2025高考總復(fù)習(xí)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-概率專題五（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）人教A版數(shù)學(xué)--概率專題五知識(shí)點(diǎn)一決策中的概率思想,獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題,求離散型隨機(jī)變量的均值,超幾何分布的分布列典例1、某公司在聯(lián)歡活動(dòng)中設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．游戲參與者可以選擇有放回或者不放回的方式從中依次隨機(jī)摸出3個(gè)球，規(guī)定至少摸到兩個(gè)紅球?yàn)橹歇?jiǎng)．現(xiàn)有一位員工參加此摸獎(jiǎng)游戲．（1）如果該員工選擇有放回的方式（即每摸出一球記錄后將球放回袋中再摸下一個(gè)）摸球，求他能中獎(jiǎng)的概率；（2）如果該員工選擇不放回的方式摸球，設(shè)在他摸出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）該員工選擇哪種方式摸球中獎(jiǎng)的可能性更大？請(qǐng)說(shuō)明理由．

隨堂練習(xí)：某公司生產(chǎn)某種食用菌，為了銷往全國(guó)各地，把該食用菌分為一級(jí)、優(yōu)級(jí)、特級(jí)、珍品共四個(gè)等級(jí)，并以每件0.5kg的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行統(tǒng)一包裝．某采購(gòu)商訂購(gòu)了一批這種食用菌，并從中隨機(jī)抽取100件，按該食用菌的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到數(shù)據(jù)如下表：等級(jí)一級(jí)優(yōu)級(jí)特級(jí)珍品件數(shù)20103040（1）以樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，從這100件食用菌中有放回隨機(jī)抽取3件，求恰好抽到2件珍品的概率；（2）用分層抽樣的方法從這100件食用菌中抽取10件，再?gòu)某槿〉?0件中隨機(jī)抽取3件，設(shè)X表示抽取的是珍品等級(jí)的件數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．典例2、為了引導(dǎo)居民合理用電，國(guó)家決定實(shí)行合理的階梯電價(jià)，居民用電原則上以住宅單位（一套住宅為一戶）.階梯級(jí)別第一階梯第二階梯第三階梯月用電范圍（度）某市隨機(jī)抽取10戶同一個(gè)月的用電情況，得到統(tǒng)計(jì)表如下：居民用電編號(hào)12345678910用電量（度）538690124132200215225300410（1）若規(guī)定第一階梯電價(jià)每度元，第二階梯超出第一階梯的部分每度元，第三階梯超出第二階梯每度元，式計(jì)算居民用電戶用電度時(shí)應(yīng)交電費(fèi)多少元？（2）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的用戶數(shù)的分布與期望；（3）以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全是居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大，求的值.

隨堂練習(xí)：根據(jù)歷史資料顯示，某種慢性疾病患者的自然痊愈率為5%.為試驗(yàn)種新藥，在有關(guān)部門批準(zhǔn)后，醫(yī)院將此藥給10位病人服用，試驗(yàn)方案為：若這10人中至少有2人痊愈，則認(rèn)為該藥有效，提高了治愈率；否則，則認(rèn)為該藥無(wú)效.（1）如果在該次試驗(yàn)中有5人痊愈，院方欲從參加該次試驗(yàn)的10人中隨機(jī)選2人了解服藥期間的感受，記抽到痊愈的人的個(gè)數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（2）如果新藥有效，將治愈率提高到了50%，求通過(guò)試驗(yàn)卻認(rèn)定新藥無(wú)效的概率，并根據(jù)的值解釋該試驗(yàn)方案的合理性.（參考結(jié)論：通常認(rèn)為發(fā)生概率小于5%的事件可視為小概率事件）典例3、年冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)主辦城市是北京，北京成為第一個(gè)舉辦過(guò)夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)以及亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)三項(xiàng)國(guó)際賽事的城市！為迎接冬奧會(huì)的到來(lái)，某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會(huì)賽事的活動(dòng)，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況，在該地隨機(jī)選取了所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：（1）“單板滑雪”與“自由式滑雪”每項(xiàng)參與人數(shù)都超過(guò)人的學(xué)校可以作為“參與冬奧運(yùn)動(dòng)積極學(xué)?！?，現(xiàn)在從這所學(xué)校中隨機(jī)選出所，記為選出“參與冬奧運(yùn)動(dòng)積極學(xué)?！钡膶W(xué)校個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營(yíng)，對(duì)“滑行、轉(zhuǎn)彎、跳躍、停止”這個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測(cè)試．規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這個(gè)動(dòng)作中至少有個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”．在集訓(xùn)測(cè)試中，小明同學(xué)“滑行”這個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，其余每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率都為，每個(gè)動(dòng)作互不影響且每輪測(cè)試互不影響．如果小明同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達(dá)到次，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪測(cè)試？

隨堂練習(xí)：北京時(shí)間2022年4月16日09時(shí)56分，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，神舟十三號(hào)載人飛行任務(wù)取得圓滿成功，全體中華兒女深感無(wú)比榮光.半年“出差”，神舟十三號(hào)航天員順利完成全部既定任務(wù)，創(chuàng)造了實(shí)施徑向交會(huì)對(duì)接、實(shí)施快速返回流程、利用空間站機(jī)械臂操作大型在軌飛行器進(jìn)行轉(zhuǎn)位試驗(yàn)等多項(xiàng)“首次”.為了回顧“感覺良好”三人組太空“出差亮點(diǎn)”，進(jìn)一步宣傳航空科普知識(shí)，某校組織了航空知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).活動(dòng)規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題目進(jìn)行作答.假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成.（1）求小明至少正確完成其中3道題的概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量表示小宇正確完成題目的個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進(jìn)入決賽，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)概率知識(shí)，判斷小明和小宇兩人中選擇誰(shuí)去參加市級(jí)比賽（活動(dòng)規(guī)則不變）會(huì)更好，并說(shuō)明理由.知識(shí)點(diǎn)二由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù),利用二項(xiàng)分布求分布列,二項(xiàng)分布的均值,總體百分位數(shù)的估計(jì)典例4、道德與法律的聯(lián)系：法律?道德都是行為規(guī)范，都是為規(guī)范人們的行為而規(guī)定的行動(dòng)準(zhǔn)則.1.法律需要道德的奠基和撐持；2.道德的實(shí)施需要法律的強(qiáng)制保障.某校進(jìn)行了一次道德與法律的相關(guān)測(cè)試（滿分：100分），并隨機(jī)抽取了50個(gè)統(tǒng)計(jì)其分?jǐn)?shù)，得到的結(jié)果如下表所示：成績(jī)/分人數(shù)/個(gè)44102210（1）若同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作代表，試估計(jì)這次測(cè)試的平均分和中位數(shù)（所得結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）假設(shè)處于的4個(gè)人的成績(jī)分別為20，26，35，38，求表中成績(jī)的10%分位數(shù)；（3）以頻率估計(jì)概率，若在這個(gè)學(xué)校中，隨機(jī)挑選3人，記3人的成績(jī)?cè)陂g的數(shù)量為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

隨堂練習(xí)：某市宣傳部門開展了線上新冠肺炎世界防控現(xiàn)狀及防控知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從全市的參與者中隨機(jī)抽取了1000名幸運(yùn)者的成績(jī)進(jìn)行分析，把他們的得分（滿分100分）分成以下7組：，，，，，，，統(tǒng)計(jì)得各組的頻率之比為1∶6：8：10：9：4：2．同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值代替．（1）求這1000名幸運(yùn)者成績(jī)的第75百分位數(shù)和平均值（結(jié)果保留整數(shù)）﹔（2）若此次知識(shí)競(jìng)賽得分，為感謝市民的積極參與，對(duì)參與者制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分不超過(guò)79分的可獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分超過(guò)79分不超過(guò)93分的可獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，超過(guò)93分的有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，試估計(jì)任意一名幸運(yùn)者獲得抽獎(jiǎng)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，，．典例5、2022年2月20日，北京冬奧會(huì)在鳥巢落下帷幕，中國(guó)隊(duì)創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績(jī).北京冬奧會(huì)的成功舉辦推動(dòng)了我國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的普及，讓越來(lái)越多的青少年愛上了冰雪運(yùn)動(dòng).這場(chǎng)冰雪盛會(huì)是運(yùn)動(dòng)健兒奮力拼搏的舞臺(tái)，也是中外文明交流互鑒的舞臺(tái)，詮釋著新時(shí)代中國(guó)的從容姿態(tài)，傳遞出中華兒女與世界人民“一起向未來(lái)”的共同心聲.某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了全校學(xué)生觀看北京冬奧會(huì)開幕式和閉幕式的時(shí)長(zhǎng)情況（單位：分鐘），并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到右下圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；（2）采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方式，從觀看時(shí)長(zhǎng)在的學(xué)生中抽取9人.若從這9人中隨機(jī)抽取3人在全校交流觀看體會(huì)，設(shè)抽取的3人中觀看時(shí)長(zhǎng)在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

隨堂練習(xí)：我國(guó)是一個(gè)嚴(yán)重缺水的國(guó)家，城市缺水問(wèn)題較為突出.某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市實(shí)行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)居民用水量標(biāo)準(zhǔn)m，使得87%的居民生活用水不超過(guò)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn).在本市居民中隨機(jī)抽取了200戶家庭某年的月均用水量（單位：噸），通過(guò)數(shù)據(jù)分析得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求a，m的值；（2）在用水量位于區(qū)間[1，2.5）的三類家庭中按照分層抽樣的方法抽取12人參加由政府組織的一個(gè)聽證會(huì)（每個(gè)家庭有1個(gè)代表參會(huì)），再?gòu)倪@12人中抽3個(gè)代表發(fā)言，記月均用水量不少于2噸人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.典例6、為了解某地區(qū)高中生的每天日間戶外活動(dòng)現(xiàn)狀，分別在兩所學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，得到甲校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間（單位：h）的統(tǒng)計(jì)表和乙校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間（單位：h）的頻率分布直方圖如下.乙校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間頻率分布直方圖組別每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間（單位：h）人數(shù)11202250360470甲校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間統(tǒng)計(jì)表（1）根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)甲校學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間的25%分位數(shù)在第幾組；（2）已知每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間不低于2h可以對(duì)保護(hù)視力起到積極作用.現(xiàn)從乙校全體學(xué)生中隨機(jī)選抽取2人，記其中每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間不低于2h的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，能否推斷甲校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間的平均值一定低于乙校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間的平均值？說(shuō)明理由.

隨堂練習(xí)：某企業(yè)從生產(chǎn)的一批零件中抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo)值m（其中：），得到頻率分布直方圖，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級(jí)如表所示：質(zhì)量指標(biāo)值m150≤m<350100≤m<150或350≤m≤400等級(jí)A級(jí)B級(jí)（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的分位數(shù)；（2）從樣本的B級(jí)零件中隨機(jī)抽3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[350，400]的零件的件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）該企業(yè)為節(jié)省檢測(cè)成本，采用混裝的方式將所有的零件按500個(gè)一箱包裝，已知一個(gè)A級(jí)零件的利潤(rùn)是10元，一個(gè)B級(jí)零件的利潤(rùn)是5元，以樣本分布的頻率作為總體分布的概率，試估計(jì)每箱零件的利潤(rùn).人教A版數(shù)學(xué)--概率專題五答案典例1、答案：（1）；（2）分布列見解析，；（3）在有放回的摸球方式下，該員工中獎(jiǎng)可能性更大，理由見解析.解：（1）在有放回方式下，記“他能中獎(jiǎng)”為事件，則．（2）由題意，隨機(jī)變量的可能值為0，1，2，3；，，，；所以的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望．（3）由（2），在不放回方式下，該員工能中獎(jiǎng)的概率為：；由，所以，在有放回的摸球方式下，該員工中獎(jiǎng)可能性更大．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）分布列見解析，解：（1）設(shè)“從這100件食用菌中隨機(jī)抽取1件，抽到珍品”為事件A，則，有放回隨機(jī)抽取3件，設(shè)抽到珍品的個(gè)數(shù)為，則，∴恰好抽到2件是珍品的概率．（2）用分層抽樣的方法從這100件食用菌中抽取10件，其中珍品4件，非珍品6件，再?gòu)某槿〉?0件中隨機(jī)抽取3件，則X的可能取值為0，1，2，3，且服從超幾何分布．，可得：，，，．X的分布列為：X0123P．典例2、答案：（1）227元（2）（3）解：（1）元設(shè)取到第二階梯電量的用戶數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶有3戶，則可取0,1,2,3故的分布列是0123所以（2）可知從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯，滿足，可知：,解得，所以當(dāng)時(shí)，概率最大，所以隨堂練習(xí)：答案：（1）分布列見解析，；（2），答案見解析.解：（1）X的所有可能取值為0，1，2，，∴X的分布列如下：X012P．（2）新藥無(wú)效的情況有：中人痊愈、中人痊愈，∴故可認(rèn)為新藥無(wú)效事件是小概率事件，從而認(rèn)為新藥有效，故該試驗(yàn)方案合理.典例3、答案：（1）分布列見解析，期望為（2）輪解：（1）“單板滑雪”與“自由式滑雪”每項(xiàng)參與人數(shù)超過(guò)人的學(xué)校共所，的所有可能取值為、、、，所以，，，，所以的分布列如下表：所以．（2）記“小明同學(xué)在一輪測(cè)試中要想獲得優(yōu)秀”為事件，，由題意，小明同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，由題意可得，得到，因?yàn)?，所以的最小值為，故至少要進(jìn)行27輪測(cè)試．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）分布列見解析；期望為3；（3）小宇；理由見解析.解：（1）記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A，則.（2）的可能取值為2，3，4.，，，的分布列為：234數(shù)學(xué)期望.（3）由（1）知，小明進(jìn)入決賽的概率為；記“小宇至少正確完成其中3道題”為事件B，則；因?yàn)?，故小宇進(jìn)決賽的可能性更大，所以應(yīng)選擇小宇去參加比賽.典例4、答案：（1），（2）（3）分布列見解析，解：（1）估計(jì)這次測(cè)試的平均分為：（分）；設(shè)這次測(cè)試的中位數(shù)為，顯然，則，解得（分）.即估計(jì)這次測(cè)試的中位數(shù)為.（2）由于，所以表中成績(jī)的10%分位數(shù)為.（3）X所有可能取值為0，1，2，3.由表中數(shù)據(jù)可知，任意挑選一人，成績(jī)?cè)陂g的概率為.所以，，，，故X的分布列為X0123P故X的數(shù)學(xué)期望.隨堂練習(xí)：答案：（1）第75百分位數(shù)約為76分，平均值為65分（2）數(shù)學(xué)期望為1.1814次．解：（1）這1000名幸運(yùn)者成績(jī)的第75百分位數(shù)為x，則所以，解得（分），（分）．所以這1000名幸運(yùn)者成績(jī)的第75百分位數(shù)約為76分，平均值為65分；（2）設(shè)隨機(jī)變量Y表示任意一名幸運(yùn)者的抽獎(jiǎng)次數(shù)，則Y的可能取值為1，2，3，由已知及（1）得，，，，，其分布列為Y123P0.841350.13590.02275所以．所以可以估計(jì)任意一名幸運(yùn)者獲得抽獎(jiǎng)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.1814次．典例5、答案：（1）分位數(shù)為（2）分布列答案見解析，解：（1）由題意，，解得.由頻率分布直方圖知，觀看時(shí)長(zhǎng)在200分鐘以下占比為：.觀看時(shí)長(zhǎng)在240分鐘以下占比為.所以90%分位數(shù)位于內(nèi)，分位數(shù)為.（2）由題意，觀看時(shí)長(zhǎng)[200，240）?[240，280]對(duì)應(yīng)的頻率分別為和，所以采用分層隨機(jī)抽樣的方式在兩個(gè)區(qū)間中應(yīng)分別抽取6人和3人.于是抽取的3人中觀看時(shí)長(zhǎng)在中的人數(shù)X的所有可能取值為.所以，的分布列為0123P所以，.隨堂練習(xí)：答案：（1），；（2）分布列見解析，.解：（1）由頻率分布直方圖得，解得；前5個(gè)矩形的面積為0.83，第6個(gè)矩形的面積為0.08，從而.（2）用水量位于區(qū)間[1，2.5）的三類家庭的頻率比為3:4:5，總共抽取12人，因此這三類家庭被抽取的人數(shù)分別為3人、4人、5人，這里面不少于2噸總?cè)藬?shù)為5人，少于2噸總?cè)藬?shù)為7人，故，，，，.所以X的分布列為：X0123P數(shù)學(xué)期望為：.典例6、答案：（1）第2組（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：（3