2025高考總復(fù)習(xí)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-圓錐曲線的方程專題八

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題八知識(shí)點(diǎn)一軌跡問(wèn)題——橢圓,根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍,求橢圓中的弦長(zhǎng)典例1、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，點(diǎn)M的軌跡為C.（1）求C的方程：（2）設(shè)點(diǎn)P在直線上，過(guò)點(diǎn)P的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和G，H兩點(diǎn)，若直線AB與直線GH的斜率之和為0，證明：.隨堂練習(xí)：平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足.記M的軌跡為C.（1）說(shuō)明C是什么曲線，并求C的方程；（2）已知經(jīng)過(guò)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，求.典例2、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的交點(diǎn)為P，，的斜率均存在且乘積為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Р的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程;（2）若點(diǎn)M在曲線C上，過(guò)點(diǎn)M且垂直于OM的直線交C于另一點(diǎn)N，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q.直線NQ交x軸于點(diǎn)T，求的最大值.

隨堂練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足．記M的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且，證明：為定值．典例3、在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到，的兩點(diǎn)的距離之和為．（1）試判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么曲線，并求其軌跡方程．（2）已知直線與圓交于、兩點(diǎn)，與曲線交于、兩點(diǎn)，其中、在第一象限，為原點(diǎn)到直線的距離，是否存在實(shí)數(shù)，使得取得最大值，若存在，求出和最大值；若不存在，說(shuō)明理由．

隨堂練習(xí)：設(shè)是圓：上的一動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線l與曲線交于兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)T，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．知識(shí)點(diǎn)二根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程,求雙曲線中的弦長(zhǎng),由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù),根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)典例4、已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過(guò)，斜率為，與雙曲線交于A，兩點(diǎn)，求的值．

隨堂練習(xí)：已知雙曲線C的漸近線方程為，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為.（1）求雙曲線C的方程；（2）過(guò)F作斜率為k的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于D，求證：為定值.典例5、已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，（1）求圓心的軌跡方程（2）若過(guò)點(diǎn)且斜率的直線與交與兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸與點(diǎn)，證明的值是定值.

隨堂練習(xí)：已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線的斜率與直線的斜率乘積為．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為；當(dāng)時(shí)點(diǎn)的軌跡為．（1）求，的方程；（2）是否存在過(guò)右焦點(diǎn)的直線，滿足直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，且？若存在，求所有滿足條件的直線的斜率之積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，典例6、已知雙曲線C的兩焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為，且點(diǎn)P（0，-1）到漸近線的距離為.（1）求雙曲線C的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)P的直線l分別交雙曲線C的左、右兩支于點(diǎn)A、B，交雙曲線C的兩條漸近線于點(diǎn)D、E（D在y軸左側(cè)）.記和的面積分別為、，求的取值范圍.

隨堂練習(xí)：雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，與其漸近線分別交于，（從左至右）兩點(diǎn)．①證明：；②是否存在這樣的直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題八答案典例1、答案：（1）；（2）證明見解析.解：（1）根據(jù)橢圓的定義可得，點(diǎn)的軌跡是以為左右焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，設(shè)其方程為，故可得，故的方程為：.（2）設(shè)，設(shè)，，則，聯(lián)立直線與橢圓的方程得：，則，，則故，故.隨堂練習(xí)：答案：（1）C是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的橢圓，（2）解：（1）因?yàn)?，，所以C是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的橢圓.于是，，故，因此C的方程為.（2）當(dāng)垂直于軸時(shí)，，，舍去.當(dāng)不垂直于軸時(shí)，可設(shè)，代入可得.因?yàn)?，設(shè)，，則，.因?yàn)?，所?同理.因此.由可得，，于是.根據(jù)橢圓定義可知，于是.典例2、答案：（1）（2）解：（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，定點(diǎn)，，直線與直線的斜率之積為，，（2）設(shè)，，，則，，所以又，所以，又即，則直線：，直線：，由，解得，即，所以令，則，所以因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為；隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）證明過(guò)程見解析解：（1）由橢圓的定義可知：M的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，所以，所以C的方程為（2）設(shè)直線l為：，則聯(lián)立得：，設(shè)，則，，，則，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以AB的垂直平分線為，令得：，所以，，典例3、答案：（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，（2）2時(shí)取得最大值解：（1）由題意知，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，又因?yàn)?，所以，所以的軌跡方程為．（2）當(dāng)時(shí)，解得，又圓的半徑，所以在橢圓外，在橢圓內(nèi)，點(diǎn)在內(nèi)，在外，在直線上的四點(diǎn)滿足：，，由，消去整理得，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)的右焦點(diǎn)，所以該方程的判別式恒成立，設(shè)，，所以，，，又因?yàn)榈闹睆?，所以，化為，因?yàn)闉辄c(diǎn)到直線的距離，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以時(shí)取得最大值．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為的橢圓，故，可得，所以曲線的方程為（2）由題意，得直線的方程為：.聯(lián)立方程組得，所以，，則，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線的垂直平分線的方程為，則與軸交點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，所以的取值范圍?典例4、答案：（1）（2）6解：（1）設(shè)所求雙曲線方程為，代入點(diǎn)得：，即，雙曲線方程為，即；（2）由（1）知：，，即直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，得，滿足，且，，由弦長(zhǎng)公式得.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）證明見解析.解:（1）設(shè)雙曲線方程為由題知雙曲線方程為：（2）設(shè)直線l的方程為代入整理得，設(shè)所以：由弦長(zhǎng)公式得：設(shè)AB的中點(diǎn)則，代入l得：AB的垂直平分線方程為令y=0得，即，所以：為定值.典例5、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，圓C半徑為，則，，所以<4，所以點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立，消去y得：，所以，設(shè)MN中點(diǎn)坐標(biāo)為G，則，所以，，直線GP的方程為:，，所以，所以=1.隨堂練習(xí)：答案：（1）C1：，C2：（2）存在，解：（1）設(shè)，．對(duì)于，由題可得，整理得，故的方程為．對(duì)于由題可得，整理得．故的方程為．（2）由（1）可得，，的右焦點(diǎn)為，設(shè)，，，．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與無(wú)交點(diǎn)，不滿足題意，故直線的斜率存在，于是可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，恒成立，由韋達(dá)定理：，．①于是，將①代人整理得．同理其中，故．因?yàn)?，所以．設(shè)，則即．平方整理得，因式分解得，解得，，（舍去），即，．于是所有滿足條件的直線的斜率之積為．典例6、答案：（1）；（2）.解:（1）由，知，，，故雙曲線C的方程為或.由點(diǎn)到漸近線的距離為，知雙曲線方程為.（2）設(shè)l：，，.由可得；由可得.由得，∴，.∴.由和的高相等，可，由得，所以，.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）①見詳解；②.詳解:（1）因?yàn)殡p曲線C的漸近線為y＝±2x，由雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，則雙曲線，漸近線的方程為，焦點(diǎn)F（±c，0），所以解得a＝1，b＝2，所以雙曲線的方程為；（2）①由（1）知雙曲線的方程為，其漸近線的方程為y＝±2x，設(shè)直線l：y＝kx+2，因?yàn)橹本€l交C雙曲線的左右兩支分別于A，B，所以﹣2＜k＜2，聯(lián)立，得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2＝，x1x2＝，聯(lián)立，解得x＝，y＝，則M（，），聯(lián)立，解得x＝，