2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)-數(shù)列專題三（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專題三知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,錯(cuò)位相減法求和,分組（并項(xiàng)）法求和典例1、已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記的前項(xiàng)和為，求證：；（3）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．

隨堂練習(xí)：已知等比數(shù)列的公比是的等差中項(xiàng)．等差數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列與數(shù)列的所有項(xiàng)按照從小到大的順序排列成一個(gè)新的數(shù)列，求此新數(shù)列的前50項(xiàng)和；（3），求數(shù)列的前項(xiàng)和．典例2、在等差數(shù)列中，已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，，都有，求正整數(shù)k的最小值．

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列中，，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）已知，（i）求數(shù)列前n項(xiàng)和Tn；（ii）證明：當(dāng)時(shí)，.典例3、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若數(shù)列，，求前項(xiàng)和.

隨堂練習(xí)：已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為1，且滿足．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比不為1，且、、成等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求正整數(shù)的值；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．知識(shí)點(diǎn)二等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,求等比數(shù)列前n項(xiàng)和,分組（并項(xiàng)）法求和典例4、已知數(shù)列是等差數(shù)列，記為的前n項(xiàng)和，是等比數(shù)列，．（1）求；（2）記，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．

隨堂練習(xí)：已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.典例5、已知數(shù)列，，，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

隨堂練習(xí)：已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若設(shè)的前項(xiàng)和為，求．典例6、已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足：，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

隨堂練習(xí)：已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列和數(shù)列中所有的項(xiàng)，按照從小到大的順序排列得到一個(gè)新數(shù)列，求的前50項(xiàng)和．

人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專題三答案典例1、答案：（1），；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項(xiàng)公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項(xiàng)公式為.(2)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(3)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，對(duì)任意的正整數(shù)n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.隨堂練習(xí)：答案：（1），；（2）；（3）．解：（1）依題有,因?yàn)?，解得：．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列,設(shè)其公差為,，解得：.（2）數(shù)列與數(shù)列都是遞增數(shù)列,,,,新數(shù)列的前50項(xiàng)和為:.（3）∵，設(shè),，，兩式相減有,∴.∴..典例2、答案：（1）（2）（3）9解：（1）設(shè)公差為，則，解得，所以；（2）由題意，所以，；（3）由（1），，，相減得，，由，得，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，，，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，，，，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以滿足的的最小值是9，即的最大值是9．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）（i）Tn；（ii）證明見(jiàn)解析解：（1）由題意可知，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（2）（i），，；（ii），，則；（時(shí)等號(hào)成立）當(dāng)時(shí)，設(shè)，；綜上，當(dāng)時(shí)，.典例3、答案：（1）（2）（3）解：（1）當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差得，可得，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故.（2），所以，，所以，，上述兩個(gè)等式作差得，因此，.（3）由題意可得，，所以，.隨堂練習(xí)：答案：（1），；（2）4；（3）.解：（1）依題意，，解得，則，設(shè)數(shù)列的公比為q，因，，成等差數(shù)列，則，有，而，解得，，所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為：，.（2）由（1）知，，，，依題意，，整理得，而，解得，所以正整數(shù)n的值是4.（3）由（1）知，令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，于是得，兩式相減得：，因此，，，數(shù)列的前項(xiàng)和.典例4、答案：（1）（2）解：（1）由題意得，所以①，又是等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以②，又，故由①②?lián)立解得，又是等差數(shù)列，所以為定值，即為定值，故為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，所以的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，所以，即是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，令，則，記的前n項(xiàng)和為，所以，數(shù)列數(shù)列的前2n項(xiàng)和為．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）設(shè)公差為，則，即，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，即，整理得，因?yàn)樗?，代入，解得，所?（2）,所以.典例5、答案：（1），（2）解：（1）由題意，，，，令得，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，所以，即數(shù)列為公比為等比數(shù)列.所以由可得即，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式：.由，，成等差數(shù)列，得：，，，有.（2）由（1）知，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列..隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，或是正項(xiàng)等比數(shù)列，，．（2）由（1）知，，．典例6、答案：（1）（2）解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，即，得，解得或，?dāng)時(shí)，，不合題意，舍去，所以，由，解得，所以，對(duì)于，因?yàn)棰伲?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，②，由①－②得，即，又，也適合上式，故，，采用累乘法求通項(xiàng)得，所以．（2）由（1）可得：，則，則數(shù)列的前n項(xiàng)和，①當(dāng)為偶數(shù)，時(shí)，采用分組求和：，，所以；②當(dāng)為奇數(shù)，且時(shí)，為偶數(shù)，由（1）中結(jié)論得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，也適合上式，所以.綜上所述，．