第01講 導數(shù)的概念與運算（講義）（原卷版）

第01講導數(shù)的概念與運算目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）了解導數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)．（2）通過函數(shù)圖象，理解導數(shù)的幾何意義．（3）能夠用導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù)．2022年I卷第15題，5分2021年甲卷第13題，5分2021年I卷第7題，5分高考對集合的考查相對穩(wěn)定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．重點考查導數(shù)的計算、四則運算法則的應用和求切線方程為主．知識點一：導數(shù)的概念和幾何性質1、概念函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或．知識點詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；③導數(shù)的本質就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．2、幾何意義函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點處的切線的斜率．3、物理意義函數(shù)在點處的導數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．知識點二：導數(shù)的運算1、求導的基本公式基本初等函數(shù)導函數(shù)（為常數(shù)）2、導數(shù)的四則運算法則（1）函數(shù)和差求導法則：；（2）函數(shù)積的求導法則：；（3）函數(shù)商的求導法則：，則．3、復合函數(shù)求導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)，的導數(shù)間關系為：【解題方法總結】1、在點的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關鍵．2、過點的切線方程設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．題型一：導數(shù)的定義【例1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的導數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【對點訓練1】（2023·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知某容器的高度為20cm，現(xiàn)在向容器內注入液體，且容器內液體的高度h（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關系式為，當時，液體上升高度的瞬時變化率為3cm/s，則當時，液體上升高度的瞬時變化率為（

）A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s【對點訓練2】（2023·河北衡水·高三衡水市第二中學期末）已知函數(shù)的導函數(shù)是，若，則（）A． B．1 C．2 D．4【對點訓練3】（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在處可導，且，則（

）A．1 B． C．2 D．【對點訓練4】（2023·高三課時練習）若在處可導，則可以等于（

）．A． B．C． D．【解題方法總結】對所給函數(shù)式經(jīng)過添項、拆項等恒等變形與導數(shù)定義結構相同，然后根據(jù)導數(shù)定義直接寫出．題型二：求函數(shù)的導數(shù)【例2】（2023·全國·高三專題練習）求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)；(2)；(3)(4)；【對點訓練5】（2023·高三課時練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【對點訓練6】（2023·海南·統(tǒng)考模擬預測）在等比數(shù)列中，，函數(shù)，則__________．【對點訓練7】（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┮阎蓪Ш瘮?shù)，定義域均為，對任意滿足，且，求__________.【對點訓練8】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的導函數(shù)為，且，則______．【對點訓練9】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則__________.【解題方法總結】對所給函數(shù)求導，其方法是利用和、差、積、商及復合函數(shù)求導法則，直接轉化為基本函數(shù)求導問題．題型三：導數(shù)的幾何意義方向1、在點P處切線【例3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預測）曲線在點處的切線方程為__________．【對點訓練10】（2023·全國·高三專題練習）曲線在點處的切線方程為______．【對點訓練11】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，為的導函數(shù).若的圖象關于直線x＝1對稱，則曲線在點處的切線方程為______【對點訓練12】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）若函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______．方向2、過點P的切線【對點訓練13】（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知過原點的直線與曲線相切，則該直線的方程是______．【對點訓練14】（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，過點存在3條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是___________.【對點訓練15】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）過點作曲線的切線，寫出一條切線方程：__________.【對點訓練16】（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預測）過軸上一點作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)的一個可能值為_________．【對點訓練17】（2023·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為___________.【對點訓練18】（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預測）若過點有條直線與函數(shù)的圖象相切，則當取最大值時，的取值范圍為__________.【對點訓練19】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，其導函數(shù)為，則曲線過點的切線方程為______．方向3、公切線【對點訓練20】（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【對點訓練21】（2023·寧夏銀川·銀川一中校考二模）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為___________.【對點訓練22】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是____．【對點訓練23】（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M預測）若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實數(shù)a的取值范圍為__________．【對點訓練24】（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預測）已知曲線與曲線有且只有一條公切線，則________．【對點訓練25】（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預測）已知曲線和曲線有唯一公共點，且這兩條曲線在該公共點處有相同的切線l，則l的方程為________．方向4、已知切線求參數(shù)問題【對點訓練26】（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是______.【對點訓練27】（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）若直線與曲線相切，則的最大值為（）A．0 B．1 C．2 D．【對點訓練28】（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實數(shù)a＝（

）A．0 B． C． D．【對點訓練29】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預測）已知偶函數(shù)在點處的切線方程為，則（

）A． B．0 C．1 D．2【對點訓練30】（2023·全國·高三專題練習）已知是曲線上的任一點，若曲線在點處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練31】（2023·全國·高三專題練習）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4方向5、切線的條數(shù)問題【對點訓練32】（2023·河北·高三校聯(lián)考階段練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【對點訓練33】（2023·全國·高三專題練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【對點訓練34】（2023·湖南·校聯(lián)考二模）若經(jīng)過點可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．或方向6、切線平行、垂直、重合問題【對點訓練35】（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)與的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線平行，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【對點訓練36】（2023·全國·高三專題練習）已知直線與曲線相交于，且曲線在處的切線平行，則實數(shù)的值為（

）A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-3【對點訓練37】（2023·江西撫州·高三金溪一中?？奸_學考試）已知曲線在點處的切線互相垂直，且切線與軸分別交于點，記點的縱坐標與點的縱坐標之差為，則（

）A． B．C． D．【對點訓練38】（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【對點訓練39】（2023·上海閔行·高三上海市七寶中學?？计谀┤艉瘮?shù)的圖像上存在兩個不同的點，使得在這兩點處的切線重合，則稱為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中不是“切線重合函數(shù)”的為（

）A． B．C． D．【對點訓練40】（2023·全國·高三專題練習）已知A，B是函數(shù)，圖象上不同的兩點，若函數(shù)在點A、B處的切線重合，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．方向7、最值問題【對點訓練41】（2023·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（

）A． B．C． D．【對點訓練42】（2023·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【對點訓練43】（2023·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【對點訓練44】（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．16【對點訓練45】（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，其中，．若存在正數(shù)，使得成立，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．1【對點訓練46】（2023·寧夏銀川·銀川二中?？家荒＃┮阎獙崝?shù)滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【對點訓練47】（2023·四川成都·川大附中?？级＃┤酎c是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．方向8、牛頓迭代法【對點訓練48】（2023·湖北咸寧·校考模擬預測）英國數(shù)學家牛頓在17世紀給出一種求方程近似根的方法一Newton-Raphsonmethod譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設是的根，選取作為的初始近似值，過點做曲線的切線：，則與軸交點的橫坐標為，稱是的一次近似值；重復以上過程，得的近似值序列，其中，稱是的次近似值.運用上述方法，并規(guī)定初始近似值不得超過零點大小，則函數(shù)的零點一次近似值為（

）（精確到小數(shù)點后3位，參考數(shù)據(jù)：）A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204【對點訓練49】（多選題）（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：設是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，過點（）作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.對于方程，記方程的根為，取初始近似值為，下列說法正確的是（

）A． B．切線：C． D．【對點訓練50】（多選題）（2023·全國·模擬預測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓法.首先，設定一個起始點，如圖，在處作圖象的切線，切線與軸的交點橫坐標記作：用替代重復上面的過程可得；一直繼續(xù)下去，可得到一系列的數(shù)，，，…，，…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當，近似值相等時，該值即作為函數(shù)的一個零點.若要求的近似值(精確到0.1)，我們可以先構造函數(shù)，再用“牛頓法”求得零點的近似值，即為的近似值，則下列說法正確的是（

）A．對任意，B．若，且，則對任意，C．當時，需要作2條切線即可確定的值D．無論在上取任何有理數(shù)都有【對點訓練51】（2023·全國·高三專題練習）牛頓迭代法（Newton'smethod）又稱牛頓–拉夫遜方法（Newton–Raphsonmethod），是牛頓在17世紀提出的一種近似求方程根的方法．如圖，設是的根，選取作為初始近似值，過點作曲線的切線,與軸的交點的橫坐標（），稱是的一次近似值，過點作曲線的切線，則該切線與軸的交點的橫坐標為，稱是的二次近似值．重復以上過程，直到的近似值足夠小，即把作為的近似解．設，，，，構成數(shù)列．對于下列結論：

①（）；②（）；③；④（）．其中正確結論的序號為__________．【解題方法總結】函數(shù)在點處的導數(shù)，就是曲線在點處的切線的斜率．這里要注意曲線在某