考研數(shù)學(xué)二（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷1（共199題）

考研數(shù)學(xué)二（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷1（共8套）（共199題）考研數(shù)學(xué)二（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、設(shè)A，B，C是同一個(gè)試驗(yàn)的隨機(jī)事件，則事件(A∪B)(A∪∪B)可以化簡(jiǎn)為()A、A∪B．B、A—B．C、AB．D、．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：注：化簡(jiǎn)數(shù)學(xué)式子主要從兩個(gè)角度著手，一是簡(jiǎn)化形式，二是簡(jiǎn)化結(jié)果．注意事件的運(yùn)算滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律、分配律，德.摩根律和吸收律．把握這些特征，有利于化簡(jiǎn)復(fù)雜事件．2、設(shè)A和B是任意兩個(gè)概率不為零的不相容事件，則下列結(jié)論中肯定正確的是()A、不相容．B、相容．C、P(AB)=P(A)P(B)．D、P(A一B)=P(A)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由圖1—1，顯然(A)不成立，由圖1一2，選項(xiàng)(B)不成立．又AB=，故P(AB)=0，而P(A)P(B)＞0，選項(xiàng)(C)不正確．3、對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，則()．A、如果AB≠，則A，B一定獨(dú)立．B、如果AB≠，則A，B有可能獨(dú)立．C、如果AB=，則A，B一定獨(dú)立．D、如果AB=，則A，B一定不獨(dú)立．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：一般地，隨機(jī)事件互不相容與相互獨(dú)立之間沒(méi)有必然聯(lián)系，如果0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，且A和B相互獨(dú)立，則0＜P(AB)=P(A)P(B)＜1，則AB≠．反之，如果AB≠，P(AB)與P(A)P(B)有可能相等，故應(yīng)選B．4、設(shè)A為隨機(jī)事件，且P(A)=1，則對(duì)于任意的隨機(jī)事件B，必有()A、P(A∪B)=P(B)．B、P(A一B)=P(B)．C、P(B一A)=P(B)．D、P(AB)=P(B)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳A∪B，P(A)=1，從而P(A∪B)=1，而B(niǎo)為任意事件，所以選項(xiàng)(A)不正確；又P(A一B)==1一P(B)，所以選項(xiàng)(B)不正確；P(B—A)==0，而B(niǎo)為任意事件，所以選項(xiàng)(C)不正確；P(AB)=P(A)P(B)=P(B)，故應(yīng)選D．注：如果知道結(jié)論“概率為0或1的事件與任意事件相互獨(dú)立”，則可立刻選出正確選項(xiàng)．5、設(shè)隨機(jī)事件A，B滿(mǎn)足P(A)=P(B)=，P(A∪B)=1，則有()A、A∪B=nB、AB=．C、P()=1．D、P(A—B)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)，P(A∪B)=1得P(AB)=0．P(A∪B)=1，不能說(shuō)明A∪B=Ω，故選項(xiàng)(A)不正確；同樣P(AB)=0，也不能說(shuō)明AB=，故選項(xiàng)(B)不正確；P(A一B)=P(A)一P(AB)=，所以選項(xiàng)(D)不正確；而=1—P(AB)=1，故應(yīng)選C．6、設(shè)A和B為隨機(jī)事件，則P(A—B)=P(A)一P(B)成立的充要條件是()A、BA．B、A=B．C、P(B一A)=0．D、P(A)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镻(A—B)=P(A—AB)=P(A)一P(AB)，而P(A—B)=P(A)一P(B)，從而P(A—B)=P(A)一P(B)成立的充要條件是P(AB)=P(B)．又P(B—A)=P(B—AB)=P(B)一P(AB)=0，可得P(AB)=P(B)，因此應(yīng)選C．7、設(shè)A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(C｜AB)=1，則正確的是()A、P(C)≤P(A)+P(B)一1．B、P(C)=P(AB)．C、P(C)=P(A∪B)．D、P(C)≥P(A)+P(B)一1．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镻(C｜AB)==1，從而P(ABC)=P(AB)，由加法公式P(AB)=P(A)+P(8)一P(A∪B)≥P(A)+P(B)一1，又ABCC，故P(ABC)≤P(C)，即P(C)≥P(A)+P(B)一1，因此選(D)．8、設(shè)0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A｜B)+P()=1，則()A、事件A和B互不相容．B、事件A和B互相對(duì)立．C、事件A和B互不獨(dú)立．D、事件A和B相互獨(dú)立．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：9、已知A，B，C三個(gè)事件中，A與B相互獨(dú)立，且P(C)=0，則事件()A、相互獨(dú)立．B、兩兩獨(dú)立，但不一定相互獨(dú)立．C、不一定兩兩獨(dú)立．D、一定不兩兩獨(dú)立．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：P(ABC)=P(AB)P(C)=P(A)P(B)P(C)，從而事件A，B，C相互獨(dú)立，由獨(dú)立性結(jié)論，事件一定相互獨(dú)立．10、設(shè)A，B，C是三個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，且P(A)≠0，0＜P(C)＜1．則在下列給定的四對(duì)事件中不一定相互獨(dú)立的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：事實(shí)上，，因此應(yīng)選B．注：由已知條件，只能得到是不一定相互獨(dú)立的，而不能確定一定不獨(dú)立，事實(shí)上如果P()=0或1，則二者就是相互獨(dú)立的．11、進(jìn)行一系列獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，假設(shè)每次試驗(yàn)的成功率為p(0＜p＜1)，則在試驗(yàn)成功2次前已經(jīng)失敗3次的概率為()A、4p2(1-p)3．B、4p(1-p)3．C、10p2(1-p)3．D、p2(1-p)3．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件的概率，事件“在試驗(yàn)成功2次前已經(jīng)失敗3次”是指“試驗(yàn)進(jìn)行5次，第5次是第2次成功”，相當(dāng)于事件“第5次成功，前4次成功1次”．由于是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故所求概率為C41p(1-p)3p=4p2(1-p)3，應(yīng)選A．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)12、已知A，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則p=P{(A∪B)(A∪)}=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查隨機(jī)事件的概率，關(guān)鍵是綜合運(yùn)用事件的關(guān)系和運(yùn)算律化簡(jiǎn)事件．13、隨機(jī)地向半圓0＜y＜(a＞0)內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線(xiàn)與x軸夾角小于的概率為_(kāi)_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)A表示事件“原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線(xiàn)與x軸夾角小于”，如圖1—4所示，事件A對(duì)應(yīng)圖中區(qū)域D，則P(A)=14、設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件A，B和C滿(mǎn)足條件：ABC=，且已知P(A∪B∪C)=，則P(A)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：15、設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取2件，已知2件中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率為_(kāi)_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查條件概率的識(shí)別和計(jì)算，由于事件發(fā)生有先后順序，因此是條件概率．關(guān)鍵是要清楚先發(fā)生的事件的內(nèi)涵，即“任取2件產(chǎn)品，已知2件中有一件是不合格品”是指“所取2件產(chǎn)品至少有一件是不合格品”．設(shè)A表示事件“2件產(chǎn)品中有一件是不合格品”，B表示“另一件也是不合格品”，則所求概率為16、設(shè)A，B，C是三個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)=0．4，P(B)=0．6，P(C)=0．5，又AB，A，C相互獨(dú)立，則P((A—C)B｜AC∪B)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：17、某人向同一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為p，此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為，則p=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0．5．知識(shí)點(diǎn)解析：試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，某人第4次射擊恰好第2次命中是指“在前3次射擊中命中1次，第4次射擊恰好是第2次命中”．由已知條件，所求概率為q=C31p(1-p)2p=3p2(1-p)2=，故p(1-p)=，解得p=0．5．三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)18、某批產(chǎn)品中有口件正品，6件次品．(1)用放回抽樣方式從中抽取n(n≤a+b)件產(chǎn)品，問(wèn)其中恰有k(k≤n)件次品的概率p1；(2)用不放回抽樣方式從中抽取n件產(chǎn)品，問(wèn)其中恰有k(k≤n)件次品的概率p2；(3)依次將產(chǎn)品一件件取出，求第k次取出正品的概率p3．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：這是古典型概率問(wèn)題，樣本空間可以作不同的設(shè)計(jì)，但必須滿(mǎn)足等可能性的要求．19、在隨機(jī)地拋擲兩枚骰子的試驗(yàn)中，求兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為6的結(jié)果出現(xiàn)在點(diǎn)數(shù)之和為8的結(jié)果之前的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：由古典型概率，“兩枚點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率為，“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為6或8”的概率為．由事件的獨(dú)立性，所求概率為p=．知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)Ai表示在“前i一1次試驗(yàn)中既不出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為6，也不出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為8，而第i次試驗(yàn)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為6的結(jié)果”i=1，2，…，A表示“兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為6的結(jié)果出現(xiàn)在點(diǎn)數(shù)之和為8的結(jié)果之前”，則A1，A2，…，Ai，…兩兩互不相容，且A=Ai．再利用事件的獨(dú)立性和加法公式求出A的概率．20、將n只球(1一n號(hào))隨機(jī)地放人n只盒子(1一n號(hào))中去，一只盒子裝一只球，若一只球裝入與球同號(hào)的盒子中，稱(chēng)為一個(gè)配對(duì)．求至少有一個(gè)配對(duì)的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Ai表示“第i號(hào)球配對(duì)”，i=1，2，…以B表示“至少有一個(gè)配對(duì)”，知識(shí)點(diǎn)解析：這是古典型概率的基本問(wèn)題，所討論的事件比較復(fù)雜，可以用簡(jiǎn)單事件的關(guān)系表示該事件，再利用加法公式計(jì)算．21、設(shè)(x，y)是平面區(qū)域D={(x，y)｜x｜＜1，｜y｜＜1}上的隨機(jī)點(diǎn)．求關(guān)于t的方程t2+xt+y=0有兩個(gè)正實(shí)根的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)平面區(qū)域A={(x，y)｜0＜y＜，一1＜x＜0}，則當(dāng)隨機(jī)點(diǎn)(x，y)∈A時(shí)，方程t2+xt+y=0有兩個(gè)正實(shí)根，由幾何型概率可得所求概率為知識(shí)點(diǎn)解析：這是典型的幾何型概率問(wèn)題，如圖1一3所示，樣本空間對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)閰^(qū)域D={(x，y)｜x｜＜1，｜y｜＜1}，方程t2+xt+y=0有兩個(gè)正實(shí)根的充要條件是△=x2—4y＞0，其根t=，x＜0，y＞0．計(jì)算區(qū)域的面積之比即為所求事件的概率．22、設(shè)有三個(gè)事件A，B，C，其中0＜P(B)＜1，0＜P(C)＜1，且事件B與事件C相互獨(dú)立，證明：P(A｜B)=P(A｜BC)P(C)+P(A｜B)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)槭录﨎與事件C相互獨(dú)立，從而事件B與事件也相互獨(dú)立，且知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查事件的獨(dú)立性和條件概率計(jì)算公式，直接證明即可．23、三門(mén)炮同時(shí)獨(dú)立地對(duì)同一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行炮擊，各發(fā)射一發(fā)炮彈，第一、二、三門(mén)炮擊中目標(biāo)的概率分別為0．4，0．5，0．7，目標(biāo)中1，2，3彈被擊毀的概率分別為0．2，0．6，0．8．(1)求炮擊后目標(biāo)被擊毀的概率p；(2)已知目標(biāo)被擊毀，求目標(biāo)中2彈的概率q．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)A表示事件“目標(biāo)被擊毀”，Bi表示事件“目標(biāo)中i彈(i=0，1，2，3)”，由事件的獨(dú)立性，有P(B0)=(1一0．4)(1一0．5)(1一0．7)=0．09，P(B1)=0．4×(1—0．5)(1—0．7)+(1—0．4)×0．5×(1—0．7)+(1一0．4)(1一0．5)×0．7=0．36，P(B2)=0．4×0．5×(1一0．7)+0．4×(1一0．5)×0．7+(1一0．4)×0．5×0．7=0．41，P(B3)=0．4×0．5×0．7=0．14．由已知，有P(A｜B0)-0，P(A｜B1)=0．2，P(A｜B2)=0．6，P(A｜B3)=0．8．根據(jù)全概率公式，有p=P(A)=P(Bi)P(A｜Bi)=0×0．09+0．36×0．2+0．41×0．6+0．14×0．8=0．43．(2)根據(jù)貝葉斯公式，有q=P(B2｜A)==0．57．知識(shí)點(diǎn)解析：隨機(jī)試驗(yàn)分為兩個(gè)階段，炮擊后目標(biāo)可能沒(méi)有中彈，或被擊中1彈、2彈、3彈，目標(biāo)是否被擊毀的概率由所中炮彈個(gè)數(shù)決定，考慮用全概率公式．24、設(shè)有8只球，其中自球和黑球各4只，從中任取4只放人甲盒，余下的4只放入乙盒，然后分別在兩盒中任取1只球，顏色正好相同．試問(wèn)放人甲盒的4只球中有幾只白球的概率最大?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A表示“在兩盒中任取1只球，顏色正好相同”，Bi表示“甲盒中有i(i=0，1，2，3，4)只白球”，則有故放入甲盒中有兩只白球的概率最大．知識(shí)點(diǎn)解析：本題所討論的是在事件“在兩盒中任取1只球，顏色正好相同”發(fā)生的條件下第一次隨機(jī)試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率，考慮使用貝葉斯公式．第一次隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果用Bi表示，即設(shè)Bi表示“甲盒中有i(i=0，1，2，3，4)只白球”．25、設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)各10名，15名，25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3價(jià)，7份，5份．隨機(jī)地取出一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽取兩份．(1)求先抽到的一份是女生表的概率p；(2)已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由全概率公式，得知識(shí)點(diǎn)解析：隨機(jī)試驗(yàn)分為兩個(gè)階段，先要抽取一個(gè)地區(qū)，再在所抽取的地區(qū)中先后抽取兩份報(bào)名表，第二階段的結(jié)果由第一階段試驗(yàn)結(jié)果所決定，因此考慮使用全概率公式進(jìn)行計(jì)算．可以設(shè)Bi表示“報(bào)名表是第i個(gè)地區(qū)考生的”i=1，2，3．P(E)=Ai表示“第j次抽到的報(bào)名表是男生表”j=1，2．重復(fù)使用全概率公式得到所求概率．26、有30個(gè)零件，其中20個(gè)一等品，10個(gè)二等品，隨機(jī)地取3個(gè)，安裝在一臺(tái)設(shè)備上，若3個(gè)零件中有i(i=0，1，2，3)個(gè)二等品，則該設(shè)備的使用壽命(單位：年)服從參數(shù)為λ=i+1的指數(shù)分布，試求：(1)設(shè)備壽命超過(guò)1年的概率；(2)若已知在該設(shè)備上的兩個(gè)零件安裝后使用壽命超過(guò)1年，則安裝在該設(shè)備上的3個(gè)零件均為二等品的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Bi表示“3個(gè)零件中有i個(gè)是二等品”(i=0，1，2，3)，令A(yù)表示“設(shè)備的壽命超過(guò)1年”，以X表示“設(shè)備的使用壽命”．知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)備的使用壽命受所取零件中所含二等品的個(gè)數(shù)影響，所含二等品的個(gè)數(shù)有四種情況，可以設(shè)Bi表示“3個(gè)零件中有i(i=0，1，2，3)個(gè)是二等品”，作為完備事件組，利用全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算所求概率．(1)P(A｜B0)=P{X＞1＞B0}=∫1+∞edx=e-1．同理可求P(A｜B1)=e-2，P(A｜B2)=e-3，P(A｜B3)=e-4．從而P(A)=0．281×e-1+0．222×e-2+0．222×e-3+0．275×e-4≈0．1495．(2)由貝葉斯公式，所求概率為P(B3｜A)=≈0．034．27、在電源電壓不超過(guò)200伏，在200—240伏和超過(guò)240伏三種情形下．某種電子元件損壞的概率分別為0．1，0．001和0．2，假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N(220，252)，求(1)該電子元件損壞的概率；(2)該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200～240伏的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A1表示“電源電壓不超過(guò)200伏”；A2表示“電壓在200—240伏”；A3表示“電壓超過(guò)240伏”；B表示“電子元件榻壞”．知識(shí)點(diǎn)解析：電源電壓的三種情形決定電子元件損壞的概率，將其作為完備事件組，用全概率公式．正態(tài)分布計(jì)算概率利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)算．考研數(shù)學(xué)二（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)總體X和Y相互獨(dú)立，且都服從N(μ，σ2)，分別為總體X與Y的樣本容量為n的樣本均值，則當(dāng)n固定時(shí)，概率P{｜｜＞σ}的值隨σ的增大而()A、單調(diào)增大．B、保持不變．C、單調(diào)減少．D、增減不定．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：故應(yīng)選B．2、設(shè)總體X服從N(μ，σ2)，分別是取自總體X的樣本容量分別為10和15的兩個(gè)樣本均值，記p1=，則有()A、p1＜p2．B、p1=p2．C、p1＞p2；D、p1=μ，p2=6．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：所以p1＞p2，應(yīng)選C．3、設(shè)總體X服從N(μ，σ2)，與S2分別為樣本均值和樣本方差，n為樣本容量，則下面結(jié)論不成立的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：故(A)、(B)、(C)選項(xiàng)結(jié)論都是正確的，只有(D)是不成立的．4、設(shè)一批零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2未知．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取16個(gè)零件，測(cè)得樣本均值=20cm，樣本方差S2=1cm2，則μ的置信水平為0．90的置信區(qū)間是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：正態(tài)總體、方差未知的情況下，μ的置信區(qū)間為由已知條件，S=1，=20，n=16，α=0．10，故應(yīng)選C．5、設(shè)總體X服從N(μ，σ2)，其中σ2未知，假設(shè)檢驗(yàn)H0：μ≤1，H1：μ＞1．當(dāng)顯著性水平α=0．05時(shí)，拒絕域?yàn)?)A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題是單邊檢驗(yàn)問(wèn)題，由于σ2未知，選取的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為t=服從t0.05(n一1)，所以拒絕域?yàn)閠＞t0.05(n一1)，即．6、在假設(shè)檢驗(yàn)中，記H0為原假設(shè)，H1為備擇假設(shè)，則犯第二類(lèi)錯(cuò)誤是指()A、如果H0為真，接受H0B、如果H0為真，拒絕H0．C、如果H0不真，接受H0．D、如果H0不真，拒絕H0．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：第二類(lèi)錯(cuò)誤是指“取偽錯(cuò)誤”，即H0不真，但卻接受了原假設(shè)H0，故應(yīng)選C．二、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)7、設(shè)總體X的概率密度為f(n)=又X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為使P{min(X1，X2，…，Xn)＜，則樣本容量n應(yīng)滿(mǎn)足什么條件?標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知，X的分布函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、設(shè)總體X的概率分布為求θ的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值．標(biāo)準(zhǔn)答案：E(X)=(一1)×θ+0×(1—2θ)+1×θ=0．故利用一階原點(diǎn)矩不能求出θ的矩估計(jì)值．因此利用二階原點(diǎn)矩，E(x2)=(一1)2×θ+02×(1—2θ)+12×θ=2θ，又樣本二階原點(diǎn)矩((一1)2+02+02+12+12)=0．6，從而令2θ=0．6，得θ的矩估計(jì)值為=0．3．對(duì)于樣本值一1，0，0，1，1，似然函數(shù)為L(zhǎng)(θ)=θ(1—2θ)2θ2=θ3(1—2θ)2，取對(duì)數(shù)似然函數(shù)lnL(θ)=3lnθ+2ln(1—2θ)．令解得θ的最大似然估計(jì)值為=0．3．知識(shí)點(diǎn)解析：考查離散型總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)法．利用總體矩與樣本矩對(duì)應(yīng)相等，可求出矩估計(jì)值，通過(guò)求似然函數(shù)的最大值，可得未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值．9、設(shè)某信息臺(tái)在某一段時(shí)間內(nèi)接到的通話(huà)次數(shù)服從參數(shù)為A的泊松分布，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)到42個(gè)數(shù)據(jù)如下：由此數(shù)據(jù)求未知參數(shù)λ的最大似然估計(jì)值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x1，x2，…，xn為一組樣本值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、設(shè)總體X的概率密度為其中0＜θ＜1是未知參數(shù)X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記N為樣本值x1，x2，…，xn中小于1的個(gè)數(shù)，求(1)θ的矩估計(jì)；(2)θ的最大似然估計(jì)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)連續(xù)性總體X的分布函數(shù)為其中θ(θ>0)為未知參數(shù)，從總體X中抽取樣本X1，X2，…，Xn，求(1)θ的矩估計(jì)量；(2)θ的最大似然估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由已知條件，X的概率密度為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)總體X的概率分布為其中θ(一10，1)是未知參數(shù)，從X中抽取容量為n的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，以Ni表示樣本中等于j的個(gè)數(shù)(i=1，2，3)．(1)求θ的最大似然估計(jì)量；(2)E(N2+N3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由已知條件，似然函數(shù)為(2)E(N2+N3)=E(n—N1)=n—E(N1)，又N1服從β(n，1一θ)，故E(N1)=n(1—θ)，所以E(N2+N3)=n—n(1一θ)=nθ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為其中參數(shù)α＞0，β＞1．設(shè)X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．(1)當(dāng)α=1時(shí)，求未知參數(shù)β的矩估計(jì)量．(2)當(dāng)α=1時(shí)，求未知參數(shù)β的最大似然估計(jì)量．(3)當(dāng)β=2時(shí)，求未知參數(shù)α的最大似然估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)α=1時(shí)，X的概率密度為知識(shí)點(diǎn)解析：本題是常規(guī)題型，考查連續(xù)型總體的參數(shù)估計(jì)．按照主要步驟逐步求解．需要先利用導(dǎo)數(shù)求出總體的概率密度．通過(guò)似然方程無(wú)法求得參數(shù)的估計(jì)量時(shí)，要結(jié)合最大似然估計(jì)法的原理得出估計(jì)量．14、設(shè)總體X的概率密度為f(x)=，其中一∞＜θ1＜+∞，0＜θ2＜+∞，X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的隨機(jī)樣本，試求θ1，θ2的最大似然估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x1，…，xn為一組樣本值，似然函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)某種元件的使用壽命X的概率密度為其中θ＞0為未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求θ的最大似然估計(jì)量，并討論無(wú)偏性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)樣本值xi≥0(i=1，2．…，n)時(shí)，L(θ)>0，取對(duì)數(shù)，得lnL(θ)=nln2—2(xi一θ)．因?yàn)?2n＞0，所以L(fǎng)(θ)單調(diào)增加．由于θ必須滿(mǎn)足θ≤xi(i=1，2，…，n)，因此θ≤min(x1，x2，…，xn)．如果取θ=min(x1，x2，…，xn}，則L(θ)取最大值，所以θ的最大似然估計(jì)值為知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)樣本值為x1，x2，…，xn，則似然函數(shù)為當(dāng)xi≥0(i=1，2，…，n)時(shí)，L(θ)＞0．我們只需在此條件下確定L(θ)的最大值點(diǎn)是否為θ的無(wú)偏估計(jì)，需要求出．16、設(shè)總體X的概率密度為其中參數(shù)θ(0<θ<0)未知，X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，是樣本均值．(1)求參數(shù)θ的矩估計(jì)量；(2)判斷是否為θ2的無(wú)偏估計(jì)量，并說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體N(μ，σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記，(1)證明T是μ2的無(wú)偏估計(jì)量；(2)當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，求D(T)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)隨機(jī)變量X服從二次分布，其概率分布為P{X=x}=Cnθ(1一θ)n-x，x=1，2，…，n，求θ2的無(wú)偏估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于E(x)=nθ，E(x2)=D(X)+(EX)2=nθ(1一θ)+(nθ)2=nθ+n(n一1)θ2，從而E(X—X)=n(n一1)θ2，于是當(dāng)抽得容量為N的一組樣本后，θ2的無(wú)偏估計(jì)量為。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量試問(wèn)上面三個(gè)統(tǒng)計(jì)量哪些是總體期望μ的無(wú)偏估計(jì)，并比較哪一個(gè)更有效?標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)量的無(wú)偏性和比較有效性，還是計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的期望和方差問(wèn)題，利用常用結(jié)果求解．20、設(shè)總體X在[θ一]上服從均勻分布，X1，X2，…，Xn(n＞2)是取自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量σi=的無(wú)偏估計(jì)，并指出哪一個(gè)更有效．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布P(λ)，X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為樣本均值．證明T=是P{X=0}的無(wú)偏估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：即T是P{X=0}的無(wú)偏估計(jì)量．知識(shí)點(diǎn)解析：由題意，P{x=0}=e-λ，所以只需證明E(T)=e-λ．22、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，S2為樣本方差，證明S2是σ2的一致估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)從均值為μ，方差為σ2>0的總體中分別抽取容量為n1，n2的兩個(gè)獨(dú)立樣本，樣本均值分別為證明：對(duì)于任何滿(mǎn)足條件a+b=1的常數(shù)a，b，統(tǒng)計(jì)量T=是μ的無(wú)偏估計(jì)量，并確定常數(shù)a，b，使方差D(T)達(dá)到最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ，8)，其中μ未知．(1)現(xiàn)有來(lái)自總體X的10個(gè)觀(guān)測(cè)值，已知=1500，求μ的置信水平為0．95的置信區(qū)間；(2)當(dāng)置信水平為0．95時(shí)，欲使置信區(qū)間的長(zhǎng)度小于1，則樣本容量n至少為多少?(3)當(dāng)樣本容量n=100時(shí)，區(qū)間(+1)作為μ的置信區(qū)間時(shí)，置信水平是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：考查正態(tài)總體方差已知的條件下關(guān)于μ的置信區(qū)間問(wèn)題，根據(jù)公式討論．25、某車(chē)間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖，包得的袋裝葡萄糖的凈重X(單位kg)是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，當(dāng)機(jī)器工作正常時(shí)，其均值為0．5kg，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知標(biāo)準(zhǔn)差為0．015kg(保持不變)，某日開(kāi)工后，為檢驗(yàn)包裝機(jī)的工作是否正常，從包裝出的葡萄糖中隨機(jī)地抽取9袋，稱(chēng)得凈重為0．4970．5060．5180．5240．4980．5110．5200．5150．512試在顯著性水平α=0．05下檢驗(yàn)機(jī)器工作是否正常．標(biāo)準(zhǔn)答案：按題意需要檢驗(yàn)H0：μ=0．5，H1：μ≠0．5，故拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為機(jī)器工作不正常．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)某次考試的考生成績(jī)服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)抽取36位考生的成績(jī)，算得平均成績(jī)?yōu)?6．5分，標(biāo)準(zhǔn)差為15分，問(wèn)在顯著性水平α=0．05下，是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分?并給出檢驗(yàn)過(guò)程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)這次考試的考生成績(jī)?yōu)閄，則X～N(μ，σ2)．H0：μ=70，H1：μ≠70，經(jīng)計(jì)算t=一1．4，故接受原假設(shè)，即可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)有甲，乙兩種零件，彼此可以代用，但乙種零件比甲種零件制造簡(jiǎn)單，造價(jià)低，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)獲得抗壓強(qiáng)度(單位：kg／cm2)為甲種零件：88，87，92，90，91，乙種零件：89，89，90，84，88．假設(shè)甲乙兩種零件的抗壓強(qiáng)度均服從正態(tài)分布，且方差相等，試問(wèn)兩種零件的抗壓強(qiáng)度有無(wú)顯著差異(取α=0．05)?標(biāo)準(zhǔn)答案：本題是在顯著性水平α=0．05下，檢驗(yàn)假設(shè)H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=～t(n1+n2—2)，拒絕域W={｜t｜≥(n1+n2—2)}={｜t｜≥t0.025(8)=2．3060}，經(jīng)計(jì)算t=0．724，故接受原假設(shè)，即認(rèn)為兩種零件的抗壓強(qiáng)度無(wú)顯著差異．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、某無(wú)線(xiàn)電廠(chǎng)生產(chǎn)的一種高頻管，其中一項(xiàng)指標(biāo)服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，從一批產(chǎn)品中抽取8只，測(cè)得該指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：66，43，70，65，55，56，60，72．(1)總體均值μ=60，檢驗(yàn)σ2=82(取α=0．05)；(2)總體均值μ未知時(shí)，檢驗(yàn)σ2=82(取α=0．05)．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題是在顯著性水平α=0．05下，檢驗(yàn)假設(shè)H0：σ2=σ02=82，H1：σ2≠82．經(jīng)計(jì)算χ2=10．2017，故接受原假設(shè)，即認(rèn)為σ2=82．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第3套一、填空題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)服從正態(tài)分布N(μ，μ，σ2，σ2，0)，則E(XY2)=__________，E[(X+Y)2]=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：μσ2+μ3，2σ2+4μ2．知識(shí)點(diǎn)解析：由于(X，Y)服從正態(tài)分布N(μ，μ，σ2，σ2，0)，所以X服從N(μ，σ2)，Y也服從N(μ，σ2)，而ρ=0，所以X與Y是相互獨(dú)立的．因此E(XY2)=E(X).E(Y2)=E(X)[D(Y)+(EY)2]=μ(σ2+μ2)=μσ2+μ3．E[(X+Y)2]=E(X2+2XY+Y2)=E(X2)+2E(X)E(Y)+E(Y2)=D(X)+[E(X)]2+2E(X)E(Y)+D(Y)+[E(Y)]2=σ2+μ2+2μ2+σ2+μ2=2σ2+4μ2．二、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)2、設(shè)X和Y是相互獨(dú)立的且均服從正態(tài)分布N(0，)的隨機(jī)變量，求Z=｜X—Y｜的數(shù)學(xué)期望。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于X和Y是相互獨(dú)立的且均服從正態(tài)分布N(0，)的隨機(jī)變量，所以T=X—Y服從N(0，1)，其概率密度為知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查獨(dú)立條件下正態(tài)分布的性質(zhì)及其函數(shù)的期望的計(jì)算．需要先判斷X-Y的概率分布，然后再選擇恰當(dāng)?shù)墓接?jì)算．3、設(shè)X1和X2是相互獨(dú)立的且均服從正態(tài)分布N(μ，σ)的隨機(jī)變量，求E(max(X1，X2))．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X1，X2的分布函數(shù)為F(x)，Z=max{X1，X2}，則fZ(x)=2F(x)d(x)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，記U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．(1)求V的概率密度f(wàn)V(v)；(2)E(U+V)，E(UV)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于X和Y相互獨(dú)立，都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，所以E(X)=E(Y)=1，且X的分布函數(shù)為(1)設(shè)V的分布函數(shù)為Fmin(v)，則Fmin(v)=1一[1-F(v)]2=1=e-2v，v＞0．故fV(v)=(2)E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2．E(UV)=E(X)E(Y)=1×1=1．知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查獨(dú)立同分布條件下最大值和最小值的分布．先寫(xiě)出V的分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到其概率密度．注意到U+V=X+Y，UV=XY，利用性質(zhì)和指數(shù)分布期望的結(jié)果得到E(U+V)，E(UV)．5、設(shè)(X，Y)在區(qū)域D={(x，y)｜1≤x≤3，1≤y≤3}上服從均勻分布，事件A={X≤a}，B={Y＞a}．(1)若P(A∪B)=，求a；(2)設(shè)D0為事件A∪B所占的區(qū)域，隨機(jī)地向D投點(diǎn)4次，Z為落入D0內(nèi)的次數(shù)，求E(Z2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查將問(wèn)題提煉為幾何型概率和伯努利概率模型的能力．首先利用加法公式求出常數(shù)a，而D0為事件A∪B所占的區(qū)域，隨機(jī)地向D投點(diǎn)4次，因此該試驗(yàn)是4次伯努利試驗(yàn)，由于Z為落入D0內(nèi)的次數(shù)，因此意識(shí)到Z服從B(4，P(A∪B))，進(jìn)而可利用方差的計(jì)算公式求出E(Z2)．6、隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=對(duì)X獨(dú)立重復(fù)地觀(guān)察4次，用Y表示觀(guān)察值大于的次數(shù)，求E(Y2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：于是E(Y2)=D(Y)+(EY)2=5．知識(shí)點(diǎn)解析：本題仍然是考查常用分布之二項(xiàng)分布的數(shù)字特征．對(duì)X獨(dú)立重復(fù)地觀(guān)察4次，用Y表示觀(guān)察值大于．7、設(shè)X服從N(1，4)，Y服從N(2，9)，且X與Y相互獨(dú)立，如果服從N(0，1)，求常數(shù)a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知，E(X)=1，D(X)=4，E(Y)=2，D(Y)=9，由于X與Y相互獨(dú)立，所以解得a=一2，b=±5．知識(shí)點(diǎn)解析：考查正態(tài)分布的數(shù)字特征．根據(jù)期望和方差的運(yùn)算性質(zhì)或獨(dú)立條件下正態(tài)分布的性質(zhì)求出a，b．8、設(shè)隨機(jī)變量X3，X2，X3相互獨(dú)立，其中X1在[0，6]上服從均勻分布，X2服從N(0，4)，X3服從參數(shù)為λ=3的泊松分布，記Y=X1-2X2+3X3，求D(Y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件，D(X1)==3，D(X2)=4，D(X3)=3．又X1，X2，X3相互獨(dú)立，從而D(Y)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+4×4+9×3=46．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、設(shè)(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)=(x一1)，求(1)a、b應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式；(2)E(X)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)F(+∞)=1，有a+b=1．(2)以φ(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度，則E(x)=∫-∞+∞xdF(x)=∫-∞+∞x[aφ(x)+bφ(x一1)]dx．=a∫-∞+∞xφ(x)dx+b∫-∞+∞xφ(x一1)dx．注意到∫-∞+∞xφ(x)dx=0，從而有E(x)=b∫-∞+∞xφ(x一1)dx=b∫-∞+∞(x一1+1)φ(x一1)dx=b∫-∞+∞(x一1)φ(x一1)dx+b∫-∞+∞φ(x—1)dx．令x一1=t，有E(x)=b∫-∞+∞tφ(t)dt+b∫-∞+∞φ(t)dt=b×0+b×1=b．知識(shí)點(diǎn)解析：考查分布函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算數(shù)學(xué)期望的方法．由于X的分布已知，可以利用公式結(jié)合分布的性質(zhì)出E(X)．10、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X，Y)=12，求(X，Y)的概率密度．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查二維正態(tài)分布的參數(shù)含義和概率密度的形式，將參數(shù)代入到概率密度表達(dá)式可得到概率密度的具體形式．11、已知隨機(jī)變量X和Y分別服從正態(tài)分布N(1，32)和N(0，42)，且X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY=．(1)求E(Z)和D(Z)；(2)求X與Z的相關(guān)系數(shù)ρXY；(3)問(wèn)X與Z是否相互獨(dú)立，為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：(3)X與Z不一定相互獨(dú)立．因?yàn)閆未必服從正態(tài)分布，(X，Z)也未必服從二維正態(tài)分布，X與Z不相關(guān)，但X與Z不一定是獨(dú)立的．知識(shí)點(diǎn)解析：綜合考查正態(tài)分布，二維正態(tài)分布的關(guān)系和數(shù)字特征．利用數(shù)字特征的性質(zhì)直接求出E(Z)，D(Z)和ρXY．判斷X與Z是否相互獨(dú)立則需要利用正態(tài)分布的性質(zhì)．12、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn(n＞1)相互獨(dú)立同分布，且期望均為μ，方差均為σ2(σ2＞0)，令的相關(guān)系數(shù)ρ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查正確使用公式和性質(zhì)計(jì)算數(shù)字特征的能力及Xi與的關(guān)系，是基本問(wèn)題．中含有Xi，因此與Xi一般是不獨(dú)立的．13、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn(n＞2)相互獨(dú)立，且均服從N(0，1)，記，i=1，2，…，n．求(1)D(Yi)；(2)coy(Y1，Yn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn(n＞2)的期望都為0，方差都為1，且任意兩個(gè)的相關(guān)系數(shù)都為ρ，設(shè)U=X1+X2+…+Xn，Y=Xn+1+Xn+2+…+X2n，求U和V的相關(guān)系數(shù)ρXY。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、已知X與Y服從相同的分布，且P{｜X｜=｜Y｜}=0，X的概率分布為(1)求X與Y的聯(lián)合概率分布；(2)問(wèn)X與Y是否不相關(guān)?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)根據(jù)已知條件，知(X，Y)的概率分布為從而cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0，即X與Y不相關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)A和B為兩個(gè)隨機(jī)事件，定義隨機(jī)變量證明X與Y不相關(guān)的充分必要條件是A和B相互獨(dú)立．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)P(A)=P1，P(B)=P2，P(AB)=P12，則有E(X)=2P1—1，E(Y)=2P2—1，E(XY)=4P12-2P1一2P2+1，COY(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=4(P12一P1P2)．X與Y不相關(guān)A與B相互獨(dú)立．知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查不相關(guān)與獨(dú)立性的判斷．嚴(yán)格按照定義證明．17、對(duì)于任意二事件A，B，0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，定義A與B的相關(guān)系數(shù)為(1)證明事件A，B相互獨(dú)立的充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)為零；(2)利用隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)，證明｜ρAB｜≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：而｜ρXY｜≤1，從而｜ρAB｜≤1．知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查建立事件與隨機(jī)變量聯(lián)系的能力，題中給出事件相關(guān)系數(shù)的定義式，要求利用隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)證｜ρAB｜≤1，因此引入(0一1)分布，將事件A，B與隨機(jī)變量建立起關(guān)系式．18、設(shè)X的概率密度為f(x)=，一∞＜x＜+∞，(1)求E(X)和D(X)；(2)求X與｜X｜的協(xié)方差，判斷X與｜X｜是否不相關(guān)；(3)判斷X與｜X｜是否相互獨(dú)立．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)E(X)==2，從而D(X)=E(X2)一(EX)2=2．(2)cov(X，｜X｜)=E(X｜X｜)一E(X)E(｜X｜)=E(X｜X｜)==0，從而X與｜X｜不相關(guān)．(3)對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a＞0，顯然事件{｜x｜≤1}{X≤a}，且P{X≤a}＜1，于是P{X≤a，｜X｜≤a}=P{｜X｜≤a}＞P{X≤a}P{｜X｜≤a}，因此X與｜X｜不相互獨(dú)立．知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查二個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差及相關(guān)性的概念，相關(guān)性與獨(dú)立性的關(guān)系．由于分布已知，可以利用公式計(jì)算數(shù)字特征．19、設(shè)某種商品每周的需求量X是服從區(qū)間[10，30]上均勻分布的隨機(jī)變量，而經(jīng)銷(xiāo)商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間[10，30]中的某一整數(shù)，商店每銷(xiāo)售一單位商品可獲利500元；若供大于求則削價(jià)處理，每處理1單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每1單位商品僅獲利300元．為使商店所獲利潤(rùn)期望值不少于9280元，試確定最少進(jìn)貨量．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)進(jìn)貨量為t，利潤(rùn)為L(zhǎng)=L(t)，則知識(shí)點(diǎn)解析：考查利用期望解決實(shí)際問(wèn)題的能力，關(guān)鍵要建立起利潤(rùn)函數(shù)的表達(dá)式再求解．20、設(shè)自動(dòng)生產(chǎn)線(xiàn)加工的某種零件的內(nèi)徑X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(μ，1)，內(nèi)徑小于10mm或大于12mm為不合格品，其余為合格品．銷(xiāo)售合格品獲利，銷(xiāo)售不合格品虧損，已知一個(gè)零件的銷(xiāo)售利潤(rùn)T元與X有如下關(guān)系：T=，問(wèn)平均內(nèi)徑μ取何值時(shí)，銷(xiāo)售一個(gè)零件的平均獲利最大，是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：已知X服從正態(tài)分布N(μ，1)，所以X-μ服從N(0，1)，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0．2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作．若一周5個(gè)工作日無(wú)故障，可獲利10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障仍可獲利5萬(wàn)元；發(fā)生二次故障所獲利潤(rùn)O元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元，求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X表示一周5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的天數(shù)，Y表示利潤(rùn)，則Y=：由已知X服從B(5，0．2)。E(Y)=10×P{X=0}+5×P{X=1}+0×P{X=2}-2×P{X≥3}=10×0．85+5×C51(0．2)(0．8)4+0—2×[1—0．85-C51(0．2)(0．8)4一C52(0．2)2(0．8)3]=5．216(萬(wàn)元)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、關(guān)于隨機(jī)事件{X≤a，Y≤b}與{X＞a，Y＞b}，下列結(jié)論正確的是()A、為對(duì)立事件．B、為互不相容事件．C、為相互獨(dú)立事件．D、P{X≤a，Y≤b}＞P{X＞a，Y＞b}．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：如圖3—1所示，選項(xiàng)(A)、(D)都是不一定成立的．如果{X≤a，Y≤b}與{X＞a，Y＞b}相互獨(dú)立，則應(yīng)P{(X≤a，Y≤b)(X＞a，Y＞b)}=0，不一定與P{X≤a，Y≤b}P{X＞a，Y＞b}相等，故(C)不正確．綜上，應(yīng)選B．2、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)為F(x，y)，則(X，X)的分布函數(shù)G(x，y)為()A、F(x，y)．B、F(y，x)．C、F(一x，一y)．D、F(一y，一x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：G(x，y)=P{Y≤x，x≤y}=P{x≤y，Y≤x}=F(y，x)．故應(yīng)選B．3、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)為F(x，y)=，則常數(shù)A和B的值依次為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：V(x，y)能夠作為分布函數(shù)，則需滿(mǎn)足0≤F(x，y)≤1，F(xiàn)(+∞，+∞)=1，F(xiàn)(一∞，一∞)=F(x，一∞)=F(一∞，y)=0，關(guān)于x，y單調(diào)不減且右連續(xù)，故F(+∞，+∞)=Aπ(B+)=1，滿(mǎn)足此條件的只有(C)．4、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且有相同的分布函數(shù)F(x)，Z=X+Y，F(xiàn)Z(z)為Z的分布函數(shù)，則下列成立的是()A、FZ(2z)=2F(z)．B、FZ(2z)=[r(z)2C、FZ(2z)≤[F(z)]2．D、FZ(2z)≥[，(z)]2．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：如圖3—2所示，F(xiàn)Z(2z)=P{Z≤2z}=P{X+Y≤2z}，X+Y≤2z對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)锳，由于X和Y相互獨(dú)立，且有相同的分布函數(shù)F(z)，從而[p(z)]2=F(z)F(z)=P{X≤z}P{y≤z}=P{X≤z，Y≤z}，X≤z，y≤z對(duì)應(yīng)區(qū)域B，顯然BA，故FZ(2z)≥[F(z)]2，因此選(D)．5、設(shè)X1和X2是兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度分別為f1(x)和f2(x)，分布函數(shù)分別為F1(x)和F2(x)，則下列說(shuō)法正確的是()A、f1(x)+f2(x)必為某一隨機(jī)變量的概率密度．B、f1(x)f2(x)必為某一隨機(jī)變量的概率密度．C、F1(x)+F2(x)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)．D、F1(x)F2(x)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件，有∫-∞+∞f1(x)dx=∫-∞+∞f2(x)dx=1，F(xiàn)1(+∞)=F2(+∞)=1，∫-∞+∞[f1(x)+f2(x)]dx=∫-∞+∞f1(x)dx+∫-∞+∞f2(x)dx=1，選項(xiàng)(A)不正確；例如令f1(x)=，故選項(xiàng)(B)不正確；F1(+∞)+F2(+∞)=2，故選項(xiàng)(C)不正確，因此選(D)．6、已知隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，其概率分布為則下列式子正確的是()A、X=YB、P{X=Y}=0．?C、P{X=Y}=．D、P{X=Y}=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：P{X=Y}=P{X=一1，Y=一1}+P{x=1，Y=1}=P{X=一1}P{Y=一1}+P{X=1}P{Y=1}=7、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)在平面區(qū)域G上服從均勻分布，其中G是由x軸，y軸以及直線(xiàn)y=2x+1所圍成的三角形域，則(X，Y)的關(guān)于X的邊緣概率密度為()標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件，如圖3—4所示。8、設(shè)平面區(qū)域D是由x軸，y軸以及直線(xiàn)x+=1所圍成的三角形域，二維隨機(jī)變量(X，Y)在D上服從均勻分布，則fX｜Y(x｜y)=()(0＜y＜2)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件，如圖3-5所示，二、填空題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)9、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為則關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為FX(x)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：考查由聯(lián)合分布確定邊緣分布的能力．由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，反之，一般不能由邊緣分布確定聯(lián)合分布，需要諸如獨(dú)立等條件．使用公式F1(x)=F(x，+∞)．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)10、已知二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合概率分布為分別按下列已知條件，求α，β(1)如果P{x+y=1}=0．4；(2)如果X與Y不相關(guān)；系數(shù)ρxy=0；(3)已知事件{X=0}與{Y=1}相互獨(dú)立；(4)設(shè)F(x，y)為(X，Y)分布函數(shù)，且F()=0．4．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意α+β=0．4．(1)P{X+Y=1}=P{(X=0，Y=1)∪(X=1，Y=0)}=P{X=0，Y=1}+P{X=1，Y=0}=α+0．1=0．4，從而α=0．3，β=0．1；(2)X與Y不相關(guān)的充分必要條件是協(xié)方差cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0．又E(XY)=0×(一1)×0．1+0×0×0．2+0×1×α+1×(一1)×β+1×0×0．1+1×1×0．2=β+0．2，同理可求E(X)E(Y)=0．2-β，從而0．3α+0．8β=0．17，即α=0．3，β=0．1；(3)已知P{Y=1，X=0}=P{Y=1}P{X=0}，即α=(a+0．2)(0．3+α)解得α=0．3，β=0．1或α=0．2，β=0．2．(4)，Y≤1}=PIX=0，Y=一1}+P{X=0，Y=1}+P(X=0，Y=0)=0．1+α+0．2=0．4，從而α=0．1，β=0．3．知識(shí)點(diǎn)解析：考查二維離散型隨機(jī)變量概率分布，在題中所給出的幾種比較典型的條件下確定分布中的未知參數(shù)，可以利用分布的性質(zhì)結(jié)合題設(shè)條件聯(lián)合求解．如果(X，Y)概率分布為P{X=xi，Y=yi}=pij，i,j=1，2，…，則=1，可得α，β的關(guān)系式，再利用其他題設(shè)條件可得α，β所滿(mǎn)足的另一個(gè)關(guān)系式．11、在集合{1，2，3}中取數(shù)兩次，每次任取一個(gè)數(shù)，作不放回抽樣，以X與Y分別表示第一次和第二次取到的數(shù)，(1)求(X，Y)聯(lián)合概率分布；(2)求在X=2的條件下關(guān)于Y的邊緣分布律．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(X，Y)可能取的值為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)．P{x=1，y=1}=P{x=1}P{y=1｜x=1}=×00=0，同理P{X=2，Y=2}=P{X=3，Y=3}=0．P{X=1，Y=2}=P{X=1}P{Y=2｜X=1}=，同理P{X=1，Y=3}=P{X=2，Y=3}=P{X=2，Y=1}=P{X=3，Y=1}=P{X=3，Y=2}=，故隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合分布律為知識(shí)點(diǎn)解析：考查離散型隨機(jī)變量分布與條件分布以及利用乘法公式、條件概率計(jì)算事件概率的方法．先確定(X，Y)可能的取值，再計(jì)算取各值的概率得到(X，Y)，進(jìn)而求得條件分布．12、已知隨機(jī)變量X的概率分布為(1)求(X，Y)的概率分布；(2)X與Y是否相互獨(dú)立?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)X可能取的值為0，1，2，Y可能取的值為0，1，而P{X=0，Y=0}=P{X+Y=0}=，P{X=2，Y=1}=P{X+Y=3}=，故可得如下表格形式(2)因?yàn)閜ij=pi．p.j(i=1，2，3；j=1，2．)，所以X與Y是相互獨(dú)立的．知識(shí)點(diǎn)解析：考查離散型隨機(jī)變量的分布與其函數(shù)的分布的計(jì)算與轉(zhuǎn)化能力．關(guān)鍵是找到與(X，Y)取各值的事件相等的事件．13、已知隨機(jī)變量X的概率分布為而且P{XY=0}=1．(1)求(X，Y)的聯(lián)合概率分布；(2)問(wèn)X與Y是否相互獨(dú)立，為什么?(3)求P{X≠Y}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由已知條件P{XY=0}=1，知P{XY≠0}=0，P{XY≠0}=P{X=一1，Y=1}+P{X=1，Y=1}=0，從而P{X=一1，Y=1}=P{X=1，Y=1}=0．又P{X=一1}=P{X=一1，Y=0}+P{X=一1，Y=1}=，(3)P{X≠Y}=1一P{X=Y}=1-P{X=0，Y=0}-p{X=1，Y=1}=1．知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化．由已知條件P{XY=0}=1可知P{XY≠0}=0，從而得到聯(lián)合概率分布．14、設(shè)隨機(jī)變量X在1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中等可能取值，隨機(jī)變量Y在1～X中等可能地取一整數(shù)值．(1)求(X，Y)的概率分布；(2)P{X=Y}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)X可能取值為1，2，3，4，Y可能取值為1，2，3，4．知識(shí)點(diǎn)解析：考查條件概率和乘法公式．先確定(X，Y)可能取值，再利用乘法公式計(jì)算．15、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合分布及關(guān)于X與Y的邊緣分布中的數(shù)值，試求未知參數(shù)ai(i=1，2，3，…，8)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：考查判斷二維離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念和方法．綜合利用獨(dú)立條件下聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系，可以避免比較繁瑣的計(jì)算．事實(shí)上，如果X與Y相互獨(dú)立，則表格中任意兩行的概率元素是對(duì)應(yīng)成比例的．16、一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為p(0＜p＜1)，射擊到擊中目標(biāo)兩次為止，以X表示首次擊中目標(biāo)進(jìn)行的射擊次數(shù)，以Y表示總共射擊的次數(shù)，求X和Y的聯(lián)合概率分布及條件概率分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：X可能取的值為1，2，…，Y可能取的值為2，3，…，P{X=m，Y=n}=(1—p)n-2p2，n=2，3，…，m=1，2，…，n—1．P{Y=n｜x=m}=p(1—p)n-m-1，n=m+1，…．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且求(1)(X，Y)的概率分布；(2)Z=X2+Y2的概率分布；(3)問(wèn)X，Y是否相互獨(dú)立．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)某班車(chē)起點(diǎn)上車(chē)人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ＞0)的泊松分布，如果每位乘客在中途下車(chē)的概率為P(0＜p＜1)，并且他們?cè)谥型鞠萝?chē)與否是相互獨(dú)立的．用Y表示在中途下車(chē)的人數(shù)，求(1)在發(fā)車(chē)時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m個(gè)人下車(chē)的概率；(2)(X，Y)的聯(lián)合概率分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)A表示事件“發(fā)車(chē)時(shí)有n個(gè)乘客上車(chē)”，B表示“中途有m個(gè)人下車(chē)”，則P(B｜A)=P{Y=m｜X=n}．由二項(xiàng)分布，有P(B｜A)=Cnmpm(1-p)n-m，0≤m≤n，n=0，1，2，…．(2)由乘法公式，有P{X=n，Y=m}=P(AB)=P(A)P(B｜A)．又由于x服從參數(shù)為A的泊松分布，因此P{X=n}=，從而(X，Y)的聯(lián)合概率分布為P{X=n，Y=m}=，其中0≤m≤n，n=0，1，2，…．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x，y)=求(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3-3，由密度函數(shù)的定義，將xOy平面分成5個(gè)部分．分布函數(shù)F(x，y)=∫-∞x∫-∞yf(u，v)dudv(1)當(dāng)x＜0或y＜0時(shí)，r(x，y)=0．(2)當(dāng)0≤x<1，0≤y＜1時(shí)，F(xiàn)(x，y)=∫0xudu∫0y4vdv=x2y2．(3)當(dāng)0≤x≤1，y≥1時(shí)，F(xiàn)(x，y)=4∫0xudu∫01vdv=x2．(4)當(dāng)x≥1，0≤y＜1時(shí)，F(xiàn)(x，y)=∫014udu∫0yvdv=y2．(5)當(dāng)x≥1，y≥1時(shí)，F(xiàn)(x，y)=1．知識(shí)點(diǎn)解析：考查由概率密度求取聯(lián)合分布函數(shù)的方法，直接用公式即可．20、設(shè)隨機(jī)變量X關(guān)于隨機(jī)變量Y的條件概率密度為fX｜Y(x｜y)=，而Y的概率密度為fY(y)=，求(1)(X,Y)的概率密度f(wàn)(x，y)．(2)關(guān)于X的邊緣概率密度f(wàn)X(x)．(3)P{x＞)；(4)X與Y是否相互獨(dú)立?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由題設(shè)條件和條件概率密度公式可得(4)因?yàn)閒(x，y)≠fX(x).Y(y)(0＜x＜y＜1)，所以X與Y不相互獨(dú)立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)X在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布，在X=x(0＜x＜1)條件下Y在(0，x)上服從均勻分布，求(1)X與Y的聯(lián)合概率密度f(wàn)(x，y)及P(X+Y＞1)；(2)Y的概率密度f(wàn)Y(y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于x在(0，1)上服從均勻分布，所以X的概率密度f(wàn)X(x)=又Y在X=x的條件下在(0，x)上服從均勻分布，故條件概率密度知識(shí)點(diǎn)解析：考查條件概率密度計(jì)算公式的逆用，即f(x，y)=fX(x)fT｜X(y｜x)=fY(y)fX｜Y(x｜y)．考研數(shù)學(xué)二（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)X1，X2，…，Xn(n＞1)相互獨(dú)立同分布，概率密度為f(x)=2x-3，x≥1，i=1，2，…，則有()A、對(duì)每一個(gè)Xi都滿(mǎn)足切比雪夫不等式．B、Xi都不滿(mǎn)足切比雪夫不等式．C、X1，X2，…，Xn滿(mǎn)足切比雪夫大數(shù)定律．D、X1，X2，…，Xn不滿(mǎn)足辛欽大數(shù)定律．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于切比雪夫不等式，切比雪夫大數(shù)定律要求隨機(jī)變量序列的期望和方差存在．由題設(shè)條件E(Xi)=發(fā)散，從而D(Xi)不存在，因此(A)、(C)不正確，而辛欽大數(shù)定律僅要求E(Xi)存在，從而(D)也不正確，因此應(yīng)選B．2、設(shè)X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，且Xi(i=1，2，…)服從參數(shù)為λ(＞0)的泊松分布，則下列選項(xiàng)正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于E(Xi)=λ，D(Xi)=λ，從而=nλ，由列維一林德伯格中心極限定理，近似服從N(0，1)，因此選3、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…相互獨(dú)立，則根據(jù)列維一林德伯格中心極限定理，當(dāng)n定充分大時(shí)，X1+X2+…+Xn近似服從正態(tài)分布，只要Xi(i=1，2，…)滿(mǎn)足條件()A、具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差．B、服從同一離散型分布．C、服從同一連續(xù)型分布．D、服從同一指數(shù)分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：列維-林德伯格中心極限定理要求隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立同分布，期望與方差存在，滿(mǎn)足這三個(gè)條件的只有(D)．4、設(shè)X1，X2，X3，X4為來(lái)自總體N(1，σ)(σ＞0)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量的分布為()A、N(0，1)．B、t(1)．(c)χ2(1)．C、F(1，1)．D、考查產(chǎn)生t分布的典型模式．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于X服從N(1，σ2)，i=1，2，3，4，且相互獨(dú)立，所以X。一X服從N(0，2σ2)，X3+X4一2服從N(0，2σ2)．5、設(shè)總體X服從參數(shù)為λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，X2n(n≥2)為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量T1=，則有()A、E(T1)＞E(T2)，D(T1)＞D(T2)．B、E(T1)＞E(T2)，D(rm)＜D(T2)．C、E(T1)＜E(T2)，D(T1)＞D(T2)．D、E(T1)＜E(T2)，D(T1)＜D(T2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：故D(T1)＜D(T2)，從而應(yīng)選D．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)6、設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都是2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為0．5，則根據(jù)切比雪夫不等式，有P{｜X—Y｜＞6}≤__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由已知，E(X)=E(Y)=2，D(x)=1，D(Y)=4，ρXY=0．5，從而E(X-Y)=2-2=O，D(X-Y)=D(X)+D(Y)一2ρXY=1+4-2×0．5×1×2=3．由切比雪夫不等式，P{｜X—Y｜≥6≤．7、在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的可能性是0．5，則1000次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)在400次到600次之間的概率≥__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．975．知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X服從β(1000，0．5)，E(X)=500，D(X)=250．P{400＜X＜600}=P{一100＜X-500＜100}=P{｜X一500｜＜100)．由切比雪夫不等式，有P{400＜X＜600}=P{｜X一500｜＜100}≥1—=U．975．三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)8、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立同分布，且E(Xik)=ak(k=1，2，3，4)，證明當(dāng)n充分大時(shí)，隨機(jī)變量Zn=近似服從正態(tài)分布，并指出其分布參數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，X12，X22，…，Xn2相互獨(dú)立同分布，且E(Xi2)=a2，D(Xi2)=E(xi2)一[E(Xi2)]2=a4一a22，又知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠客戶(hù)中被盜索賠占20％，以X表示在隨機(jī)抽查的100個(gè)索賠客戶(hù)中因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶(hù)數(shù)．(1)寫(xiě)出X的概率分布；(2)利用德莫弗一拉普拉斯定理，求被盜索賠客戶(hù)不少14戶(hù)且不多于30戶(hù)的概率的近似值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)索賠戶(hù)為X，則X～B(100，0．2)，(2)由DeMoivre—Laplace極限定理知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、設(shè)某種元件使用壽命(單位：小時(shí))服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其平均使用壽命為40小時(shí)，在使用中當(dāng)一個(gè)元件損壞后立即更換另一個(gè)新的元件，如此繼續(xù)下去．已知每個(gè)元件的進(jìn)價(jià)為a元，試求在年計(jì)劃中應(yīng)為購(gòu)買(mǎi)此種元件作多少預(yù)算，才可以有95％的把握保證一年夠用(假定一年按照2000個(gè)工作小時(shí)計(jì)算)．標(biāo)準(zhǔn)答案：假設(shè)一年需要n個(gè)元件，則預(yù)算經(jīng)費(fèi)為na元．故年預(yù)算至少應(yīng)為64a元．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、一條生產(chǎn)線(xiàn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的．假設(shè)平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克．如果用最大載重量為5噸的汽車(chē)承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛車(chē)最多可以裝多少箱，才能保證不超載的概率大于0．977，((2)=0．977．)標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Xi是裝運(yùn)的第i箱的重量，n是箱數(shù)，且E(Xi)=50，=5，i=1，2…，n．P{Tn≤5000}=，解得n＜98．0199，即最多可以裝98箱．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、在天平上重復(fù)稱(chēng)量一重為a的物品，假設(shè)各次稱(chēng)量結(jié)果相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布N(a，0．22)，表示n次稱(chēng)量結(jié)果的算術(shù)平均值，則為使P{｜一a｜＜0．1}≥0．95，n的最小值應(yīng)不小于多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)X1，X2，…，X6是來(lái)自正態(tài)總體N(0，32)的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求常數(shù)a，b，c使T=aX1+b(X2+X3)2+c(X4+X5+X6)2服從χ(3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意X1服從N(0，32)，X2+X3服從N(0，18)，X4+X5+X6服從N(0，27)，知識(shí)點(diǎn)解析：考查產(chǎn)生χ2分布的典型模式．χ2分布是由相互獨(dú)立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量序列的平方和得到的，按照該定義，求出a，b，c．14、設(shè)隨機(jī)變量X服從T(N)，判斷Y=X2，Z=所服從的分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于X服從t(n)，設(shè)U服從N(0，1)，V服從χ2(n)，且Y與Z相互獨(dú)立，則X可表示為服從F(n，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：考查產(chǎn)生F分布的典型模式．15、設(shè)和S2分別是來(lái)自正態(tài)總體N(0，σ2)的樣本均值和樣本方差，樣本容量為n，判斷所服從的概率分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N(0，σ2)，而X1，X2，X3，X4與Y1，Y2，Y3，Y4分別是來(lái)自總體X和Y的兩個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，判斷統(tǒng)計(jì)量T=服從的分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：由正態(tài)總體的抽樣分布．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、已知二維隨機(jī)變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布N(0，1，22，32，0)，判斷F=服從的概率分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意X服從N(0，22)，Y服從N(1，32)，且相互獨(dú)立，知識(shí)點(diǎn)解析：由隨機(jī)變量F的形式可推斷其服從F分布．18、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N(0，9)，而X1，…，X9與Y1一，Y9分別是來(lái)自總體X和Y的兩個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，判斷統(tǒng)計(jì)量T=所服從的分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)X1，X2，…，Xn(n＞1)是取自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，．在下列四種情況下，分別求，E(S2)．(1)X服從B(1，p)；(2)X服從E(λ)；(3)X服從N(μ，σ2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于樣本X1，X2，…，Xn(n＞1)是相互獨(dú)立的，并且與總體服從相同的分布，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)總體X服從β(n，p)，又X1，X2，…，Xn為取自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量T1=—S2，求E(T1)和E(T2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)總體X服從N(0，σ)，X1，X2，…，Xn為取自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，與S2分別為樣本均值和樣本方差，統(tǒng)計(jì)量T=(n一1)，求E(T)和D(T)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：綜合考查正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)和數(shù)字特征．與，即是相互獨(dú)立的，從而利用這些結(jié)論結(jié)合期望和方差的性質(zhì)求出E(T)和D(T)．22、設(shè)總體X服從N(μ1，σ2)，Y服從N(μ2，σ2)，又X1，X2，…，Xn和Y1，Y2，…，Yn分別為取自總體X和Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．求。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)總體X服從N(μ，σ2)(σ＞0)，X1，X2，…，X2n(n≥2)為取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值為的數(shù)學(xué)期望E(Y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將(X1+Xn+1)，(X2+Xn+2)，…，(Xn+X2N)視為取自總體N(2μ，2σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則其樣本均值為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)總體X～(μ，σ2)，X1，X2，…，X2n是一個(gè)樣本，，S2分別為樣本均值和樣本方差，設(shè)C1，…，Cn是不全相等的常數(shù)，且所服從的分布；(2)求。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：綜合考查正態(tài)總體常用統(tǒng)計(jì)量的分布與數(shù)字特征，由于=0，故可將Y的形式化簡(jiǎn)，再利用獨(dú)立條件下正態(tài)分布的運(yùn)算性質(zhì)判斷出Y的分布．又與S2獨(dú)立，從而．25、設(shè)X1，X2是取自正態(tài)總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X服從N(0，σ2)，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知，X1和X2都服從N(0，σ2)，從而X1+X2服從N(0，2σ2)，X1一X2服從N(0，2σ2)．知識(shí)點(diǎn)解析：考查統(tǒng)計(jì)量所表示事件的概率，應(yīng)從統(tǒng)計(jì)量的分布入手，再計(jì)算概率．26、從總體N(100，4)中抽取樣本容量為16的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值為=0．95，求k的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)上α分位數(shù)U0.025=1．96．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)隨機(jī)變量X與Y都服從正態(tài)分布，則()A、X與Y一定獨(dú)立．B、(X，Y)服從二維正態(tài)分布．C、X與Y未必獨(dú)立．D、X+Y服從一維正態(tài)分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：事實(shí)上，X與Y都服從正態(tài)分布，二者在已知條件下得不到它們之間的必然聯(lián)系．(X，Y)服從二維正態(tài)分布的充分必要條件是aX+bY服從一維正態(tài)分布，其中x，b不同時(shí)為0．即使(X，Y)服從二維正態(tài)分布，X與Y也未必服從正態(tài)分布，因此選項(xiàng)(B)和(D)都不正確．2、邊緣分布均為正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量其聯(lián)合分布()A、必為二維正態(tài)分布．B、必為均勻分布．C、不一定為二維正態(tài)分布．D、由兩個(gè)邊緣分布確定．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：邊緣分布可由聯(lián)合概率分布確定，但聯(lián)合概率分布需要在諸如獨(dú)立等條件下才能由邊緣分布確定，因此(D)不正確．例如，如果(X，Y)的概率密度為f(x，y)=(1+sinxsiny)，一∞＜x，y＜+∞．其不服從二維正態(tài)分布，但X和Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．3、設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z相互獨(dú)立，且X服從N(1，2)，Y服從N(2，2)，Z服從N(3，7)，a=P{X＜Y}，b=P{Y＜Z}，則()A、a＞b．B、a＜b．C、a=b．D、a，b大小不能確定．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于X服從N(1，2)，Y服從N(2，2)，且X與Y相互獨(dú)立，從而X一Y服從N(一1，4)，同理Y-Z服從N(一1，9)．從而a＞b．4、設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1和X2的分布函數(shù)分別為F1(x)和F2(x)，概率密度分別為f1(x)和f2(x)，則隨機(jī)變量Y=min(X1，X2)的概率密度f(wàn)(x)=()A、f1(x)f2(x)．B、f1(x)F1(x)+f2(x)F2(x)．C、f1(x)[1一F2(x)]+f2(x)[1一F1(x)]．D、f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：Y=min(X1，X2)的分布函數(shù)為FY(x)=1一[1一F1(x)][1一F2(x)]，所以fY(x)=F’Y(x)=f1(x)[1一F2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]，因此選(C)．5、設(shè)(X，Y)服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)，fX(x)，fY(y)分別表示X，Y的概率密度，則在Y=y的條件下，X的條件概率密度f(wàn)X｜Y(x｜y)為()A、fX(x)．B、fY(y)．(c)fX(x)fY(y)．C、．D、考查二維正態(tài)分布的獨(dú)立性的判斷和應(yīng)用，如果(X，Y)服從二維正態(tài)分布，X與Y獨(dú)立的充分必要條件是X與Y不相關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于X與Y不相關(guān)，從而X與Y獨(dú)立，所以fX｜Y(x｜y)=fX(x)．6、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從指數(shù)分布E(λ)，則下列結(jié)論正確的是()A、X+Y服從E(2λ)．B、X-Y服從E(2λ)．C、min(X，Y)服從E(2λ)．D、max(X，Y)服從E(2λ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于X和Y相互獨(dú)立，且都服從E(λ)，其分布函數(shù)為F(x)=min(X，Y)的分布函數(shù)Fmin(x)=1-[1-F(x)]2=1—e-2λx，x＞0．即min(X，Y)服從E(2λ)．7、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布，Y的概率分布為P{Y=0}=P{Y=1}=P{Y=2}=，記FZ(z)=的分布函數(shù)，則函數(shù)FZ(z)的間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A、0個(gè)．B、1個(gè)．C、2個(gè)．D、3個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布，顯然，z=0是FZ(z)的間斷點(diǎn)，因此選(B)．8、設(shè)X，Y為連續(xù)型隨機(jī)變量，且P{XY≤0}=，則P{min(X，Y)≤0}=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：事件{max(X，Y)≥0}的對(duì)立事件為{X＜0，Y＜0}，由P{max(X，Y)≥0}=．又{XY≤0}{min(X，Y)≤0}，且{X＜0，Y＜0}={min(X，Y)≤0}一{XY≤0}，故P{min(X，Y)≤0}=P{X＜0，Y＜0}+P{XY≤0}=．9、設(shè)X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立同分布，每個(gè)分布函數(shù)均為F(x)，記X=min(X1，…，Xn)，Y=max(X1，…，Xn)，則(X，Y)的分布函數(shù)F(x，y)當(dāng)y＞x時(shí)在(x，y)處的值為()A、[F(x)F(y)]nB、[F(y)]n一[F(y)一F(x)]nC、[F(y)]n一[F(y)一F(x)F(y)]n．D、[r(x)]n一[F(x)一F(y)]n．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：r(x，y)=P{X≤x，Y≤y}=P{x≤+∞，Y≤y}一P{X＞x，Y≤y}=P{Y≤y}一P{X＞x，y≤y}=P{max(X1，X2，…，Xn)≤y}-P{min(X1，X2，…，Xn)＞x，max(X1，X2，…，Xn)≤y}=[F(y)]n一P{X1＞x，…，Xn＞x，X1≤y，…，Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤y，x＜X2≤y，…，x＜Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤)，}P{x＜X2≤y}…P{x＜Xn≤y}=[F(y)]n一[F(y)-F(x)]n(y＞x)．二、填空題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)10、設(shè)(X，Y)的概率密度為f(x，y)=，一∞＜x，y＜+∞，則Z=X—Y的概率密度f(wàn)Z(z)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：．知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件X和Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N(0，1)，從而Z=X—Y服從N(0，2)，即fZ(x)=，一∞＜z＜+∞．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)=，求(1)系數(shù)k；(2)邊緣概率密度；(3)X和Y是否獨(dú)立．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x，y)dxdy=1，有k∫0+∞xe-xdx∫0+∞e-xydy=k∫0+∞e-xdx=k=1，得k=1．(2)當(dāng)x＞0時(shí)fX(x)=f(x，y)dy=∫-∞+∞f(x，y)