考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷4（共210題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷4（共9套）（共210題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、曲線的漸近線的條數(shù)為()A、4B、3C、2D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：該函數(shù)的定義域?yàn)橐?＜x＜5且x≠1，因此此曲線無(wú)水平漸近線和斜漸近線，所以此曲線有兩條鉛直漸近線x=5及x=一3，故選(C)．2、設(shè)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，則f(|x|)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)的充分必要條件是()A、f(0)=0B、f’(0)=0C、f(0)=0且f’(0)=0D、f(0)=0或f’(0)一0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：所以f(|x|)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件為f’(0)=一f’(0)，即f’(0)=0，故選(B)．3、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，則下列函數(shù)中必為偶函數(shù)的是()A、∫0xt[f(t)一f(一t)]dtB、∫0xt[f(t)+f(一t)]dtC、∫0xf(t2)dtD、∫0x[f(t)]2dt標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令t=一u，∫0一xt[f(t)+f(一t)]dt=∫0x(一u)[f(一u)+f(u)](一du)=∫0xt[f(t)+f(一t)]dt．4、設(shè)曲線積分∫L[f(x)一ex]sinydx一f(x)cosydy與路徑無(wú)關(guān)，其中f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，則f(x)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：得f’(x)+f(x)=ex且f(0)=0，解此微分方程得故選(B)．5、已知4維列向量α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，若βi(i=1，2，3，4)非零且與α1，α2，α3均正交，則r(β4，β2，β3，β4)=()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查向量組正交及齊次線性方程組基礎(chǔ)解系定理，是一道有一定難度的綜合題．由題設(shè)知αiTβi=0(i=1，2，3；j=1，2，3，4)．令則矩陣A是秩為3的3×4階矩陣，且即β1，β2，β3，β4均為齊次線性方程組Ax=0的解，從而r(β1，β2，β3，β4)≤n一r(a)=4一一3=1．又r(β1，β2，β3，β4)≥1．所以r(β1，β2，β3，β4)=1．故應(yīng)選(A)．6、下列矩陣中與其他矩陣不合同的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查矩陣合同的判定，屬于基礎(chǔ)題．(特征值法)對(duì)于矩陣，其特征多項(xiàng)式為=[(λ一1)2一1](λ一3)=λ(λ一2)(λ一3)，解得特征值0，2，3，所以其慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為0．同理可得矩陣的正慣性指數(shù)均為2，負(fù)慣性指數(shù)均為0．對(duì)于矩陣，其特征多項(xiàng)式為解得特征值1，3，3，所以其正慣性指數(shù)為3，負(fù)慣性指數(shù)為0．由于矩陣合同的充要條件為有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)，所以(A)、(B)、(D)合同，故應(yīng)選(C)．7、已知隨機(jī)變量X的概率密度為fx(x)，則Y—aX+b(a≠0)的概率密度f(wàn)Y(y)等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度，屬于基礎(chǔ)題．Y=aX+b的分布函數(shù)為故應(yīng)選(D)．8、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，E(X)=μ,D(X)=σ2(σ＞0)，X與S2分別是樣本均值與樣本方差，則()A、S2一定是σ2的矩估計(jì)B、S2一定是σ2的最大似然估計(jì)C、E(S2)=σ2D、E(S)=σ標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查總體方差的矩估計(jì)量與最大似然估計(jì)量以及樣本方差的期望，是一道有一定難度的綜合題．由于總體方差σ2的矩估計(jì)量與最大似然估計(jì)都是所以(A)、(B)錯(cuò)誤．由于故應(yīng)選(C)．進(jìn)一步分析，由E(S2)=D(S)+[E(S)]2，得[E(S)]2=E(S2)一D(S)＜σ2．從而E(S)≠σ，所以(D)錯(cuò)誤．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設(shè)y=y(x)由方程2x—tan(x—y)=∫0x一ysec2tdt所確定，則標(biāo)準(zhǔn)答案：2sin(x一y)cos3(x—y)．知識(shí)點(diǎn)解析：方程2x—tan(x—y)=∫0x一ysec2tdt兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得，2一sec2(x一y).(1一y’)=sec2(x一y).(1一y’)則y’=sin2(x—y)，y"=2sin(x一y)cos3(x—y)．10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、曲面z=x2+y2平行于平面2z+2y—z=0的切平面方程為2．標(biāo)準(zhǔn)答案：2x+2y—z一2=0．知識(shí)點(diǎn)解析：曲面z=X2+y2在(x，y，z)點(diǎn)處的法向量n=(2x，2y，一1)，則x=y=1，所求切平面為2(x一1)+2(y一1)一(z一2)=0，即2x+2y一z一2=0．12、設(shè)α，β均為n維非零列向量，且αtβ≠o．設(shè)矩陣A=αβT一E，且滿足方程A2一3A=4E，則αT2=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：αβT的特征值為0，0，…，0，αTβ，則A=αβT一E的特征值為一1，一1，…，一1，αTβ一1．設(shè)Aη=λη(η≠0)，則λ2一3λ=4，解得λ=一1或者λ=4．又因?yàn)棣?，β均為n維非零列向量，且αTβ≠0，所以αTβ一1=4，即αTβ=5．13、二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為則概率標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、求方程x3y"’+x2y"一4xy’=3x2的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題求解的方程為歐拉方程，求此方程是令x=et．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、已知f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)二階可導(dǎo)，且∫12f(x)dx=f(2)．證：ε∈(0，2)，使f’(ε)+f"(ε)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)F(x，Y，z)=x2+y2+z2一2x+2y一4z一10(1)求方程F(x，y，z)=0在哪些點(diǎn)的鄰域內(nèi)可唯一確定單值且有連續(xù)編導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)z=f(x，y)；(2)求F(x，y，z)=0所確定的隱函數(shù)z=f(x，y)的數(shù)值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)根據(jù)隱函數(shù)存在定理知，在F’z=2z一4≠0，即z≠2時(shí)的任何一點(diǎn)(x，y，z)某鄰域內(nèi)方程F(x，y，z)=0，確定唯一一個(gè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它是得x0=1，y0=一1，其對(duì)應(yīng)z1=一2，z2=6，即點(diǎn)P1(1，一1，一2)與P2(1，一1，6)使F(1，一1，一2)=0，F(xiàn)(1，一1，6)=0．以下根據(jù)二元函數(shù)取得極值的充分條件知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：(2)根據(jù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯一性，得u(x)在x0=1處高階導(dǎo)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz，其中L是上半球面x2+y2+z2=2bx(z≥0)與柱面x2+y2=2ax(0＜a＜b)的交線，L的方向規(guī)定為從z軸正向看是逆時(shí)針。標(biāo)準(zhǔn)答案：由斯托克斯公式知其中，∑為上半球面的一部分：x2+y2+z2=2bx，z≥0，x2+y2≤2ax知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=xTAx(其中x=(x1，x2，x3)T，A是三階實(shí)對(duì)稱矩陣)經(jīng)正交變換x=Qy(其中y=(y1，y2，y3)T，Q是三階正交矩陣)化為標(biāo)準(zhǔn)形2y12，y22，y32，又設(shè)A*α=α(其中A*是A的伴隨矩陣，α=(1，1，一1)T)．求(Ⅰ)Q及A；(Ⅱ)可逆線性變換x=Cz(其中z=(z1，z2，z3)T，C是三階可逆矩陣)，它將f(x1，x2，x3)化為規(guī)范形．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)A的特征值為2，一1，一1，|A|=2．當(dāng)λ=2時(shí)，A*的特征正值為1，故λ=2所對(duì)應(yīng)的特征向量為(1，1—1)T．設(shè)一1對(duì)應(yīng)的特征向量為(a，b，c)，即a+b一c=0，其解為α1=(一1，1，0)T，α2=(1，0，1)T，對(duì)其正交化得β1=(一1，1，0)T，β2=(1，1，2)undefinedundefined知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)α1，α2，β1，β2為三維列向量組，且α1，α2與β1，β2都線性無(wú)關(guān)．(Ⅰ)證明：至少存在一個(gè)非零向量可同時(shí)由α1，α2和β1，β2線性表示；(Ⅱ)設(shè)，求出可由兩組向量同時(shí)表示的向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)棣?，α2，β1，β2線性相關(guān)，故存在不全為零的數(shù)k1，k2，l1，l2，使k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，即k1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)二維隨機(jī)變量(U，V)的概率密度為又設(shè)x與y都是離散型隨機(jī)變量，其中X只取一1，0，1三個(gè)值，Y只取一1，1兩個(gè)值，且E(x)=0．2，E(Y)=0．4，P(X=一1，Y=1)=P(X=1，Y=一1)=P(X=0，Y=1)=(Ⅰ)(X，Y)的概率分布；(Ⅱ)Cov(X，Y)標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)如圖所示，(Ⅱ)E(XY)=一0．3，Cov(X，Y)=E(XY)—E(X).E(Y)所以Cov(X，Y)=一0．38．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)總體X的分布函數(shù)為X1，X2，…，X10為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其觀察值為1，1，3，1，0，0，3，1，0，1．(Ⅰ)求總體X的分布律；(Ⅱ)求參數(shù)θ的矩估計(jì)值；(Ⅲ)求參數(shù)θ的極大似然估計(jì)值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)總體X的分布律為(Ⅲ)似然函數(shù)L(θ)=(2θ)5.(1—3θ)2.θ2，lnL(θ)=3lnθ+5ln(20)+2ln(1—30)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)bn＞0(n=1，2，…)，下述命題正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：證明(C)正確．首先證明：事實(shí)上，左邊級(jí)數(shù)前n項(xiàng)部分和Sn=(α1一α2)+(α2－α3)+…+(αn一αn+1)=α1一αn+1．根據(jù)比較判別法的極限形式知，級(jí)數(shù)收斂，從而知絕對(duì)收斂．不存在，所以發(fā)散．滿足(A)的題設(shè)條件，但是收斂的．(B)不正確，反例：收斂，但是收斂的，故(B)不正確．(D)不正確，反例：也發(fā)散，故(D)不正確．2、設(shè)f(x，y)=|x—y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在點(diǎn)(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)．則φ(0，0)=0是f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微的()A、必要條件但非充分條件．B、充分條件但非必要條件．C、充分必要條件．D、既非充分又非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：先證充分性．設(shè)φ(0，0)=0，由于φ(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，所以由于按可微定義，f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，且af=0.△x+0.△y，即f’x(0，0)=0，f’y(0，0)=0．再證必要性．設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，則f’x(0，0)與f’y(o，0)必都存在．其中x→0+時(shí)取“+”，x→0－時(shí)取“一”．由于f’x(0，0)存在，所以φ(0，0)=－9(0，0)，從而φ(0，0)=0．證畢．3、下列反常積分發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：至于(A)、(B)、(D)都是收斂的．4、設(shè)則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處()A、兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，函數(shù)也連續(xù)．B、兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，但函數(shù)不連續(xù)．C、偏導(dǎo)數(shù)不存在，但函數(shù)連續(xù)．D、偏導(dǎo)數(shù)不存在，函數(shù)也不連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)連續(xù)．不存在．同理f’y(0，0)也不存在．選(C)．5、設(shè)n維向量α1，α2，α3滿足α1一2α2+3α3=0，對(duì)任意的n維向量β，向量組α1+αβ，α2+bβ，α3線性相關(guān)，則參數(shù)a，b應(yīng)滿足條件()A、a=b．B、a=－b．C、a=2b．D、a=－2b．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因α1，α2，α3滿足α1+2α2+3α3=0，(*)要求向量組α1+aβ，α2+bβ，α3線性相關(guān)，其中β是任意向量．利用式(*)，取常數(shù)k1=1，k2=一2，k3=3，對(duì)向量組α1+aβ，2+bβ，α3作線性組合，得(α1+αβ)一2(α2+bβ)+3α3－α1－2α2+3α3+(a一2b)β=(a－2b)β．故當(dāng)a=2b時(shí)，對(duì)任意的n維向量β均有α1+αβ～2(α2+bβ)+3α3=0．即a=2b時(shí)，α1+aβ，α2+bβ，α3對(duì)任意β線性相關(guān)．故應(yīng)選(C)．6、設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，先交換A的第i列與第j列，然后再交換第i行和第j行，得到的矩陣記成B，則下列五個(gè)關(guān)系(Ⅰ)|A|=|B|；(Ⅱ)r(A)=r；中正確的有()A、2個(gè)．B、3個(gè)．C、4個(gè)．D、5個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：將A的i列、j列互換，再將i行、j行互換，相當(dāng)于右乘、左乘相同的互換初等陣Eij，即β=EijAEij，其中①|(zhì)Eij|=一1≠0，是可逆矩陣，|Eij|2=1，故(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)成立．②Eij－1=Eij，故Eij－1AEij=EijAEij=B，故A～B，(Ⅳ)成立．③Eij－T=Eij，故EijAEij=Eij－TAEij=B，故AB，(Ⅴ)成立．從而知(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ)、(Ⅴ)均成立．應(yīng)選(D)．7、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，令Y=max{X，1}，則EY=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設(shè)常數(shù)a＞0，曲線上點(diǎn)(a，a，a)處的切線方程是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：x+y=2a．z=a知識(shí)點(diǎn)解析：將x看成自變量，方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得yz+xy’z+xyz’=0及x+yy’=az’．將(x，y，z)=(a，a，a)代入，得y’(a)+z’(a)=一1，y’(a)一z’(a)=一1．解得y’(a)=一1，z’(a)=0．所以切線方程為，即x+y=2a，z=a．9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：用球面坐標(biāo)，10、設(shè)f(x)=arctan2x，則f(2015)(0)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一(2014!)22015知識(shí)點(diǎn)解析：由冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯一性知，f(k)(0)=k!ak，k=0，1，2，…．當(dāng)k=2015時(shí)，2015=2×1007+1，故n=1007，11、微分方程的通解為y=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：，其中C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：此為歐拉方程．令x=et，于是按y對(duì)t的二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法解之，得通解12、設(shè)則滿足AB=A，其中B≠E的所有的B=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：，其中k1，k2，k3是不全為零的任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：AB=A，得A(B—E)=0．B≠E，故B—E≠0．將B—E按列分塊，知B—E的每一列均是Ax=0的解．Ax=0有通解k(1，一1，1)T，其中k為任意常數(shù)，，其中k1，k2，k3是不全為零的任意常數(shù)．13、已知隨機(jī)變量X與y都服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且P{X＞0，Y＞2μ)=a，則P{X≤0，Y≤2μ)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a知識(shí)點(diǎn)解析：記A={X＞0)，B={Y＞2μ)，由題設(shè)知三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設(shè)當(dāng)x∈[一1，1]時(shí)f(x)連續(xù)，F(xiàn)(x)=∫－11|x一t|f(t)dt，x∈[－1，1]．(Ⅰ)若f(x)為偶函數(shù)，證明：F(x)也是偶函數(shù)；(Ⅱ)若f(x)＞0(當(dāng)－1≤x≤1)，證明：曲線y=F(x)在區(qū)間[－1，1]上是凹的．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)f(x)為連續(xù)的偶函數(shù)，則F(一x)=∫－11|一x一t|f(t)dt=∫－11|x+t|f(t)dt=∫－11|x一u{f(一du)(－du)一∫－11|x一u|f(u)du=F(x)?所以F(x)也是偶函數(shù)．(Ⅱ)F(x)=∫－1x(x—t)f(t)dt+∫x1(t—x)f(t)dt=x∫－1xf(t)dt一∫－1xtf(t)dt+∫x1tf(t)dt一x∫x1f(t)dt，F(xiàn)’(x)=∫－1xf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+xf(x)一∫x1f(t)dt=∫－1xf(t)dt—∫x1f(t)dt，F(xiàn)"(x)=f(x)+f(x)=2f(x)＞0．所以曲線y=F(x)在區(qū)間[一1，1]上是凹的．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、(Ⅰ)計(jì)算∫0nπt|sint|dt，其中n為正整數(shù)；(Ⅱ)求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)an=試證明：(Ⅰ)an+1＜an且(Ⅱ)級(jí)數(shù)條件收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)榍覂H在兩處x=0與等號(hào)成立，所以又因an＞an+2，所以2an＞an+an+2，從而因2an+2＜an+an+2，從而得證．(Ⅱ)由(Ⅰ)有所以由萊布尼茨定理知收斂，所以條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，且微分方程[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0為全微分方程．(Ⅰ)求f(x)；(Ⅱ)求該全微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由題設(shè)知，存在二元函數(shù)u(x，y)，使由于f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以u(píng)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，所以有即有x(1+2y)－f(x)=f’(x)+2xy，f’(x)+f(x)=x．連同已知f(0)=0，于是可求得f(x)=x一1+e－x．(Ⅱ)由(Ⅰ)有du=(xy2+y—ye－x)dx+(x一1+e－x+x2y)dy．求u(x，y)有多種方法．湊微分法．(xy2+y－ye－x)dx+(x—1+e－x+x－1y)dy=xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(－ye－xdx+e－xdy)－dy所以該全微分方程的通解為(xy)2+xy+ye－x一y=C，其中C為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)平面區(qū)域D用極坐標(biāo)表示為標(biāo)準(zhǔn)答案：D如圖陰影部分，為清楚起見(jiàn)，4個(gè)圓只畫(huà)出有關(guān)的4個(gè)半圓．D關(guān)于直線y—z對(duì)稱，交點(diǎn)A、B、C的極坐標(biāo)分別為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)線性方程組添加一個(gè)方程ax1+2x2+bx3一5x4=0后，成為方程組(Ⅰ)求方程組(*)的通解；(Ⅱ)a，b滿足什么條件時(shí)，(*)(**)是同解方程組．標(biāo)準(zhǔn)答案：得方程組(*)的通解為k(一3，一5，1，0)T，k是任意常數(shù)．(Ⅱ)方程組(*)(**)是同解方程組方程組(*)的通解滿足方程組(**)的第4個(gè)方程，代入得一3ka+(一5k).2+bk+0=0，即(一3a+b)k=10k．因k是任意常數(shù)，故得一3a+b=10．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、A是3階矩陣，有特征值λ1一λ2=2，對(duì)應(yīng)兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為ξ1，ξ2，λ3=一2對(duì)應(yīng)的特征向量是ξ3．(Ⅰ)問(wèn)ξ1+ξ2是否是A的特征向量?說(shuō)明理由；(Ⅱ)ξ2+ξ3是否是A的特征向量?說(shuō)明理由；(Ⅲ)證明：任意三維非零向量β(β≠0)都是A2的特征向量，并求對(duì)應(yīng)的特征值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)ξ1+ξ2仍是A的對(duì)應(yīng)于λ1=λ2=2的特征向量．因已知Aξ1=2ξ1，Aξ2=2ξ2，故A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=2ξ1+2ξ2=2(ξ1+ξ2)．(Ⅱ)ξ2+ξ3不是A的特征向量．假設(shè)是，設(shè)其對(duì)應(yīng)的特征值為u，則有A(ξ2+ξ3)=μ(ξ2+ξ3)，得2ξ2－2ξ3一μξ2一μξ3=(2－μ)ξ2一(2+μ)ξ3=0，因2－μ和2+μ不同時(shí)為零，故ξ2，ξ3線性相關(guān)，這和不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)矛盾，故ξ2+ξ3不是A的特征向量．(Ⅲ)因A有特征值λ1=λ2=2，λ3=－2，故A2有特征值μ1=μ2=μ3=4．對(duì)應(yīng)的特征向量仍是ξ1，ξ2，ξ3，且ξ1，ξ2，ξ3線性無(wú)關(guān)．故存在可逆矩陣P=(ξ1，ξ2，ξ3)，使得P－1A2P=4E，A2=P(4E)P－1=4E．從而對(duì)任意的β≠0，有A2β=4Eβ=4β，故知任意非零向量β都是A2的對(duì)應(yīng)于λ=4的特征向量．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)為(Ⅰ)求Z=Y—X的密度函數(shù)；(Ⅱ)求數(shù)學(xué)期望E(X+Y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：密度函數(shù)法．(Ⅱ)E(X+Y)=∫－∞+∞∫－∞+∞(x+y)f(x，y)dxdy=∫0+∞dx∫0+∞(x+y)e－(x+y)dy=∫0+∞[∫0+∞(xe－xe－y+ye－y)dy]dx=2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)袋中有編號(hào)為1～N的N張卡片，其中N未知，現(xiàn)從中有放回地任取n張，所得號(hào)碼為x1，x2，…，xn．(Ⅰ)求N的矩估計(jì)量，并計(jì)算概率；(Ⅱ)求N的最大似然估計(jì)量，并求的分布律．標(biāo)準(zhǔn)答案：記X為事件“從袋中有放回地任取1張卡片”，記Xi為事件“取出的卡片編號(hào)為i”，X與Xi：同分布，此題已知樣本分布，即可得到總體X分布為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)＝f(b)＝0，f’(a)＜0，f’(b)＜0，則方程f’(x)在(a，b)內(nèi)()。A、沒(méi)有實(shí)根B、有且僅有一個(gè)實(shí)根C、有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根D、至少有兩個(gè)不相等實(shí)根標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：解因故在a的某鄰域內(nèi)存在點(diǎn)x1，a＜x1＜，使f(x1)＜0。同理由f’(b)＜0知，必存在點(diǎn)x2，＜x2＜b，使f(x2)＞0。由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)(介值定理)知，存在c∈(x1，x2)(a，b)，使f(c)＝0。在閉區(qū)間[a，c]和[c，b]上對(duì)f(x)分別使用羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)ξ1∈(a，c)，使得f’(ξ1)＝0，至少存在一點(diǎn)ξ2∈(c，b)，使得f’(ξ2)＝0，故方程f’(x)＝0在(a，b)內(nèi)至少有兩個(gè)不相等的實(shí)根，僅(D)入選。2、直線()。A、垂直不相交B、垂直相交C、相交不垂直D、既不垂直也不相交標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：解先求出L1的方向向量＝－i＋2j－k＝(－1,2,－1)。令τ1＝(－1，2，－1)和L2的方向向量τ2＝(－4，－1，2)，因τ1·τ2＝0，故L1⊥L2，排除(C)、(D)。再考慮它們是否相交，為此令，則x＝6－4t，y＝－t，z＝3＋2t，代入L1的方程中得t＝3，即得其交點(diǎn)為(－6，－3，9)，僅(B)入選。3、級(jí)數(shù)()。A、條件收斂B、絕對(duì)收斂C、發(fā)散D、可能收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：解僅(A)入選。而發(fā)散，由比較收斂法知其發(fā)散，故原級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂。由萊布尼茲定理知，原級(jí)數(shù)收斂，故其條件收斂。4、已知曲面S：x2＋2y2＋3z2＝1，y≥0，z≥0；區(qū)域D：x2＋2y＝1，x≥0，則()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：解因S關(guān)于平面yOz對(duì)稱，故，又D關(guān)于x軸對(duì)稱，而y又是關(guān)于y為奇函數(shù)，故，因而。僅(C)入選。5、設(shè)P，Q都是n階矩陣，且(PQ)2＝E，其中E是n階單位矩陣，則必有()。A、(QP)2＝EB、P2Q2＝EC、Q2P2＝ED、以上均不對(duì)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：解僅(A)入選。由(PQ)2＝E得PQPQ＝E，則QPQP＝E＝(QP)(QP)＝(QP)2＝E。6、設(shè)A是三階非零矩陣，滿足A2＝O，則線性非齊次方程AX＝b的線性無(wú)關(guān)的解向量個(gè)數(shù)是()。A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：解先求r(A)，因A2＝A·A＝O，故r(A)＋r(A)＝2r(A)≤3，即r(a)≤3／2，亦即r(A)≤1。又A≠O，r(A)≥1，故r(A)＝1，從而n－r＋1＝3－r(A)＋1＝3－1＋1＝3，即AX＝b有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，僅(C)入選。7、設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為λ和μ的指數(shù)分布(μ，λ)(μ＞0，λ＞0)，則P(X＞Y)等于()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：解因X，Y的概率密度函數(shù)分別為8、設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(σ＞0)，且P(X＞σ)A、小于1B、等于1C、大于1D、不能確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：解因P(X＞σ)＋P(X＜σ)＝1－P(X＝σ)＝1，又已知P(X＜σ)＞P(X＞σ)，因而P(X＜σ)＞1／2，而P(X＜μ)＝1／2，根據(jù)分布函數(shù)單調(diào)不減的性質(zhì)應(yīng)有σ＞μ，從而μ／σ的值小于1，僅(A)入選。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、曲面z－y－lnx＋lnz＝0與平面x＋y－2z＝1垂直的法線方程為＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：x－1＝y(tǒng)－1＝(z－1)／(－2)知識(shí)點(diǎn)解析：解令曲面方程為F(x，y，z)＝z－y－lnx＋lnz＝0。設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0，z0)，在該點(diǎn)處曲面的法向量為由平行條件得到從而求得x0＝1，z0＝1，將(x，y，z)＝(1，y0，1)代入F(x，y，z)＝0得到y(tǒng)0＝1，于是(x0，y0，z0)＝(1，1，1)，故所求的法線方程為x－1＝y(tǒng)－1＝(z－1)／(－2)。11、＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：4π知識(shí)點(diǎn)解析：12、原點(diǎn)O(0，0，0)到直線的距離d＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：解一已知P1(x1，y1，z1)＝P1(2，1，2)，P0(x0，y0，z0)＝P0(0，0，0)，則＝(2，1，2)，s＝(l，m，n)＝(3，4，5)，將上述數(shù)值代入上述公式，即得d＝1。解二由題設(shè)知直線的方向向量為s＝{3，4，5}，過(guò)點(diǎn)O(0，0，0)且垂直于直線的平面方程為3(x－0)＋4(y－0)＋5(z－0)＝3x＋4y＋5z＝0。解方程組用克菜姆法則易求得垂足P2(x2，y2，z2)＝P2(，0)，則。13、設(shè)二次型f(x1，x2，…，xn)＝(nx1)2＋(nx2)2＋…＋(nxn)2－(x1＋x2＋…＋xn)2(n＞1)，則f的秩是＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：n知識(shí)點(diǎn)解析：解一二次型f的矩陣為此矩陣A的主對(duì)角線上的元素全為n2－1，非主對(duì)角線上的元素全為－1，由上述結(jié)果可直接寫(xiě)出該矩陣的行列式的值：｜A｜＝[(n2－1)＋(n－1)(－1)][(n2－1)－(－1)]n－1＝(n2－n)(n2)n－1＝n(n－1)(nn－1)。因n>1，故｜A｜≠0，所以f的秩為n。解二矩陣A是行(列)和相等的矩陣，也可用初等變換求其秩：則，故r(A)＝r(A1)＝n，即f的秩等于n。14、設(shè)X的概率密度函數(shù)已知P(X≤1)＝，則E(X2)＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：解由P(X≤1)＝1－P(X>1)＝1－∫1＋∞λe－λxdx＝1－eλ＝1／2，故λ＝ln2，于是則E(X2)＝D(X)＋[E(X)]2。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)15、求。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(0)＝g(0)，f’(0)＝g’(0)，f"(x)＜g"(x)(當(dāng)x＞0時(shí))，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜g(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：證令F(x)＝g(x)－f(x)，則F(0)＝0，F(xiàn)’(0)＝0，F(xiàn)"(x)＞0。由拉格朗日中值定理得到F(x)＝F(x)－F(0)＝xF’(ξ1)，0＜ξ1＜x，F(xiàn)’(ξ1)＝F’(ξ1)－F’(0)＝ξ1F"(ξ2)，0＜ξ2＜ξ1，則F(x)＝xF’(ξ1)＝xξ1F"(ξ2)。因F"(x)＞0，x＞0，ξ1＞0，故F(x)＞0，即f(x)＜g(x)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)證明f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不可微。標(biāo)準(zhǔn)答案：證先求f’x(0，0)與f’y(0，0)，因由f(x，y)的對(duì)稱性即知f’y(0，0)存在，且f’y(0，0)＝0。由可微的定義求出。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)冪級(jí)數(shù)，當(dāng)n>1時(shí)，an－2＝n(n－1)an，且a0＝4，a1＝1。(1)求級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)；(2)求S(x)的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：因an－2＝n(n－1)an，故即S"(x)－S(x)＝0。①式①的特征方程為r2－1＝0，解得r1＝1，r2＝－1，其通解為S(x)＝c1ex＋c2e－x。因S’(x)＝c1ex－c2e－x，a0＝4，a1＝1，故S(0)＝4，S’(0)＝1。代入通解式中得則所求的和函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求x2y"－xy’＋y＝x＋的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：解令x＝et，t＝lnx，則有將其代回原方程，化原方程為＝et＋e－t。其特征方程為r2－2r＋1＝0，r1＝r2＝1，故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為Y＝(c1＋c2t)et＝x(c1＋c2lnx)。令待求的一個(gè)特解為y1*＝At2et用待定系數(shù)法可求得A＝1／2，故令另一個(gè)待求特解為y2*＝Be－t，同法可求得B＝1／4，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)n階方陣A的每行元素之和為a，｜A｜≠0，則20、a≠0；標(biāo)準(zhǔn)答案：如果a＝0，則，因已知A可逆，則矛盾，這就證明了a≠0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、A－1的每行元素之和為a－1。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A＝[aij]m×n，由題設(shè)有故即得證。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)矩陣A的伴隨矩陣且矩陣A，B滿足[(A)－1]*BA－1＝2AB＋12E，求矩陣B。標(biāo)準(zhǔn)答案：解[(A)－1]*＝(2A－1)*＝23(A－1)*＝。易求得｜A*｜＝＝(－4)(－2)＝8，即｜A｜3＝8，故｜A｜＝2，于是[(A)－1]*＝4A，則原方程化為4ABA－1＝2AB＋12E，即2ABA－1＝AB＋6E，左乘A*，有2A*ABA－1＝A*AB＋6A*，因A*A＝｜A｜E＝2E，則4BA－1＝2B＋6A*即2BA－1－B＝3A*，因A*＝｜A｜A－1＝2A1，故BA*－B＝B(A*－E)＝3A*，于是B＝3A*(A*－E)－1這是因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、有甲、乙兩袋，甲袋中裝有兩個(gè)白球和四個(gè)黑球，乙袋裝有五個(gè)白球和三個(gè)黑球，今從甲袋隨機(jī)地取出兩個(gè)球放入乙袋，然后從乙袋中取出一球，問(wèn)取出的為白球的概率為多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：解設(shè)事件B表示從乙袋中取得白球；A1表示從甲袋中取得一個(gè)白球和一個(gè)黑球；A2表示從甲袋中取得兩個(gè)白球；A3表示從甲袋中取得兩個(gè)黑球，則A1，A2，A3為一個(gè)完備事件組，下用超幾何分布分別求出概率P(Ai)及P(B｜Ai)(i＝1，2，3)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)服從區(qū)域－1≤x≤1，0≤y≤2上的均勻分布，求二次曲面x12＋2x22＋Yx32＋2x1x2＋2Xx1x3＝1為橢球面的概率。標(biāo)準(zhǔn)答案：解所給二次型的矩陣為二次型正定就是其矩陣A正定，而A正定的充要條件是A的所有主子式全大于零，即｜A｜＝Y(jié)－2X2＞0。因而所給二次型為正定二次型，即二次曲面為橢球面的概率為p＝P(Y－2X2＞0)。由題設(shè)知，二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)lnf(x)=cosx，則dx等于()．A、xcosx－sinx+CB、xsinx－cosx+CC、x(cosx+sinx)+CD、xsinx+C標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因被積函數(shù)含有因子f′(x)，可先進(jìn)入微分號(hào)，用分部積分法求之；另一方法在所給等式兩端求導(dǎo)也可產(chǎn)生f′(x)／f(x)=(cosx)′=－sinx．用此式代入積分也可簡(jiǎn)化計(jì)算．=∫xdlnf(x)=∫xdcosx=xcosx—∫cosxdx=xcosx—sinx+C．僅(A)入選．2、設(shè)在全平面上有＞0，則下列條件中能保證f(x1，y1)＜f(x2，y2)的是()．A、x1＜x2，y1＜y2B、x1＜x2，y1＞y2C、x1＞x2，y1＜y2D、x1＞x2，y1＞y2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：＜0，其含義是固定y，f(x，y)關(guān)于x單調(diào)減少，因而當(dāng)x1＞x2時(shí)，有f(x1，y1)＜f(x2，y1)．①同樣＞0，其含義是固定x，f(x，y)關(guān)于y單調(diào)增加，于是當(dāng)y1＜y2時(shí)，有f(x2，y1)＜f(x2，y2)．②由式①與式②得到x1＞x2，y1＜y2時(shí)，有f(x1，y1)＜f(x2，y1)＜f(x2，y2)，即f(x1，y1)＜f(x2，y2)．僅(C)入選．3、設(shè)Un=(－1)nln(1+)，則級(jí)數(shù)()．A、都收斂B、都發(fā)散C、發(fā)散D、收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：un為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茨判別法知，該級(jí)數(shù)收斂；又由=1，發(fā)散，知發(fā)散．易看出ln(1+)單調(diào)下降，且un=0，由萊布尼茨判別法知，該交錯(cuò)級(jí)數(shù)un收斂．又而為發(fā)散級(jí)數(shù)；故正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，僅(C)入選．注意上面用到下述判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的常用結(jié)論：設(shè)vn為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若當(dāng)n→∞時(shí)，=1，即un～vn(n→∞)，則un與vn有相同的斂散性．4、設(shè)y1=2x+ex+e2x，y2=2x+ex，y3=－ex+e2x+2x都是某二階常系數(shù)線性齊次方程的解，則此方程為()．A、y″+3y′+2y=2xB、y″一3y′+2y=4x一6C、y″一3y′+2y=xD、y″+3y′+2y=x標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因y1，y2，y3均為非齊次方程的解，則y1－y2=e2x，y1一y3=2ex是相應(yīng)的齊次方程的解．因此r1=2，r2=1為特征方程的根．特征方程為(r一2)(r一1)=0，即r2—3r+2=0，所以齊次方程為y″一3y′+2y=0．設(shè)所求方程為y″一3y′+2y=f(x)，f(x)為非齊次項(xiàng)，將y2=2x+ex代入得f(x)=4x一6，則y″一3y′+2y=4x一6．僅(B)入選．5、設(shè)α1=[1，0，0，λ1]T，α2=[1，2，0，λ2]T，α3=[一1，2，一3，λ3]T，α4=[一2，1，5，λ4]T，其中λ1，λ2，λ3，λ4是任意實(shí)數(shù)，則()．A、α1，α2，α3總是線性相關(guān)B、α1，α2，α3，α4總是線性相關(guān)C、α1，α2，α3總是線性無(wú)關(guān)D、α1，α2，α3，α4總是線性無(wú)關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：判別分量已知的向量組的線性相關(guān)性時(shí)，可用下述性質(zhì)判別：一向量組線性無(wú)(相)關(guān)，則在相同位置上增加(去掉)相同個(gè)數(shù)的分量所得的升(減)維向量組仍線性無(wú)(相)關(guān)．顯然，=[一1，2，一3]T線性無(wú)關(guān)(因｜｜≠0)．由上述結(jié)論可知在它們的相同位置上增加相同個(gè)數(shù)(1個(gè))分量所得到的升維向量組α1，α2，α3總是線性無(wú)關(guān)．僅(C)入選．6、設(shè)α1，α2，α3是四元非齊次線性方程組AX=b的三個(gè)解向量，且A的秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，C表示任意常數(shù)，則線性方程組Ax=b的通解X=()．A、[1，2，3，4]T+C[1，1，1，1]TB、[1，2，3，4]T+C[0，1，2，3]TC、[1，2，3，4]T+C[2，3，4，5]TD、[1，2，3，4]T+C[3，4，5，6]T標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)非齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu)，依次求出其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系及自身的一個(gè)特解．方法一因r(A)=3，n=4，故導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系只含n一r(A)=4—3=1個(gè)解．又根據(jù)非齊次線性方程組的兩個(gè)解的差為其導(dǎo)出組的解，因而2α1一(α2+α3)=(α1一α2)+(α1一α3)=[2，3，4，5]T≠0為其導(dǎo)出組的一個(gè)解，因它不等于0，故[2，3，4，5]T為其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系．又顯然α1為其自身的一個(gè)特解，故所求通解為α1+C[2α1一(α2+α3)]=[1，2，3，4]T+C[2，3，4，5]T．僅(C)入選．方法二(A)中[1，1，1，1]T=α1一(α2+α3)，(B)中[0，1，2，3]T=α2+α3及(D)中[3，4，5，6]T=3α1一2(α2+α3)都不是AX=0的解(因解向量的系數(shù)的代數(shù)和不等于0)，因而乘以任意常數(shù)C后不能構(gòu)成其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，故選項(xiàng)(A)、(B)、(D)都不正確．僅(C)入選．7、已知二維隨機(jī)變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布，方差D(X)≠D(Y)，則()．A、X與Y一定獨(dú)立B、X與Y一定不獨(dú)立C、X+Y與X－Y一定獨(dú)立D、X+Y與X－Y一定不獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(X，Y)為二維正態(tài)隨機(jī)變量，如cov(X，Y)≠0，則X，Y相關(guān)，不獨(dú)立．同樣如X+Y，X—Y相關(guān)，則X+Y，X—Y一定不獨(dú)立．由于隨機(jī)變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布，X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)，即ρxy=0．而題中對(duì)此未作任何假設(shè)，(A)和(B)有時(shí)成立，有時(shí)不成立，然而cov(X+Y，X－Y)=cov(X，X)+cov(Y，X)一cov(X，Y)一cov(Y，Y)=D(X)一D(Y)≠0，由此推出X+Y與X—Y相關(guān)，因此X+Y與X—Y不獨(dú)立．僅(D)入選．8、設(shè)X1，X2，…，Xn+1是來(lái)自正態(tài)分布N(μ，σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，設(shè)已知T=k～t(m)，則k，m的值分別為()．A、k=，m=n－1B、k=，m=n－1C、k=，m=nD、k=，m=n標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因，則Xn+1－～N(0，1)，S2=～χ2(n一1)，而，S2及Xn+1三者相互獨(dú)立，由t分布的典型模式得到即故k=，m=n一1．僅(A)入選．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、已知=2005，則a=__________，b=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令a—b+1=0，則由上式得，從而a=b—1=10、若=2，則冪級(jí)數(shù)anx3n的收斂半徑是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令t=x3，則原級(jí)數(shù)化為antn的收斂半徑R=2．因而一2＜t＜2，即一2＜x3＜2，故，于是原級(jí)數(shù)的收斂半徑為11、設(shè)f(x，y)==__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2e－x2y2知識(shí)點(diǎn)解析：=ye－x2y2，因f(x，y)具有對(duì)稱性，故得到=xe－x2y2同理，由=－2xy3e－x2y2及對(duì)稱性得到=－2x3ye－x2y2．而=e－x2y2一2x2y2e－x2y2，故=－2e－x2y2．12、設(shè)平面π的方程為2x—y+z一2=0，直線l的方程為則π與l的位置關(guān)系是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：l在π上知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣械姆ㄏ蛄繛閚=(2，一1，1)，l的方向向量為s=(1，3，1)，由于n.s=2—3+1=0，．即n與s垂直，從而l與π平行．又由l的方程知，l過(guò)點(diǎn)(1，一2，一2)，此點(diǎn)坐標(biāo)亦滿足π的方程，所以l在π上．13、A是n×s矩陣，r(A)=s，B是s×n矩陣，r(B)=n，則r(AB)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：n知識(shí)點(diǎn)解析：因A為n×s矩陣，且r(A)=s，即A為列滿秩矩陣，則．r(AB)=r(B)=n．14、在總體N(1，4)中抽取一容量為5的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1，X2，…，X5，則概率P(min{X1，X2，…，X5}＜1)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．96875知識(shí)點(diǎn)解析：P(min{X1，X2，…，X5}＜1)=1一P(min{X1，X2，…，X5}≥1)=1一P(X1≥1，X2≥1，…，X5≥1)=1一[P(X1≥1)]5三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、求標(biāo)準(zhǔn)答案：令1／n=x，則n→∞時(shí)，x→0．于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(x)在[a，b](0＜a＜b)上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a，b)內(nèi)存在ξ，η使f′(ξ)=標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(x)=－1／x，對(duì)f(x)，g(x)在[a，b]上使用柯西中值定理知，存在η∈(a，b)，使即再對(duì)f(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理得到：存在ξ∈(a，b)，使故在(a，b)內(nèi)存在ξ，η使知識(shí)點(diǎn)解析：由η2f′(η)=易看出可先對(duì)f(x)及g(x)=－1／x在[a，b]上使用柯西中值定理，再對(duì)其函數(shù)差值使用拉格朗日中值定理證之．17、將函數(shù)f(x)=ln(x+)展成x的冪級(jí)數(shù)并求f(2n+1)(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f′(x)=，利用展開(kāi)式(1+x)α=1+ax+xn+…得到再在上式兩邊積分得到級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(一1，1)．但當(dāng)x=±1時(shí)，等式右邊的級(jí)數(shù)為為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足萊布尼茨準(zhǔn)則，是收斂的，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇一1，1]，即①其中x∈[一1，1]．再求f(2n+1)(0)．由于f(x)麥克勞林展開(kāi)式為另一方面，由式①得到f(2n+1)(0)=0(n=0，1，2，…)，f′(0)=1．=(一1)n故f2n+1(0)=(一1)n[1.3.5.….(2n一1)]2，n=1，2，3，…．知識(shí)點(diǎn)解析：將函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處展成冪級(jí)數(shù)，若用直接展開(kāi)法需求出f(n)(x0)，這是比較困難的．若用間接展開(kāi)法，可避開(kāi)求f(x)的n階導(dǎo)數(shù)．本例用間接展開(kāi)法，為此先求f(x)的導(dǎo)數(shù)，將其導(dǎo)數(shù)展成x的冪級(jí)數(shù)后再積分即得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式．設(shè)函數(shù)f(x)的展開(kāi)式求出為f(x)=an(x—x0)n．另一方面，函數(shù)f(x)的展開(kāi)式為f(x)=(x—x0)n．比較它們的同次冪系數(shù)，由展開(kāi)式的唯一性，有=an，即f(n)(x0)=an.n!(n=0，1，2，…)．這是求函數(shù)在一點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)值的有效方法．18、計(jì)算曲面積分4zxdydz－2zydzdx+(1一z2)dxdy，其中S為z=ey(0≤y≤a)繞z軸旋轉(zhuǎn)成的曲面下側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)D為平面z=ea介于此旋轉(zhuǎn)曲面內(nèi)的部分．令P=4zx，Q=－2zy，R=1一z2，則根據(jù)高斯公氏得4zxdydz一2zydzdx+(1一z2)dxdy=0，所以4zxdydz一2zydzdx+(1一z2)dxdy=4zxdydz一2zydzdx+(1一z2)dxdy．因D關(guān)于y軸對(duì)稱，4zx是D上關(guān)于x的奇函數(shù)，故4zxdxdy=0．又D關(guān)于x軸對(duì)稱，2zy是D上關(guān)y的奇函數(shù)，故52zydzdx=0．于是4zxdydz一2zydzdx+(1一z2)dxdy=0+0－(1一z2)dxdy=一(1一e2a)dxdy=(e2a—1)dxdy=(e2a一1)πa2．知識(shí)點(diǎn)解析：曲面S不封閉，先添加一平面區(qū)域D(見(jiàn)下圖)使其封閉．在封閉曲面所圍成的區(qū)域內(nèi)使用高斯公式求之．而在添加的平面域上的積分可利用對(duì)稱性等方法簡(jiǎn)化求之．19、問(wèn)滿足方程一y″一2y′=0的哪一條積分曲線通過(guò)點(diǎn)(0，一3)，在該點(diǎn)處有傾角為arctan6的切線且曲率為0?標(biāo)準(zhǔn)答案：此方程是一常系數(shù)齊次線性微分方程，其特征方程為r3一r2一2r=0，解得r1=0，r2=2，r3=－1．即微分方程的通解為Y=C1+C2e2x+C3e－x．因積分曲線通過(guò)點(diǎn)(0，一3)，代入上式有C1+C2+C3=－3．①由題設(shè)知該點(diǎn)的傾角為arctan6，即y′｜x=0=[2C2e2x一C3e－x]x=0=tan(arctan6)，亦即2C2一C3=6．②又在這點(diǎn)曲率為0，因而y″｜x=0=[4C2e2x+C3e－x]x=0=0即4C2+C3=0③聯(lián)立式①、式②、式③解得C1=0，C2=1，C3=－4，則所求的積分曲線為y=e2x一4e－x．知識(shí)點(diǎn)解析：高于二階的常系數(shù)齊次線性方程的求解方法與二階的常系數(shù)齊次線性方程的求解方法類似：利用特征方程的每個(gè)根與方程的特解的對(duì)應(yīng)關(guān)系寫(xiě)出其通解．20、求方程組的通解，并求滿足x2=x3的全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由基礎(chǔ)解系和特解的簡(jiǎn)便求法即得其基礎(chǔ)解系為α1=[33，一5，一3，1，0]T，α2=[一23，3，2，0，1]T，其特解為η=[81，一11，一7，0，0]T，其通解為X=k1α1+k2α2+η=k1[33，一5，一3，1，0]T+k22[一23，3，2，0，1]T+[81，一11，一7，0，0]T．若x2=x3，則有一5k1+3k2—11=一3k1+2k2—7，即k2=2k1+4，代入通解得x2=x3的全部解為X=k1[33，一5，一3，1，0]T+(2k1+4)[一23，3，2，0，1]T+[81，一11，一7，0，0]T=k1[一13，1，1，1，2]T+[一11，1，1，0，4]T，k1是任意實(shí)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：先用初等行變換將其增廣矩陣化成階梯形矩陣使導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣出現(xiàn)最高階的單位矩陣，然后用基礎(chǔ)解系和特解簡(jiǎn)便求法寫(xiě)出基礎(chǔ)解系和特解及通解．在通解中令x2=x3即得所求的全部解．21、設(shè)三階對(duì)稱矩陣A的特征值為0，1，1．α1，α2是A的兩個(gè)不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2．(1)證明α2=0；(2)求方程組AX=α2的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：先證明α1與α2是屬于不同特征值的特征向量，且α1是屬于特征值λ1=0的特征向量，α2是屬于特征值λ2=1的特征向量，否則都與A(α1+α2)=α2矛盾．例如：若Aα1=α1，Aα2=0.α2，則A(α1+α2)=Aα1=α1≠α2；若Aα1=α1，Aα2=α2，則A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+α2≠α2(因αi為特征向量，α1≠0)．α1，α2既然屬于不同特征值的特征向量，由A為實(shí)對(duì)稱矩陣便有α2=0．因A為實(shí)對(duì)稱矩陣，必與對(duì)角矩陣相似，因而秩(A)=2，則AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系含3—2=1個(gè)解向量．由Aα1=0α1=0知，α1為基礎(chǔ)解系．又由A(α1+α2)=α2及Aα2=1.α2=α2知，α2與α1+α2都為AX=α2的特解，故AX=α2的通解為kα1+α2或kα1+(α1+α2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)X，Y相互獨(dú)立，都在(0，1)內(nèi)服從均勻分布，現(xiàn)有區(qū)域D0={(x，y)｜0≤x≤1，x2≤y≤1)(見(jiàn)下圖)．(1)若對(duì)(X，Y)進(jìn)行5次獨(dú)立觀察，求至少有一次落在D0內(nèi)的概率；(2)若要求至少有一次落在D0內(nèi)的概率不小于0．999，至少要進(jìn)行多少次觀察?標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)有因X，Y相互獨(dú)立，有(1)設(shè)μn為(X，Y)落在D0內(nèi)的次數(shù)，則μn～B(5，2／3)，于是P(μn≥1)=1一P(μn=0)=1一(1／3)5≈0．996．(2)P(μn≥1)=1一P(μn一0)=1一(1／3)n≥0．999．因≤0．001，3n≥1000，n≥6．29，取n≥7，故至少要進(jìn)行7次觀察．知識(shí)點(diǎn)解析：求解的問(wèn)題是與次數(shù)有關(guān)的問(wèn)題．應(yīng)首先設(shè)出落在D0內(nèi)的次數(shù)這個(gè)隨機(jī)變量，它服從二項(xiàng)分布，利用此分布求解有關(guān)問(wèn)題．23、設(shè)(X，Y)為二維離散型隨機(jī)變量，已知P(XY=0)=1，給定下表，試求(X，Y)的聯(lián)合分布，并求X+Y與X2Y的分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：因P(XY=0)=1，故P(XY≠0)=0，于是P12=P32=0．又由聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系得到P11+P12=P1.，即P11+0=1／4，故P11=1／4；P31+P32=P3.，即P31+0=1／4，故P31=1／4．又P11+P21+P31=P.1，即1／4+P21+1／4=1／2，故P21=0；P12+P22+P32=P.2，即0+P22+1=1／2，故P22=1／2．故所求的(X，Y)的聯(lián)合分布為將上述所求得的聯(lián)合分布表改寫(xiě)成下述形式，并在同一表格上分別求出X+Y，X2Y的分布：故X+Y及X2Y的分布如下：知識(shí)點(diǎn)解析：利用題設(shè)及聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系求其聯(lián)合分布．用同一表格法求X+Y與X2Y的分布．考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)＝()。A、B、C、1D、－1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：注意求參數(shù)方程x＝x(t)，y＝y(tǒng)(t)二階導(dǎo)數(shù)的公式是：不要將二階導(dǎo)數(shù)求錯(cuò)!常出現(xiàn)的錯(cuò)誤的做法是其原因是忘記了t是中間變量，x才是自變量。2、設(shè)，則f’x(2，2)＝()。A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：解因f(x，2)＝x2，故f’x(2，2)＝(x2)’｜x＝2＝4，僅(D)入選。注意如不先將y＝2代入f(x，y)中化簡(jiǎn)其表示式而是直接對(duì)x求偏導(dǎo)，那就麻煩多了!3、直線()。A、異面B、相交一點(diǎn)C、平行但不重合D、重合標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：解易求得L1與L2的方向向量，由知，它們的方向向量分別為n1＝(2，－1，1)，n2＝(2，－1，3)。因它們不成比例，故它們不平行，排除(C)和(D)。為考察L1與L2是否有交點(diǎn)，只需考察由方程組①與方程組②組成的聯(lián)立方程組是否有公共解，為此解方程組故其交點(diǎn)為x＝0，y＝3／2，z＝1／2，排除(A)，僅(B)入選。4、若視∑為曲面x2＋y2＋z2＝a2(y≥0，z≥0)的上側(cè)，則當(dāng)f(x，y，z)為下述選項(xiàng)中的函數(shù)()，曲線積分。A、exsinzB、x3y2C、xycos(1＋z2)D、x4y4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：解因積分曲面∑關(guān)于坐標(biāo)平面yOz對(duì)稱，而f(x，y，z)＝x4y4關(guān)于x為偶函數(shù)，則，僅(D)入選。5、已知向量組α1，α2，α3，α4線性無(wú)關(guān)，則下列向量組中線性無(wú)關(guān)的是()。A、α1＋α2，α2－α3，α3－α4，α4＋α1B、α1＋α2，α1－2α3，α1＋α2－α3，5α2＋α3C、α1＋α2＋α3，α1－α2＋α3，α1＋3α2＋9α3D、α1＋α3，α2＋2α3＋α4，α1＋2α3＋α4，α2＋3α3＋2α4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：解因?yàn)?α1＋α2)－(α2－α3)－(α3－α4)－(α4＋α1)＝0，所以向量組(A)線性相關(guān)。若令β1＝α1＋α2，β2＝α1－2α3，β3＝α1＋α2－α3，β4＝5α2＋α3。則β1，β2，β3，β4可由α1，α2，α3線性表示，即多數(shù)向量可由少數(shù)向量線性表示。因此β1，β2，β3，β4線性相關(guān)，即向量組(B)線性相關(guān)。關(guān)于(C)，由α1，α2，α3，α4線性無(wú)關(guān)知，α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，若令β1＝α1＋α2＋α3，β2＝α1－α2＋α3，β3＝α1＋3α2＋9α3，則[β1，β2，β3]＝[α1，α2，α3]。因?yàn)槭欠兜旅尚辛惺?，不?，所以r(β1，β2，β3)＝r(α1，α2，α3)＝3，即向量組(C)線性無(wú)關(guān)，故僅(C)入選。因[α1＋α3，α2＋2α3＋α4，α1＋2α3＋α4，α2＋3α3＋2α4]＝[α1，α2，α3，α4]而右邊行列式等于0，故(D)中向量組線性相關(guān)。6、設(shè)A，B均為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A與B合同的充分必要條件是()。A、A，B的秩相等B、A，B的全部特征值相同C、A，B的行列式相等D、A，B的二次型具有相同的標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：解一因?qū)崒?duì)稱矩陣A與B合同的充要條件是正負(fù)慣性指數(shù)相等，表現(xiàn)在A，B的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形相同，因而僅(D)入選。解二僅有A，B的秩相等不能保證正(或負(fù))慣性指數(shù)相等，因而(A)不對(duì)。(B)項(xiàng)為A，B合同的充分條件，但不是A，B合同的必要條件。(C)項(xiàng)僅證明A和B的秩相等，同(A)項(xiàng)一樣不能證明A與B合同，僅(D)入選。7、設(shè)A，B為隨機(jī)事件滿足條件1＞P(A)＞0，1＞P(B)＞0，且P(A－B)＝0，則成立()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：僅(D)入選。解二由排錯(cuò)法求之。如(A)成立，則P(A)＜P(B)，AB，但由推不出，故(A)不成立。由(B)推得P(A)＞P(B)，則P(A)＞P(AB)，但這與P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝0矛盾，故(B)也不成立。＝1－P(B)≠0，故(C)也不正確，僅(D)入選。8、設(shè)有隨機(jī)變量X，已知E(X)＝μ，D(X)＝σ2，則對(duì)常數(shù)C(C≠μ)必有()。A、E(X－C)2＝E(X2)－E(C2)B、E(X－C)2＝E(X－μ)2C、E(X－C)2＜E(X－μ)2D、E(X－C)2＞E(X－μ)2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：解因E(X－C)2－E(X－μ)2＝E[(X－C)2－(X－μ)2]＝E(C2－2XC＋2Xμ－μ2)＝C2－2μC＋2μ2－μ2＝(C－μ)2＝E(C－μ)2＞0，故E(X－C)2＞E(X－μ)2。僅(D)入選。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)若f(x)在點(diǎn)x＝0處可導(dǎo)，則a＝＿＿＿＿＿＿＿＿，b＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：0,1知識(shí)點(diǎn)解析：解一f(x)在點(diǎn)x＝0處連續(xù)，故由f’－(0)＝f’＋(0)得到1－a＝b，故b＝1。解二由f(x)在點(diǎn)x＝0處連續(xù)得到a＝0。又由f’＋(0)＝f’－(0)得b＝1。10、若2f(x)＝sin3x－2sin2x∫0πf(x)dx＋sinx∫0πf(x)dx，則∫0πf(x)dx＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：[解題思路]在所給等式兩端自0到π對(duì)x積分，并設(shè)常數(shù)A＝∫0πf(x)dx。解2A＝∫0πsin3xdx－2A∫0πsin2xdx＋A∫0πsinxdx，利用∫0πsinnxdx＝2∫0π/2sinnxdx，由上式得到2A＝2∫0π/2sin3xdx－2A·2∫0π/2sin2xdx＋2A∫0π/2sinxdx。11、設(shè)，其中f(μ，ν)是連續(xù)函數(shù)，則dz＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：[解題思路]利用一階全微分形式不變性及變限積分的求導(dǎo)公式求之，也可利用一階全微分公式求之。解一利用一階全微分形式不變性求之：12、＝＿＿＿＿＿＿＿＿，其中L為x2＋2y2＝1的正向。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：[解題思路]將L的方程代入積分中可簡(jiǎn)化計(jì)算，還可直接使用下列公式得到其中L為D的分段光滑正向邊界閉曲線。解D：x2＋2y2≤1。13、A是n階矩陣，AX＝b有唯一解，則二次型f(x1，x2，…，xn)＝XT(ATA)X的正慣性指數(shù)p＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：n知識(shí)點(diǎn)解析：[解題思路]正確理解AX＝b有唯一解的含義：對(duì)任意X≠0，有AX≠0，因而能判定f為正定二次型。解因AX＝b有唯一解，故AX＝0只有零解，則任意X≠0，必不是AX＝0的解，即AX≠0，從而對(duì)任意X≠0有f＝XT(ATA)X＝(AX)TAX＞0，即二次型f為正定二次型，故f的正慣性指數(shù)為n。14、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N(0，σ2)，如果二階行列式Y(jié)＝，則σ2＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：[解題思路]利用方差的性質(zhì)及方差的計(jì)算公式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2求之。解由于Xi相互獨(dú)立，X1X4與X2X3也相互獨(dú)立，且Xi～N(0，σ2)。依題意知1／4＝D(Y)＝D(X1X4－X2X3)＝D(X1X4)＋D(X2X3)，其中D(XiXj)＝E(XiXj)2－[E(XiXj)]2＝E(Xi2)E(Xj2)－[E(Xi)E(Xj)]2(因E(Xi)＝E(Xj)＝0)＝E(Xi2)E(Xj2)＝[D(Xi)＋E(Xi)2][D(Xj)＋E(Xi)2]＝D(Xi)D(Xj)＝(σ2)·(σ2)(i≠j)＝σ4，則1／4＝D(Y)＝D(X1X4)＋D(X2X3)＝σ4＋σ4＝2σ4，故σ4＝1／8，σ2＝。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)f"(x)，又設(shè)連接點(diǎn)A＝(a，f(a))及點(diǎn)B＝(b，f(b))的線段與f(x)的圖形有交點(diǎn)P，而P點(diǎn)異于A，B兩點(diǎn)，證明存在點(diǎn)c∈(a，b)，使得f"(c)＝0。標(biāo)準(zhǔn)答案：解如右圖所示，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，f(x0))，由拉格朗日中值定理，存在點(diǎn)ξ1∈(a，x0)，ξ2∈(x0，b)使注意到A，B，P三點(diǎn)在同一條直線上，因此AP，PB有相同斜率，故有f’(ξ1)＝f’(ξ2)。對(duì)函數(shù)f’(x)在區(qū)間[ξ1，ξ2]上應(yīng)用羅爾定理，則存在點(diǎn)c∈(ξ1，ξ2)，使f"(c)＝0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求，a為任意正實(shí)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求由方程2x2＋2y2＋z2＋8xz－z＋8＝0所確定的隱函數(shù)z＝z(x，y)的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：解為求隱函數(shù)的極值，先利用原方程求出駐點(diǎn)及其相應(yīng)的函數(shù)值。由隱函數(shù)微分法得令，解得x＝－2z，y＝0代入原方程得7z2＋z－8＝0，又解得z1＝1，z2＝－8／7，于是駐點(diǎn)為(－2，0)及(16／7，0)。故函數(shù)z＝z(x，y)在點(diǎn)(－2，0)處得極小值z(mì)＝1。故函數(shù)z＝z(x，y)在點(diǎn)(16／7，0)處得極大值－8／7。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、計(jì)算x2ydx＋(x2＋y2)dy＋(x＋y＋z)dz，其中L為x2＋y2＋z2＝11，z＝x2＋y2＋1的交線，從z軸正向往負(fù)向看，L是逆時(shí)針的。標(biāo)準(zhǔn)答案：解一用參數(shù)法計(jì)算，為此先求出曲線L在xOy上的投影曲線的方程。由x2＋y2＋1＋z2＝12，z2＋z－12＝(z＋4)(z－3)＝0，因z>0，故z＝3，因而x2＋y2＋1＝3，即x2＋y2＝2。用參數(shù)方程表示為，故L的參數(shù)式方程為解二用斯托克斯公式求之，取曲面S為L(zhǎng)所在的平面，其方程為z＝3，x2＋y2≤2，向上，于是∮Lx2ydx＋(x2＋y2)dy＋(x＋y＋z)dz因曲面S關(guān)于yOz平面、zOx平面對(duì)稱，且被積函數(shù)1為偶函數(shù)，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求微分方程y"－ay’＝ebx(a，b為實(shí)常數(shù)，且a≠0，b≠0)的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：解特征方程r2－ar＝0，r＝0，r＝a，故對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為Y＝c1e0x＋c2eax＝c1＋c2eax。下求特解，當(dāng)b≠a時(shí)，設(shè)y*＝Aebx，代入方程得當(dāng)b＝a時(shí)，設(shè)y*＝Bxebx，代入方程得綜上所述，微分方程的通解為：當(dāng)b≠a時(shí)，y＝c1＋c2eax＋；當(dāng)b＝a時(shí)，y＝c1＋c2eax＋。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、如果A是一個(gè)r行n列的其秩為r的矩陣，A的所有行向量形成一個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，而B(niǎo)是一個(gè)任意r階可逆矩陣，則矩陣BA的所有行向量也形成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。標(biāo)準(zhǔn)答案：證一設(shè)，其中αj為A的行向量，B＝[bij]r×r，則，其中βj為BA的行向量，則因α1，α2，…，αr線性無(wú)關(guān)，且B為滿秩矩陣，即r(B)＝r＝向量組(β1，β2，…，βr)的個(gè)數(shù)，故β1，β2，…，βr線性無(wú)關(guān)。因αj為某齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則因β1，β2，…，βr均為α1，α2，…，αr的線性組合，故β1，β2，…，βr也必為該齊次線性方程組的r個(gè)解，又它們線性無(wú)關(guān)，所以β1，β2，…，βr即BA的r個(gè)行向量也為該齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證二設(shè)αj(j＝1，2，…，r)為齊次方程組XTC＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系(XT為行向量，αj也為行向量)，則αjc＝0，其中c為C的任意列向量，則b1jαjc＝0(j＝1，2，…，r)，因而。同理有(i＝1，2，…，r)。即BA的r個(gè)行向量均為XTC＝0的解。又因B可逆，故秩(BA)＝秩(A)＝r，BA的r個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)，所以BA的r個(gè)行向量也形成該齊次方程組XTC＝0的基礎(chǔ)解系。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、用非退化(可逆)的線性變換化二次型f(x1，x2，x3)＝－4x1x2＋2x1x3＋2x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并求此非退化的線性變換。標(biāo)準(zhǔn)答案：解：令①則原式＝－4y12＋4y22＋4y1y3＝－4y12＋4y1y3－y32＋y32＋4y22＝－(2y1－y3)2＋4y22＋y32。再令②則原式＝－z12＋4z22＋32。因此原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為－z12＋4z22＋32。所作的非退化的線性變換是用新變量表示舊變量的線性變換，即X＝PZ，其中X＝[x1，x2，x3]T，Z＝[z1，z2，z3]T。為求此變換，由方程組②得到y(tǒng)3＝z3，y2＝z2，y1＝(z1＋z3)／2。將此代入方程組①得到所求的非退化的線性變換：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、測(cè)量某物體高度時(shí)，測(cè)量誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，52)，即X的概率密度為，－∞＜x＜＋∞，求測(cè)量誤差的絕對(duì)值｜X｜的數(shù)學(xué)期望與方差。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)X1，X2，…，X10是取自正態(tài)總體分布N(μ，σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，是樣本均值，記已知P(T≥a)＝0．05，求a的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：由t分布的對(duì)稱性及分位數(shù)知，顯然3a＞0。于是P[(3T≤－3a)∪(3T≥3a)]＝P(|3T|≥3a)＝0．05＋0．05＝0．10。查自由度為9，α＝0．10的t分布表，得其上分位數(shù)為1．833，即3a＝1．833，a＝0．611。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、A、連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在B、連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在C、不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在D、不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：5、n階方陣A具有n個(gè)不同的特征值是A與對(duì)角陣相似的()．A、充分必要條件B、充分而非必要條件C、必要而非充分條件D、既非充分也非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若n階方陣A有n個(gè)不同的特征值，則一定有，1個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而必相似于對(duì)角矩陣，但反之不成立．因此n階矩陣A具有n個(gè)不同的特征值是A與對(duì)角矩陣相似的充分而非必要條件．故應(yīng)選(B)．6、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)X為隨機(jī)變量，E(X)＝μ，D(X)＝σ2，則對(duì)任意常數(shù)C有()．A、E[(X－C)]2＝E[(x—p)]2B、E[(X－C)]2≥E[(X－μ)]2C、E[(X－C)]2＝E(X2)－C2D、E[(X－C)]2＜E[(X－μ)2]標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、設(shè)f(x)是(-∞，+∞)內(nèi)的偶函數(shù)，并且當(dāng)X∈(-∞，0)時(shí)，有f(x)=x+2，則當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，f(x)的表達(dá)式是A、x+2B、-x+2C、x-2D、-x-2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、改變積分次序=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：12、標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：13、標(biāo)準(zhǔn)答案：5/12知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)=1/4，P(B｜A)=1/3，P(A｜B)=1/2，令求：(Ⅰ)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率分布；(Ⅱ)X與Y的相關(guān)系數(shù)pXY；(Ⅲ)Z=X2+Y2的概率分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由題設(shè)，(X，Y)的可能取值為(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)a≠0，b＞0為兩個(gè)常數(shù)，則為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令=m+θ，當(dāng)x→0+時(shí)，m→+∞，其中0＜θ＜1，則,2、設(shè)f(x)=且f"(0)存在，則()．A、a=2，b=2，c=1B、a=一2，b=一2，c=一1C、a=一2，b=2，c=1D、a=-2，b=2，c=-1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：f(0一0)=f(0)=c，f(0+0)=1，由f(x)在x=0處連續(xù)得c=1，因?yàn)閒"(0)存在，所以a=-2，選C3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：選C4、設(shè)f(x)在x0的鄰域內(nèi)三階連續(xù)可導(dǎo)，且f’(x0)=f"(x0)=0，f"’(x0)＞0，則下列結(jié)論正確的是()．A、x=x0為f(x)的極大點(diǎn)B、x=x0為f(x)的極小點(diǎn)C、(x0，f(x0))為曲線y=y(x)的拐點(diǎn)D、(x0，f(x0))不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由極限的保號(hào)性可知存在δ＞0，當(dāng)0＜|x一x0|＜δ時(shí)，當(dāng)x∈(x0一δ，x0)時(shí)，f"(x)＜0；當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時(shí)，f"(x)＞0，則(x0,f(x0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，選C5、設(shè)四階矩陣A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，而α4=2α1一α2+α3，則r(A*)為()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，而α4=2α1一α2+α3得向量組的秩為3，于是r(A)=3，故r(A*)=1，應(yīng)選(B)．6、設(shè)A是n階矩陣，下列結(jié)論正確的是()．A、設(shè)r(A)=r，則A有r個(gè)非零特征值，其余特征值皆為零B、設(shè)A為非零矩陣，則A一定有