考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷1（共267題）

考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷1（共9套）（共267題）考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、已知微分方程y’’+by’+y=0的每個(gè)解都在區(qū)間(0，+∞)上有界，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A、[0，+∞)．B、(一∞，0]．C、(一∞，4]．D、(一∞，+∞)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：方程y’’+by’+y=0的特征方程為r2+6r+1=0，特征根為(1)b2＜4時(shí)，原方程通解為(2)b2=4時(shí)，原方程通解為(3)b2＞4時(shí)，原方程通解為由以上解的形式可知，當(dāng)b≥0時(shí)，每個(gè)解都在[0，+∞)上有界，故選A．2、具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是()A、y’’’一y’’一y’+y=0．B、y’’’+y’’一y’一y=0．C、y’’’一6y’’+11y’一6y=0．D、y’’’一2y’’一y’+2y=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三個(gè)特解知，r=一1，一1，1為所求三階常系數(shù)齊次微分方程的特征方程的三個(gè)根，則其特征方程為(r—1)(r+1)2=0，即r3+r2一r—1=0，對(duì)應(yīng)的微分方程為y’’’+y’’一y’一y=0，故選B．3、函數(shù)y=C1ex+C2e-2x+xex滿足的一個(gè)微分方程是()A、y’’一y’一2y=3xex．B、y’’一y’一2y=3ex．C、y’’+y’一2y=3xex．D、y’’+y’一2y=3ex．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)所給解的形式，可知原微分方程對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征根為λ1=1，λ2=一2．因此對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征方程為λ2+λ一2=0．故對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為y’’+y’一2y=0．又因?yàn)閥*=xex為原微分方程的一個(gè)特解，而λ=1為特征根且為單根，故原非齊次線性微分方程右端的非齊次項(xiàng)形為f(x)=Cex(C為常數(shù))．比較四個(gè)選項(xiàng)，應(yīng)選D．4、設(shè)是微分方程的解，則的表達(dá)式為()A、1B、1C、1D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：15、微分方程xdy+2ydx=0滿足初始條件y｜x=2=1的特解為()A、xy2=4．B、xy=4．C、x2y=4．D、一xy=4．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原微分方程分離變量得，兩端積分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，將y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解為x2y=4．應(yīng)選C．6、已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的兩個(gè)不同的特解，則方程的通解為()A、y=Cy1(x)．B、y=Cy2(x)．C、y=C1y1(x)+C2y2(x)．D、y=C(y1(x)一y2(x))．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的兩個(gè)不同的特解，則y1(x)一y2(x)為該方程的一個(gè)非零解，則y=C(y1(x)一y2(x))為該方程的解．7、設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)y1，y2，y3都是二階非齊次線性方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3．B、C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．C、C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．D、C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥1，y2，y3是二階非齊次線性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)線性無關(guān)的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齊次線性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)與(y2一y3)線性無關(guān)，因此該齊次線性方程的通解為y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)．比較四個(gè)選項(xiàng)，且由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，故選D．8、已知，y1=x，y2=x2，y3=ex為方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三個(gè)特解，則該方程的通解為()A、y=C1x+C2x2+ex．B、y=C1x2+C2ex+x．C、y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x．D、y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)是一個(gè)二階線性非齊次方程，則(x一x2)和(x一ex)為其對(duì)應(yīng)齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則原方程通解為y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x，故選C．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)9、微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)的特征方程為r2一2r+2=0，解得其特征根為r1,2=1±i．由于α=1不是特征根，可設(shè)原方程的特解為y*=Ae2，代入原方程解得A=1．因此所求的通解為y=C1exeosx+C2exsinx+ex．10、二階常系數(shù)非齊次線性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解為y=______________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1ex+C2e3x－2e2x知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為r2一4r+3=0，解得r1=1，r2=3．則對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程y’’-4y’+3y=0的通解為y=C1ex+C2e3x．設(shè)非齊次線性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x的特解為y*=ke2x，代入非齊次方程可得k=-2．故通解為y=C1ex+C2e3x一2e2x．11、微分方程滿足初始條件y｜x=2=1的特解是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=y2+y知識(shí)點(diǎn)解析：將x看作未知函數(shù)，則上式為x對(duì)y的一階線性方程，又因y=1＞0，則將x=2，y=1代入，得C=1．故x=y2+y．12、微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(x+C)cosx，C是任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：直接利用一階線性微分方程的通解公式可知13、已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，則該方程的通解為y=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：顯然y1一y3=e3x和y2－y2=ex是對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解．且y*=一xe2x是非齊次微分方程的一個(gè)特解．由解的結(jié)構(gòu)定理，該方程的通解為y=C1e3x+C2e一xe2x，其中C1，C2為任意常數(shù)．14、設(shè)y=ex(asinx+bcosx)(a，b為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：y’’-2y’+2y=0知識(shí)點(diǎn)解析：由通解的形式可知，特征方程的兩個(gè)根是r1，r2=1±i，因此特征方程為(r-r1)(r—r2)=r一(r1+r2)r+r1r2=r2一2r+2=0．故，所求微分方程為y’’一2y’+2y=0．15、微分方程滿足初始條件y(1)=1的特解是y=_____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：xe1-x知識(shí)點(diǎn)解析：此方程為一階齊次微分方程，令y=ux，則有，所以原方程可化為解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去絕對(duì)值可得lnu=C1x+1，u=eC1x+1，將u｜x=1=1代入，得C1=一1，u=e1-x，因此原方程的解為y=xe1-x．16、微分方程xy’’+3y’=0的通解為_______________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令p=y’，則原方程化為，其通解為p=Cx-3．因此，17、微分方程的通解是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=Cxe-x(x≠0)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程等價(jià)為兩邊積分得lny=lnx—x+C1．取C=eC1，整理得y=Cxe-x(x≠0)．18、微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將已知微分方程變形整理得，19、微分方程的通解為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：二階齊次微分方程的特征方程為20、微分方程滿足y｜x=1=1的特解為_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)21、設(shè)f(u，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且fu’(u，v)+fu’(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e-2xf(x，x)所滿足的一階微分方程，并求其通解標(biāo)準(zhǔn)答案：由y(x)=e-2xf(x，x)，有y’(x)=一2-2xf(x，x)+e-2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]，由fu’(u，v)+fv’(u，v)=sin(u+v)eu+v可得f1’(x，x)+f2’(x，x)=(sin2x)e2x．于是y(x)滿足一階線性微分方程y’(x)+2y(x)=sin2x．通解為y(x)=e-2x[∫sin2x.e2xdx+C]，由分部積分公式，可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)滿足方程f''(x)+f'(x)一2f(x)=0及f''(x)+f(x)=2ex．22、求f(x)的表達(dá)式；標(biāo)準(zhǔn)答案：齊次微分方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程為r2+r一2=0，特征根為r1=1，r2=一2，因此該齊次微分方程的通解為f(x)=C1ex+C2e-2x．再由f’’(x)+f(x)=2ex得2C1ex一3C2e-2x=2ex．因此可知C1=1，C2=0．所以f(x)的表達(dá)式為f(x)=ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求曲線y=f(x2)∫0xf(-t2)dt的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線方程為令y’’=0得x=0．下面證明x=0是y’’=0唯一的解，當(dāng)x＞0時(shí)，2x＞0,2(1+2x2)ex2∫0xe-t2dt＞0，可知y’’＞0：當(dāng)x＜0時(shí)，2x＜0，2(1+2x2)e-t2∫0xe-t2dt＜0，可知y’’＜0．可知x=0是y’’=0唯一的解．同時(shí)，由上述討論可知曲線y=f(x2)∫0x[一t2)dt，在x=0左右兩邊的凹凸性相反，可知(0，0)點(diǎn)是曲線y=(x2)=∫0xf(一t2)dt唯一的拐點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)y(x)(x≥0)二階可導(dǎo)，且y’(x)＞0，y(0)=1．過曲線y=y(x)上任意一點(diǎn)P(x，y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區(qū)間[0，x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)2S1一S2恒為1，求曲線y=y(x)的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線y=y(x)上的點(diǎn)P(x，y)處的切線方程為Y—y=y’(X一x)．它與x軸的交點(diǎn)為由于y’(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)．于是又S2=∫0xy(t)dt.根據(jù)題設(shè)2S1一S2=1，有并且y’(0)=1，兩邊對(duì)x求導(dǎo)并化簡(jiǎn)得yy’’=(y’)2，這是可降階的二階常微分方程，令P(y)=y’，則上述方程可化分離變量得從而有y=C2eC1x根據(jù)y’(0)=1，y(0)=1，可得C1=1，C2=1．故所求曲線的方程為y=ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)y=y(x)在(一∞，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．25、試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知于是有代入原微分方程得y’’－y=sinx．(*)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、求變換后的微分方程滿足初始條件的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程(*)所對(duì)應(yīng)的齊次方程y’’一y=0的通解為Y=C1ex+C2e-x．設(shè)方程(*)的特解為y*=Acosx+Bsinx，代入方程(*)，求，因此y’’一y=sinx的通解是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、微分方程y’’-4y=e2x+x的特解形式為()．A、ae2x+bx+cB、ax2e2x+bx+cC、axe2x+bx2+cxD、axe2x+bx+c標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：y’’-4y=0的特征方程為λ2-4=0，特征值為λ1=-2，λ2=2．y’’-4y=e2x的特解形式為y=axe2x，y’’-4y=x的特解形式為y2=bx+C，故原方程特解形式為axe2x+bx+c，選(D)．2、設(shè)三階常系數(shù)齊次線性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，則該微分方程為()．A、y’’’-y’’-y’+y=0B、y’’’+y’’-y’-y=0C、y’’’+2y’’-y’-2y=0D、y’’’-2y"-y’+2y=0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由y1=ex，y2=2xe-x，y3=3e-x為三階常系數(shù)齊次線性微分方程的特解可得其特征值為λ1=λ2=1，λ3=-1，其特征方程為(λ-1)2(λ+1)=0，即λ3-λ2-λ+1=0，所求的微分方程為y’’’-y’’-y’+y=0，選(A)．3、設(shè)φ1(x)，φ2(x)為一階非齊次線性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則該方程的通解為()．A、C[φ1(x)+φ2(x)]B、C[φ1(x)-φ2(x)]C、C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)D、[φ1(x)-φ2(x)]+Cφ2(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?(x)，φ2(x)為方程y’+P(x)y=Q(x)的兩個(gè)線性無關(guān)解，所以φ1(x)-φ2(x)為方程y’+P(x)y=0的一個(gè)解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解為C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)，選(C)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)4、yy’’=1+y’2滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=0的解為______標(biāo)準(zhǔn)答案：±x知識(shí)點(diǎn)解析：令y’=p，則，解得In(1+p2)=lny2+lnC1，則1+p2=C1y2，由y(0)=1，y’(0)=0得y’=+C2=±x，由y(0)=1得C2=0，所以特解為5、微分方程y’’+4y=4x-8的通解為_______標(biāo)準(zhǔn)答案：C1cosx+C2sin2x+x-2．知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程兩個(gè)特征值為λ1=-2i，λ2=2i，則微分方程的通解為y=C1cosx+C2sin2x+x-2．6、設(shè)y=y(x)過原點(diǎn)，在原點(diǎn)處的切線平行于直線y=2x+1，又y=y(x)滿足微分方程y’’-6y’+9y=e3x，則y(x)=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題意得y(0)=0，y’(0)=2，y’’-6y’+9y=e3x的特征方程為λ2-6λ+9=0，特征值為λ1=λ2=3，令y’’-6y’+9y=e3x的特解為y0(x)=ax2e3x，代人得a=故通解為y=(C1+C2x)e3x+由y(0)=0，y’(0)=2得C1=0，C2=2，則y(x)=2xe3x+7、微分方程2y’’=3y2滿足初始條件y(-2)=1，y’(-2)=1的特解為_________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令y’=p，則y’’=，解得p2=y3+C1，由y(-2)=1，y’(-2)=1，得C1=0，所以y’=，再由y(-2)=1，得C2=0，所求特解為=8、微分方程xy’=的通解為________標(biāo)準(zhǔn)答案：ln｜x｜+C知識(shí)點(diǎn)解析：由xy’=9、設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y’’+y’+qy=Q(x)有特解y=3e-4x+x2+3x+2，則Q(x)=______，該微分方程的通解為_______標(biāo)準(zhǔn)答案：-12x2-34x-19，C1e-4x+C2e2+x2+3x+2知識(shí)點(diǎn)解析：顯然λ=-4是特征方程λ2+λ+q=0的解，故q=-12，即特征方程為λ2+λ-12=0，特征值為λ1=-4，λ2=3．因?yàn)閤2+3x+2為特征方程y’’+y’-12y=Q(x)的一個(gè)特解，所以Q(x)=2+2x+3-12(x2+3x+2)=-12x2-34x-19，且通解為y=C1e-4x+C2e2+x2+3x+2(其中C1，C2為任意常數(shù))．10、以y=C1e-2x+C2ex+cosx為通解的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程為______標(biāo)準(zhǔn)答案：-sinx-3cosx，y’’+y’-2y=-sinx-3cosx．知識(shí)點(diǎn)解析：特征值為λ1=-2，λ2=1，特征方程為λ2+λ-2=0，設(shè)所求的微分方程為y’’+y’-2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程為y’’+y’-2y=-sinx-3cosx．11、設(shè)y’’-3y’+ay=-5e-x的特解形式為Axe-x，則其通解為______標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e-x+C2e4x+xe-x知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榉匠逃刑亟釧xe-x，所以-1為特征值，即(-1)2-3×(-1)+a=0a=-4，所以特征方程為λ2-3λ-4=0λ1=-1，λ2=4，齊次方程y’’-3y’+ay=0的通解為y=C1e-x+C2e4x，再把Axe-x代入原方程得A=1，原方程的通解為y=C1e-x+C2e4x+xe-x12、設(shè)f(x)可導(dǎo)，且[f(x)+xf(xt)]dt=1，則f(x)=________標(biāo)準(zhǔn)答案：e-x知識(shí)點(diǎn)解析：由整理得f(x)+f(u)du=1，兩邊對(duì)x求導(dǎo)得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce-x，因?yàn)閒(0)=1，所以C=1，故f(x)=e-x三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)13、求滿足初始條件y’’+2x(y’)2=0，y(0)=1，y’(0)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’=p，則y’’=由y’(0)=1得C1=1，于是y’=，y=arctanx+C2，再由y(0)=1得C2=1，所以y=arctanx+1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、求微分方程yy’’-y’2滿足初始條件y(0)=y’(0)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’=p，則y’’==0．當(dāng)p=0時(shí)，y=1為原方程的解；當(dāng)p≠0時(shí)，由由y(0)=y’(0)=1得C1=1，于是-y=0，解得y=C2e-∫dx=C2ex，由y(0)-1得C2=1，所以原方程的特解為y=ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求微分方程y’’-y’-6y=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2-λ-6=0，特征值為λ1=-2，λ2=3，則原方程的通解為y=C1e-2x+C2e3x知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求微分方程y’’+4y’+4y=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2+4λ+4=0，特征值為λ1=λ2=-2，則原方程的通解為y=(C1+C2x)e-2x知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求微分方程y’’-y’+2y=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2-λ+2=0，特征值為λ1,2=則原方程的通解為y=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程以y1=e2x，y2=2e-x-3e2x為特解，求該微分方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閥1=e2x，y2=2e-x-3e2x為特解，所以e2x，e-x也是該微分方程的特解，故其特征方程的特征值為λ1=-1，λ2=2，特征方程為(λ+1)(λ-2)=0即λ2-λ-2=0，所求的微分方程為y’’-y’-2y=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求微分方程y’’+2y’-3y=(2x+1)ex的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2+2λ-3=0，特征值為λ1=1，λ2=-3，則y’’+2y’-3y=0的通解為y=C1ex+C2e-3x．令原方程的特解為y0=x(ax+b)ex，代入原方程得a=所以原方程的通解為y=C1ex+C2e-3x+(2x2+x)ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求y’’-2y’-ex=0滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程化為y’’-2y’=e2x．特征方程為λ2-2λ=0，特征值為λ1=0，λ2=2，y’’-2y’=0的通解為y=C1+C2e2x．設(shè)方程y’’-2y’=e2x的特解為y0=Axe2x，代入原方程得A=原方程的通解為y=C1+C2e2x+由y(0)=1，y’(0)=1得故所求的特解為y=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求微分方程y’’+4y’+4y=eax的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2+4λ+4=0，特征值為λ1=λ2=-2，原方程對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為y=(C1+C2x)e-2x(1)當(dāng)a≠-2時(shí)，因?yàn)閍不是特征值，所以設(shè)原方程的特解為y0(x)=Aeax，代入原方程得A=，則原方程的通解為y=(C1+C2x)e-2x+(2)當(dāng)a=-2時(shí)，因?yàn)閍=-2為二重特征值，所以設(shè)原方程的特解為y0(x)=Ax2e-2x，代入原方程得A=，則原方程的通解為y=(C1+C2x)e-2x+知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求微分方程y’’+y=x2+3+cosx的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2+1=0，特征值為λ1=-i，λ2=i，方程y’’+y=0的通解為y=C1cosx+C2sinx．對(duì)方程y’’+y=x2+3，特解為y=x2+1；對(duì)方程y’’+y=cosx，特解為xsinx，原方程的特解為x2+1+則原方程的通解為y=C1cosx+C2sinx+x2+1+知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)單位質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)，初速度v｜t=0=v0．已知阻力與速度成正比(比例系數(shù)為1)，問t為多少時(shí)此質(zhì)點(diǎn)的速度為?并求到此時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為v(t)，阻力F=ma=解此微分方程得v(t)=v0e-t．由v0e-t=得t=ln3，從開始到t=ln3的時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，且f(0)＞0，設(shè)f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)與f(x)的幾何平均數(shù)，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)曲線L位于xOy平面的第一象限內(nèi)，L上任意一點(diǎn)M處的切線與y軸總相交，交點(diǎn)為A，已知｜MA｜=｜OA｜，且L經(jīng)過點(diǎn)，求L的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則切線MA：Y-y=y’(X-x)．令X=0，則Y=y-xy’，故A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y-xy’)．由｜MA｜=｜OA｜，得｜y-xy’｜=即2yy’-因?yàn)榍€經(jīng)過點(diǎn)，所以C=3，再由曲線經(jīng)過第一象限得曲線方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、在上半平面上求一條上凹曲線，其上任一點(diǎn)P(x，y)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線段PQ的長(zhǎng)度的倒數(shù)(Q為法線與x軸的交點(diǎn))，且曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線與z軸平行．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求曲線為y=y(x)，該曲線在點(diǎn)P(x，y)的法線方程為令Y=0，得X=x+yy’，該點(diǎn)到z軸法線段PO的長(zhǎng)度為由題意得，即yy’’-1+y’2．令y’=p，則y’’=，由y(1)=1，y’(1)=0得C1=1，所以y’=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、一半球形雪堆融化速度與半球的表面積成正比，比例系數(shù)為k＞0，設(shè)融化過程中形狀不變，設(shè)半徑為r0的雪堆融化3小時(shí)后體積為原來的，求全部融化需要的時(shí)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻雪堆的半徑為r，則有，令r=0得t=6，即6小時(shí)雪堆可以全部融化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)且滿足f(0)=1，f’(x)-f(x)=a(x-1)．y-f(x)，=0，x=1，y=0圍成的平面區(qū)域繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最小，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f’(x)-f(x)=a(x-1)得f(x)=[a∫(x-1)e∫-1dxdx+C]e-∫-dx=Cex-ax，由f(0)=1得C=1，故f(x)=ex-ax．由V’(a)=，所以當(dāng)a=3時(shí)，旋轉(zhuǎn)體的體積最小，故f(x)=ex-3x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式為()A、y=axex+b+Aexeos2x。B、y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。C、y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。D、y=axex+b+ex(Aeos2x+Bsin2x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：齊次微分方程y’’一3y’+2y=0的特征方程為λ2一3λ+2=0．特征根為λ=1，λ=2，則方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解為y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)，故選D。2、微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可設(shè)為()A、y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。B、y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Beosx)。C、y*=ax2+bx+c+Asinx。D、y*=ax2+bx+c+Acosx。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)齊次方程y’’+y=0的特征方程為λ2+1=0，特征根為λ=±i，對(duì)于方程y’’+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，從而其特解形式可設(shè)為y*=ax2+bx+c，y1*=ax2+bx+c對(duì)于方程y’’+y=sinx，i為特征根，從而其特解形式可設(shè)為y2*=x(Asinc+Bcosx)，因此y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可設(shè)為y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。3、微分方程y’’一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式為()A、a(eλx+e-λx)。B、ax(eλx+e-λx)。C、x(aeλx+be-λx)。D、x2(aeλx+be-λx)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2一λ2=O，其特征根為r1,2=±λ，所以y’’一λ2y=eλx的特解為y1*=axeλx，y’’一λ2y=eλ2x的特解為y2*=bxe-λx，根據(jù)疊加原理可知原方程的特解形式為y*=y1*+y2*=x(ae+be－λx)，y*=y1*+y2*=s(aeλx+be-λx)，因此選C。二、填空題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)4、微分方程xy’+2y=xlnx滿足的特解為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：5、微分方程(y+x2e-x)dx一xdy=0的通解是y=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x(一e-x+C)知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程(y+x2e-x)dx一xdy=0，6、微分方程(y+x3)dx一2xdy=0滿足的特解為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、微分方程滿足初始條件y｜x=2=1的特解是__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=y2+y知識(shí)點(diǎn)解析：將x看作未知函數(shù)，則上式為x對(duì)y的一階線性方程，又因y=1＞0，則將x=2,y=1代入，得C=1故x=y2+y。8、微分方程ydx+(x一3y2)dy=0，x＞0滿足條件y｜x=1=1的特解為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=y2知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)原微分方程變形可得此方程為一階線性微分方程，所以又y=1時(shí)x=1，解得C=0，因此x=y2。9、已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，則該方程的通解為y=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x知識(shí)點(diǎn)解析：顯然y1一2=e3x和y2一y3=ex是對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解，且y*=一xe2x是非齊次微分方程的一個(gè)特解。由解的結(jié)構(gòu)定理，該方程的通解為y=C1e3x+C2ex一xe2x。10、設(shè)y=ex(asinx+bcosx)(a，b為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y’’一2y’+2y=0知識(shí)點(diǎn)解析：由通解的形式可知，特征方程的兩個(gè)根是λ1，λ2=1±i，因此特征方程為(λ一λ1)(λ一λ2)=λ2一(λ1+λ2)λ+λ1λ2=λ2一2λ+2=0，故所求微分方程為y’’一2y’+2y=0。11、微分方程xy’’+3y’=0的通解為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令P=y’，則原方程化為，其通解為P=Cx-3。因此，12、微分方程的通解為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：二階齊次微分方程的特征方程為13、微分方程y’’+2y’+5y=0的通解為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，方程y’’+2y’+5y=0的特征方程為λ2+2λ+5=0解得則原方程的通解為y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)。14、微分方程y’’一4y=e2x的通解為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)齊次微分方程的特征方程為λ2一4=0，解得λ1=2，λ2=一2。故y’’一4y=0的通解為y1=C1e+C2eh，其中C1，C2為任意常數(shù)。由于非齊次項(xiàng)為f(x)=e2x，α=2為特征方程的單根，因此原方程的特解可設(shè)為y=Axe2x，代入原方程可求出故所求通解為15、微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)的特征方程為λ2一2λ+2=0．解得其特征根為λ1,2=1±i。由于α=1不是特征根，可設(shè)原方程的特解為y*=Aex，代入原方程解得A=1。因此所求的通解為y=C1excosx+C2exsinx+ex。16、二階常系數(shù)非齊次線性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解為y=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1ex+C2e3x一2e2x知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為λ2一4λ+3=0，解得λ1=1，λ2=3。則對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程y’’一4y’+3y=0的通解為y=C1ex+C2e3x。設(shè)非齊次線性微分方程y’’一4y’+3y=2e2x的特解為y*=ke2x，代入非齊次方程可得k=一2。故通解為y=C1ex+C2e3x一2e2x。17、微分方程y’’一3y’+2y=2ex滿足的特解為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=一3ex+3e2x一2xex知識(shí)點(diǎn)解析：y’’一3y’+2y=2ex對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程是λ2一3λ+2=0，它的兩個(gè)特征根分別是λ1=1，λ2=2。因此對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為Y=C1ex+C2e2x。又因?yàn)閤=1是特征方程的單根，所以，設(shè)非齊次方程的特解為y*=Axex，則(y*)’=Aex+Axex，(y*)’’=2Aex+Axex，將以上三式代入方程得A=一2。因此，此非齊次線性微分方程的通解為y=C1ex+C2e2x一2xex。由所給題設(shè)條件可得y(0)=0，y’(0)=1，代入上式解得y=一3ex+3e2x一2xex。18、若二階常系數(shù)齊次線性微分方程y’’+ay’+by=0的通解為y=(C1+C2x)ex，則非齊次方程y’’+ay’+by=戈滿足條件y(0)=2，y’(0)=0的特解為y=____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x(1一ex)+2知識(shí)點(diǎn)解析：由常系數(shù)齊次線性微分方程y’’+ay’+by=0的通解為y=(C1+C2x)ex可知y1=ex，y2=xex為其兩個(gè)線性無關(guān)的解，代入齊次方程，有y1’’+ay1’+by1=(1+a+b)ex=0=→1+a+b=0，y2’’+ay2’+6y2=[2+a+(1+a+b)x]ex=0→2+a=0，從而a=一2，b=1，故非齊次微分方程為y’’+ay’+by=x。設(shè)特解y*=Ax+B，代入非齊次微分方程，得一2A+Ax+B=x，即所以特解為y*=x+2，非齊次方程的通解為y=(C1+C2x)ex+x+2。把y(0)=2，y’(0)=0代入通解，得C1=0，C2=一1。故所求特解為y=一xex+x+2=x(1一ex)+2。19、三階常系數(shù)線性齊次微分方程y’’’一2y’’+y’一2y=0的通解為y=_____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：C1e2x+C2cosx+C3sinx知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程對(duì)應(yīng)的特征方程為λ3一2λ2+λ一2=0。解上述方程可得其特征值為2，±i，于是其中一組特解為e2x，cosx，sinx。因此通解為y=C1e2x+C2cosx+C3sinx。三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)設(shè)函數(shù)y=y(x)在(一∞，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)。20、試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知，于是有代入原微分方程得y’’一y=sinx。(*)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求變換后的微分方程滿足初始條件的特解。標(biāo)準(zhǔn)答案：方程(*)所對(duì)應(yīng)的齊次方程y’’一y=0的通解為Y=C1ex+C2e-x。設(shè)方程(*)的特解為y’’=Acosx+Bsinx．代入方程(*)，求得因此y’’一y=sinx的通解是由得C1=1，C2=一1。故所求初值問題的特解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(u，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且fu’(u，v)+fv’(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e-2xf(x，x)所滿足的一階微分方程，并求其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由y(x)=e-2xf(x，x)，有y’(x)=一2e-2xf(x，x)+e-2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]，由fu’(u，v)+fv’(u，v)=sin(u+v)eu+v可得f1’(x，x)+f2’(x，x)=(sin2x)e2x。于是y(x)滿足一階線性微分方程y’(x)+2y(x)=sin2x，通解為y(x)=e-2x[fsin2x.e2xdx+c]，由分部積分公式，可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(u，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv。求y(x)=e-2xf(x，x)所滿足的一階微分方程，并求其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由y(x)=e一2xf(x，x)，兩邊對(duì)x求導(dǎo)有，y’=一2e一2xf(x，x)+e一2xf1’(x，x)+e一2xy2’(x，x)=一2e一2xf(x，x)+e一2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]=一2y+e一2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]。已知fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，即f1’(u，v)+f2’(u，v)=uv，則f1’(u，v)+f2’(x，x)=x2。因此，y(x)滿足一階微分方程y’+2y=x2e-2x。由一階線性微分方程的通解公式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)y=y(x)是區(qū)間(一π，π)內(nèi)過的光滑曲線，當(dāng)一π＜x＜0時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的法線都過原點(diǎn)，當(dāng)0≤x＜π時(shí)，函數(shù)y(x)滿足y’’+y+x=0。求函數(shù)y(x)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，當(dāng)一π＜x＜0時(shí)，法線均過原點(diǎn)，所以有，得y2=一x2+C。又，代入y2=一x2+C得C=π2，從而有x2+y2=π2。當(dāng)0≤x＜π時(shí)，y’’+y+x=0，得其對(duì)應(yīng)齊次微分方程y’’+y=0的通解為y*=C1cosx+C2sinx。設(shè)其特解為y1=Ax+B，則有0+Ax+B+x=0，得A=一1，B=0，故y1=一x是方程的特解，因此y’’+y+x=0的通解為y=C1cosx+C2sinx一x。因?yàn)閥=y(x)是(一π，π)內(nèi)的光滑曲線，故y在x=0處連續(xù)且可導(dǎo)，所以由已知得y｜x=0=π，y’｜x=0=0，故得C1=π，C2=1，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)位于第一象限的曲線y=f(x)過點(diǎn)其上任一點(diǎn)P(x，y)處的法線與y軸的交點(diǎn)為Q，且線段PQ被x軸平分。求曲線y=f(x)的方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x，y)處的法線方程為令X=0，則它與y軸的交點(diǎn)為由題意，此點(diǎn)與點(diǎn)P(x，y)所連的線段被x軸平分，由中點(diǎn)公式得，即2ydy+xdx=0．上式兩端積分得代入初始條件，故曲線y=f(x)的方程為即x2+2y2=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析在xOy坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線L過點(diǎn)M(1，0)，其上任意點(diǎn)P(x，y)(x≠0)處的切線斜率與直線OP的斜率之差等于ax(常數(shù)a＞0)。26、求L的方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線L的方程為y=f(x)，則由題設(shè)可得這是一階線性微分方程，其中代入通解公式得又f(1)=0，所以C=一s。故曲線L的方程為y=ax2一ax(x≠0)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、當(dāng)L與直線y=ax所圍成平面圖形的面積為時(shí)，確定a的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：L與直線y=ax(a＞0)所圍成的平面圖形如圖1—5—2所示。所以故a=2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)L是一條平面曲線，其上任意一點(diǎn)m(x，y)(x＞0)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離恒等于該點(diǎn)處的切線在y軸上的截距，且L經(jīng)過點(diǎn)28、試求曲線L的方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線L過點(diǎn)P(x，y)的切線方程為Y—y=y’(X一x)，令X=0，則Y=一xy’+y，即它在y軸上的截距為一xy’+y。根據(jù)距離公式，點(diǎn)P(x，y)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為。故由題設(shè)條件得此為一階齊次微分方程，令y=ux，則，代入上式，方程變?yōu)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、求L位于第一象限部分的一條切線，使該切線與L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形面積最小。標(biāo)準(zhǔn)答案：由(I)知曲線的方程為。則y’=一2x，點(diǎn)，所以在點(diǎn)P處的切線方程為分別令X=0，Y=0，解得在y軸，x軸上的截距分別為此切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為由于該曲線在第一象限中與兩坐標(biāo)軸所圍成的面積為定值，記為S0，于是題中所求的面積為求最值點(diǎn)時(shí)與S0無關(guān)，而根據(jù)極值存在的第一充分條件知是S(x)在x＞0時(shí)的唯一極小值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)，于是所求切線方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)函數(shù)y(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線l：y=y(x)與直線y=x相切于原點(diǎn)，記a為曲線l在點(diǎn)(x，y)處切線的傾角，若，求y(x)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：由，兩邊對(duì)x求導(dǎo)得，即(1+y’2)y’=y’’，因此可知令．分離變量得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)y=y(x)是凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(diǎn)(x，y)處的曲率為，且此曲線上點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y=x+1，求該曲線的方程，并求函數(shù)y=y(x)的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)及曲率公式，有由題設(shè)，曲線上點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y=x+1，可知y(0)=1，y’(0)=1(本題選擇是因?yàn)橐阎€在x=0處有值，且曲線是一條連續(xù)曲線，因此該解的范圍應(yīng)該包含x=0在內(nèi)并且使y(x)連續(xù)的一個(gè)區(qū)間。)對(duì)上式積分得又由題設(shè)可知y(0)=1，代入上式，得，于是所求的曲線方程為由于，且lnx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x=時(shí)，y取得最大值，由于，所以此時(shí)y取極大值，極大值為，顯然y在沒有極小值。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)函數(shù)y(x)(x≥0)二階可導(dǎo)，且y’(x)＞0，y(0)=1。過曲線y=y(x)上任意一點(diǎn)P(x，y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區(qū)間[0，x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)2S1一S2恒為1，求曲線y=y(x)的方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線y=y(x)上的點(diǎn)P(x，y)處的切線方程為Y—y=y’(X一x)．它與x軸的交點(diǎn)為由于y’(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)。于是又可得S2=∫0-xy(t)dt根據(jù)題設(shè)2S1一S2=1，有并且y’(0)=1，兩邊對(duì)x求導(dǎo)并化簡(jiǎn)得yy’’=(y’)2，這是可降階的二階常微分方程，令P(y)=y’，則上述方程可化分離變量得從而有y=C2eC1x根據(jù)y’(0)=1，y(0)=1，可得C1=1，C2=1。故所求曲線的方程為y=ex。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)y=f(x)是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)A(0，1)，B(1，0)的一段連續(xù)曲線，M(x，y)為該曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C為M在x軸上的投影，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。若梯形OCMA的面積與曲邊三角形CBM的面積之和為，求f(x)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得即有1+f(x)+xf’(x)一2f(x)=x2。當(dāng)x≠0時(shí)，化簡(jiǎn)得即此方程為標(biāo)準(zhǔn)的一階線性非齊次微分方程，其通解為曲線過點(diǎn)B(1，0)，代入上式，得C=一2.所以f(x)=x2+1—2x=(x一1)2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、假設(shè)：①函數(shù)y=f(x)(0≤x≤+∞)滿足條件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；②平行于y軸的動(dòng)直線MN與曲線y=f(x)和y=ex一1分別相交于點(diǎn)P1和P2；③曲線y=f(x)，直線MN與x軸所圍成的封閉圖形的面積S恒等于線段P1P2的長(zhǎng)度。求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)可得∫0xf(x)dx=ex一1一f(x)，兩端求導(dǎo)，得f(x)=ex-f’(x)，即有f’(x)+f(x)=ex。由一階線性方程求解公式，得由f(0)=0得，因此所求函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析35、如圖1—5一1，C1和C2分別是和y=ex的圖象，過點(diǎn)(0，1)的曲線C3是一單調(diào)增函數(shù)的圖象。過C2上任一點(diǎn)M(x，y)分別作垂直于x軸和y軸的直線lx和ly。記C1，C2與lx所圍圖形的面積為S1(x)；C2，C3與ly所圍圖形的面積為S2(y)。如果總有S1(x)=S2(y)，求曲線C3的方程x=φ(y)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析36、設(shè)曲線y=f(x)，其中y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)＞0。已知曲線y=f(x)與直線y=0，x=1及x=t(t＞1)所圍成的曲邊梯形繞戈軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積值是該曲邊梯形面積值的，πt倍，求該曲線方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的體積公式，V=∫1tπf2(x)dx=π∫1tf2(x)dx，而曲邊梯形的面積為s=∫1tf(x)dx，則由題意可知V=πts可以得到V=π∫1t(x)dx=πt∫1tf(x)dx，因此可得∫1tf2(x)dx=t∫1tf(x)dx上式兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)可得f2(t)=∫1tf(x)dx+tf(t)，即f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx。繼續(xù)求導(dǎo)可得2f(t)-f’(t)一tf’(t)=f(t)，化簡(jiǎn)[2f(t)一t]f’(t)=2f(t)．亦即解這個(gè)微分方程得在f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx中令t=1，則f2(1)一f(1)=0，又f(t)＞0，即f(1)=1，將其代入因此該曲線方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析37、設(shè)f(x)是區(qū)間[0，+∞)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且f(0)=1。對(duì)任意的t∈[0，+∞)，直線x=0，x=t，曲線y=f(x)以及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體。若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：因此，所求函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線x=φ(y)(y≥0)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，容器的底面圓的半徑為2m。根據(jù)設(shè)計(jì)要求，當(dāng)以3m3／min的速率向容器內(nèi)注入液體時(shí)，液面的面積將以πm2／min的速率均勻擴(kuò)大(假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無液體)。38、根據(jù)t時(shí)刻液面的面積，寫出t與φ(y)之間的關(guān)系式；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)在t時(shí)刻，液面的高度為y，此時(shí)液面的面積為A(t)=πφ2(y)，由題設(shè)，液面的面積將以πm2／min的速率均勻擴(kuò)大，可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析39、求曲線x=φ(y)的方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：液面的高度為y時(shí)，液體的體積為V(t)=π∫0-2φ2(u)du，由題設(shè)，以3m3／min的速率向容器內(nèi)注入液體，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析40、從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器，按探測(cè)要求，需確定儀器的下沉深度y(從海平面算起)與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系。設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉，在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用。設(shè)儀器的質(zhì)量為m，體積為β，海水比重為ρ，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為k(k＞0)。試建立y與v所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v)。標(biāo)準(zhǔn)答案：選取沉放點(diǎn)為原點(diǎn)O，Oy軸正向取鉛直向下，則根據(jù)牛頓第二定律得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)y(x)是微分方程y’’+(x-1)y’+x2y=ex滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=1的解，則()．A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程y’’+(x-1)y’+x2y=ex中，令x=0，則y’’(0)=2，于是，y’’(0)=1，選(A)．2、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式為()．A、(ax+b)exB、x2e-xC、x2(ax+b)e-xD、x(ax+b)e-x標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特征方程為λ2-2λ-3=0，特征值為λ1=-1，λ2=3，故方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式為x(ax+b)e-x，選(D)．3、設(shè)φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為二階非齊次線性方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個(gè)線性無關(guān)解，則該方程的通解為()．A、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B、C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?(x)，φ2(x)，φ3(x)為方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個(gè)線性無關(guān)解，所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)為方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0的兩個(gè)線性無關(guān)解，于是方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解為C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，選(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、設(shè)y=y(z)滿足△y==______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由△x+o(△x)得函數(shù)y=y(x)可微且y’=，積分得y(x)=，因?yàn)閥(1)=1，所以C=0，5、微分方程y’-xe-y+=0的通解為______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由令z=ey，則所以原方程的通解為ey=6、微分方程yy’’-2(y’)2=0的通解為_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令y’=p，得y’’=，代入原方程得當(dāng)p=0時(shí)，yy=C；7、微分方程xy’=(x＞0)的通解為________標(biāo)準(zhǔn)答案：lnx+C知識(shí)點(diǎn)解析：8、以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)為特解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程為_______標(biāo)準(zhǔn)答案：y’’-3y"+4y’-2y=0．知識(shí)點(diǎn)解析：特征值為λ1=1，λ2,3=1±i，特征方程為(λ-1)(λ-1+i)(λ-1-i)=0，即λ3-λ2+4λ-2=0，所求方程為y’’-3y"+4y’-2y=0．9、設(shè)y(x)為微分方程y’’-4y’+4y=0滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=2的特解，則=______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：y’’-4y’+4y=0的通解為y=(C1+C2x)e2x，由初始條件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，則y=e2x，于是三、解答題(本題共26題，每題1.0分，共26分。)設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)．10、求初值問題，的解，其中a＞0；標(biāo)準(zhǔn)答案：y’+ay=f(x)的通解為y=由y(0)=0得C=0，所以y=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、若｜f(x)｜≤k，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，有｜y(x)｜≤(eax-1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≥0時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)有微分方程y’-2y=φ(c)，其中φ(x)=，在(-∞，+∞)求連續(xù)函數(shù)y(x)，使其在(-∞，1)及(1，+∞)內(nèi)都滿足所給的方程，且滿足條件y(0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＜1時(shí)，y’-2y=2的通解為y=C1e2x-1，由y(0)=0得C1=1，y=e2x-1；當(dāng)x＞1時(shí)，y’-2y=0的通解為y=C2e2x，根據(jù)給定的條件，y(1+0)=C2e2=y(1-0)=e2-1，解得C2=1-e-2，y=(1-e-2)e2x，補(bǔ)充定義y(1)=e2-1，則得在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)且滿足微分方程的函數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0為全微分方程，求f(x)及該全微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令P(x，y)=xy(x+y)-f(x)y，Q(x，y)=f’(x)+x2y，因?yàn)閇xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0為全微分方程，所以，即f’’(x)+f(x)=x2，解得f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2，由f(0)=0，f’(0)=1得C1=2，C2=1，所以f(x)=2cosx+sinx+x2-2．原方程為[xy2-(2cosx+sinx)y+2y-]dx+(-2sinx+cosx+2x+z2y)dy=0，整理得(xy2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0，即原方程的通解為x2y2+2xy-2ysinx+ycosx=C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、利用變換x=arctant將方程化為y關(guān)于t的方程，并求原方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：的特征方程為λ2+2λ+1=0，特征值為λ1=λ2=-1，則的通解為y=(C1+C2t)e-t+t-2，故原方程通解為y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx-2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且滿足f’(x)+2f(x)-f(t-x)dt=-3x+2，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：則有f’(x)+2f(x)-=-3x+2，因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f’(x)是奇函數(shù)，于是f’(0)=0，代入上式得f(0)=1．將f’(x)+2f(x)-=-3x+2兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得f’’(x)+2f’(x)-3f(x)=-3，其通解為f(x)=C1ex+C2e-3x+1，將初始條件代人得f(x)=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程，y’’+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，確定常數(shù)a，b，c，并求該方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將y=e2x+(1+x)ex代入原方程得(4+2n+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，則有解得a=-3，b=2，c=-1，原方程為y’’-3y’+2y=-ex．原方程的特征方程為λ2-3λ+2—0，特征值為λ1=1，λ2=2，則y’’-3y’+2y=0的通解為y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解為y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=2得f(1)=0，f’(1)=2，令，則解得rf’(r)=C1，由f’(1)=2得C1=2，于是f’(r)=f(r)=lnr2+C2，由f(1)=0得C2=0，所以f(x)=lnx2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=1，且f'(x)+f(x)-18、求f’(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)-=0，兩邊求導(dǎo)數(shù)，得(x+1)f’’(x)=-(x+2)f’(x)再由f(0)=1，f’(0)+f(0)-0，得f’(0)=-1，所以C=-1，于是f’(x)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、證明：當(dāng)x≥0時(shí)，e-x≤f(x)≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≥0時(shí)，因?yàn)閒’(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．令g(x)=f(x)-e-x，g(0)=0，g’(x)=f’(x)+e-x=≥0，由知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)y=y(x)二階可導(dǎo)，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．(1)將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)所滿足的微分方程；(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：代入原方程得y’’-y=sinx，特征方程為r2-1=0，特征根為r1,2=±1，因?yàn)閕不是特征值，所以設(shè)特解為y*=acosx+bsinx，代入方程得a=0，b=，于是方程的通解為y=C1ex+C2e-xsinx，由初始條件得C1=1，C2=-1，滿足初始條件的特解為y=ex-e-x-知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，，求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由，解得f(0，y)=siny+C．由，得C=0，即f(0，y)=siny．又由=-f(x，y)，得lnf(x，y)=-x+lnφ(y)，即f(x，y)φ=(y)e-x，由f(0，y)=siny，得φ(y)=siny,所以f(x，y)=e-xsiny．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．將曲線y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x軸所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體體積為，求：22、f(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知，[a2f(a)-f(1)]，兩邊對(duì)a求導(dǎo)，得3f2(a)=2af(a)+a2f’(a)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、f(x)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒’(x)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)滿足xf'(x)-2f(x)=-x，且由曲線y=f(x)，x=1及x軸(x≥0)所圍成的平面圖形為D．若D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積最小，求：24、曲線y=f(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由xf’(x)-2f(x)=-xf(x)=x+cx2．設(shè)平面圖形D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、曲線在原點(diǎn)處的切線與曲線及直線x=1所圍成的平面圖形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=在原點(diǎn)處的切線方程為y=x，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、位于上半平面的上凹曲線y=y(x)過點(diǎn)(0，2)，在該點(diǎn)處的切線水平，曲線上任一點(diǎn)(x，y)處的曲率與及1+y’2之積成反比，比例系數(shù)為k=，求y=y(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意得令y’=p，則有因?yàn)閜(2)=0，所以C1=0，故y’=p=進(jìn)一步解得因?yàn)閥(0)=2，所以C2=0，故曲線方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、一條曲線經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，且在切點(diǎn)與y軸之間的切線長(zhǎng)為2，求該曲線．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線在點(diǎn)(x，y)處的切線方程為Y-y=y’(X-x)，令X=0，則Y=y-xy’，切線與y軸的交點(diǎn)為(0，y-xy’)，由題意得x2+x2y’2=4，解得因?yàn)榍€經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，所以C=0，故曲線為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)曲線L1與L2皆過點(diǎn)(1，1)，曲線L1在點(diǎn)(x，y)處縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之商的變化率為2，曲線L2在點(diǎn)(x，y)處縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之積的變化率為2，求兩曲線所圍成區(qū)域的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)曲線L1，由題意得=2，解得t=x(2x+C1)，因?yàn)榍€L1過點(diǎn)(1，1)，所以C1=-1，故L1：y=2x2-x．對(duì)曲線L2，由題意得因?yàn)榍€L2過點(diǎn)(1，1)，所以C2=-1，故L2：y=2-由2x2-x=2-得兩條曲線的交點(diǎn)為(，0)及(1，1)，故兩條曲線所圍成區(qū)域的面積為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、用變量代換x=sint將方程(1-x2)化為y關(guān)于t的方程，并求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：故原方程的通解為y=C1e-2arcsinx+C2e2arcsinx知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、用變量代換x=lnt將方程化為y關(guān)于t的方程，并求原方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：故原方程的通解為y=C1cosex+C2sinex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)y=y(x)是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(diǎn)(x，y)處的曲率為，又此曲線上的點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y=x+1，求該曲線方程，并求函數(shù)y(x)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍€是上凸的，所以y’’＜0，由題設(shè)得因?yàn)榍€y=y(x)在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y=x+1，所以p｜x=0=1，從而y’=因?yàn)榍€過點(diǎn)(0，1)，所以C2=1+所求曲線為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析飛機(jī)以勻速v沿y軸正向飛行，當(dāng)飛機(jī)行至O時(shí)被發(fā)現(xiàn)，隨即從x軸上(x0，0)處發(fā)射一枚導(dǎo)彈向飛機(jī)飛去(x0＞0)，若導(dǎo)彈方向始終指向飛機(jī)，且速度大小為2v．32、求導(dǎo)彈運(yùn)行的軌跡滿足的微分方程及初始條件；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻導(dǎo)彈的位置為M(x，y)，根據(jù)題意得所以導(dǎo)彈運(yùn)行軌跡滿足的微分方程及初始條件為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、導(dǎo)彈運(yùn)行方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：令知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、細(xì)菌的增長(zhǎng)率與總數(shù)成正比．如果培養(yǎng)的細(xì)菌總數(shù)在24h內(nèi)由100增長(zhǎng)到400，求前12h后的細(xì)菌總數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻細(xì)菌總數(shù)為S，則有=kS，S(0)=100，S(24)=400，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析35、某湖泊水量為V，每年排人湖泊中內(nèi)含污染物A的污水量為，流入湖泊內(nèi)不含A的水量為，流出湖的水量為．設(shè)1999年底湖中A的含量為5m0，超過國(guó)家規(guī)定指標(biāo)．為了治理污染，從2000年初開始，限定排人湖中含A污水的濃度不超過．問至多經(jīng)過多少年，湖中污染物A的含量降到m0以內(nèi)(設(shè)湖中A的濃度是均勻的)?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)從2000年初開始，第￡年湖中污染物A的總量為m，則濃度為，任取時(shí)間元素[t，t+dt]，排人湖中污染物A的含量為，流出湖的污染物A的含量為，則在此時(shí)間元素內(nèi)污染物A的改變量為，令m=m0，得t=6ln3，即至多經(jīng)過7年，湖中污染物A的含量不超過m0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、微分方程xdy+2ydx=0滿足初始條件y｜x=2=1的特解為()A、xy2=4。B、xy=4。C、x2y=4。D、一xy=4。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原微分方程分離變量得兩端積分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，將y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解為x2y=4。應(yīng)選C。2、設(shè)曲線y=y(x)滿足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)與直線x=1及x軸所圍的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積最小，則y(x)=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原方程可化為，其通解為曲線y=x+Cx2與直線x=1及x軸所圍區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為3、已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的兩個(gè)不同的特解，則方程的通解為()A、y=Cy1(x)。B、y=Cy2(x)。C、y=C1y1(x)+C2y2(x)。D、y=c[y1(x)一y2(x)]。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的兩個(gè)不同的特解，則y1(x)一y2(x)為該方程的一個(gè)非零解，則y=C[y1(x)一y2(x)]為該方程的解。4、設(shè)y1，y2是一階線性非齊次微分方程y’+p(x)y=q(x)的兩個(gè)特解，若常數(shù)λ，μ使λy1+μy2是該方程的解，λy1一μy2是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件可得由λy1+μy2仍是該方程的解，得(λy1’+μy2’)+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)q(x)，則λ+μ=1；由λy1一μy2是所對(duì)應(yīng)齊次方程的解，得(λy1’一μy2’)+ρ(x)(λy1一μy2)=(λ一μ)q(x)，那么λ一μ=0。綜上所述5、設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)y1，y2，y3都是二階非齊次線性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3。B、C1y1+C1y2一(C1+C2)y3。C、C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3。D、C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥1，y2，y3是二階非齊次線性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)線性無關(guān)的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齊次線性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y2一y3)與(y2一y3)線性無關(guān)，因此該齊次線性方程的通解為y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)。比較四個(gè)選項(xiàng)，且由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，故本題的答案為D。6、已知，y1=x，y2=x2，y3=ex為方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的二個(gè)特解，則該方程的通解為()A、y=C1x+C2x2+ex。B、y=C1x2+C2ex+x。C、y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x。D、y=C1(9C一x2)+C2(x2一ex)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)是一個(gè)二階線性非齊次方程，則(x一x2)和(x—ex)為其對(duì)應(yīng)齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則原方程通解為y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x，故選C。7、具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y2=3ex的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是()A、y’’’一y’’一y’+y=0。B、y’’’+y’’一y’一y=0。C、y’’’一6y’’+11y’一6y=0。D、y’’’一2y’’一y’+2y=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由y1=e，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三個(gè)特解知，λ=一1，一1，1為所求三階常系數(shù)齊次微分方程的特征方程的三個(gè)根，則其特征方程為(λ一1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2一λ一1=0，對(duì)應(yīng)的微分方程為y’’’+y’’一y’一y=0，故選B。8、在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3為任意常數(shù))為通解的是()A、y’’’+y’’一4y’一4y=0。B、y’’’+y’’+4y’+4y=0。C、y’’’一y’’一4y’+4y=0。D、y’’’一y’’+4y’一4y=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：已知題設(shè)的微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x，可知齊次線性方程所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根為λ=1，λ=±2i，所以特征方程為(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=0，即λ3一λ2+4λ一4=0。因此根據(jù)微分方程和對(duì)應(yīng)特征方程的關(guān)系，可知所求微分方程為y’’’一y’’+4y’一4y=0。9、函數(shù)y=C1ex+C2e-2x+xex滿足的一個(gè)微分方程是()A、y’’一y’一2y=3xex。B、y’’一y’一2y=3ex。C、y’’+y’一2y=3xex。D、y’’+y’一2y=3ex。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)所給解的形式，可知原微分方程對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征根為λ1=1，λ2=一2。因此對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征方程為λ2+λ一2=0．故對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為y’’+y’一2y=0。又因?yàn)閥*=xex為原微分方程的一個(gè)特解，而λ=1為特征根且為單根，故原非齊次線性微分方程右端的非齊次項(xiàng)形式為f(x)=Cex(C為常數(shù))。比較四個(gè)選項(xiàng)，應(yīng)選D。10、若y=xex+x是微分方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，則()A、a=1，6=1，c=1。B、a=1，b=1，c=一2。C、a=一3，b=一3，c=0。D、a=一3，b=1，c=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于y=xex+x是方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，則xex是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，其特征方程有二重根λ1=λ2=1，則a=1。x為非齊次方程的解，將y=x代入方程y’’一2y’+y=bx+c，得b=1，c=一2，故選B。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)11、微分方程的通解是__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=Cxe-x(x≠0)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程等價(jià)為兩邊積分得ln｜y｜=ln｜x｜一x+C。取C=eC1，整理得y=Cxe-x(x≠0)。12、微分方程的通解為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x.eCx+1知識(shí)點(diǎn)解析：令y=xu，代入原方程，則有zu’+u=ulnu，即兩邊求積分，即得ln｜lnu一1｜=ln｜x｜+C，去掉對(duì)數(shù)符號(hào)與絕對(duì)值符號(hào)得y=xeCx+1，C為任意常數(shù)。13、微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將已知微分方程變形整理得14、微分方程xy’+y=0滿足初始條件y(1)=2的特解為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：原方程可化為(xy)’=0，積分得xy=C，代入初始條件得C=2，故所求特解為xy=2，即15、微分方程3extanydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：tany=C(ex一1)3知識(shí)點(diǎn)解析：兩邊同乘以，方程分離變量為16、微分方程滿足初始條件y(1)=1的特解是y=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：xe1-x知識(shí)點(diǎn)解析：此方程為一階齊次微分方程，令y=ux，則有所以原方程可化為解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去絕對(duì)值