銷(xiāo)售量為100+300(1－)=130.設(shè)該商品一次性降價(jià)處理的價(jià)格設(shè)為p元／件，則相應(yīng)的日常銷(xiāo)售量為q=130+390(1－=520－.利潤(rùn)為L(zhǎng)=pq－30q=(p一30)(96一p)，令L’=(63一p)=0，得p=63，即若一次性以63元／件出售其余商品時(shí)，商家獲得最大利潤(rùn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、計(jì)算二重積分dxdy其中D是由y=－a(a>0)及y=－x所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：令其中一≤θ≤0，0≤r≤一2asinθ，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)方程=0在變換下化為=0，求常數(shù)a．標(biāo)準(zhǔn)答案：代入整理得(1一)+(2一a)=0，從而故a=一2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)A從原點(diǎn)出發(fā)，以固定速度υ0沿y軸正向行駛，B從(x0，0)出發(fā)(x0＜0)，以始終指向點(diǎn)A的固定速度υ1朝A追去，求B的軌跡方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻B點(diǎn)的位置為M(x，y)，則，即=y－υ0t，(*)(**)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得，或，代入(**)，得，令k=，則令f’=p，由，得dx，兩邊積分，得p+，由y’(x0)=0，得c0=，從而.當(dāng)k≠1時(shí),y=，由y(x0)=0，得c1=，則B的軌跡方程為當(dāng)k=1時(shí)，B的軌跡方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、當(dāng)常數(shù)a取何值時(shí)，方程組無(wú)解、有無(wú)窮多個(gè)解?在有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求出其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：若a=1，則，原方程組的通解為X=k(－1，0,1)T+(2，－1,0)T(k為任意常數(shù)).若a≠1，則當(dāng)a=0時(shí)，方程組無(wú)解；當(dāng)a=一2時(shí)，，原方程組的通解為X=k(1，1,1)T+(2，2,0)(k為任意常數(shù)).知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)二次型f(x1，x1，x3)=—2x1x3+2ax2x3(a＜0)通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形．(Ⅰ)求常數(shù)a，b；(Ⅱ)求正交變換矩陣；(Ⅲ)當(dāng)｜X｜=1時(shí)，求二次型的最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令A(yù)則f(x1,x2,x3)=XTAX．因?yàn)槎涡徒?jīng)過(guò)正交變換化為，所以矩陣A得特征值為λ1=λ2=2，λ3=b.由特征值的質(zhì)得解得a=－1，b=－1.(Ⅱ)當(dāng)λ1=λ2=2時(shí)，由(2E—A)X=0，得ξ1=，ξ2=；當(dāng)λ3=一1時(shí)，由(－E－A)X=0，得ξ3=令β1=ξ1=，β2=ξ2－β1=，β3=ξ3=，單位化得γ1=，令Q=，則f(x1，x2，x3)(Ⅲ)因?yàn)镼為正交矩陣，所以｜X｜=1時(shí)，｜Y｜=1，當(dāng)｜Y｜=1時(shí)，二次型的最大值為2.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立同分布，其中P{X—i}=，i=1，2，3令U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．(Ⅰ)求(U，V)的聯(lián)合分布；(Ⅱ)求P{U=V)；(Ⅲ)判斷U，V是否相互獨(dú)立，若不相互獨(dú)立，計(jì)算U，V的相關(guān)系數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)U，V的可能取值為1,2,3，顯然P{U＜V)=0，P{U=1，V=1}=P{X=1}=P{X=1}P{Y=1}=，P{U=2,V=1}=P{X=2，Y=1}=P{X=1,Y=2}=2P{X=2}=P{Y=1}=P{U=2,V=2}=P{X=2，Y=2}=P{X=2,Y=2}=P{X=2}P{Y=2}=P{U=3,V=1}=P{X=3，Y=1}+P{X=1,Y=3}=2P{X=3}=P{Y=1}=P{U=3,V=2}=P{X=3，Y=2}+P{X=2,Y=3}=2P{X=3}=P{Y=2}=P{U=3,V=3}=P{X=3，Y=3}+P{X=3,Y=3}=P{X=3}=P{Y=3}=于是(U，V)的聯(lián)合分布率為(Ⅱ)P{U—V}=P{U=1，V=1)+P{U=2，V=2)+P{U=3，V=3)=．(Ⅲ)P{U=1)=1，P{V=3)=，P{U=1，V=3)=0，因?yàn)镻{U=1，V=3}≠P{U=1)P{V=3)，所以U，V不獨(dú)立．U，V的分布律為U～E(U)=，E(U2)=，D(U)=，E(V)=，E(V2)=D(V)=，E(UV)=+2×+2×2×+3×+3×2×+3×3×=4，Cov(U，V)=E(UV)一E(U)E(V)=，于是.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)總體X的分布律為P{X=K}=(1一p)k－1p(k=，2，…)，其中p是未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求參數(shù)p的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：E(X)=，令，得參數(shù)p的矩估計(jì)量為.L(p)=P{X=x1}…P{X=xn}=(1一p)，lnL(p)=(－n)ln(1一p)+nlnp．令，得參數(shù)p的極大似然估計(jì)量為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)圖形(a)，(b)，(c)如下：從定性上看，若函數(shù)f(x)在[0，1]內(nèi)可導(dǎo)，則y=f(x)，與y=f’(x)的圖形分別是A、(a)，(b)，(c)．B、(a)，(c)，(b)．C、(b)，(a)，(c)．D、(c)，(a)，(b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：以(a)或(b)或(c)為y=f(x)的圖形，從及f’(x)的幾何意義來(lái)看其它兩個(gè)圖形是否分別是和y=f’(x)的圖形．若(a)是y=f(x)的圖形，則f(x)在[0，1]單調(diào)上升且f(x)＞0(x∈[0，1])→f’(x)≥0，．但(C)中x軸下方有圖像，故(a)不是y=f(x)的圖形，于是(A)，(B)均不正確．若(b)是y=f(x)的圖形，則f(x)有唯一最大值點(diǎn)x0∈(0，1)，f(x)在[0，x0]單調(diào)上升，在[xi，1]單調(diào)下降，且f(x)＞0(x∈(0，1))，故且單調(diào)上升(x∈[0，1])，f’(x)≥0(x∈(0，x0))，f’(x0)=0，f’(x)≤0(x∈(x0，1))．因此(C)是正確的．若(C)是y=f(x)的圖形，則f(x)在[0，1]單調(diào)下降，于是f’(x)≤0．因此(D)不正確，故應(yīng)選(C)．2、設(shè)f(x)為恒大于零的可微函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有f’(x)sinx＜f(x)cosx則當(dāng)時(shí)，下列不等式恒成立的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)z=f[cos(x2+y2)一1，In(1+x2+y2)]，其中f有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則=A、4f2’(0，0)．B、f1’(0，0)+f2’(0，0)．C、0．D、不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：4、設(shè)f(x)在[a，b]上可導(dǎo)，f’(x)+[f(x)]2一=0，且，則在(a，b)內(nèi)必定A、恒為正．B、恒為負(fù)．C、恒為零．D、變號(hào)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)，B是2階矩陣，且滿(mǎn)足AB=B，k1，k2是任意常數(shù)，則B=A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由AB=B有(A—E)B=0，因而B(niǎo)的列向量是齊次方程組(A—E)x=0的解．又那么齊次方程組(A—E)x=0的基礎(chǔ)解系是(一1，1)T，所以應(yīng)選(D)．6、設(shè)矩陣A是秩為2的4階矩陣，又α1，α2，α3是線(xiàn)性方程組Ax=b的解，且α1+α2一α3=(2，0，一5，4)T，α2+2α3=(3，12，3，3)T，α3—2α1=(2，4，1，一2)T，則方程組Ax=b的通解x=A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于n—r(A)=4—2=2，故方程組Ax=b的通解形式應(yīng)為α+k1η1+k2η2．這樣可排除(C)，(D)．因?yàn)椋珹(α3—2α1)=一b，所以(A)中(1，4，1，1)T和(B)中(一2，一4，一1，2)T。都是方程組Ax=b的解．(A)和(B)中均有(2，2，一2，1)T，因此它必是Ax=0的解．只要檢驗(yàn)(1，一4，一6，3)T和(1，8，2，5)T。哪一個(gè)是Ax=0的解就可以了．由于3(α1+α2一α3)一(α2+2α3)=3(α1—α3)+2(α2一α3)是Ax=0的解，所以(3，一12，一18，9)T是Ax=0的解．那么(1，一4，一6，3)T是Ax=0的解．故應(yīng)選(A)．7、在考核中，若學(xué)員中靶兩次，則認(rèn)定合格而停止射擊，但限定每人最多只能射擊三次．設(shè)事件A=“考核合格”，B=“最多中靶一次”，C=“射擊三次”，已知學(xué)員中靶率為p(0＜p＜1)，則A、AB與C獨(dú)立．B、BC與A獨(dú)立．C、AC與B獨(dú)立．D、A，B，C相互獨(dú)立．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：依題意A與B為對(duì)立事件，因此，BC=B，而不可能事件與任何事件相互獨(dú)立，故應(yīng)選(A)．若進(jìn)一步分析，P(ABC)=0，而P(A)，P(B)，P(C)，P(AC)，P(BC)均不為0，因此(B)、(C)、(D)均不正確．8、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則下列服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)函數(shù)在x=1處連續(xù)，則A=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)y(x)是由x2+xy+y=tan(x-y)確定的隱函數(shù)，且y(0)=0，則y"(0)=____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x，y3=xex+e2x-e-x是某二階線(xiàn)性非齊次微分方程的三個(gè)解，則此微分方程為_(kāi)__________.標(biāo)準(zhǔn)答案：y"一y’一2y=(1—2x)ex．知識(shí)點(diǎn)解析：y1—y2=e2x—e-x，y1一y3=e-x都是相應(yīng)齊次方程的解．而(y1一y2)+(y1—y3)=e2x也是齊次方程的解，e2x與e-x是兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，而y2=xex+e-x是非齊次方程的解，從而)y2一e-x=xex也是非齊次方程的解，由e-x，e2x是齊次方程的解，可知特征根r1=一l，r2=2，特征方程為(r+1)(r一2)=0，即r2一r-2=0．設(shè)所求非齊次方程為y"一y’一2y=f(x)．將非齊次解xex代入，得f(x)=(xex)"一(zex)’一2xex=(1—2x)ex故所求方程為y"一y’一2y=(1—2x)ex．12、設(shè)函數(shù)，則f(10)(1)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一10！×210知識(shí)點(diǎn)解析：13、已知，A*是A的伴隨矩陣，則=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、擲一枚不均勻的硬幣，設(shè)正面出現(xiàn)的概率為P，反面出現(xiàn)的概率為q=1-p，隨機(jī)變量X為一直擲到正面和反面都出現(xiàn)為止所需要的次數(shù)，則X的概率分布為_(kāi)_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：P{X=k}=pq(pk-2+qk-2)．k=2，3，…．知識(shí)點(diǎn)解析：易知X的取值為2，3，…．而{X=k}表示前k一1次出現(xiàn)的是正面而第k次出現(xiàn)的是反面，或前k一1次出現(xiàn)的是反面，而第k次出現(xiàn)的是反面，于是有P{X=k}=pk-1q+qk-1p=pq(pk-2+qk-2)，k=2，3，…．三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)15、設(shè)b為常數(shù)．(I)求曲線(xiàn)L：的斜漸近線(xiàn)l的方程；(Ⅱ)設(shè)L與l從x=1延伸到x→+∞之間的圖形的面積A為有限值．求b及A的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、(Ⅰ)設(shè)；(Ⅱ)求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本C(Q)=一16Q2+100Q+1000，平均收益=a一(a＞0，0＜b＜24)，當(dāng)邊際收益MR=44,需求價(jià)格彈性時(shí)獲得最大利潤(rùn)，求獲得最大利潤(rùn)時(shí)產(chǎn)品的產(chǎn)量及常數(shù)a與b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：收益函數(shù)，當(dāng)取得最大利潤(rùn)時(shí)，邊際收益等于邊際成本，即MR=MC．又MR=R’=a一bQ，于是44=C’(Q)=2Q2—32Q+100，即Q2—16Q+28=0．解得Q1=14，Q1=2．當(dāng)Q=2時(shí)，得b=38，不滿(mǎn)足0＜b＜24的條件，故舍去．所以當(dāng)產(chǎn)量Q=14時(shí)，企業(yè)利潤(rùn)取極大值，也是最大值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)積分區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤x+y}，計(jì)算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，試證：標(biāo)準(zhǔn)答案：引進(jìn)輔助函數(shù)，把證明常數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)不等式(可用單調(diào)性方法)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知向量β=(a1，a2，a3，a4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，一1，一3)T，α4=(0，0，3，3)T線(xiàn)性表出．(I)求a1，2，a3，a4應(yīng)滿(mǎn)足的條件；(Ⅱ)求向量組α1，α2，α3，α4的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，并把其他向量用該極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表出；(Ⅲ)把向量β分別用α1，α2，α3，α4和它的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表出．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)β可由α1，α2，α3，α4線(xiàn)性表出，即方程組x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β有解．對(duì)增廣矩陣作初等行變換，有所以向量β可以由α1，α2，α3，α4線(xiàn)性表出的充分必要條件是：a1一a2+a3一a4=0．(Ⅱ)向量組α1，α2，α3，α4的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組是：α1，α2，α3，而α4=一6α1+6α2—3α3．⑦(Ⅲ)方程組①的通解是：x1=a1一a2+2a3—6t，x2=a2—2a3+6t，x3=a3—3t，x4=t，其中t為任意常數(shù)，所以β=(a1—a2+2a3—6t)α1+(a2—2a3+6t)α2+(a3—3t)α3+tα4，其中t為任意常數(shù)．由②把α4代入，得β=(a1一a2+2a3)α1+(a2—2a3)a2+a3α3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、假設(shè)男孩的出生率為51％，同性雙胞胎是異性雙胞胎的3倍，已知一雙胞胎第一個(gè)是男孩，試求第二個(gè)也是男孩的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)總體X的概率分布為，其中參數(shù)θ未知且．從總體X中抽取一個(gè)容量為8的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其8個(gè)樣本值分別是1，0，1，一1，1，1，2，1．試求：(I)θ的矩估計(jì)值；(Ⅱ)θ的最大似然估計(jì)值；(Ⅲ)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)F8(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)與x為等價(jià)無(wú)窮小，且f(x)≠x，則當(dāng)x→0+時(shí)，[f(x)]x一xx是A、比f(wàn)(x)一x高階的無(wú)窮小．B、比f(wàn)(x)一x低階的無(wú)窮小．C、比f(wàn)(x)一x同階但不等價(jià)的無(wú)窮小．D、與f(x)一x等價(jià)的無(wú)窮小．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)，則f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)A、沒(méi)有零點(diǎn)．B、只有一個(gè)零點(diǎn)．C、恰有兩個(gè)零點(diǎn)．D、恰有三個(gè)零點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、若f(一1，0)為函數(shù)f(x，y)=e-x(ax+b—y2)的極大值，則常數(shù)a，b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是A、a≥0，b=a+1．B、a≥0，b=2a．C、a＜0，b=a+1．D、a＜0，b=2a．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：4、已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上可積，且滿(mǎn)足，則函數(shù)f(x)的解析式是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)A為n階矩陣，對(duì)于齊次線(xiàn)性方程(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，則必有A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．D、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：若α是(I)的解，即Anα=0，顯然An+1α=A(Anα)=AO=0，即α必是(Ⅱ)的解．可排除(C)和(D)．若η是(Ⅱ)的解，即An+1η=0．假若η不是(Ⅰ)的解，即Anη≠0，那么對(duì)于向量組η，Aη，A2η，…，Anη，一方面這是n+1個(gè)n維向量必線(xiàn)性相關(guān)；另一方面，若kη+k1Aη+k2A2η+…+knAnη=0，用An左乘上式，并把An+1η=0，An+2η=0，…，代入，得kAnη=0．由于Anη≠0，必有k=0．對(duì)k1Aη+k2A2η+…+knAnη=0，用An-1左乘上式可推知k1=0．類(lèi)似可知ki=0(i=2，3，…，n)．于是向量組η，Aη，A2η，…，Anη線(xiàn)性無(wú)關(guān)，兩者矛盾．所以必有Anη=0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．由此可排除(B)．故應(yīng)選(A)．6、已知4維列向量α1，α2，α3線(xiàn)性無(wú)關(guān)，若βi(i=1，2，3，4)非零且與α1，α2，α3均正交，則秩r(β1，β2，β3，β4)=A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)α1=(a11，a12，a13，a14)T，α2=(a21，a22，a23，a24)T，α3=(a31,a32,a33，a34)T，那么βi與α1，α2，α3均正交，即內(nèi)積βiTαj=O(j=1，2，3，4)．由于α1，α2，α3線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故系數(shù)矩陣的秩為3．所以基礎(chǔ)解系有4—3=1個(gè)解向量．從而r(β1，β2，β3，β4)=1．故應(yīng)選(A)．7、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)關(guān)于x=μ對(duì)稱(chēng)，F(xiàn)(x)為其分布函數(shù)，則有A、F(μ+x)=F(μ一x)．B、F(μ+x)+F(μ一x)＞1．C、0＜F(μ+x)+F(μ一x)＜1．D、F(μ+x)+F(μ一x)=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系及密度函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，作積分變量替換可導(dǎo)出所需要的結(jié)論．8、設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=k}=aCnkpkqn-k(k=1，2，…，n，q=1一p)，則EX=A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：首先我們注意到該分布不考慮a時(shí)，與二項(xiàng)分布僅差k=0的一項(xiàng)，先利用概率分布的和等于1求出常數(shù)a，再用二項(xiàng)分布的期望求EX．由二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)f(x)在x=0處連續(xù)，且，則曲線(xiàn))y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、將拋物線(xiàn)y=x2一x與x軸及直線(xiàn)x=c(c＞1)所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vx等于弦op(p為拋物線(xiàn)與直線(xiàn)x=c的交點(diǎn))繞x軸旋轉(zhuǎn)所得錐體的體積V錐，則c的值為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)，其中z=z(x，y)是由方程3x2+2y2+z2=6確定的隱函數(shù)，且z(1，1)=1，則=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2e(cos2一sin2)知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)平面區(qū)域D={(x，y)｜x3≤y≤1，一1≤x≤1}，f(x)是定義在[一a，a](a≥1)上的任意連續(xù)函數(shù)，則=____________·標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：令F(x)=(x+1)f(x)+(x一1)f(一x)則F(一x)=(一x+1)f(一x)+(一x-1)f(x)=一[(x一1)f(一x)+(x+1)f(x)]=一F(x)即F(x)為奇函數(shù)其中1-x6為偶函數(shù)，F(xiàn)(x)為奇函數(shù)，因此被積函數(shù)為奇函數(shù)，在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分為零．13、設(shè)，B是3階非零矩陣，滿(mǎn)足BA=0.則矩陣B=_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由BA=0知r(B)+r(A)≤3．又由B≠0知r(B)≥1．顯然A中有2階子式非0，知r(A)≥2．故必有r(A)=2，r(B)=1．因ATBT=0，所以齊次線(xiàn)性方程組ATx=0的解就是B的行向量．又由14、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)服從正態(tài)分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，則Emin(X，Y)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)(I)討論f(x)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)并指出間斷點(diǎn)的類(lèi)型；(Ⅱ)判斷f(x)在(一∞，1]是否有界，并說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)(Ⅱ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)二元可微函數(shù)F(x，y)在直角坐標(biāo)系中可寫(xiě)成F(x，y)=f(x)+g(y)，其中f(x)，g(y)均為可微函數(shù)，而在極坐標(biāo)系中可寫(xiě)成F(x，y)=H(r)，求二元函數(shù)F(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)積分區(qū)域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)函數(shù)y(x)在[a，b]上連續(xù)．在(a，b)內(nèi)二次可導(dǎo)，且滿(mǎn)足其中函數(shù)p(x)，q(x)與f(x)都在[a，b]上連續(xù)，且存在常數(shù)q0＞0使得q(x)≥q0，存在常數(shù)F＞0使得｜f(x)｜≤F．求證：當(dāng)x∈[a，b]時(shí)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)，且B=P-1AP．(I)求矩陣A的特征值與特征向量。(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求矩陣B；(Ⅲ)求A100．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)(Ⅱ)(Ⅲ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)A為三階方陣，α為三維列向量，已知向量組α，Aα，A2α線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且A3α=3Aα一2A2α．證明：(I)矩陣B=(α，Aα，A4α)可逆；(Ⅱ)BTB是正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于A3α=3Aα一2A2α，故A4α=3A2α一2A3α=3A2α一2(3Aα一2A2α)=7A2α一6Aα．若k1α+k2Aα+k3A4α=0，即k1α+k2Aα+k3(7A2α一6Aα)=0，亦即k1α+(k2—6k3)Aα+7k3A2α=0，因?yàn)棣?，Aα，A2α線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故所以，α，Aα，A4α線(xiàn)性無(wú)關(guān)，因而矩陣B可逆．(Ⅱ)因?yàn)?BTB)T=BT(BT)T=BTB，故BTB是對(duì)稱(chēng)矩陣．又，由于矩陣B可逆，恒有Bx≠0，那么恒有xT(BTB)x=(Bx)T(Bx)＞0，故二次型xT(BTB)x是正定二次型，從而矩陣BTB是正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)X，Y相互獨(dú)立且同服從[0，θ](θ＞0)上的均勻分布，求E[min(X，Y)]，E[max(X，Y)]．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、獨(dú)立重復(fù)某項(xiàng)試驗(yàn)，直到成功為止．每次試驗(yàn)成功的概率為P，假設(shè)前5次試驗(yàn)每次試驗(yàn)費(fèi)用為100元，從第6次起，每次試驗(yàn)費(fèi)用為80元，試求該項(xiàng)試驗(yàn)總費(fèi)用的期望值W．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)=sint2dt，g(x)=x3+x4，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)是g(x)的()．A、等價(jià)無(wú)窮小B、同階但：作等價(jià)無(wú)窮小C、高階無(wú)窮小D、低階無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以正確答案為(B).2、設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，且=1，f(0)為f(x)的極值，則()．A、當(dāng)f(0)=0時(shí)，f(0)是f(x)的極小值B、當(dāng)f(0)=0時(shí)，f(0)是f(x)的極大值C、當(dāng)f(0)>0時(shí)，f(0)是f(x)的極大值D、當(dāng)f(0)<0時(shí)，f(0)是f(x)的極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)連續(xù)可導(dǎo)，所以由=1得f(0)+f’(0)=0.當(dāng)f(0)≠0時(shí)，因?yàn)閒’(0)≠0，所以f(0)不是極值，(C)，(D)不對(duì)；當(dāng)f(0)=0時(shí)，f’(0)=0，由=(0)+[47](0)得(0)=1>0，故f(0)為f(x)的極小值，選(A)．3、設(shè)f(x，y)=則f(x，y)在(0，0)處()．A、極限存在，但不連續(xù)B、連續(xù)，但不可偏導(dǎo)C、連續(xù)，可偏導(dǎo)，但不可∞微D、可微標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由0≤1｜f(x，y)｜=｜x｜≤｜x｜，得f(x，y)=0=f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)處連續(xù).由=0，得(0，0)=0，同理(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo).因?yàn)椴淮嬖冢詅(x，y)在(0，0)處不可微，應(yīng)選C.4、下列命題正確的是()．A、若收斂，則收斂B、對(duì)級(jí)數(shù)，若有無(wú)數(shù)個(gè)n使>1，則級(jí)數(shù)發(fā)散C、若收斂，而絕對(duì)收斂，則anbn絕對(duì)收斂D、若與都發(fā)散，則(un+un)發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：若收斂，則{an}有界，即存在M>0，使得｜an｜≤M，于是有0≤｜anbn｜≤M.｜bn｜．由絕對(duì)收斂得收斂，于是｜anbn｜收斂，即anbn絕對(duì)收斂，選(C)．5、下列結(jié)論正確的是()．A、設(shè)A，B為n階矩陣，若A，B非零特征值個(gè)數(shù)相等，則r(A)=r(B)B、若A，B是n階可逆的對(duì)稱(chēng)矩陣，若A2與B2合同，則A，B合同C、若A，B是階n實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣．若A，B合同，則A，B等價(jià)D、若A，B是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，若A，B等價(jià)，則A，B合同標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：取A=顯然A，B非零特征值個(gè)數(shù)都為1，但r(A)，≠r(B)，不選(A)取A=().B=()．顯然A2與B2的正慣性指數(shù)都為2，A2與B2合同，但A，B不合同。不選(B)：符A.B合同，即存在可逆矩陣P.使得PT=B．則r(A)－r(B)．故A，B等價(jià)．應(yīng)選(C)：若A．B等價(jià)．即r(A)=r(B)．但A.B的正負(fù)慣性指數(shù)不一定相等．故A，B不一定合同，不選(D)．6、設(shè)向量組a1，a2，a3線(xiàn)性無(wú)關(guān)，β1不可由a1，a2，a3線(xiàn)性表示，而β2可由1，a2，a3線(xiàn)性表示，則下列結(jié)論正確的是()．A、1，a2，β2尼線(xiàn)性相關(guān)B、1，a2，β2線(xiàn)性無(wú)關(guān)C、a1，a2，a3，β1+β2線(xiàn)性相關(guān)D、a1，a2，a3，β1+β2線(xiàn)性無(wú)關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?不可由a1，a2，a3線(xiàn)性表示，而β2可由