沖刺2024年高考-專題四【立體幾何】多選題專練六十題（解析版）

沖刺2024年高考—多選題專練六十題專題四立體幾何（解析版）第一部——高考真題練1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即球體的直徑小于正方體的棱長(zhǎng)，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長(zhǎng)為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過(guò)的中點(diǎn)作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點(diǎn)為，可知：，則，即，解得，根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)槠矫妫?，則，，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過(guò)作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.故選：CD.4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD5．（2017·全國(guó)·高考真題）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面平行的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用線面平行判定定理逐項(xiàng)判斷可得答案．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，OQ∥AB，OQ與平面MNQ是相交的位置關(guān)系，故AB和平面MNQ不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由于AB∥CD∥NQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正確；故選：BCD6．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.7．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【答案】BD【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．第二部——基礎(chǔ)模擬題8．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.已知四面體是一個(gè)鱉臑，其中平面，且.若該鱉臑的體積為，則（

）A．為四面體中最長(zhǎng)的棱B．平面C．平面平面D．四面體外接球的表面積的最小值為【答案】ABD【分析】將四面體補(bǔ)全為長(zhǎng)方體，即可判斷A；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理即可判斷B；說(shuō)明為二面角的平面角，即可判斷C；設(shè)根據(jù)四面體的體積求出的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式求得外接球半徑的最小值即可判斷D.【詳解】如圖，將四面體補(bǔ)全為長(zhǎng)方體，則為四面體外接球的直徑，是最長(zhǎng)的棱，故A正確；因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，故B正確；因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，，平面，則即為二面角的平面角，因?yàn)闉殇J角，即二面角為銳二面角，故C不正確；設(shè)，得，設(shè)四面體外接球的半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即四面體外接球的表面積的最小值為，故D正確.故選：ABD.

9．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，，，則（

）

A．平面B．平面平面C．異面直線與所成的角的余弦值為D．點(diǎn)，，，均在半徑為的球面上【答案】ABC【分析】根據(jù)線面平行的判定定理得出A選項(xiàng)，根據(jù)空間向量法判斷面面垂直及異面直線所成角判斷B,C選項(xiàng)，根據(jù)外接球直徑判斷D選項(xiàng).【詳解】平面，平面，平面，所以A選項(xiàng)正確；

取AB的中點(diǎn)O，連接CO，則，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OB所在直線分別為x，y軸，過(guò)點(diǎn)O且平行于的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．，則，則，，，，所以，,，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以平面平面，所以B選項(xiàng)正確；則，故異面直線與所成角的余弦值為,所以C選項(xiàng)正確；在直三棱柱中，，，,,三棱柱可以放入邊長(zhǎng)為1的正方體中，正方體的外接球是三棱柱的外接球,點(diǎn)，，，均在半徑為的球面上,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABC．10．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．不存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．對(duì)于任意點(diǎn)，到的距離的取值范圍為D．對(duì)于任意點(diǎn)，都是鈍角三角形【答案】ABC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一計(jì)算可得.【詳解】由題知，在正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，建立以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.所以，，，設(shè)，其中，所以，，當(dāng)時(shí)，即，所以，顯然方程組無(wú)解，所以不存在使得，即不存在點(diǎn)，使得，故A項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，解得，故B項(xiàng)正確；因?yàn)?，其中，所以點(diǎn)Q到的距離為，故C項(xiàng)正確；因?yàn)椋?，其中，所以，所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC11．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在直三棱柱中，，，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．平面B．異面直線與所成的角為45°C．若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，則平面BNP截直三棱柱所得截面的周長(zhǎng)為D．點(diǎn)Q是底面三角形ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若二面角的余弦值為，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【分析】利用直線和平面垂直的性質(zhì)定理證明平面，利用交線法找出截面，利用平行關(guān)系找出異面直線與所成的角，選項(xiàng)D可以先在上找一點(diǎn)滿足題意，再找到平面與直三棱柱的截面，即可找到點(diǎn)在底面的軌跡.【詳解】選項(xiàng)A,由已知得△為等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，則,∵為直三棱柱，∴平面，∵平面∴,∵平面,,∴平面，∴,設(shè)與交于點(diǎn),其中,,∵△∽△,,,∵,∴,∵平面，,∴平面,故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B，過(guò)點(diǎn)作的平行線,則角為異面直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，且∥，所以平面，所?所以，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角，所以，故異面直線與所成的角為，故選項(xiàng)B不正確；

選項(xiàng)C，延長(zhǎng)交和的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接交于點(diǎn),連接,則四邊形為平面BNP截直三棱柱所得的截面，由已知得,由△∽△,則,即,由△∽△,則，即，由余弦定理可知，解得，其周長(zhǎng)為,故選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)D,若上存在一點(diǎn)使二面角的余弦值為，連接和,因?yàn)槠矫?∴,,∴二面角的平面角為,即，設(shè)，則，,在△中由余弦定理得，在△中由余弦定理得,，解得，過(guò)作的垂線，連接,過(guò)作的平行線交于點(diǎn),則∥,所以截面為直三棱柱的截面，所以符合題意的的軌跡長(zhǎng)度為線段的長(zhǎng)，所以,故選項(xiàng)D正確；

故選：ACD.12．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？既＃┮阎襟w，則（

）A．異面直線與所成的角為B．異面直線與所成角的正切值為C．直線與平面所成的角為D．直線與平面所成角的正切值為【答案】ACD【分析】根據(jù)異面直線所成角判斷A,B選項(xiàng)，根據(jù)線面角判斷C，D選項(xiàng)即可.【詳解】如圖，連接，，，．因?yàn)?，所以為直線與所成的角，故A正確．顯然，為直線與所成的角．因?yàn)樵谡襟w中，平面，所以．在Rt中，，故B錯(cuò)誤．連接，設(shè)．因?yàn)槠矫妫矫?，所以．因?yàn)樵谡叫沃校?，，所以平面．所以為直線與平面所成的角，故正確．因?yàn)槠矫妫詾橹本€與平面所成的角．在Rt中，，故D正確．

故選：ACD.13．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┤鐖D，在直三棱柱中，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）

A．//平面 B．與不垂直C．存在點(diǎn)、，使得 D．的最小值是【答案】CD【分析】根據(jù)平面，，即可判斷A；假設(shè)與垂直，因?yàn)?，所以可得，而已知不明確，即可判斷B；過(guò)點(diǎn)作，證出平面，存在點(diǎn)、使得，即可判斷C；將和放置于同一平面內(nèi)，利用長(zhǎng)度關(guān)系得證，求解的長(zhǎng)，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，在直三棱柱中，，因?yàn)槠矫?，所以與平面相交，A錯(cuò)；因?yàn)槠矫?，平面，所以，若與也垂直，又，平面，則平面，又平面，則，而已知不確定，故B錯(cuò)；如圖，過(guò)點(diǎn)作，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，則，又是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，所以存在點(diǎn)、使得，即存在點(diǎn)、，使得，C正確；

對(duì)于D，將和放置于同一平面內(nèi)，如圖，

則，因?yàn)椋?，在直角三角形中，，所以為等邊三角形，所以，，所以，D正確.故選：CD14．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎谒睦怙糁?，底面為梯形，且的交點(diǎn)為，在上取一點(diǎn)，使得平面，四棱雉的體積為，三棱錐的體積為，則下面結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)三角形相似得，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得，，得A正確；B正確；根據(jù)棱錐的體積公式得，C不正確；，D正確.【詳解】因?yàn)椋耘c相似，所以，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，所以，故A正確；B正確；因?yàn)?，，所以，所以，故C不正確；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故D正確.故選：ABD

15．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)，分別在線段和上．給出下列四個(gè)結(jié)論：其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）

A．的最小值為2B．四面體的體積為C．有且僅有一條直線與垂直D．存在點(diǎn)，使為等邊三角形【答案】ABD【分析】由公垂線的性質(zhì)判斷A；由線面平行的性質(zhì)判斷B；舉反例判斷C；設(shè)，，由等邊三角形三邊相等，判斷D．【詳解】對(duì)于A：因?yàn)槭钦襟w，所以平面，平面，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，，即是與的公垂線段，因?yàn)楣咕€段是異面直線上兩點(diǎn)間的最短距離，所以當(dāng)分別與重合時(shí)，最短為2，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)槭钦襟w，所以平面平面，且平面，所以平面，可知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離不變，距離，由可知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到的距離不變，所以的面積不變，所以，所以B正確；對(duì)于C：當(dāng)分別與重合時(shí)，；當(dāng)為中點(diǎn)，與重合時(shí)，，所以錯(cuò)誤；對(duì)于D：如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，因?yàn)闉榈冗吶切?，由，得，得，即，由，得，則，即，解得或，即或，故D正確；故選：ABD．

16．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在各棱長(zhǎng)均為2的正三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，設(shè)，，則（

）

A．當(dāng)時(shí)，B．，使得平面C．，使得平面D．當(dāng)時(shí)，與平面所成角為【答案】AC【分析】取中點(diǎn)為，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出向量的坐標(biāo)以及平面的法向量，然后根據(jù)向量法求解，即可得出答案.【詳解】

取中點(diǎn)為，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，以過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，由可得，，所以，.對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有，所以.又，所以，所以，，所以，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則有，即，取，則是平面的一個(gè)法向量.若平面，則.因?yàn)?，顯然不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，是平面的一個(gè)法向量.要使平面，則應(yīng)有，所以，解得，所以，，使得平面，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，則.又是平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，所以，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.17．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，平面，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）

A．直線與直線是異面直線B．周長(zhǎng)的最小值為C．存在點(diǎn)使得平面平面D．點(diǎn)到平面的最大距離為【答案】ACD【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系相關(guān)知識(shí)即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A：不管點(diǎn)移動(dòng)到上的哪個(gè)位置，直線與直線均不相交，也不平行，所以A正確;選項(xiàng)B：周長(zhǎng)的為，要使周長(zhǎng)最小，

即最小，即為面和面的展開圖中的長(zhǎng)，所以，所以，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由圖易知，二面角為銳二面角，二面角為鈍二面角，在點(diǎn)從到移動(dòng)的過(guò)程中，二面角由銳角變成了鈍角，所以，在棱上必然存在點(diǎn)使得平面平面，C正確；選項(xiàng)D：要使點(diǎn)到平面的距離最大，即當(dāng)二面角為時(shí)，此時(shí)到的距離即為所求距離的最大值，過(guò)作的垂線，

因?yàn)槊婷?，面，面面，面，所以面，即為點(diǎn)到平面的距離，也是到的距離，又因?yàn)?，，，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以D正確.故選：ACD18．（2023·山東濰坊·三模）如圖所示的幾何體，是將棱長(zhǎng)為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)，作平行于底面的截面所得，且其所有棱長(zhǎng)均為1，則（

）

A．直線與直線所成角為 B．直線與平面所成角為C．該幾何體的體積為 D．該幾何體中，二面角的余弦值為【答案】AC【分析】將該幾何體還原為原正四面體，對(duì)A：直線與直線所成角即為MQ與QN所成角；對(duì)B：直線與平面所成角為QN與底面MNS所成的角；對(duì)C：該幾何體的體積為大正四面體的體積減去4個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正四面體的體積；對(duì)D：二面角的大小與的大小互補(bǔ).【詳解】將該幾何體還原為原正四面體，棱長(zhǎng)為，設(shè)中心為O，連接OQ，ON，則,對(duì)A：因?yàn)椋灾本€與直線所成角即為MQ與QN所成角為，故A正確；對(duì)B：直線與平面所成角為QN與底面MNS所成的角，即為所求角，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：該幾何體的體積為大正四面體的體積減去4個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正四面體的體積，，故C正確；對(duì)D：二面角的大小與的大小互補(bǔ)，顯然的大小為銳角，所以二面角的大小一定為鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：AC19．（2020·山東青島·山東省青島第五十八中學(xué)?？家荒＃┮阎襟w的棱長(zhǎng)為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等 D．平面截正方體所得的截面面積為【答案】BD【分析】確定直線與直線所成的角判斷A；連接，由線面平行的判定判斷B；由平面是否過(guò)的中點(diǎn)判斷C；作出截面，再計(jì)算面積判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，在正方體中，，則為直線與直線所成的角或其補(bǔ)角，連接AC，由平面ABCD，得，即在中，，則不可能是直角，直線與直線不垂直，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，連接，由，分別為，的中點(diǎn)，得，又，則四邊形是平行四邊形，于是，而四邊形是正方體的對(duì)角面，點(diǎn)為中點(diǎn)，有，即平面，平面，平面，所以平面，B正確；對(duì)于C，連接交于，顯然不是的中點(diǎn)，則平面不過(guò)的中點(diǎn)，即點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面的距離不相等，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)B知，，，即等腰梯形為平面截正方體所得的截面，，等腰梯形的高，所以等腰梯形面積為，D正確.故選：BD20．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知半徑為R的球與圓臺(tái)的上下底面和側(cè)面都相切.若圓臺(tái)上下底面半徑分別為r1和r2，母線長(zhǎng)為l，球的表面積與體積分別為S1和V1，圓臺(tái)的表面積與體積分別為S2和V2.則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．的最大值為【答案】ABC【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓臺(tái)與球的表面積、體積公式逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由切線長(zhǎng)定理易得，A正確；由勾股定理知，解得，B正確；因?yàn)?，，所以正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，這與圓臺(tái)的定義矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.21．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A． B．平面可能經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C．的最小值為 D．的最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，用向量表示空間中的垂直關(guān)系，求點(diǎn)到平面的距離，以及空間角的計(jì)算，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解．【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則,0,,,0,,,1,,,1,,,1,,,0,,,0,,，1，，,1,，設(shè),,，則,,，,；設(shè),0,，則,0,,,，所以，1，，，，，，所以，即，A正確；因?yàn)?1,,,,，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,,，則，即，令，則，，所以,,，又因?yàn)?1,，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離不能為0，即平面不過(guò)點(diǎn)，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以的最小值為，C正確；因?yàn)?,，,,，，設(shè)，，，，，所以，，所以，，所以，，所以，，所以，，所以，，當(dāng)時(shí)最大，此時(shí)，選項(xiàng)D正確．故選：ACD．

22．（2023·廣東深圳·深圳市高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，底面為矩形，，，，．下列說(shuō)法正確的是（

）A．設(shè)平面平面，則B．平面平面C．設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為D．在四棱錐的內(nèi)部，存在與各個(gè)側(cè)面和底面均相切的球【答案】AB【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)判斷A，根據(jù)面面垂直的判定定理證明B，結(jié)合B判斷C，取、的中點(diǎn)，，求出的內(nèi)切圓半徑與的內(nèi)切圓半徑，即可判斷D.【詳解】該四棱錐如圖．

對(duì)于A：設(shè)平面平面，因?yàn)闉榫匦?，，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，所以A對(duì)；對(duì)于B：∵，，，即，所以，又底面為矩形，所以，，因?yàn)?，，即，所以，而，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故B對(duì)；對(duì)于C：由B選項(xiàng)可知的最短距離就是，所以C錯(cuò)；對(duì)于D：取、的中點(diǎn)，，連接、、，則與平面、平面、平面都相切的球的半徑即為的內(nèi)切圓半徑，因?yàn)椋?，，所以，則，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，解得，

同理與平面、平面、平面都相切的球的半徑即為的內(nèi)切圓半徑，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，因?yàn)椋?，所以，解得，所以，所以D錯(cuò)．故選：AB23．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，為底面的中心，交平面于點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則（

）

A．，，三點(diǎn)共線 B．異面直線與所成的角為C．點(diǎn)到平面的距離為 D．過(guò)點(diǎn)，，的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】ACD【分析】通過(guò)證明，，三點(diǎn)都是平面與平面的公共點(diǎn)，可知A正確；利用線面垂直的判定與性質(zhì)可證異面直線與所成的角為，可知B不正確；通過(guò)證明平面，得的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離，計(jì)算的長(zhǎng)度可知C正確；取的中點(diǎn)，可得等腰梯形就是過(guò)點(diǎn)，，的平面截該正方體所得截面，計(jì)算等腰梯形的面積可知，D正確.【詳解】因?yàn)闉榈酌娴闹行?，所以為和的中點(diǎn)，則，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，平面，所以點(diǎn)是平面與平面的公共點(diǎn)；顯然是平面與平面的公共點(diǎn)；因?yàn)榻黄矫嬗邳c(diǎn)，平面，所以也是平面與平面的公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)都在平面與平面的交線上，即，，三點(diǎn)共線，故A正確；因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，即異面直線與所成的角為，故B不正確；根據(jù)證明的方法，同理可得，因?yàn)?，平面，所以平面，則的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以正三角形的邊長(zhǎng)為，所以，又，所以，即點(diǎn)到平面的距離為，故C正確；取的中點(diǎn)，連，，，，因?yàn)?，所以等腰梯形就是過(guò)點(diǎn)，，的平面截該正方體所得截面，如圖：

因?yàn)椋?，所以等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，即過(guò)點(diǎn)，，的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確.故選：ACD24．（2023·山西陽(yáng)泉·陽(yáng)泉市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，.若點(diǎn)O到三棱柱的所有面的距離都相等，則（

）A．平面B．C．平面截球O所得截面圓的周長(zhǎng)為D．球O的表面積為【答案】AC【分析】根據(jù)球的性質(zhì)可判斷為直棱柱，即可判斷A，由內(nèi)切球的性質(zhì)，結(jié)合三棱柱的特征即可判斷B，由勾股定理以及等邊三角形的性質(zhì)可判斷CD.【詳解】選項(xiàng)A，三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，根據(jù)球的對(duì)稱性可知三棱柱為直棱柱，所以平面，因此A正確.選項(xiàng)B：因?yàn)?，所?因?yàn)辄c(diǎn)O到三棱柱的所有面的距離都相等，所以三棱柱的內(nèi)切球與外接球的球心重合.設(shè)該三棱柱的內(nèi)切球的半徑為r，與底面以及側(cè)面相切于,則,由于為矩形的對(duì)角線交點(diǎn)，所以，而三角形為等邊三角形，所以,所以，所以，因此B錯(cuò)誤.

選項(xiàng)C：由，可知，解得（負(fù)值已舍去），則.易得的外接圓的半徑，所以平面截球O所得截面圓的周長(zhǎng)為，因此C正確.選項(xiàng)D：三棱柱外接球的半徑，所以球O的表面積，因此D錯(cuò)誤.故選：AC25．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知二面角的棱l上有A，B兩點(diǎn)，，，，，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）．

A．當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為B．當(dāng)二面角的大小為時(shí)，直線與所成角為C．若，則二面角的余弦值為D．若，則四面體的外接球的體積為【答案】ABD【分析】由面面垂直的性質(zhì)得線面垂直，即可求直線與平面所成角的正弦值即可判斷A；根據(jù)二面角判斷B，C即可；由四面體外接球的幾何性質(zhì)確定外接球半徑，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以直線與平面所成角為，則，故A正確；對(duì)于B，如圖，過(guò)A作，且，連接，，

則為正方形，即為直線與所成角，為二面角的平面角，當(dāng)時(shí)，易得，又，，故面，即面，故，故B正確；對(duì)于C，如圖，作，則二面角的平面角為，

又，在中，易得，在．中，由余弦定理得，，過(guò)C點(diǎn)作交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，則平面，過(guò)O點(diǎn)作，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，則為二面角的平面角，易得，，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，同選項(xiàng)C可知，如圖，分別取線段，的中點(diǎn)G，M，連接，過(guò)G點(diǎn)作平面的垂線，

則球心O必在該垂線上，設(shè)球的半徑為R，則，又的外接圓半徑，則，所以四面體的外接球的體積為，故D正確．故選：ABD.26．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（

）

A．直線與直線垂直B．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等C．直線與平面平行D．與的夾角為【答案】AB【分析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可得答案.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則且，對(duì)于A，，所以，所以直線與直線垂直，故A正確；對(duì)于B，設(shè)平面的法向量為，又，所以，令得，又，所以點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)樗?，即，設(shè)平面的法向量為，則，又，則，所以平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以與的夾角余弦值為，夾角大小不為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.27．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn)，為正方體的內(nèi)切球上任意一點(diǎn)，則（

）A．球被截得的弦長(zhǎng)為B．球被四面體表面截得的截面面積為C．的范圍為D．設(shè)為球上任意一點(diǎn)，則與所成角的范圍是【答案】BC【分析】利用對(duì)稱性以及球心到端點(diǎn)的距離結(jié)合余弦定理可計(jì)算得弦長(zhǎng)為，A錯(cuò)誤；求得球心到正四面體表面的距離為，可得四個(gè)相同截面圓的半徑為，即可得截面面積為，B正確；利用向量運(yùn)算可得，即可求得其范圍為，C正確；截取截面可知，當(dāng)與球相切時(shí)，與所成的最大角滿足，可得，即D錯(cuò)誤.【詳解】如圖所示：

對(duì)于A，易知內(nèi)切球的半徑為1，且球心在正方體的中心，易得；設(shè)球被截得的弦為，在中，如下圖所示：

由對(duì)稱性可知，，且利用余弦定理可知，在中，，解得或（舍），則弦長(zhǎng)，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知四面體為正四面體，所以四個(gè)截面面積相同，由對(duì)稱性可知，球心即為正四面體的外接球（也是內(nèi)切球）球心，如下圖所示：

設(shè)為的中點(diǎn)，為球心在平面內(nèi)的攝影，易知正四面體的棱長(zhǎng)為，，易得，，由勾股定理可得；所以球心到截面距離，不妨設(shè)截面圓半徑為，則，所以截面面積為，故B正確；對(duì)于C，不妨設(shè)的中點(diǎn)為，則由選項(xiàng)A可知，，當(dāng)同向時(shí)，；當(dāng)反向時(shí)，；即的范圍為，即C正確；對(duì)于D，易知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，與所成的角最小為，取截面如下圖所示：

易知當(dāng)與球相切時(shí)，與所成的角最大，設(shè)最大角為，則，即，所以；即與所成角的范圍是說(shuō)法錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤；故選：BC28．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則（

）

A．四點(diǎn)共面B．直線與平面平行C．異面直線與所成角的余弦值為D．過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得圖形面積為【答案】AC【分析】對(duì)A，利用中位線定理與平行線的傳遞性證得，從而得以判斷；對(duì)B，利用線面平行的性質(zhì)即可判斷；對(duì)C，由向量法求線線角即可判斷；對(duì)D，過(guò)點(diǎn)M作，證所求截面為矩形，即可求得面積，從而得以判斷.【詳解】對(duì)A，連接，如圖，因?yàn)閭?cè)面是正方形，分別是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，又點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以四點(diǎn)共面，又面，所以四點(diǎn)共面，故A正確；

對(duì)B，連接，如圖，易得，，所以四邊形是平行四邊形，則，假設(shè)直線與平面平行，又平面平面，平面，所以，則，顯然矛盾，假設(shè)不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，分別以所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)異面直線與面所成角為，則，所以異面直線與面所成角的余弦值為，C正確；

對(duì)D，過(guò)點(diǎn)M作，因?yàn)?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則五點(diǎn)共面，即過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得圖形為平行四邊形，由題意可知，因?yàn)闉檎襟w，所以平面，又平面，所以，所以平行四邊形為矩形，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC..29．（2023·浙江溫州·樂(lè)清市知臨中學(xué)校考二模）正三角形的邊長(zhǎng)為，如圖，為其水平放置的直觀圖，則（

）

A．為銳角三角形B．的面積為C．的周長(zhǎng)為D．的面積為【答案】CD【分析】根據(jù)斜二測(cè)法可求出，，再利用余弦定理可求出，再逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，因?yàn)檎切蔚倪呴L(zhǎng)為，故，所以，，在中，，由余弦定理得，,在中，，由余弦定理得，,選項(xiàng)A，在中，因?yàn)?，由余弦定理知，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B和D，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；選項(xiàng)C，的周長(zhǎng)為，故選項(xiàng)C正確.

故選：CD.30．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．B．平面C．點(diǎn)到平面的距離為D．與平面所成角的正弦值為【答案】ACD【分析】連接、，證明平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)，與平面相交與點(diǎn)即可判斷B；連接、交于，證明平面，從而可得點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，即可判斷C；取中點(diǎn)，連接、，證明平面，從而可得與平面所成角即為，從而可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接、，在正方體中，平面，平面，所以，因?yàn)樗倪呅问钦叫危?，因?yàn)椋⑵矫?，所以平面，又平面，所以，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，在正方體中，有，且與平面相交與點(diǎn)，故FG與平面不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，連接、交于，在正方體中，平面，又平面，所以，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)?，、平面，所以平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，即為，又正方體棱長(zhǎng)為，則，則點(diǎn)到平面的距離為，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)樗倪呅问钦叫危c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，又平面，所以，所以與平面所成角即為，則，則與平面所成角的正弦值為，故D正確．

故選：ACD．31．（2023·廣東珠海·珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎莾蓷l不相同的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題為真命題的是（

）A．若是異面直線，，則.B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)立體幾何相關(guān)定理逐項(xiàng)分析.【詳解】對(duì)于A，，則平面內(nèi)必然存在一條直線，使得，并且，同理，在平面內(nèi)必然存在一條直線，使得，并且，由于是異面直線，與是相交的，n與也是相交的，即平面內(nèi)存在兩條相交的直線，分別與平面平行，，正確；

設(shè)，并且，則有，顯然是相交的，錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則不成立，錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則平面上必然存在一條直線l與n平行，，即，正確；對(duì)于D，若，必然存在一個(gè)平面，使得，并且，，又，正確；故選:ACD.32．（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為，.若將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)E，P分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，處，且A，B，C，D四點(diǎn)共面，點(diǎn)A，C分別位于BD兩側(cè)，則（

）

A． B．C．多面體的外接球的表面積為 D．點(diǎn)P與點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)之比為【答案】AD【分析】由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理結(jié)合正三棱錐的性質(zhì)可判斷A，B；由已知可得，正三棱錐側(cè)棱兩兩互相垂直，放到正方體中，借助正方體研究線面位置關(guān)系和外接球表面積可判斷C；由題意轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑長(zhǎng)為，轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑長(zhǎng)為可判斷D.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，由，所以，又，平面，所以平面，將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)E，P分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，處，所以平面，所以，故A正確；因?yàn)槠矫妫?，故B不正確；

因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共面，，可得：，，所以平面，所以平面，同理平面，由已知為正方形，所以可將多面體放入邊長(zhǎng)為的正方體，

則多面體的外接球即棱長(zhǎng)為的正方體的外接球，外接球的半徑為，表面積為，選項(xiàng)C不正確；由題意轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑長(zhǎng)為，轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑長(zhǎng)為，所以點(diǎn)P與點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)之比為，故D正確.故選：AD.33．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代《九章算術(shù)》里記載了一個(gè)“羨除”的例子，羨除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如圖是一個(gè)“羨除”模型，該“羨除”是以為頂點(diǎn)的五面體，四邊形為正方形，平面，則（

）A．該幾何體的表面積為B．該幾何體的體積為C．該幾何體的外接球的表面積為D．與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【分析】過(guò)E作EK⊥AB于K，作EM⊥DC于M，過(guò)F作FG⊥AB于G，作FH⊥DC于H，將該幾何體分為一個(gè)棱柱與兩個(gè)棱錐，取AD，BC的中點(diǎn)P，Q，則EP⊥AD，F(xiàn)Q⊥BC，然后求出表面積可判斷A；連接PQ，交GH于T，則T為GH的中點(diǎn)，可證得FT⊥面ABCD，求出一個(gè)棱柱與兩個(gè)棱錐的體積，可得該幾何體的體積，從而判斷B；連接AC，BD交于點(diǎn)O，可求得O為該幾何體的外接球的球心，半徑R＝，求出表面積即可判斷C；取AB的中點(diǎn)N，得AE∥FN，則與平面所成角等于FN與平面所成角，設(shè)N到面FBC的距離為h，利用等體積法，由求得，進(jìn)而可得與平面所成角的正弦值，可判斷D．【詳解】∵EF∥平面ABCD，EF在平面ABFE內(nèi)，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，∴EF∥AB，∵AB∥DC，∴EF∥DC，∵∴ABFE，DCFE均為等腰梯形，過(guò)E作EK⊥AB于K，作EM⊥DC于M，連接KM，過(guò)F作FG⊥AB于G，作FH⊥DC于H，連接GH，∴EF∥KG∥MH，EF＝KG＝MH＝2，AK＝GB＝DM＝HC＝1，∵AB∥DC，F(xiàn)H⊥DC，∴AB⊥FH，又AB⊥GF，GF，F(xiàn)H在平面FGH內(nèi)，GF∩FH＝F，∴AB⊥面FGH，同理，AB⊥面EKM，∴面FGH∥面EKM，∴該幾何體被分為一個(gè)棱柱與兩個(gè)棱錐.分別取AD，BC的中點(diǎn)P，Q，連接FQ，EP，∵，∴EP⊥AD，F(xiàn)Q⊥BC，∴FQ＝，∴，F(xiàn)G＝，，又，∴該幾何體的表面積為，故A正確；連接PQ，交GH于T，則T為GH的中點(diǎn)，連接FT，∵AB⊥面FGH，F(xiàn)T在面FGH內(nèi)，∴FT⊥AB，∵GF＝FH＝EK＝EM，∴FT⊥GH，又AB，GH在面ABCD內(nèi)，AB∩GH＝G，∴FT⊥面ABCD，∴FT＝，∴，∵，∴，∴該幾何體的體積為，故B正確；連接AC，BD交于點(diǎn)O，則O也在PQ上，連接OE，OF，∵EF∥OQ，EF＝OQ，∴EFQO為平行四邊形，∴EO＝FQ＝，同理，F(xiàn)O＝EP＝，∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝，∴O為該幾何體的外接球的球心，半徑R＝，∴該幾何體的外接球的表面積為，故C錯(cuò)誤；取AB的中點(diǎn)N，連接FN，NC，∵EF∥AN，EF＝AN，∴EFNA為平行四邊形，∴AE∥FN，∴與平面所成角等于FN與平面所成角，設(shè)為，設(shè)N到面FBC的距離為h，∵，∴，∴，∴，∴，即與平面所成角的正弦值為，故D正確．故選：ABD．34．（2023·吉林·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，母線長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）

A．圓臺(tái)的體積為 B．圓臺(tái)的側(cè)面積為C．圓臺(tái)母線與底面所成角為 D．在圓臺(tái)的側(cè)面上，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)為5【答案】ACD【分析】根據(jù)已知求體積;過(guò)作交底面于F，判斷出即為母線與底面所成角；作出圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，直接求出面積；圓臺(tái)的側(cè)面上，判斷出從到的最短路徑的長(zhǎng)度為CE,等逐個(gè)判斷即可求解.【詳解】對(duì)于A：圓臺(tái)的高為，則圓臺(tái)的體積，A正確；對(duì)于B：由題意，圓臺(tái)的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，

其面積為．故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：過(guò)作交底面于，則底面，所以即為母線與底面所成角．

在等腰梯形中，，所以．因?yàn)闉殇J角，所以．故C正確；對(duì)于D：如圖示，在圓臺(tái)的側(cè)面上，從到的最短路徑的長(zhǎng)度為．由題意可得：．由為中點(diǎn)，所以，所以．故D正確．

故選：ACD.35．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，P，Q分別為棱，BC的中點(diǎn)，則（

）

A．平面 B．平面平面C．三棱柱的側(cè)面積為 D．三棱錐的體積為【答案】BD【分析】記AC中點(diǎn)為D，連接，記交點(diǎn)為E，連接EQ，判斷是否平行即可判斷A；證明平面可判斷B；直接求出側(cè)面積可判斷C；通過(guò)轉(zhuǎn)化，然后可求得三棱錐的體積，可判斷D.【詳解】記AC中點(diǎn)為D，連接，記交點(diǎn)為E，連接EQ，則，四點(diǎn)共面，因?yàn)镻，D分別為的中點(diǎn)，所以E為的重心，即E為PC的三等分點(diǎn)，又Q為BC中點(diǎn)，所以不平行，因?yàn)槠矫鍼BC，平面平面，所以由線面平行性質(zhì)定理可知與平面不平行，A錯(cuò)誤；連接，因?yàn)樗砸驗(yàn)镼為BC中點(diǎn)，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，B正確；因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所以，所以四邊形為矩形，面積為，又因?yàn)?，所以三棱柱的?cè)面積為，C錯(cuò)誤；

記的中點(diǎn)為H，連接，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，所以點(diǎn)P，A到平面的距離相等，四點(diǎn)共面，又，Q為BC中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫妫矫妫訠Q三棱錐的高，且因?yàn)椋运?，所以所以，故D正確.故選：BD36．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？既＃┫铝忻}中，正確的是（

）A．夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等B．三個(gè)兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直C．如果直線平面，，那么過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線有無(wú)數(shù)條，且一定在內(nèi)D．已知，為異面直線，平面，平面，若直線滿足，，，，則與相交，且交線平行于【答案】ABD【分析】利用平面平行的性質(zhì)，平面垂直，線面平行的相關(guān)性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可求解.【詳解】如圖，,且，求證：.

因?yàn)?所以過(guò)可作平面，且平面與平面和分別相交于和.因?yàn)?，所以，因此四邊形是平行四邊形，所?故選項(xiàng)A正確；如圖所示，平面，，，，，，

在平面內(nèi)作異于的直線，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，，，所以，則，又因?yàn)?，，所以，則，同理可得：，所以，故選項(xiàng)B正確；若直線平面，，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線有且只有一條，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)?，為異面直線，平面，平面，則與相交，但未必垂直，且交線垂直于直線，，又直線滿足，，則交線平行于，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.37．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，、分別為、的中點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿問(wèn)上翻折，使點(diǎn)移到點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（

）

A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．三棱錐的體積最大值為D．當(dāng)三棱錐的體積達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐外接球表面積為【答案】BCD【分析】由立體幾何的線線平行，線面垂直判定定理，外接球的表面積公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，，因此不平行，即不存在點(diǎn)，使得.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖：

取的中點(diǎn)，連接，，，,當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?則，而，，平面，又分別為，的中點(diǎn)，即，于是平面，而平面，則，故B正確；對(duì)于C，在翻折過(guò)程中，令與平面所成角為，則點(diǎn)到平面的距離，又的面積為，因此三棱錐的體積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即平面時(shí)取等號(hào)，所以三棱錐的體積最大值為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)三棱錐的體積達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐外接球的球心為，故球的半徑為1，則球的表面積為.故D正確.故選：BCD.38．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)、、分別在棱、、上，滿足，，記平面與平面的交線為，則（

）

A．存在使得平面截正方體所得截面圖形為四邊形B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為C．當(dāng)時(shí)，三棱錐體積為D．當(dāng)時(shí)；與平面所成的角的正弦值為【答案】CD【分析】對(duì)于A，對(duì)分情況討論，圖形展示即可；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球心在過(guò)線段的中點(diǎn)，且垂直于平面的直線上，可求出，得表面積；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，得出平面，利用等體積可求體積；對(duì)于D，求出的方向向量與平面法向量，利用向量公式可得答案.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，以為原點(diǎn)，以、、所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:對(duì)于A選項(xiàng)，時(shí)，在點(diǎn)，，由可知，所以截面即為四邊形；

由圖形知，截面為五邊形或六邊形.故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，且平面，所以根據(jù)球的性質(zhì)容易判斷，三棱錐的外接球的球心在過(guò)線段的中點(diǎn)，且垂直于平面的直線上，，，所以的中點(diǎn)，可記球心，，外接球的半徑，解得，，所以三棱錐的外接球表表面積為，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以平面，，又平面，所以，三棱錐體積為，故C正確.對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，所以可取，由平面知，平面的法向量為，記平面與平面的交線的一個(gè)方向向量為，則，令，則，，所以可取，又平面的法向量為，則，，，設(shè)與平面所成的角為，則，故D正確.故選：CD.

39．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，且，則B．若A，B，C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，，，則C．若且，則直線D．若直線，直線，則a與b為異面直線【答案】ABC【分析】根據(jù)基本事實(shí)3（公理2）可判斷A；根據(jù)基本事實(shí)1（公理3）可判斷B；根據(jù)基本事實(shí)2（公理1）可判斷C；根據(jù)異面直線的定義可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由根據(jù)且，則是平面和平面的公共點(diǎn)，又，由基本事實(shí)3（公理2）可得，故A正確；對(duì)于B，由基本事實(shí)1（公理3）：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，又，且，則，故B正確；對(duì)于C，由基本事實(shí)2（公理1）：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，故C正確；對(duì)于D，由于平面和平面位置不確定，則直線與直線位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.40．（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省天一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，直線的方向向量為，直線的方向向量為，則（

）A．B．C．與為相交直線或異面直線D．在向量上的投影向量為【答案】BC【分析】根據(jù)空間向量之間的關(guān)系逐項(xiàng)判斷線線、線面、面面關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，直線的方向向量為，則，即，則或，故A不正確；又平面的一個(gè)法向量為，所以，即，所以，故B正確；由直線的方向向量為，所以不存在實(shí)數(shù)使得，故與為相交直線或異面直線，故C正確；在向量上的投影向量為，故D不正確.故選：BC.第三部分能力提升模擬題41．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）正四棱柱，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則下列結(jié)論正確的（

）A．點(diǎn)到平面的距離是．B．四棱錐內(nèi)切球的表面積為．C．平面與平面垂直．D．點(diǎn)為線段上的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為面內(nèi)的點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為．【答案】AC【分析】利用等體積法判斷A，利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可判斷B，找到二面角的平面角，利用勾股定理逆定理即可判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，即可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

，，，，又，所以，解得，故A正確；對(duì)于B：

，，，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)底面中心為，連接交于，則為線段中點(diǎn)，

則，，所以為面與面所成角的平面角，在中，，，∴，所以平面與平面垂直，故C正確；對(duì)于D，設(shè)底面中心為，底面中心為，分別以直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)，又，由得，，整理得，所以點(diǎn)軌跡為圓在面內(nèi)的部分（如下圖），因?yàn)?，，，顯然，所以，即，

所以的弧長(zhǎng)不為，即點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)不為，故D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及點(diǎn)到面的距離一般利用等體積法或空間向量法，D選項(xiàng)關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，定量計(jì)算出動(dòng)點(diǎn)的軌跡.42．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）圓柱高為1，下底面圓的直徑長(zhǎng)為2，是圓柱的一條母線，點(diǎn)分別在上、下底面內(nèi)（包含邊界），下列說(shuō)法正確的有（

）．A．若，則點(diǎn)的軌跡為圓B．若直線與直線成，則的軌跡是拋物線的一部分C．存在唯一的一組點(diǎn)，使得D．的取值范圍是【答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間距離公式以及向量夾角公式列式計(jì)算可得點(diǎn)的軌跡方程判斷選項(xiàng)A和選項(xiàng)B，假設(shè)，根據(jù)勾股定理列式結(jié)合均值不等式計(jì)算最值，即可判斷選項(xiàng)C，計(jì)算的最大值判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)B，如圖，不妨以為原點(diǎn)，以的垂直平分線，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，由題意，，化簡(jiǎn)得，，由于點(diǎn)在上底面內(nèi)，所以的軌跡是拋物線的一部分，故B正確；對(duì)A，，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)的軌跡為橢圓，故A錯(cuò)誤；

對(duì)C，設(shè)點(diǎn)在下平面的投影為，若，則，則，當(dāng)在線段上時(shí)，可取最小值，由均值不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，而點(diǎn)只有在與點(diǎn)重合時(shí)，才能取到，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，故C正確；對(duì)D，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，的值為，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】判斷本題選項(xiàng)B時(shí)，利用定義法計(jì)算線線所成的角不好計(jì)算時(shí)，可通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角的計(jì)算公式列式計(jì)算.43．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）如圖，平行六面體中，，，與交于點(diǎn)O，則下列說(shuō)法正確的有（

）

A．平面平面B．若，則平行六面體的體積C．D．若，則【答案】ABD【分析】對(duì)于A，由題意可得四邊形為菱形，則可得，再計(jì)算，可得，從而得平面，再利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論；對(duì)于B，連接，可得，從而可證得平面，進(jìn)而可求出體積，對(duì)于C，利用空間向量的加法分析判斷，對(duì)于C，設(shè)，則可得，然后利用向量的夾角公式計(jì)算判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃?，，所以四邊形為菱形，所以，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，所以A正確，對(duì)于B，連接，因?yàn)?，，所以，所以為直角三角形，即，因?yàn)椤危?，因?yàn)橛蛇x項(xiàng)A知平面，平面，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，所以平行六面體的體積，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以為的中點(diǎn)，所以，所以，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，設(shè)，因?yàn)樵诹庑沃?，，所以，所以，所以D正確，故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查面面垂直的判斷，考查平行六面體體積的求法，考查空間向量的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確利用平行六面體的性質(zhì)結(jié)合題意分析求解，考查空間想能力和計(jì)算能力，屬于較難題.44．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，是平面外一點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成角為，三棱錐的體積為，則下列命題中正確的是（

）A．若平面平面，則 B．若平面平面，則C．若，則的最大值是 D．若，則的最大值是【答案】AC【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，即可判斷A，由于無(wú)法得知與是否垂直，故無(wú)法證明與平面是否垂直，即可判斷B，根據(jù)橢圓的定義和旋轉(zhuǎn)體的概念可知當(dāng)時(shí)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢球，即可判斷C、D.【詳解】對(duì)于AB：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，平面，所以，又，若，則，平面，所以平面，由平面，則可得，由于無(wú)法得知與是否垂直，故無(wú)法證明與平面是否垂直，故A正確，B錯(cuò)誤；

對(duì)于CD：由題意知，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，、為定點(diǎn)，，由橢圓的定義知，點(diǎn)的軌跡是以為焦距，長(zhǎng)軸為的橢圓，將此橢圓繞旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)橢球，即點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢球，而橢球面為一個(gè)橢圓，由，即，得，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到橢球的上、下頂點(diǎn)時(shí)，取到最大值，此時(shí)；設(shè)點(diǎn)在平面ABCD上的射影為，則，又，且，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)最大，即取到最大值，故C正確，D錯(cuò)誤；

故選：AC45．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別是的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．存在點(diǎn)，使得與異面B．不存在點(diǎn)，使得C．直線與平面所成角的正切值的最小值為D．過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積的最大值為【答案】CD【分析】對(duì)于A，四點(diǎn)共面，，平面即可判斷；對(duì)于B，利用線面垂直證明線線垂直即可判斷；對(duì)于C，利用直線與平面所成角的求法即可判斷；對(duì)于D，先做出截面，再求其面積即可.【詳解】對(duì)于A，連接，由正方體的性質(zhì)知，，所以四點(diǎn)共面，，平面，故A不正確；對(duì)于B，設(shè)中點(diǎn)為，連接，

若為中點(diǎn)，則平面ABCD，MN在面ABCD內(nèi)，所以，在中，，，所以，故，，平面，所以平面，平面，所以，故B不正確；

對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)作平面，連接，所以直線與平面所成角為，所以，當(dāng)在時(shí)，，所以，故C正確；

對(duì)于D，由正方體中心對(duì)稱（類比為球體，MN看作弦），故過(guò)的截面經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心O所得截面最大，此時(shí)截面交棱于中點(diǎn)，也為中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)、、三點(diǎn)的平面截正方體所得截面最大，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、，

所以過(guò)、、三點(diǎn)的平面截正方體所得截面最大值為正六邊形，面積為，故D正確．故選：CD.46．（2023·河北·校聯(lián)考三模）在棱長(zhǎng)為1的正方體的側(cè)面內(nèi)（包含邊界）有一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)到直線與到直線距離之比為，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分B．若點(diǎn)到直線與到直線距離之比為，則點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分C．過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)作正方體的截面，則截面圖形是平行四邊形D．三棱錐體積的最大值為【答案】BCD【分析】對(duì)A：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)到直線與到直線距離之比為求得點(diǎn)的軌跡；對(duì)B：根據(jù)拋物線的定義得點(diǎn)的軌跡；對(duì)C：過(guò)點(diǎn)作分別交于，則過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)的截面為平行四邊形；對(duì)D：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，三棱錐體積最大.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)側(cè)面內(nèi)（包含邊界）點(diǎn)，

對(duì)于A：點(diǎn)到直線的距離為，由正方體知面，又面，所以，所以點(diǎn)到直線距離為，故，整理得，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：點(diǎn)到直線與到直線距離之比為，即到直線與到定點(diǎn)的距離相等，根據(jù)拋物線定義知點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分，故B正確；對(duì)于C：過(guò)點(diǎn)作分別交于，連接，則且，所以四邊形是平行四邊形，則平行四邊形為過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)的截面，故C正確；

對(duì)于D：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)到面的距離最大為1，此時(shí)三棱錐體積，故D正確；故選：BCD47．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，該幾何體由一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐組成，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若平面與平面的交線為，則AC//lC．三棱柱的外接球的表面積為D．當(dāng)該幾何體有外接球時(shí)，點(diǎn)到平面的最大距離為【答案】BD【分析】根據(jù)空間線面關(guān)系，結(jié)合題中空間幾何體，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若，又因?yàn)槠矫?，但是不一定在平面上，所以A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以平面，平面平面，所以，所以B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，取的中心，的中心，的中點(diǎn)為該三棱柱外接球的球心，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積為，所以C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，該幾何體的外接球即為三棱柱的外接球，的中點(diǎn)為該外接球的球心，該球心到平面的距離為，點(diǎn)到平面的最大距離為，所以D正確.故選：BD48．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？既＃┮阎襟w的棱長(zhǎng)為1，為棱（包含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，下列命題正確的是（

）A．B．二面角的大小為C．點(diǎn)到平面距離的取值范圍是D．若平面，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為【答案】ACD【分析】根據(jù)幾何體為正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)后利用數(shù)量積可判斷A的正誤，求出平面的法向量和平面的法向量可利用數(shù)量積計(jì)算夾角的余弦值后可判斷B的正誤，利用點(diǎn)到平面的距離的公式計(jì)算后可判斷C的正誤，最后利用直線和平面的法向量計(jì)算線面角的正弦值后可判斷D的正誤.【詳解】

由正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，其中，對(duì)于A：，故即，故A正確.對(duì)于B：，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故.故，而二面角為銳二面角，故其余弦值為，不為，故二面角的平面角不是，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C：，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故.而，故到平面的距離為，故C正確.對(duì)于D：設(shè)直線與平面所成的角為.因?yàn)槠矫?，故為平面的法向量，而，故，而，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：空間中位置關(guān)系的判斷、角的計(jì)算或范圍的判斷，可結(jié)合幾何體的規(guī)則性建立合適空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量的共線、向量的數(shù)量積等來(lái)判斷位置關(guān)系，通過(guò)平面的法向量、直線的法向量等來(lái)處理相關(guān)角的計(jì)算或范圍問(wèn)題.49．（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）

A．存在點(diǎn)，使直線平面B．平面截正方體所得截面的最大面積為C．三棱錐的體積為定值D．存在點(diǎn)，使平面平面【答案】AC【分析】對(duì)于A項(xiàng)，可以通過(guò)取的中點(diǎn)H、I，連接HI交于G點(diǎn)，判定即可；對(duì)于B項(xiàng)，討論截面的形狀并計(jì)算各交線長(zhǎng)來(lái)判定即可；對(duì)于C項(xiàng)，通過(guò)等體積法轉(zhuǎn)化即可判定；對(duì)于D項(xiàng)，通過(guò)反證，利用面與面和面的交線PG、DH是否能平行來(lái)判定.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，如圖所示，

取的中點(diǎn)H、I，連接HI交于G點(diǎn)，此時(shí)，由正方體的性質(zhì)知：面，又，則面，面，可得，在正方形中，易知，，面，所以平面，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，若G點(diǎn)靠C遠(yuǎn)，如圖一示，過(guò)G作，即截面為四邊形EFQR，顯然該截面在G為側(cè)面CB1的中心時(shí)取得最大，最大值為，

若G靠C近時(shí)，如圖二示，G作KJEF，延長(zhǎng)EF交、DA延長(zhǎng)線于M、H，連接MK、HJ交、AB于L、I，則截面為六邊形EFIJKL，若K，J為中點(diǎn)時(shí)六邊形面積為，，即B錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，隨著G移動(dòng)但G到面的距離始終不變即，故是定值，即C正確；對(duì)于D項(xiàng)，如圖所示，連接，H為側(cè)面的中心，則面與面和面分別交于線PG、DH，若存在G點(diǎn)使平面平面，則PGDH，又A1DCB1，則四邊形PGHD為平行四邊形，即PD=GH，而PD＞，此時(shí)G應(yīng)在延長(zhǎng)線上，故D錯(cuò)誤；

故選：AC50．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，對(duì)棱所成角為，平面和平面的夾角為，直線與平面所成角為，點(diǎn)為平面和平面外一定點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．過(guò)點(diǎn)且與直線所成角都是的直線有2條B．過(guò)點(diǎn)且與平面和平面所成角都是的直線有3條C．過(guò)點(diǎn)且與平面和平面所成角都是的直線有3條D．過(guò)點(diǎn)與平面所成角為，且與直線成的直線有2條【答案】ABD【分析】作直線、，使得，，直線、上分別取點(diǎn)、，的角平分線所在直線與直線、所成角為或，在利用圖形，可知A有條；根據(jù)，，可知B有條；根據(jù)，可知C有2條；做以為頂點(diǎn)，且與圓錐中軸線夾角為，可知該直線條數(shù)，判斷D即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閷?duì)棱所成角為，在空間中的點(diǎn)作直線、，使得，，設(shè)直線、確定平面，如下圖所示：

因?yàn)閷?duì)棱所成角為，則直線、所成角為或，在直線、上分別取點(diǎn)、，使得或，則在平面內(nèi)的角平分線所在直線與直線、所成角為或，根據(jù)最小角定理，對(duì)于35度情況，過(guò)點(diǎn)在平面外能作兩條直線、使得這兩條直線與直線、所成角均為，綜上所述，過(guò)點(diǎn)且與直線所成角都是的直線有2條，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫婧推矫娴膴A角為，則過(guò)點(diǎn)與平面和平面所成角都是和的直線各有一條、，若過(guò)點(diǎn)與平面和平面都是，則在的兩側(cè)各有一條，加上直線m，所以共條，故B正確，對(duì)于C選項(xiàng)，若過(guò)點(diǎn)與平面和平面所成角都是，則僅在的兩側(cè)各有一條，所以共條，故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作與平面成角的直線，形成以為頂點(diǎn)，與圓錐中軸線夾角為，且底面在上的圓錐的母線，

設(shè)平面所在平面為，則所求直線與的交點(diǎn)為,不妨假設(shè)在上，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，且與AB平行，設(shè)點(diǎn)在底面的射影點(diǎn)為點(diǎn)，直線交圓錐底面圓于、兩點(diǎn)，易知，又因?yàn)?，則為等邊三角形，所以，，因?yàn)?，則直線與平面所成角為，則，故，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取得最小值，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取得最大值，所以，故能作出兩條滿足條件的直線，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查立體幾何綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于角度的方法有：（1）異面直線所成角：平移異面直線至有交點(diǎn)，則異面直線所成角即為平移后相交直線所成角；（2）線面角：過(guò)線上一點(diǎn)做面的垂線，連接垂足及線與面的交點(diǎn)形成線段，則線與該線段所成角即為線面角；（3）面面角：過(guò)面面交線上一點(diǎn)在兩個(gè)面中分別做交線的垂線，則兩垂線的夾角即為面面角.51．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？既＃┤鐖D，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的點(diǎn)，直線平面，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)滿足.記直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，二面角的大小為，則下列說(shuō)法不一定正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】BCD【分析】通過(guò)空間直線、平面的位置關(guān)系作出相應(yīng)角，結(jié)合解直角三角形得出對(duì)應(yīng)三個(gè)角的正余弦值一一判定即可.【詳解】

如圖所示，連接EF、BE、BF，過(guò)B作BD∥AC，交圓于D點(diǎn)，∵E、F分別為PA、PC的中點(diǎn)，∴EF∥AC∥BD，BD即面EFB與面ABC的交線l，由題意易知：BC⊥BD，PC⊥BD，面PBC，則BD⊥面PBC，而面PBC，則BD⊥BF，即二面角的大小，∴；由Q滿足，過(guò)D作DQ∥PC，使DQ=CF即可，則DQ⊥面ABC，結(jié)合題意此時(shí)四邊形CDQF為矩形，則直線與平面所成的角，即；過(guò)Q作QG∥BD，且QG=BD，連接BG、FG、PG，顯然EF∥QG，此時(shí)四邊形BFPG為平行四邊形，PG=FB，則異面直線與所成的角，結(jié)合上面說(shuō)明得QG⊥面PBC，而面PBC，則QG⊥PG，即.∴，即A正確；及，即B、C錯(cuò)誤；即D錯(cuò)誤；故選：BCD52．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）已知正方體的棱長(zhǎng)為為空間中任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若為線段上任一點(diǎn)，則與所成角的范圍為B．若為正方形的中心，則三棱錐外接球的體積為C．若在正方形內(nèi)部，且，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為D．若三棱錐的體積為恒成立，點(diǎn)軌跡的為橢圓的一部分【答案】ACD【分析】對(duì)于A：根據(jù)異面直線夾角分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)題意分析可得與的交點(diǎn)即為三棱錐的外接球的球心，結(jié)合錐體的體積公式分析運(yùn)算；對(duì)于C：分析可得，結(jié)合圓的周長(zhǎng)分析運(yùn)算；對(duì)于D：根據(jù)題意結(jié)合圓錐的截面分析判斷.【詳解】對(duì)于A：過(guò)點(diǎn)作//交于點(diǎn)，連接．則即為與所成角的平面角，且．當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)A向點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)由點(diǎn)D向點(diǎn)移動(dòng),線段逐漸變長(zhǎng)，逐漸變短,所以逐漸變大．又當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)A處時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，．故A正確．對(duì)于B：由題意可知：平面，平面，則，又因?yàn)?，，平面，所以平面，平面，則，故和均為直角三角形．所以與的交點(diǎn)即為三棱錐的外接球的球心，半徑，此外接球的體積．故B不正確．對(duì)于：由題意可知：平面，平面，則，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，滿足，故點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的四分之一圓弧，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，C正確．對(duì)于D：設(shè)三棱錐的高為，由三棱錐的體積為，解得，即點(diǎn)到平面的距離為．對(duì)于三棱錐，設(shè)高為，由體積可得，解得，即點(diǎn)到平面的距離為，可得：點(diǎn)到平面的距離為，平面與平面的距離為，故點(diǎn)在平面或?yàn)辄c(diǎn)，若，空間點(diǎn)的軌跡為以為軸的圓錐表側(cè)面，顯然點(diǎn)不滿足題意，設(shè)與平面所成的角為，則，故平面與圓錐側(cè)面相交，且平面與不垂直，故平面與圓錐的截面為橢圓，顯然點(diǎn)不合題意，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分，故D正確．故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法定睛：在立體幾何中，某些點(diǎn)、線、面按照一定的規(guī)則運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成各式各樣的軌跡，探求空間軌跡與探求平面軌跡類似，應(yīng)注意幾何條件，善于基本軌跡轉(zhuǎn)化．對(duì)于較為復(fù)雜的軌跡，常常要分段考慮，注意特定情況下的動(dòng)點(diǎn)的位置，然后對(duì)任意情形加以分析判定，也可轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．對(duì)每一道軌跡命題必須特別注意軌跡的純粹性與完備性．53．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P-ABC中，，，，O為的外心，則（

）A．當(dāng)時(shí)，PA⊥BCB．當(dāng)AC=1時(shí)，平面PAB⊥平面ABCC．PA與平面ABC所成角的正弦值為D．三棱錐A-PBC的高的最大值為【答案】ABC【分析】由條件得幾何體的結(jié)構(gòu)特征，分析位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以為等邊三角形，又，所以三棱錐P-ABC為正三棱錐，正三棱錐的側(cè)棱與底面相對(duì)的邊互相垂直，所以PA⊥BC，A正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)镺為的外心，且．所以點(diǎn)P在平面ABC的射影為點(diǎn)O，所以PO⊥平面ABC．又，，，所以為直角三角形，．所以點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，又平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由B項(xiàng)可知PO⊥平面ABC，又平面ABC，所以PO⊥OA，所以∠PAO即為直線PA與平面ABC所成的角．設(shè)外接圓半徑為r，則由正弦定理可得，所以，所以，故，C正確；對(duì)于D項(xiàng)，在中，，，由余弦定理可得，故，所以，所以，在中，由余弦定理可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以．設(shè)三棱錐A-PBC的高為h，因?yàn)?，即，所以．故三棱錐A-PBC的高的最大值為，D錯(cuò)誤．故選：ABC【點(diǎn)睛】三棱錐A-PBC的高不易直接求解，故通過(guò)等體積法間接求解，外接圓半徑問(wèn)題可以與正弦定理相結(jié)合，三角形中最值問(wèn)題可以與余弦定理及基本不等式知識(shí)相結(jié)合.54．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考二模）如圖，圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)均為是底面直徑，點(diǎn)在圓上且，點(diǎn)在母線，點(diǎn)是上底面的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．存在唯一的點(diǎn)，使得B．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為4C．若，則四面體的外接球的表面積為D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為【答案】ACD【分析】對(duì)選項(xiàng)A：作E關(guān)于D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，利用對(duì)稱性與三點(diǎn)共線距離最短求解；對(duì)選項(xiàng)BD：建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)F滿足的條件判斷其軌跡，求其長(zhǎng)度；對(duì)選項(xiàng)C：證明AE中點(diǎn)Q為四面體的外接球的球心即可.【詳解】設(shè)E關(guān)于D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故存在唯一的點(diǎn)，使得，故A正確；由題意知，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)，則，對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為上底面圓的一條弦MN，到MN的距離為1，所以，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其軌跡長(zhǎng)為，故D正確；對(duì)選項(xiàng)C：在中，，為直角三角形，其外心為與的交點(diǎn)，且，而所以，所以Q為四面體的外接球的球心，球半徑為，所以球的表面積為，故C正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)立體幾何中動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題采用幾何法分析難度時(shí)可以用坐標(biāo)法去研究，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程可以方便的判斷出軌跡的形狀，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決.55．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，，為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（

）A．球與圓柱的體積之比為B．四面體CDEF的體積的取值范圍為C．平面DEF截得球的截面面積最小值為D．若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】AD【分析】根據(jù)給定的條件，利用球、圓柱的體積公式計(jì)算判斷A；利用建立函數(shù)關(guān)系判斷B；求出球心O到平面DEF距離的最大值判斷C；令點(diǎn)P在圓柱下底面圓所在平面上的投影點(diǎn)為Q，設(shè)，利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系，求出值域作答.【詳解】對(duì)于A，球的體積為，圓柱的體積，則球與圓柱的體積之比為，A正確；對(duì)于B，設(shè)為點(diǎn)到平面的距離，，而平面經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)，四面體CDEF的體積，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，過(guò)作于，如圖，而，則，又，于是，設(shè)截面圓的半徑為，球心到平面的距離為，則，又，則平面DEF截球的截面圓面積，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的圓柱的母線與下底面圓的公共點(diǎn)為Q，連接，當(dāng)與都不重合時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)與之一重合時(shí)，上式也成立，因此，，則，令，則，而，即，因此，解得，所以的取值范圍為，D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.56．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，半圓面平面，四邊形是矩形，且，，分別是，線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．平面平面B．存在使得C．的軌跡長(zhǎng)度為D．直線與平面所成角的最大值的正弦值為【答案】AB【分析】由面面垂直和線面垂直性質(zhì)可得，結(jié)合，由線面垂直和面面垂直的判定可知A正確；令，過(guò)作于點(diǎn)，若，則平面，可利用表示出，利用勾股定理可構(gòu)造方程求得，知B正確；取BC的中點(diǎn)E，取半圓弧的中點(diǎn)F，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離，求解N點(diǎn)坐標(biāo)活動(dòng)范圍，得出結(jié)果，從而知C錯(cuò)誤；根據(jù)，結(jié)合C中結(jié)論可求得，知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，為直徑，；半圓面平面，半圓面平面，，平面，半圓面，又半圓面，，又，平面，平面，平面，平面平面，A正確；對(duì)于B，如圖，令，過(guò)作于點(diǎn)，連接，若，則平面，則，此時(shí)，，由得：，，，，解得：，存在使得，B正確；對(duì)于C，如下圖，取BC的中點(diǎn)E，取半圓弧的中點(diǎn)F，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，設(shè)，則，設(shè)，則，，又，所以，則.因?yàn)?令，，則，所以，又，所以N點(diǎn)在AC上的軌跡為，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，設(shè)直線與平面所成角為，則，由C選項(xiàng)得：，，D錯(cuò)誤.故選：AB．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的求解，解決存在點(diǎn)滿足某條件、動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度和線面角最值的關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的取值范圍的討論問(wèn)題，借助臨界值來(lái)確定的范圍，進(jìn)而確定所求解結(jié)果.57．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德國(guó)機(jī)械工程專家，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運(yùn)動(dòng)學(xué)》對(duì)機(jī)械元件的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，成為機(jī)械工程方面的名著.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體的棱