2025高考總復(fù)習(xí)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題一（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題一知識(shí)點(diǎn)一已知切線（斜率）求參數(shù),由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）,函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根典例1、已知函數(shù)，．已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行．（1）求的值；（2）證明：方程在內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根．隨堂練習(xí)：已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線平行.（1）求的值；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.

典例2、已知函數(shù)．（）在處的切線l方程為．（1）求a，b，并證明函數(shù)的圖象總在切線l的上方（除切點(diǎn)外）；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．且．證明：．隨堂練習(xí)：已知函數(shù)的圖象的一條切線為軸.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）令，若存在不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)滿足，求證：.

典例3、設(shè)函數(shù)，曲線在原點(diǎn)處的切線為x軸，（1）求a的值；（2）求方程的解；（3）證明：.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)，直線與曲線相切．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若曲線與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為．①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：．知識(shí)點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)極值點(diǎn)的辨析典例4、已知函數(shù)．（1）求證：有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)的；（2）若，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．隨堂練習(xí)：已知函數(shù)，.（1）是否存在使得0為函數(shù)的極值點(diǎn)？若存在，求的值；若不存在，說明理由；（2）若函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值.典例5、已知函數(shù)，求證：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn).隨堂練習(xí)：設(shè)函數(shù)，，（為參數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間，并證明有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，證明：在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)．典例6、已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的方程：（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（1）判斷并證明在區(qū)間上存在的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題一答案典例1、答案：（1）；（2）證明見解析.解：（1），由題意知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為2，則，所以，解得.（2）令，，則，，所以，所以函數(shù)在內(nèi)一定有零點(diǎn)，，∴在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根.隨堂練習(xí)：答案：（1）1；（2）.解：（1）∵，，則，解得.（2）由（1）有.∴原方程可整理為.令，得，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，即在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).∴當(dāng)時(shí)，有最大值.∵，.∴.由，得，，故的取值范圍是.典例2、答案：（1）1、；證明見解析（2）證明見解析解：（1）將代入切線方程，有，所以，所以，又，所以，若，則，與矛盾，故，．∴，，，設(shè)在處的切線方程為，令，即，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜合得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，即函數(shù)的圖象總在切線的上方（除切點(diǎn)外）．（2）由（1）知，設(shè)的根為，則，又函數(shù)單調(diào)遞減，故，故，設(shè)在處的切線方程為，因?yàn)?，，所以，所以．令，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜合得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即．設(shè)的根為，則，又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，又，所以．隨堂練習(xí)：答案：（1），（2）見解析解:（1）由，得，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意得，解得.（2），令，則，當(dāng)時(shí)，，，又可以寫成，當(dāng)時(shí)，，，因此在上大于0，在上單調(diào)遞增，又，因此在上小于0，在上大于0，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，記，記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，不妨設(shè)，則，而，，有單調(diào)性知，即.典例3、答案：（1）（2）（3）證明見解析解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)榍€在原點(diǎn)處的切線為軸，所以，即.（2）方程可化為，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上有唯一零點(diǎn)，所以方程有唯一解.（3）要證，即證，即證，先證，由（2）易得，所以；再證，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，因?yàn)?，所以，即；所?隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）①；②證明見解析解：（1）設(shè)切點(diǎn)，，得，，所以，代入直線方程得；（2）①由（1）知，若曲線與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則等價(jià)于有2個(gè)實(shí)數(shù)根，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，當(dāng)趨向于正無窮大時(shí)，趨向于0，當(dāng)趨向于負(fù)無窮大時(shí)，趨向于負(fù)無窮大，則；②，即，等價(jià)于，令，，，因?yàn)?，所以，故，所以在上單調(diào)遞增，故,不妨設(shè)，故，即，由已知，所以，由①知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，所以，所以.典例4、答案：（1）證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．解：（1）依題意，，令，即，因?yàn)楹愠闪?，則有兩個(gè)根，不妨令，即，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，分別是的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，所以有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)的．（2）由（1）知是關(guān)于x的方程的兩根，即有，，因，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，，則，，由（1）知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的極大值為，極小值為，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得；當(dāng)時(shí)，，，則，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的極大值為，極小值為，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．隨堂練習(xí)：答案：（1）不存在，詳見解析；（2）1.解:（1）由函數(shù)，.得，.若0為函數(shù)的極值點(diǎn)，則，解得，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，所以不存在使得0為函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）令，得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，若函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則或，即或，解得或（舍去）典例5、答案：（1）證明見解析（2）證明見解析解：（1）因?yàn)椋?，設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，，所以即在單調(diào)遞減，又，，且圖像是不間斷的，由零點(diǎn)存在性定理可得在有唯一零點(diǎn)，設(shè)為.則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在存在唯一極大值點(diǎn).（2）因?yàn)?，所以，設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，，所以即在單調(diào)遞減，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，，所以，又的圖像是不間斷的，所以存在，使得；又當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，因，又，又的圖像是不間斷的，所以存在，使得；當(dāng)時(shí)，，，所以，從而在沒有零點(diǎn).綜上，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).隨堂練習(xí)：答案：（1）在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；證明見解析；（2）證明見解析．解:（1）當(dāng)時(shí)，，，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．且，，，.根據(jù)零點(diǎn)存在定理得，在有唯一零點(diǎn)，在有唯一零點(diǎn)，因此，在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又因?yàn)?，，，根?jù)零點(diǎn)存在定理得，在和各有一個(gè)零點(diǎn)分別為，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在上有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)．典例6、答案：（1）（2）極小值點(diǎn)（3）函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，理由見解析解：（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的方程為，因?yàn)?，所以，又，所以切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，故，令，故，f（x）與f'（x）在區(qū)間（0，+∞）上的情況如下：0極小值所以f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn).（3）函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，理由如下：①當(dāng)時(shí)，.由于，所以，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a]上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)：②當(dāng)時(shí)，，故，令，得，，，故，因此恒有，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增.又，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，+∞）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.隨堂練習(xí)：答案：（1）在區(qū)間上存在的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，理由見解析；（2）2個(gè)零點(diǎn)，理由見解析.解：（1）在區(qū)間上存在的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，理由如下：，，，令，，則，令，，，當(dāng)時(shí)，，所以，即在上單調(diào)遞減，又，，故存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在處取得極大值，故在區(qū)間上存在的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；（2）的定義域?yàn)?，①?dāng)