2025高考總復(fù)習(xí)專項復(fù)習(xí)-概率專題五（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學(xué)--概率專題五知識點一決策中的概率思想,獨立重復(fù)試驗的概率問題,求離散型隨機變量的均值,超幾何分布的分布列典例1、某公司在聯(lián)歡活動中設(shè)計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有3個紅球和4個白球，這些球除顏色外完全相同．游戲參與者可以選擇有放回或者不放回的方式從中依次隨機摸出3個球，規(guī)定至少摸到兩個紅球為中獎．現(xiàn)有一位員工參加此摸獎游戲．（1）如果該員工選擇有放回的方式（即每摸出一球記錄后將球放回袋中再摸下一個）摸球，求他能中獎的概率；（2）如果該員工選擇不放回的方式摸球，設(shè)在他摸出的3個球中紅球的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）該員工選擇哪種方式摸球中獎的可能性更大？請說明理由．

隨堂練習(xí)：某公司生產(chǎn)某種食用菌，為了銷往全國各地，把該食用菌分為一級、優(yōu)級、特級、珍品共四個等級，并以每件0.5kg的標(biāo)準(zhǔn)進行統(tǒng)一包裝．某采購商訂購了一批這種食用菌，并從中隨機抽取100件，按該食用菌的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到數(shù)據(jù)如下表：等級一級優(yōu)級特級珍品件數(shù)20103040（1）以樣本估計總體，將頻率視為概率，從這100件食用菌中有放回隨機抽取3件，求恰好抽到2件珍品的概率；（2）用分層抽樣的方法從這100件食用菌中抽取10件，再從抽取的10件中隨機抽取3件，設(shè)X表示抽取的是珍品等級的件數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．典例2、為了引導(dǎo)居民合理用電，國家決定實行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅單位（一套住宅為一戶）.階梯級別第一階梯第二階梯第三階梯月用電范圍（度）某市隨機抽取10戶同一個月的用電情況，得到統(tǒng)計表如下：居民用電編號12345678910用電量（度）538690124132200215225300410（1）若規(guī)定第一階梯電價每度元，第二階梯超出第一階梯的部分每度元，第三階梯超出第二階梯每度元，式計算居民用電戶用電度時應(yīng)交電費多少元？（2）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的用戶數(shù)的分布與期望；（3）以表中抽到的10戶作為樣本估計全是居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大，求的值.

隨堂練習(xí)：根據(jù)歷史資料顯示，某種慢性疾病患者的自然痊愈率為5%.為試驗種新藥，在有關(guān)部門批準(zhǔn)后，醫(yī)院將此藥給10位病人服用，試驗方案為：若這10人中至少有2人痊愈，則認為該藥有效，提高了治愈率；否則，則認為該藥無效.（1）如果在該次試驗中有5人痊愈，院方欲從參加該次試驗的10人中隨機選2人了解服藥期間的感受，記抽到痊愈的人的個數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（2）如果新藥有效，將治愈率提高到了50%，求通過試驗卻認定新藥無效的概率，并根據(jù)的值解釋該試驗方案的合理性.（參考結(jié)論：通常認為發(fā)生概率小于5%的事件可視為小概率事件）典例3、年冬季奧林匹克運動會主辦城市是北京，北京成為第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會以及亞洲運動會三項國際賽事的城市！為迎接冬奧會的到來，某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會賽事的活動，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地隨機選取了所學(xué)校進行研究，得到如下數(shù)據(jù)：（1）“單板滑雪”與“自由式滑雪”每項參與人數(shù)都超過人的學(xué)校可以作為“參與冬奧運動積極學(xué)?！保F(xiàn)在從這所學(xué)校中隨機選出所，記為選出“參與冬奧運動積極學(xué)?！钡膶W(xué)校個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓(xùn)營，對“滑行、轉(zhuǎn)彎、跳躍、停止”這個動作技巧進行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進行了多輪測試．規(guī)定：在一輪測試中，這個動作中至少有個動作達到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”．在集訓(xùn)測試中，小明同學(xué)“滑行”這個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為，其余每個動作達到“優(yōu)秀”的概率都為，每個動作互不影響且每輪測試互不影響．如果小明同學(xué)在集訓(xùn)測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達到次，那么理論上至少要進行多少輪測試？

隨堂練習(xí)：北京時間2022年4月16日09時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，神舟十三號載人飛行任務(wù)取得圓滿成功，全體中華兒女深感無比榮光.半年“出差”，神舟十三號航天員順利完成全部既定任務(wù)，創(chuàng)造了實施徑向交會對接、實施快速返回流程、利用空間站機械臂操作大型在軌飛行器進行轉(zhuǎn)位試驗等多項“首次”.為了回顧“感覺良好”三人組太空“出差亮點”，進一步宣傳航空科普知識，某校組織了航空知識競賽活動.活動規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機抽取4道題目進行作答.假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成.（1）求小明至少正確完成其中3道題的概率；（2）設(shè)隨機變量表示小宇正確完成題目的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進入決賽，請你根據(jù)所學(xué)概率知識，判斷小明和小宇兩人中選擇誰去參加市級比賽（活動規(guī)則不變）會更好，并說明理由.知識點二由頻率分布直方圖估計平均數(shù),利用二項分布求分布列,二項分布的均值,總體百分位數(shù)的估計典例4、道德與法律的聯(lián)系：法律?道德都是行為規(guī)范，都是為規(guī)范人們的行為而規(guī)定的行動準(zhǔn)則.1.法律需要道德的奠基和撐持；2.道德的實施需要法律的強制保障.某校進行了一次道德與法律的相關(guān)測試（滿分：100分），并隨機抽取了50個統(tǒng)計其分?jǐn)?shù)，得到的結(jié)果如下表所示：成績/分人數(shù)/個44102210（1）若同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值作代表，試估計這次測試的平均分和中位數(shù)（所得結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）假設(shè)處于的4個人的成績分別為20，26，35，38，求表中成績的10%分位數(shù)；（3）以頻率估計概率，若在這個學(xué)校中，隨機挑選3人，記3人的成績在間的數(shù)量為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

隨堂練習(xí)：某市宣傳部門開展了線上新冠肺炎世界防控現(xiàn)狀及防控知識競賽，現(xiàn)從全市的參與者中隨機抽取了1000名幸運者的成績進行分析，把他們的得分（滿分100分）分成以下7組：，，，，，，，統(tǒng)計得各組的頻率之比為1∶6：8：10：9：4：2．同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值代替．（1）求這1000名幸運者成績的第75百分位數(shù)和平均值（結(jié)果保留整數(shù)）﹔（2）若此次知識競賽得分，為感謝市民的積極參與，對參與者制定如下獎勵方案：得分不超過79分的可獲得1次抽獎機會，得分超過79分不超過93分的可獲得2次抽獎機會，超過93分的有3次抽獎機會，試估計任意一名幸運者獲得抽獎次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，，．典例5、2022年2月20日，北京冬奧會在鳥巢落下帷幕，中國隊創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績.北京冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運動.這場冰雪盛會是運動健兒奮力拼搏的舞臺，也是中外文明交流互鑒的舞臺，詮釋著新時代中國的從容姿態(tài)，傳遞出中華兒女與世界人民“一起向未來”的共同心聲.某學(xué)校統(tǒng)計了全校學(xué)生觀看北京冬奧會開幕式和閉幕式的時長情況（單位：分鐘），并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到右下圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；（2）采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣方式，從觀看時長在的學(xué)生中抽取9人.若從這9人中隨機抽取3人在全校交流觀看體會，設(shè)抽取的3人中觀看時長在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

隨堂練習(xí)：我國是一個嚴(yán)重缺水的國家，城市缺水問題較為突出.某市政府為了節(jié)約生活用水，計劃在本市實行居民生活用水定額管理，即確定一個居民用水量標(biāo)準(zhǔn)m，使得87%的居民生活用水不超過這個標(biāo)準(zhǔn).在本市居民中隨機抽取了200戶家庭某年的月均用水量（單位：噸），通過數(shù)據(jù)分析得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求a，m的值；（2）在用水量位于區(qū)間[1，2.5）的三類家庭中按照分層抽樣的方法抽取12人參加由政府組織的一個聽證會（每個家庭有1個代表參會），再從這12人中抽3個代表發(fā)言，記月均用水量不少于2噸人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.典例6、為了解某地區(qū)高中生的每天日間戶外活動現(xiàn)狀，分別在兩所學(xué)校隨機抽取了部分學(xué)生，得到甲校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間（單位：h）的統(tǒng)計表和乙校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間（單位：h）的頻率分布直方圖如下.乙校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間頻率分布直方圖組別每天日間戶外活動時間（單位：h）人數(shù)11202250360470甲校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間統(tǒng)計表（1）根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，估計甲校學(xué)生每天日間戶外活動時間的25%分位數(shù)在第幾組；（2）已知每天日間戶外活動時間不低于2h可以對保護視力起到積極作用.現(xiàn)從乙校全體學(xué)生中隨機選抽取2人，記其中每天日間戶外活動時間不低于2h的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，能否推斷甲校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間的平均值一定低于乙校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間的平均值？說明理由.

隨堂練習(xí)：某企業(yè)從生產(chǎn)的一批零件中抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測其質(zhì)量指標(biāo)值m（其中：），得到頻率分布直方圖，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級如表所示：質(zhì)量指標(biāo)值m150≤m<350100≤m<150或350≤m≤400等級A級B級（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的分位數(shù)；（2）從樣本的B級零件中隨機抽3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[350，400]的零件的件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用混裝的方式將所有的零件按500個一箱包裝，已知一個A級零件的利潤是10元，一個B級零件的利潤是5元，以樣本分布的頻率作為總體分布的概率，試估計每箱零件的利潤.人教A版數(shù)學(xué)--概率專題五答案典例1、答案：（1）；（2）分布列見解析，；（3）在有放回的摸球方式下，該員工中獎可能性更大，理由見解析.解：（1）在有放回方式下，記“他能中獎”為事件，則．（2）由題意，隨機變量的可能值為0，1，2，3；，，，；所以的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望．（3）由（2），在不放回方式下，該員工能中獎的概率為：；由，所以，在有放回的摸球方式下，該員工中獎可能性更大．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）分布列見解析，解：（1）設(shè)“從這100件食用菌中隨機抽取1件，抽到珍品”為事件A，則，有放回隨機抽取3件，設(shè)抽到珍品的個數(shù)為，則，∴恰好抽到2件是珍品的概率．（2）用分層抽樣的方法從這100件食用菌中抽取10件，其中珍品4件，非珍品6件，再從抽取的10件中隨機抽取3件，則X的可能取值為0，1，2，3，且服從超幾何分布．，可得：，，，．X的分布列為：X0123P．典例2、答案：（1）227元（2）（3）解：（1）元設(shè)取到第二階梯電量的用戶數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶有3戶，則可取0,1,2,3故的分布列是0123所以（2）可知從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯，滿足，可知：,解得，所以當(dāng)時，概率最大，所以隨堂練習(xí)：答案：（1）分布列見解析，；（2），答案見解析.解：（1）X的所有可能取值為0，1，2，，∴X的分布列如下：X012P．（2）新藥無效的情況有：中人痊愈、中人痊愈，∴故可認為新藥無效事件是小概率事件，從而認為新藥有效，故該試驗方案合理.典例3、答案：（1）分布列見解析，期望為（2）輪解：（1）“單板滑雪”與“自由式滑雪”每項參與人數(shù)超過人的學(xué)校共所，的所有可能取值為、、、，所以，，，，所以的分布列如下表：所以．（2）記“小明同學(xué)在一輪測試中要想獲得優(yōu)秀”為事件，，由題意，小明同學(xué)在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項分布，由題意可得，得到，因為，所以的最小值為，故至少要進行27輪測試．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）分布列見解析；期望為3；（3）小宇；理由見解析.解：（1）記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A，則.（2）的可能取值為2，3，4.，，，的分布列為：234數(shù)學(xué)期望.（3）由（1）知，小明進入決賽的概率為；記“小宇至少正確完成其中3道題”為事件B，則；因為，故小宇進決賽的可能性更大，所以應(yīng)選擇小宇去參加比賽.典例4、答案：（1），（2）（3）分布列見解析，解：（1）估計這次測試的平均分為：（分）；設(shè)這次測試的中位數(shù)為，顯然，則，解得（分）.即估計這次測試的中位數(shù)為.（2）由于，所以表中成績的10%分位數(shù)為.（3）X所有可能取值為0，1，2，3.由表中數(shù)據(jù)可知，任意挑選一人，成績在間的概率為.所以，，，，故X的分布列為X0123P故X的數(shù)學(xué)期望.隨堂練習(xí)：答案：（1）第75百分位數(shù)約為76分，平均值為65分（2）數(shù)學(xué)期望為1.1814次．解：（1）這1000名幸運者成績的第75百分位數(shù)為x，則所以，解得（分），（分）．所以這1000名幸運者成績的第75百分位數(shù)約為76分，平均值為65分；（2）設(shè)隨機變量Y表示任意一名幸運者的抽獎次數(shù)，則Y的可能取值為1，2，3，由已知及（1）得，，，，，其分布列為Y123P0.841350.13590.02275所以．所以可以估計任意一名幸運者獲得抽獎次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.1814次．典例5、答案：（1）分位數(shù)為（2）分布列答案見解析，解：（1）由題意，，解得.由頻率分布直方圖知，觀看時長在200分鐘以下占比為：.觀看時長在240分鐘以下占比為.所以90%分位數(shù)位于內(nèi)，分位數(shù)為.（2）由題意，觀看時長[200，240）?[240，280]對應(yīng)的頻率分別為和，所以采用分層隨機抽樣的方式在兩個區(qū)間中應(yīng)分別抽取6人和3人.于是抽取的3人中觀看時長在中的人數(shù)X的所有可能取值為.所以，的分布列為0123P所以，.隨堂練習(xí)：答案：（1），；（2）分布列見解析，.解：（1）由頻率分布直方圖得，解得；前5個矩形的面積為0.83，第6個矩形的面積為0.08，從而.（2）用水量位于區(qū)間[1，2.5）的三類家庭的頻率比為3:4:5，總共抽取12人，因此這三類家庭被抽取的人數(shù)分別為3人、4人、5人，這里面不少于2噸總?cè)藬?shù)為5人，少于2噸總?cè)藬?shù)為7人，故，，，，.所以X的分布列為：X0123P數(shù)學(xué)期望為：.典例6、答案：（1）第2組（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：（3