2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)-空間向量和立體幾何專題十二（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題十二知識點(diǎn)一證明線面平行,面面角的向量求法典例1、在三棱錐中，，，，分別為，的中點(diǎn)，，，分別為，，的中點(diǎn)，平面，與平面所成的角為．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．

隨堂練習(xí)：在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面；（2）求平面與平面EDC所成的二面角的正弦值．

典例2、如圖1，已知△ABC是邊長為4的正三角形，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC邊的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)如圖2所示的點(diǎn)P的位置，M為DP邊的中點(diǎn)．（1）證明：平面MEF．（2）若平面平面BCED，求平面MEF與平面PDE所成銳二面角的余弦值．

隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐E-ABCD中，，，E在以AB為直徑的半圓上（不包括端點(diǎn)），平面平面ABCD，M，N分別為DE，BC的中點(diǎn)．（1）求證：平面ABE；（2）當(dāng)四棱錐E-ABCD體積最大時(shí)，求二面角N-AE-B的余弦值．典例3、如圖1，在邊長為4的等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，沿DE把折起，得到如圖2所示的四棱錐.（1）證明：平面.（2）若二面角的大小為60°，求平面與平面的夾角的大小.

隨堂練習(xí)：已知正方形的邊長為4，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖所示的60°的二面角，點(diǎn)M在線段AB上．（1）若M為AB的中點(diǎn)，且直線MF與由A，D，E三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為O，試確定點(diǎn)O的位置，并證明直線平面EMC；（2）是否存在點(diǎn)M，使得直線DE與平面EMC所成的角為；若存在，求此時(shí)二面角的余弦值，若不存在，說明理由．知識點(diǎn)二線面垂直證明線線垂直,面面垂直證線面垂直,面面角的向量求法典例4、已知矩形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直，，且.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AC=CD=2，，，PC=3.（1）證:AD⊥PC（2）求平面PAB與平面PCD的夾角的正弦值.

典例5、如圖1是直角梯形ABCD，，，，，，以BE為折痕將折起，使點(diǎn)C到達(dá)的位置，且，如圖（1）證明：（2）求二面角余弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，在直三棱柱，，．（1）證明：；（2）若三棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．

典例6、四棱錐，底面為矩形，側(cè)面底面，．（1）證明：；（2）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大?。?/p>

隨堂練習(xí)：如圖，直三棱柱中，，E，F(xiàn)分別是AB，的中點(diǎn)．（1）證明：EF⊥BC；（2）若，直線EF與平面ABC所成的角為，求平面與平面FEC夾角的余弦值．

空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題十二答案典例1、答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）連結(jié)．∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，即四邊形是梯形，∵，為分別為，的中點(diǎn)，∴，而平面，平面∴平面，∵、為分別為、的中點(diǎn)，∴，而平面，平面∴平面，又，平面，平面，∴平面平面，平面，∴平面；（2）∵，為的中點(diǎn)，∴，∵平面，故，，兩兩垂直．分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，由得，，∵與平面所成的角為，而平面，∴，∴，∴，，，易知為平面的法向量，，，設(shè)為平面的法向量，∴，令，則為平面的一個(gè)法向量，∴，∴平角與平面的夾角的余弦值為.隨堂練習(xí)：答案：（1）見解析；（2）.解：（1）如圖，連接，，連接，∵BC∥且BC＝，∴四邊形是平行四邊形，∴∥且，∵E是中點(diǎn)，G是中點(diǎn)，∴∥CG且，∴四邊形是平行四邊形，∴∥CE，∵平面，CE平面，∴CE∥平面；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，??；設(shè)平面EDC的法向量為，則，取，則；設(shè)平面與平面EDC所成的二面角的平面角為α，則，∴典例2、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：連接DF，DC，設(shè)DC與EF交于點(diǎn)，連接MQ．因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC邊的中點(diǎn)，所以且，則四邊形DFCE為平行四邊形，所以為DC的中點(diǎn)，因?yàn)闉镈P的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面MEF，所以平面MEF（2）取DE的中點(diǎn)，連接OP，OF，則，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CED，平面平面，所以平面BCED，PO，OD，OF兩兩垂直．如圖所示，以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面MEF的法向量為，則，即令，得．易知為平面PDE的一個(gè)法向量，由，得平面MEF與平面PDE所成銳二面角的余弦值為．隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：如圖所示，取EC的中點(diǎn)的F，連接MF，NF，因?yàn)镸，F(xiàn)分別為ED和EC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可得平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）如圖所示，過E作交AB于O，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，故EO為四棱錐E-ABCD的高，要使四棱錐E-ABCD體積最大，則E為弧的中點(diǎn)，所以O(shè)與AB的中點(diǎn)，取CD的中點(diǎn)G，連接OG，因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，，所以EO，AB，OG兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以AB為x軸，以O(shè)E為y軸，以O(shè)G為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，可得，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可得，令，則平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則，由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二成角的余弦值為．典例3、答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）在中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以，則在圖2中，，而平面，平面，所以平面.（2）依題意，是正三角形，四邊形是菱形，取DE的中點(diǎn)M，連接，F(xiàn)M，如圖，則，，即是二面角的平面角，，取中點(diǎn)N，連接，則有，在中，由余弦定理得：，于是有，，即，而，，，平面，則平面，又平面，從而有平面平面，因平面平面，平面，因此，平面，過點(diǎn)N作，則兩兩垂直，以點(diǎn)N為原點(diǎn)，射線分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，顯然有，即，所以平面與平面的夾角為.隨堂練習(xí)：答案：（1）點(diǎn)O在EA的延長線上，且，證明見解析；（2）存在，.解：（1）依題意，四邊形是矩形，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，如圖1，延長FM與EA的延長線交于點(diǎn)O，又平面ADE，即有平面ADE，因，且，因此點(diǎn)A為線段EO中點(diǎn)，即AO=2，M為線段FO的中點(diǎn)，連接DF交CE于N，連接MN，矩形CDEF中，N是線段DF中點(diǎn)，于是得，而平面，平面，所以平面.（2）依題意，，，，平面，平面，則平面，且為二面角的平面角，即.連接，而，即有為正三角形，取的中點(diǎn)H，連接DH，則，由平面，平面，得平面平面，又平面，平面平面，于是得平面，取BF中點(diǎn)G，連接HG，由矩形得，即有兩兩垂直，以點(diǎn)H為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2，則點(diǎn)，，.假設(shè)存在點(diǎn)M滿足條件，因點(diǎn)M在線段AB上，設(shè)，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，因直線DE與平面EMC所成的角為60°，則，解得或，即存在點(diǎn)滿足直線DE與平面EMC所成的角為60°，點(diǎn)為線段AB的靠近點(diǎn)A或B的四等分點(diǎn).設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，則.令平面MEC與平面ECF的夾角為，則，顯然或時(shí)，.由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.典例4、答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）如圖，在上取一點(diǎn)H，使得，連接,因?yàn)?，所?平面,平面,故平面，因?yàn)?，再由條件知，所以是平行四邊形，所以，平面,平面,故平面，又平面，所以平面平面.由條件可知，又因?yàn)槠矫嫫矫妫痪€為，平面,所以平面，所以平面，平面,所以.（2）由（1）知平面，而，故平面，故分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則,設(shè)平面的法向量為，則，令，得，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明詳見解析（2）解：（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接.由于，所以，由于平面平面且交線為，平面，所以平面，由于平面，所以，則，所以，由于，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以.（2）在三角形中，延長，過作，交的延長線于，由于，所以，，所以，，則，所以.平面平面且交線為，，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則平面的法向量可設(shè)為，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)平面和平面的夾角為，則，所以.典例5、答案：（1）證明見解析（2）或解：（1）在直角梯形ABCD中，連接AC交BE于F，由題意知：且，四邊形CEAB是平行四邊形，又，，四邊形CEAB是菱形故，即在折疊后端的圖形中，又，面面，又平面，（2）由可得，又設(shè)二面角的平面角為，則，或過作于則面，則可過點(diǎn)作軸如圖建系：或，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則則或取而面ABD的一個(gè)法向量為或由圖可知二面角為銳角則二面角余弦值為或.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）連接，如下圖：由直三棱柱的性質(zhì)可知，，因?yàn)?，，所以平面．因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，則四邊形為正方形，所以，又因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）由（1）得平面，從而點(diǎn)到平面的距離為，故，即.以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系:則，，，，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，即，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，，即，設(shè)平面與平面夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．典例6、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）取中點(diǎn)，連接，由，故，而平面平面，平面平面，平面，平面，而平面，，而，故，故，而平面，平面，，平面，又平面，，（2）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令得，而與平面所成的角為，故，解得，而，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令得，同理得平面的一個(gè)法向量為則，而二面角為鈍角，故二面角大小為隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）取BC中點(diǎn)H，分別連結(jié)EH，F(xiàn)H，因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槿庵鶠橹崩庵?，所以?/p>