第01講 集合與邏輯（14類核心考點(diǎn)精講精練）解析版

第01講集合與邏輯（14類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年秋考第1題2024春考第21題補(bǔ)集充要條件與函數(shù)綜合2023秋考第13題2023春考第1題元素與集合關(guān)系的判斷集合相等2022年秋考13題、16題2022年春考2題集合的交集、集合與直線和圓綜合集合的交集2021年秋考2題2021年春考14題集合的交集集合的基本運(yùn)算2020年秋考1題2020年春考1題集合的交集集合的包含關(guān)系2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是上海高考卷的必考內(nèi)容，考查形式多樣。填空題1題設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為4分，選擇題考查比較綜合，分值為5分?！緜淇疾呗浴?.理解、掌握集合的表示方法，能夠判斷元素與集合、集合與集合的關(guān)系2.掌握集合交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算和性質(zhì)3.掌握集合與其他知識(shí)綜合應(yīng)用及集合新定義問題4.掌握邏輯用語與其他知識(shí)綜合應(yīng)用【命題預(yù)測】集合仍會(huì)從集合之間的關(guān)系與基本運(yùn)算方向進(jìn)行命制.大概率會(huì)出現(xiàn)其他知識(shí)結(jié)合以及充要條件應(yīng)用問題.知識(shí)講解1.集合的有關(guān)概念（1）集合元素的三大特性：確定性、無序性、互異性．（2）元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為eq\a\vs4\al(∈)；不屬于，記為.（3）集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．（4）五個(gè)特定的集合集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)eq\a\vs4\al(N)N*或N＋eq\a\vs4\al(Z)eq\a\vs4\al(Q)eq\a\vs4\al(R)2.集合間的基本關(guān)系文字語言符號(hào)語言集合間的基本關(guān)系相等集合A與集合B中的所有元素都相同A＝B子集集合A中任意一個(gè)元素均為集合B中的元素A?B真子集集合A中任意一個(gè)元素均為集合B中的元素，且集合B中至少有一個(gè)元素不是集合A中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}4.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩()＝，A∪()＝U，；5．常用結(jié)論（1）空集性質(zhì)：①空集只有一個(gè)子集，即它的本身，???；②空集是任何集合的子集（即??A）；空集是任何非空集合的真子集（若A≠?，則?A）．（2）子集個(gè)數(shù)：若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)，非空真子集有個(gè)．（3）A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?A?B．（4）（5）6.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p7.充分、必要條件與集合的關(guān)系設(shè)p，q成立的對象構(gòu)成的集合分別為A，B．（1）p是q的充分條件?A?B，p是q的充分不必要條件?AB；（2）p是q的必要條件?B?A，p是q的必要不充分條件?BA；（3）p是q的充要條件?A＝B．考點(diǎn)一.元素與集合關(guān)系的判斷1．（2024?楊浦區(qū)校級三模）已知集合，，，，或，則A． B． C． D．，2，【分析】結(jié)合元素與集合的關(guān)系，即可求解．【解答】解：、，、，或，故正確；故選：．【點(diǎn)評】本題以定義理解為載體，主要考查了集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?寶山區(qū)二模）已知集合，，，且，則實(shí)數(shù)的值為0．【分析】由已知結(jié)合元素與集合的關(guān)系即可求解．【解答】解：因?yàn)榧?，，，且，所以或，所以或，?dāng)時(shí)，，1，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，1，，與集合元素的互異性矛盾．故答案為：0．【點(diǎn)評】本題主要考查了元素與集合關(guān)系及集合元素的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?徐匯區(qū)三模）對任意數(shù)集，，，滿足表達(dá)式為且值域?yàn)榈暮瘮?shù)個(gè)數(shù)為．記所有可能的的值組成集合，則集合中元素之和為643．【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的性質(zhì)并作出圖象，求出集合，進(jìn)而求得答案作答．【解答】解：，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值0，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得極小值，圖象如圖，觀察圖象知，當(dāng)，2，與圖象有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的有1種取法，當(dāng)，2，與圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的有種取法，當(dāng)，2，與圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的有種取法，直線，，與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能的取值為：，1，，，1，，，1，，，2，，，2，，，3，，，2，，，3，，，3，，對應(yīng)的函數(shù)個(gè)數(shù)為1，3，7，，，，，，，集合中元素之和為：．故答案為：643．【點(diǎn)評】本題考查元素與集合的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是難題．4．（2023?徐匯區(qū)校級三模）已知集合，其中且，記，且對任意，都有，則的值是或．【分析】根據(jù)兩端區(qū)間和的關(guān)系分三種情況討論：在，，左邊，在，和，之間，在，，右邊三種情況，根據(jù)單調(diào)性可得的值域，從而確定定義域與值域的關(guān)系，列不等式求解即可．【解答】解：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，，上單調(diào)遞減，，，，且，且，，故，即，，，，．②當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)區(qū)間，在左側(cè)，，在右側(cè)，在區(qū)間，上為減函數(shù)，當(dāng)，，，，，，，，，，，，，即，，，此時(shí)區(qū)間，在右側(cè)，當(dāng)，時(shí)，，，，，，，，此時(shí)，解得：，；③當(dāng)，即時(shí)，在，，右邊．此時(shí)在區(qū)間，，上單調(diào)遞減，，，，且，且，，故，即，，，，，不滿足．綜上，的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)評】本題主要考查了根據(jù)單調(diào)性求解值域的問題，需要根據(jù)題意，結(jié)合分式函數(shù)的圖象，依據(jù)端點(diǎn)與特殊值之間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，同時(shí)需要根據(jù)值域的包含關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍．求解過程中需要統(tǒng)一分析，注意不等式之間相似的關(guān)系整體進(jìn)行求解．屬于難題．考點(diǎn)二．集合的表示法5．（2024?楊浦區(qū)校級三模）已知非空集合，滿足以下兩個(gè)條件：（ⅰ），2，3，4，5，，；（ⅱ）的元素個(gè)數(shù)不是中的元素，的元素個(gè)數(shù)不是中的元素，則有序集合對的個(gè)數(shù)為A．10 B．12 C．14 D．16【分析】分別討論集合，元素個(gè)數(shù)，即可得到結(jié)論．【解答】解：若集合中只有1個(gè)元素，則集合中只有5個(gè)元素，則，，即，，此時(shí)有，若集合中只有2個(gè)元素，則集合中只有4個(gè)元素，則，，即，，此時(shí)有，若集合中只有3個(gè)元素，則集合中只有3個(gè)元素，則，，不滿足題意，若集合中只有4個(gè)元素，則集合中只有2個(gè)元素，則，，即，，此時(shí)有，若集合中只有5個(gè)元素，則集合中只有1個(gè)元素，則，，即，，此時(shí)有，故有序集合對的個(gè)數(shù)是，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，根據(jù)元素關(guān)系分別進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．6．（2024?靜安區(qū)二模）中國國旗上所有顏色組成的集合為紅，黃．【分析】結(jié)合集合的表示法，即可求解．【解答】解：中國國旗上所有顏色組成的集合為紅，黃．故答案為：紅，黃．【點(diǎn)評】本題主要考查集合的表示法，屬于基礎(chǔ)題．7．（2023秋?奉賢區(qū)期末）用描述法表示所有偶數(shù)組成的集合，．【分析】根據(jù)描述法的定義即可求出．【解答】解：描述法為：，．故答案為：，．【點(diǎn)評】本題考查了集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023秋?寶山區(qū)校級期末）已知集合，，．（1）若只有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)的值，并用列舉法表示集合；（2）若至少有兩個(gè)子集，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）考慮和且△兩種情況；（2）至少有兩個(gè)子集，則方程由一個(gè)或兩個(gè)根，考慮第一問的結(jié)果和且△兩種情況．【解答】解：（1）時(shí)，，解得符合題意；時(shí)令△解得，此時(shí)，，解得符合題意，故或，或（2）若至少有兩個(gè)子集，則至少有一個(gè)元素．由（1）知或時(shí)符合題意．由題意可知時(shí)若△也符合題意．即解得且．綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的表示方法，考查了集合的元素個(gè)數(shù)，是基礎(chǔ)題．考點(diǎn)三．集合的相等9．（2023秋?普陀區(qū)校級期末）下列表示同一集合的是A．，，， B．， C．， D．，，【分析】直接根據(jù)集合相等的概念進(jìn)行判斷即可．【解答】解：對于選項(xiàng)，由集合元素具有無序性可得：，，，故正確；對于選項(xiàng)，集合表示直線上所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合，而集合表示直線上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值集合，兩者不相同，故不正確；對于選項(xiàng)，點(diǎn)與點(diǎn)是不同的點(diǎn)，故不正確；對于選項(xiàng)，集合中有兩個(gè)元素2和4，而集合中僅有1個(gè)元素，故不正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查集合的相等的概念，考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬中檔題．10．（2023秋?浦東新區(qū)校級期末）若集合，2，，，，則6．【分析】利用集合相等的定義求解．【解答】解：，2，，，，．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查代數(shù)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意集合相等的性質(zhì)的合理運(yùn)用．11．（2023秋?寶山區(qū)校級月考）已知集合，，，，且，則的值為0．【分析】由，，，，且，知，由此能求出實(shí)數(shù)的值，不滿足集合中元素的互異性，舍去．【解答】解：，，，，且，，解得，或．不滿足集合中元素的互異性，舍去．符合題意．故答案是：0．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意集合相等的概念的靈活運(yùn)用．12．（2023秋?閔行區(qū)校級期中）是有理數(shù)集，集合，在下列集合中：①；②，；③，，；④，，．與集合相等的集合序號(hào)是④．【分析】集合相等條件為集合元素相同，根據(jù)此條件分別判斷①②③④四個(gè)集合中元素是否與集合一致即可．【解答】解：對于①．，設(shè)，，，則，不妨取，，可知，而，，顯然，故①的集合與不相等；對于②．令，，，則，顯然，但，，故②的集合與不相等：對于③．當(dāng)，，，時(shí)，，故③的集合與不相等；對于④．令，，，，，，，其中，，，故④的集合與相等．故答案為：④．【點(diǎn)評】本題考查了集合的新定義，關(guān)鍵在于學(xué)生對概念的理解，屬中檔題．考點(diǎn)四．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用13．（2024?長寧區(qū)二模）已知集合，，，3，，若，則2．【分析】由已知結(jié)合集合的包含關(guān)系即可求解．【解答】解：因?yàn)榧希?，?，，若，則．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024?寶山區(qū)校級四模）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【分析】由集合，且，可得，用區(qū)間表示可得的取值范圍．【解答】解：集合，且，，實(shí)數(shù)的取值范圍是：，，故答案為：，【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，其中根據(jù)子集的定義，得到，是解答的關(guān)鍵．考點(diǎn)五．子集與真子集15．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知，集合，若集合恰有8個(gè)子集，則的可能值有幾個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由已知結(jié)合集合元素個(gè)數(shù)與集合子集個(gè)數(shù)的關(guān)系即可求解．【解答】解：因?yàn)?，，，，，因?yàn)榧锨∮?個(gè)子集，所以中含有3個(gè)元素且，結(jié)合誘導(dǎo)公式可知，或．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合元素個(gè)數(shù)與集合子集個(gè)數(shù)的規(guī)律的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024?寶山區(qū)校級四模）考慮，的非空子集，滿足中的元素個(gè)數(shù)等于中的最小元素，例如，，6，8，就滿足此條件．則這樣的子集共有144個(gè)．【分析】列舉出題集合，的所有元素，根據(jù)中元素個(gè)數(shù)等于中的最小元素，確定集合的組成．即可得到滿足條件集合的個(gè)數(shù)．【解答】解：由題意：集合，，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，，非空子集，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，，且中元素個(gè)數(shù)等于中的最小元素，滿足條件有元素集合有：含有元素1的集合就1個(gè)，含有元素2的集合除2以外，再在3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，10個(gè)數(shù)中取1個(gè)數(shù)，有種，含有元素3的集合除3以外，再在4，5，6，7，8，9，10，11，12，9個(gè)數(shù)中取2個(gè)數(shù)，有種，含有元素4的集合除4以外，再在5，6，7，8，9，10，11，12，8個(gè)數(shù)中取3個(gè)數(shù)，有種，含有元素5的集合除5以外，再在6，7，8，9，10，11，12，7個(gè)數(shù)中取4個(gè)數(shù)，有種，含有元素6的集合除6以外，再在7，8，9，10，11，12，6個(gè)數(shù)中取5個(gè)數(shù)，有種，含有元素7，8，9，10，11，12的集合都不符合要求，共種．故答案為：144．【點(diǎn)評】本題主要考查利用集合子集個(gè)數(shù)判斷集合元素個(gè)數(shù)的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題．17．（2024?嘉定區(qū)二模）若規(guī)定集合，1，2，，的子集，，，，為的第個(gè)子集，其中，則的第211個(gè)子集是，1，4，6，．【分析】由可求解．【解答】解：因?yàn)?，所以的?11個(gè)子集是，1，4，6，．故答案為：，1，4，6，．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的新定義問題，屬于中檔題．18．（2024?徐匯區(qū)校級模擬）已知，集合，若集合恰有8個(gè)子集，則的可能值的集合為，．【分析】由已知結(jié)合集合元素個(gè)數(shù)與集合子集個(gè)數(shù)的關(guān)系即可求解．【解答】解：因?yàn)椋?，，，，因?yàn)榧锨∮?個(gè)子集，所以中含有3個(gè)元素且，結(jié)合誘導(dǎo)公式可知，或，則的可能值的集合為，．故答案為：，．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合元素個(gè)數(shù)與集合子集個(gè)數(shù)的規(guī)律的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．考點(diǎn)六．集合中元素個(gè)數(shù)的最值19．（2023秋?普陀區(qū)校級期末）集合，且，則的個(gè)數(shù)是A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根據(jù)條件，且，確定集合的元素．【解答】解：因?yàn)?，且，所以由得．因?yàn)?，所以?，2，3，4，5，6，7，8，共9個(gè)數(shù)值．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查集合元素的確定，比較基礎(chǔ)．20．（2024春?徐匯區(qū)校級月考）設(shè)集合，，且，，則集合中元素個(gè)數(shù)為63．【分析】解出絕對值不等式，可得及的可能取值，即可得解．【解答】解：可得，又，故可為、、、0、1、2、3共七個(gè)數(shù)，可得，又，故可為、、、、0、1、2、3、4共九個(gè)數(shù)，集合中元素個(gè)數(shù)為．故答案為：63．【點(diǎn)評】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于中檔題．21．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）已知集合為非空數(shù)集，定義：，，，，，．（1）若集合，，直接寫出集合，（無需寫計(jì)算過程）；（2）若集合，，，，，且，求證：；（3）若集合，，，記為集合中元素的個(gè)數(shù)，求的最大值．【分析】（1）根據(jù)題目的定義，直接計(jì)算集合，即可；（2）根據(jù)集合相等的概念，能證明；（3）通過假設(shè)集合，，，，，求出對應(yīng)的集合，，通過，建立不等式關(guān)系，求出對應(yīng)的值即可．【解答】解：（1）集合，，，，，，，，集合，4，，集合，．（2）證明：集合，，，，，且，中也只包含4個(gè)元素，即，，，，剩下的元素滿足，；（3）集合，，，記為集合中元素的個(gè)數(shù)，設(shè)集合，，，滿足題意，其中，則，，，，，由容斥原理，，最小的元素為0，最大的元素為，，，解得，實(shí)際上當(dāng)，675，，時(shí)滿足題意．證明如下：設(shè)，，，，，，，則，，，，，，1，2，，，依題意，有，即，的最小值為674，當(dāng)時(shí)，集合中元素最多，即，675，，時(shí)滿足題意，綜上，的最大值為1348．【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算、容斥原理、交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．考點(diǎn)七．集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題22．（2023秋?青浦區(qū)校級月考）設(shè)集合，，若，則的取值范圍是．【分析】將集合化簡為，，根據(jù)，說明兩個(gè)集合沒有公共的元素，再結(jié)合數(shù)軸就能得到正確答案．【解答】解：化簡得，，，，結(jié)合數(shù)軸得，故答案為【點(diǎn)評】本題考查了集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題，屬于基礎(chǔ)題．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決此類問題的常用方法，本題利用了數(shù)軸，使問題變得一目了然．23．（2023秋?青浦區(qū)校級月考）設(shè)集合，，且滿足（1）；（2）若，則．（1）能否為單元集，為什么？（2）求出只含兩個(gè)元素的集合．（3）滿足題設(shè)條件的集合共有幾個(gè)？為什么？能否列舉出來．【分析】（1）不是為單元集，通過題意推出方程，直接求解推出的值即可說明；（2）通過，利用替換，求出只含兩個(gè)元素的集合，說明不存在即可．（3）滿足題設(shè)條件的集合，通過所以必然是12的約數(shù)，然后一一列舉出來，即可．【解答】解：（1）不能，因?yàn)?，且，而，如果是單元素集，必須，解得，其不屬于?自然數(shù)，所以不是為單元集．（2）若，則，，2與13重復(fù)出現(xiàn)，，，同理，7與3，4與5成對出現(xiàn)，，，，，，．（3）有7個(gè)．理由如下：中的元素成對出現(xiàn)，有3對，認(rèn)為為，3，4，5，2，的子集，但7與3，4與5，2與13分別綁在一起，認(rèn)為有3個(gè)元素，而，則有個(gè)，則可能為：，，，，，，，13，7，，，13，4，，，3，4，，，13，7，3，4，．所以滿足條件的共有7個(gè)．【點(diǎn)評】本題是中檔題，考查集合的參數(shù)的討論，集合中元素的性質(zhì)，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．考點(diǎn)八．并集及其運(yùn)算24．（2024?青浦區(qū)校級模擬）若集合，，，則實(shí)數(shù)2．【分析】由已知結(jié)合集合的并集運(yùn)算即可求解．【解答】解：因?yàn)榧?，，，所以．故答案為?．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．25．（2024?黃浦區(qū)二模）集合，，，則，．【分析】由并集運(yùn)算可得．【解答】解：由集合，，，得，．故答案為：，．【點(diǎn)評】本題主要考查并集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．26．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知集合，，則．【分析】直接利用交集運(yùn)算的定義求解．【解答】解：集合，，，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．27．（2024?寶山區(qū)三模）若集合，2，，，2，，則，1，2，3，．【分析】利用并集定義直接求解．【解答】解：集合，2，，，2，，則，1，2，3，．故答案為：，1，2，3，．【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，考查并集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．考點(diǎn)九．交集及其運(yùn)算28．（2024?松江區(qū)校級模擬）已知集合，，則．【分析】根據(jù)交集的定義，解方程組即可得出．【解答】解：解得，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了描述法、列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．29．（2024?浦東新區(qū)校級三模）集合，集合，則，．【分析】可求出集合，，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【解答】解：，，；，．故答案為：，．【點(diǎn)評】考查描述法、區(qū)間的定義，對數(shù)函數(shù)的定義域，以及交集的運(yùn)算．30．（2024?閔行區(qū)校級模擬）已知集合，3，，，，若，則3．【分析】利用交集定義直接求解．【解答】解：集合，3，，，，，，解得．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．31．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知集合，，，則．【分析】根據(jù)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可解集合、，再利用集合的交集運(yùn)算可解．【解答】解：因?yàn)榧?，，，則，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．考點(diǎn)十．交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算32．（2023春?徐匯區(qū)校級期末）已知集合，，．（1）求；（2）求．【分析】分別通過解絕對值不等式，指數(shù)不等式，分式不等式得出集合、、的范圍，再根據(jù)集合運(yùn)算得出結(jié)果．【解答】解：（1）由可得，即，由，可得，解得，即，由，可得，解得，即，故；（2）因?yàn)椋?，所以．【點(diǎn)評】本題考查不等式的解法，集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．33．（2022秋?上海期末）已知全集，集合，．求，．【分析】根據(jù)補(bǔ)集，交集，并集的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：，．，則或，或，則或．【點(diǎn)評】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，交、并、補(bǔ)的定義是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．34．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）定義一種集合運(yùn)算為：或，設(shè)全集為，給定集合與，則僅使用運(yùn)算和、、，可以表示下列集合中的①②③（填序號(hào)）①；②；③．【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算逐個(gè)判斷即可．【解答】解：由定義知的意義是集合的補(bǔ)集與補(bǔ)集的并集，即，則或，或，所以或或，所以，綜上，，，．故答案為：①②③．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合中的新定義問題，解題關(guān)鍵是分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求解決問題，屬于中檔題．35．（2023秋?靜安區(qū)校級月考）設(shè)非空集合，，定義集合．且，則集合是A． B． C． D．【分析】準(zhǔn)確理解新定義，根據(jù)定義先求，再結(jié)合定義求．【解答】解：因?yàn)?，，所以，，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．考點(diǎn)十一．子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換36．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）設(shè)為全集，對集合、，定義運(yùn)算“”，．對于集合，2，3，4，5，6，7，，，2，，，4，，，4，，則，3，5，6，．【分析】根據(jù)條件進(jìn)行交集的運(yùn)算求出，然后根據(jù)““的運(yùn)算即可求出，進(jìn)而求出，4，，然后進(jìn)行補(bǔ)集的運(yùn)算即可求得答案．【解答】解：，2，3，4，5，6，7，，，2，，，4，，，4，，，由題中定義可得，，2，4，5，6，7，，，4，，，3，5，6，．故答案為：，3，5，6，．【點(diǎn)評】考查列舉法的定義，理解定義的““的運(yùn)算，以及交集和補(bǔ)集的運(yùn)算．37．（2023秋?靜安區(qū)校級期中）用（A）表示非空集合中元素的個(gè)數(shù)，設(shè)，若（A），則實(shí)數(shù)的取值范圍，，．【分析】由題意可得：有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解．必然，方程化為：，可得是此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，時(shí)，化為：，分別作出函數(shù)，的圖象．，．由于函數(shù)，的圖象必須有四個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)?shù)膱D象與相切時(shí)，解得，進(jìn)而得出．【解答】解：，（A），則有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解．必然，方程化為：，是此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，時(shí)，化為：，分別作出函數(shù)，的圖象．，．由于函數(shù)，的圖象必須有四個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)?shù)膱D象與相切時(shí)，可得：化為：．聯(lián)立化為：，由△，解得，或．或．實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．故答案為：，，．【點(diǎn)評】本題考查了方程的解法、集合運(yùn)算性質(zhì)、分類討論方法、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．38．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）用（A）表示非空集合中元素的個(gè)數(shù)，定義，若，，，且，設(shè)實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合，則3．【分析】根據(jù)新定義建立關(guān)系討論即可．【解答】解：，，有兩個(gè)元素；，由，當(dāng)有一個(gè)元素時(shí)，滿足題意，此時(shí)方程有一個(gè)解，可得．當(dāng)有3個(gè)元素時(shí)，滿足題意，此時(shí)方程有3個(gè)解，可得：，，那么有一個(gè)解，△，可得．綜上可知實(shí)數(shù)的取得為0，，，夠成集合個(gè)數(shù)為：3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了集合中元素的判斷，新定義的理解，屬于基礎(chǔ)題．39．（2023秋?徐匯區(qū)校級月考）對于集合、，定義集合運(yùn)算且，給出下列三個(gè)結(jié)論：（1）；（2）；（3）若，則．則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【分析】先畫圖，結(jié)合新定義依次判斷即可．【解答】解：對于結(jié)論（1），且，是圖中的第1部分，且，是圖中的第3部分，，故正確；對于結(jié)論（2），是圖中的第1、3部分，也是圖中的第1、3部分，，故正確；對于結(jié)論（3），若，則且，故正確；故選：．【點(diǎn)評】本題考查了集合的定義及運(yùn)用，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．考點(diǎn)十二．Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算40．（2023秋?青浦區(qū)校級月考）如圖，表示全集，，是的子集，則陰影部分所表示的集合是A． B． C． D．【分析】根據(jù)韋恩圖寫出陰影部分的集合表達(dá)式即可．【解答】解：由韋恩圖知：陰影部分為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用圖確定集合的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．41．（2023秋?寶山區(qū)校級月考）如圖，為全集，、、是的三個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是A． B． C． D．【分析】由圖可得，集合表示，的交集與的補(bǔ)集的交集，從而得到答案．【解答】解：由圖可得，集合表示，的交集與的補(bǔ)集的交集，即．故選：．【點(diǎn)評】本題考查交集、補(bǔ)集、韋恩圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．42．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）設(shè)全集，集合，1，3，5，7，，，2，4，5，，則圖中陰影部分表示的集合是，．【分析】根據(jù)集合補(bǔ)集和交集的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)集合，5，，所以圖中陰影部分表示的集合是，．故答案為：，．【點(diǎn)評】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．43．（2023秋?閔行區(qū)校級月考）對班級40名學(xué)生調(diào)查對、兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成的比贊成的多3人，其余的不贊成，另外，對、都不贊成的學(xué)生數(shù)比對、都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人，問對、都贊成的學(xué)生有18人．【分析】贊成的人數(shù)是24人，贊成的人數(shù)為27人，設(shè)對、都贊成的學(xué)生數(shù)為，則對、都不贊成的學(xué)生數(shù)為，設(shè)40名學(xué)生組成的集合為，贊成的學(xué)生全體為集合，贊成集合的學(xué)生全體為集合，作出韋恩圖，能求出結(jié)果．【解答】解：贊成的人數(shù)是人，贊成的人數(shù)為人，設(shè)對、都贊成的學(xué)生數(shù)為，則對、都不贊成的學(xué)生數(shù)為，設(shè)40名學(xué)生組成的集合為，贊成的學(xué)生全體為集合，贊成集合的學(xué)生全體為集合，作出韋恩圖得：由韋恩圖得：，解得．故答案為：18．【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算、韋恩圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．考點(diǎn)十三．充分條件與必要條件44．（2024?閔行區(qū)二模）設(shè)，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【分析】根據(jù)已知條件，“，解出或，再根據(jù)充分必要條件的定義進(jìn)行判斷；【解答】解：，“，或；，可得，或；“”是“”必要不充分條件；故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查充分必要條件的定義，解題的關(guān)鍵是能夠正確求解不等式，此題是一道基礎(chǔ)題；45．（2024?黃浦區(qū)校級三模）設(shè)且，則“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：且，則“函數(shù)在上是減函數(shù)”，所以，“函數(shù)在上是增函數(shù)”所以；顯然且，則“函數(shù)在上是減函數(shù)”，是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．46．（2024?浦東新區(qū)三模）“”，是“”的條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【分析】可看出充分性成立，而舉個(gè)反例說明必要性不成立即可，最后即可得出正確的選項(xiàng)．【解答】解：時(shí)，，即成立，充分性成立；時(shí)，不等式成立，得不出，必要性不成立，“”是“”的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了充分條件和必要條件的定義及判斷方法，是基礎(chǔ)題．47．（2024?長寧區(qū)校級三模）已知角，是的內(nèi)角，則“”是“”的條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【分析】利用三角形的邊角關(guān)系和正弦大量，即可得出“”是“”的充要條件．【解答】解：中，“”等價(jià)于““，也等價(jià)于““，也等價(jià)于“”，其中為外接圓的半徑；所以“”是“”的充要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的邊角關(guān)系判斷問題，是基礎(chǔ)題．48．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）“”是“”的條件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．非充分非必要【分析】分別判斷充分性和必要性是否成立即可．【解答】解：時(shí)，，，所以，充分性成立；時(shí)，或，解得或，此時(shí)都滿足題意，所以必要性不成立；所以“”是“”的充分非必要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了充分與必要條件的判斷問題，也考查了組合數(shù)公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．49．（2024?寶山區(qū)三模）已知數(shù)列為無窮項(xiàng)等比數(shù)列，為其前項(xiàng)的和，“，且”是“，總有”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不必要又不充分條件【分析】根據(jù)已知條件，推得，，，再對分類討論，即可判斷充分性；結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可判斷必要性．【解答】解：若，且，則，，，故，當(dāng)或時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，“，總有”，當(dāng)時(shí)，，，即，綜上所述，恒成立，故充分性成立，“，總有”，則，且，故必要性成立，綜上所述，“，且”是“，總有”的充分必要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．考點(diǎn)十四．命題的真假判斷與應(yīng)用50．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）設(shè)正數(shù)，，不全相等，，函數(shù)．關(guān)于說法①對任意，，，都為偶函數(shù)，②對任意，，，在，上嚴(yán)格單調(diào)增，以下判斷正確的是A．①、②都正確 B．①正確、②錯(cuò)誤 C．①錯(cuò)誤、②正確 D．①、②都錯(cuò)誤【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷方法分析2個(gè)命題，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析2個(gè)命題：對于①，，其定義域?yàn)椋?，則為偶函數(shù)，①正確；對于②，可將展開表示為．考慮．若，其為常值；若，則當(dāng)在上逐漸變大時(shí)，在上逐漸變大，由在上嚴(yán)格單調(diào)增，可知嚴(yán)格增；若，則將視為，類似知嚴(yán)格增．對與亦有類似結(jié)論．鑒于，，不全為1，故在上嚴(yán)格增，②正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，涉及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．51．（2024?松江區(qū)二模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，有以下兩個(gè)命題：①若是公差不為零的等差數(shù)列且，，則是的必要非充分條件；②若是等比數(shù)列且，，則的充要條件是．那么A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，①是真命題 C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列和等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)分析①的真假，由等比數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)分析②的真假，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，對于命題①，是公差不為零的等差數(shù)列，若，則在、、、中，至少有一項(xiàng)為0，假設(shè)，，，必有，反之，在等差數(shù)列中，若，則，，有，則成立，但不成立，故是的必要非充分條件，①正確；對于命題②，若是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，若，時(shí)，有，則，則、中，至少有一項(xiàng)為0，假設(shè)，則有，必有，又由，必有為偶數(shù)且，故，反之，若，則，必有，則有，，則，故若是等比數(shù)列且，，則的充要條件是，②正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．52．（2024?虹口區(qū)模擬）以下四個(gè)命題：①函數(shù)最小值為3；②方程沒有整數(shù)解；③若，則；④不等式的解集為．其中真命題的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析的最小值，可得①錯(cuò)誤，分析函數(shù)的零點(diǎn)情況，可得②正確，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，設(shè)，結(jié)合的單調(diào)性分析可得③正確，舉出反例可得④錯(cuò)誤，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題：對于①，由于，則，即函數(shù)最小值為4，①錯(cuò)誤；對于②，設(shè)，易得在上為增函數(shù)，而（4），（5），則在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間上，故方程，即程沒有整數(shù)解，②正確；對于③，由于，則有，設(shè)，易得在上為增函數(shù)，必有，③正確；對于④，當(dāng)時(shí)，，即在不等式的解集內(nèi)，④錯(cuò)誤；4個(gè)命題中正確的有2個(gè)．故選：．【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，涉及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．53．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）若非空實(shí)數(shù)集中存在最大元素和最小元素，則記△．下列命題中正確的是A．已知，，，，且△△，則 B．已知，，，若△，則對任意，，都有 C．已知，，，則存在實(shí)數(shù)，使得△ D．已知，，，，則對任意的實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得△【分析】直接利用信息的應(yīng)用和賦值法的應(yīng)用利用函數(shù)的恒成立問題和存在性問題的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．【解答】解：對于：已知，，，，且△△，則，故錯(cuò)誤；對于：由于△知：，，則（1）（1）且但是不一定成立，比如，，故錯(cuò)誤；對于：由題意知：，，當(dāng)或時(shí)，（a），當(dāng)時(shí)，（a），當(dāng)時(shí)，，綜上所述，△，故錯(cuò)誤；對于：取，易知△，對于任意的實(shí)數(shù)，總存在使之成立，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：信息題，賦值法的應(yīng)用，恒成立問題，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．54．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）能夠使得命題“曲線上存在四個(gè)點(diǎn)，，，滿足四邊形是正方形”為真命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值為或的任意實(shí)數(shù)．【分析】由題意可設(shè)，，由對稱性可得，，，可得，代入曲線方程，由雙曲線的范圍，解不等式即可得到所求值．【解答】解：曲線上存在四個(gè)點(diǎn)，，，滿足四邊形是正方形，可設(shè)，，由對稱性可得，，，則，即，即，由曲線的方程可得，即有解，即有，可得，解得或，故答案為：或的任意實(shí)數(shù)．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線方程和性質(zhì)，主要是范圍的運(yùn)用，考查對稱性和不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．一．選擇題（共9小題）1．（2023?徐匯區(qū)二模）設(shè)，則是為純虛數(shù)的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【分析】由充分必要條件的判斷方法，結(jié)合兩復(fù)數(shù)和為純虛數(shù)的條件判斷．【解答】解：對于復(fù)數(shù)，若，不一定為純虛數(shù)，可以為0，反之，若為純虛數(shù)，則．“”是“為純虛數(shù)”的必要非充分條件．故選：．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查了充分必要條件的判斷方法，是基礎(chǔ)題．2．（2024?寶山區(qū)校級四模）設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為，則“，”是“為嚴(yán)格增數(shù)列”的條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【分析】舉出反例分別判斷充分性及必要性即可判斷．【解答】解：無窮等比數(shù)列的公比為，則，時(shí)，不一定為嚴(yán)格增數(shù)列，例如，即充分性不成立；當(dāng)為嚴(yán)格增數(shù)列時(shí)，不一定滿足，，例如，即必要性不成立．故選：．【點(diǎn)評】本題以充分必要條件的判斷為載體，主要考查了等比數(shù)列單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?虹口區(qū)校級三模）若、為實(shí)數(shù)，則“”是“直線與直線平行”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【分析】由已知結(jié)合直線平行的條件先求出兩直線平行時(shí)的，滿足的條件，進(jìn)而判斷充分及必要性．【解答】解：若直線與直線平行，則且，即，時(shí)，直線與直線平行，當(dāng)，時(shí)，兩直線重合，故“”是“直線與直線平行”的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線平行條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?浦東新區(qū)校級模擬）設(shè)點(diǎn)滿足，則“”是“為定值”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)幾何意義，將所求式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而研究圖像求解．【解答】解：若為定值，即點(diǎn)到直線，兩條直線距離之和為定值，顯然，這兩條直線平行，如圖，所以當(dāng)點(diǎn)在與這兩條直線平行的直線上時(shí)，此時(shí)直線滿足且，即，且，，為定值，所以“”是“為定值”的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)評】本題考查充分條件與必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．5．（2023?嘉定區(qū)校級三模）已知函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)是，那么“函數(shù)在上嚴(yán)格遞增”是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【分析】利用充分條件和必要條件的定義直接判斷．【解答】解：充分性：因?yàn)楹瘮?shù)在上嚴(yán)格遞增，所以．即充分性成立；必要性：取特殊函數(shù)，有符合“”，但是不符合“函數(shù)在上嚴(yán)格遞增”．即必要性不滿足．所以已知函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)是，那么“函數(shù)在上嚴(yán)格遞增”是“”的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．6．（2023?長寧區(qū)校級三模）已知是兩個(gè)非零向量，那么“”是“存在，使得”成立的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【分析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可．【解答】解：若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，故，又因?yàn)?，所以存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分條件，若，且，則與方向相同，故此時(shí)，所以“”是“存在，使得”的必要條件，故“”是“存在，使得”的充要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，考查了向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?黃浦區(qū)校級三模）在區(qū)間上，是函數(shù)在該區(qū)間嚴(yán)格增的條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【分析】根據(jù)題意利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對兩個(gè)條件進(jìn)行正反推理論證，可得它們之間的充分和必要關(guān)系，進(jìn)而得出正確答案．【解答】解：當(dāng)在區(qū)間上成立時(shí)，函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)在該區(qū)間單調(diào)遞增時(shí)，可能，此時(shí)不成立，比如函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，但，而不是．綜上所述，是函數(shù)在該區(qū)間嚴(yán)格增的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、充要條件的定義與判斷等知識(shí)，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023?虹口區(qū)校級三模）設(shè)是兩個(gè)非零向量的夾角，若對任意實(shí)數(shù)，的最小值為1．命題：若確定，則唯一確定；命題：若確定，則唯一確定．下列說法正確的是A．命題是真命題，命題是假命題 B．命題是假命題，命題是真命題 C．命題和命題都是真命題 D．命題和命題都是假命題【分析】根據(jù)若對任意實(shí)數(shù)，的最小值為1．構(gòu)造二次函數(shù)，求出最值關(guān)系，建立方程進(jìn)行判斷即可．【解答】解：若對任意實(shí)數(shù)，的最小值為1，恒成立，設(shè)，則判別式△恒成立，即函數(shù)的最小值為，若確定，則確定，但有可能是銳角也可能是鈍角，即不確定，即是假命題．若確定，則，即唯一確定，即是真命題．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)向量模長的最值關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，建立方程進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．9．（2023?徐匯區(qū)三模）已知不等式有實(shí)數(shù)解．命題①：設(shè)，是的兩個(gè)解，則和；命題②：設(shè)是的一個(gè)解，若也成立，則，下列說法正確的是A．命題①、②都成立 B．命題①、②都不成立 C．命題①成立，命題②不成立 D．命題①不成立，命題②成立【分析】根據(jù)一元二次不等式與二次方程以及二次函數(shù)之間的關(guān)系，以及考慮特殊情況通過排除法確定選項(xiàng)．【解答】解：當(dāng)且△時(shí)，的解為全體實(shí)數(shù)，故對任意的，，與的關(guān)系不確定，例如：，取，，而，所以，故結(jié)論①不成立．當(dāng)且△時(shí)，的解為或，其中，是的兩個(gè)根．當(dāng)，時(shí)，，但值不確定，比如：，取，則，但，故結(jié)論②不成立．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬中檔題．二．填空題（共13小題）10．（2023?虹口區(qū)校級模擬）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)1．【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，建立方程，即可求解．【解答】解：，，且，，．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查素與集合的關(guān)系，方程思想，屬基礎(chǔ)題．11．（2023?松江區(qū)校級模擬）已知集合，1，，，3，，則，1，3，．【分析】根據(jù)并集的定義即可得到答案．【解答】解：集合，1，，，3，，，1，3，；故答案為：，1，3，．【點(diǎn)評】本題考查了集合并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知集合，2，3，，，則，．【分析】由集合交集的定義求解即可．【解答】解：因?yàn)榧希?，3，，，則，．故答案為：，．【點(diǎn)評】本題考查了集合的運(yùn)算，主要考查了集合交集的求解，解題的關(guān)鍵是掌握交集的定義，屬于基礎(chǔ)題．13．（2023?徐匯區(qū)校級模擬）已知集合，集合，0，1，，則，．【分析】首先解分式不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得．【解答】解：由，即，等價(jià)于，解得或，所以，又，0，1，，所以，．故答案為：，．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024?楊浦區(qū)校級三模）已知集合，，則．【分析】先求出集合，，再結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合，或，故．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?閔行區(qū)二模）集合，，，，則，．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合，，，，，．故答案為：，．【點(diǎn)評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．16．（2023?寶山區(qū)校級模擬）設(shè)集合，則集合，0，1，．【分析】解分式不等式得到，進(jìn)而求出交集．【解答】解：，即，解得，故，則，0，1，．故答案為：，0，1，．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合交集運(yùn)算及分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題．17．（2023?楊浦區(qū)二模）集合，，，則．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的運(yùn)算，即可求解．【解答】解：，，，，則．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．18．（2023?浦東新區(qū)校級模擬）已知全集，，集合，則，．【分析】根據(jù)全集和集合的范圍，由補(bǔ)集概念直接得出結(jié)論．【解答】解：因?yàn)槿?，，集合，所以，．故答案為：，．【點(diǎn)評】本題考查集合的補(bǔ)集運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．19．（2023?黃浦區(qū)校級三模）若全集為，集合，，則．【分析】先求出集合，，再求出，再利用集合的運(yùn)算即可得出結(jié)果．【解答】解：因?yàn)?，由，得到，即，又，易知，所以，所以，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的交集及補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．20．（2023?嘉定區(qū)校級三模）設(shè)集合，，則．【分析】先解對數(shù)不等式求出，再利用交集運(yùn)算求解即可．【解答】解：，，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)不等式的解法，交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．21．（2023?徐匯區(qū)校級三模）已知全集，集合，0，1，，，則，．【分析】由已知直接利用交集運(yùn)算得答案．【解答】解：因?yàn)槿?，集合?，1，，，則，則，．故答案為：，．【點(diǎn)評】本題考查交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．22．（2023?徐匯區(qū)校級三模）設(shè)全集為，，則或．【分析】解絕對值不等式（利用初中已學(xué)知識(shí)）得到集合，寫出補(bǔ)集即可．【解答】解：，則集合的補(bǔ)集或．故答案為：或．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．一．選擇題（共5小題）1．（2023秋?金山區(qū)期末）設(shè)集合，2，，，、均為的非空子集（允許．中的最大元素與中的最小元素分別記為、，則滿足的有序集合對的個(gè)數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)子集的個(gè)數(shù)，先求解的有序集合對的個(gè)數(shù)，然后用總個(gè)數(shù)減去即可求解．【解答】解：對于給定的，集合是集合，2，，的任意一個(gè)子集與的并，故有種不同的取法，又，所以，，，的任意一個(gè)非空子集，共有種取法，因此，滿足的有序集合對的個(gè)數(shù)為，由于有序?qū)τ袀€(gè)，因此滿足的有序集合對的個(gè)數(shù)為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查集合中元素的個(gè)數(shù)問題，屬于中檔題．2．（2023?浦東新區(qū)校級三模）對于兩個(gè)實(shí)數(shù)，，設(shè)則“”是“函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對稱”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性求解參數(shù)，再利用充要條件的概念判斷即可．【解答】解：如圖，在同一個(gè)坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)與的圖象，則函數(shù)，的圖象為兩個(gè)圖象中較低的一個(gè)，即為圖象中實(shí)線部分，根據(jù)圖象令，解得，分析可得其圖象關(guān)于直線對稱，要使函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對稱，所以“”是“函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對稱”的充分必要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)圖象的對稱性以及充要條件的概念，屬于中檔題．3．（2022?閔行區(qū)二模）已知、、是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，點(diǎn)滿足為實(shí)常數(shù)，現(xiàn)有下述兩個(gè)命題：（1）當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)存在且是唯一的；（2）當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)不存在．則說法正確的一項(xiàng)是A．命題（1）和（2）均為真命題 B．命題（1）為真命題，命題（2）為假命題 C．命題（1）和（2）均為假命題 D．命題（1）為假命題，命題（2）為真命題【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算和共線向量的基本定理的應(yīng)用判斷（1）和（2）命題的真假．【解答】解：對于（1）：當(dāng)時(shí)，由，整理得：；整理得：，由于和不共線，由向量基本定理得：滿足條件的點(diǎn)存在且是唯一的，故（1）為真命題；對于（2）：當(dāng)時(shí)，整理得，所以，所以和共線；所以、、三點(diǎn)共線；與、、是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)出現(xiàn)矛盾，故滿足條件的點(diǎn)不存在，故（2）為真命題；故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理，向量的共線的充要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．4．（2023?閔行區(qū)校級一模）已知是等差數(shù)列，，且存在正整數(shù)，使得對任意的正整數(shù)都有．若集合，中只含有4個(gè)元素，則的取值不可能是A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)為等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)，根據(jù)題意列出，之間的關(guān)系，進(jìn)而找到兩個(gè)數(shù)列基本量之間的關(guān)系，分別就，，，四種情況討論，選出符合題意的值，進(jìn)而判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，則，，由題知，存在正整數(shù)，使得，，若集合有4個(gè)不同元素，則，當(dāng)時(shí)，，即，即，，所以，或，，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，各項(xiàng)均唯一，所以，舍去，故解得，取時(shí)，，此時(shí)在單位圓上的4等分點(diǎn)可取到4個(gè)不同的正弦值，即集合可取4個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，，即，即，，所以，或，，（舍，故解得，此時(shí)在單位圓上的5等分點(diǎn)，取到的，，，，，不可能取到4個(gè)不同的正弦值，故不成立，同理可得當(dāng)，時(shí)，集合可取4個(gè)元素．故選：．【點(diǎn)評】本題考查集合間的基本關(guān)系，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題，5．（2020?浦東新區(qū)二模）設(shè)集合，2，3，，，設(shè)集合是集合的非空子集，中的最大元素和最小元素之差稱為集合的直徑．那么集合所有直徑為71的子集的元素個(gè)數(shù)之和為A． B． C． D．【分析】先確定集合中最大元素最小元素，集合中元素最多為72個(gè)，即可求出集合中包含，的所有子集元素之和個(gè)數(shù)為，再數(shù)出組合的個(gè)數(shù)即可求出．【解答】解：設(shè)集合中最大元素為，最小元素為，所以滿足的組合有個(gè)，集合中元素最多為72個(gè)，而集合中包含，所有子集元素之和個(gè)數(shù)為，設(shè)，則，所以，即，因此，集合所有直徑為71的子集的元素個(gè)數(shù)之和為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查集合的子集個(gè)數(shù)的求法以及二項(xiàng)式定理性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．二．填空題（共4小題）6．（2024春?寶山區(qū)校級期中）已知全集，，集合，為的子集，則有序集合一共有16組．【分析】可求出集合共4個(gè)子集，然后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可得出有序集合的組數(shù)．【解答】解：的子集有個(gè)，有4種選法，有4種選法，共組．故答案為：16．【點(diǎn)評】本題考查了子集的定義，子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，分步計(jì)數(shù)原理，是中檔題．7．（2022?楊浦區(qū)模擬）已知，，則．【分析】求出與中不等式的解集分別確定出與，找出兩集合的交集即可．【解答】解：集合中不等式，當(dāng)時(shí)，解得：，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，解得：，無解，，集合中不等式變形得：，即，解得：，即，則，故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．8．（2023秋?普陀區(qū)校級期末）已知全集，2，3，4，，集合，3，，則，．【分析】利用集合的補(bǔ)集運(yùn)算即可得解．【解答】解：因?yàn)椋?，3，4，，，3，，所以，．故答案為：，．【點(diǎn)評】本題主要考查補(bǔ)集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．9．（2023?徐匯區(qū)三模）對任意數(shù)集，，，滿足表達(dá)式為且值域?yàn)榈暮瘮?shù)個(gè)數(shù)為．記所有可能的的值組成集合，則集合中元素之和為643．【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的性質(zhì)并作出圖象，求出集合，進(jìn)而求得答案作答．【解答】解：，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值0，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得極小值，圖象如圖，觀察圖象知，當(dāng)，2，與圖象有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的有1種取法，當(dāng)，2，與圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的有種取法，當(dāng)，2，與圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的有種取法，直線，，與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能的取值為：，1，，，1，，，1，，，2，，，2，，，3，，，2，，，3，，，3，，對應(yīng)的函數(shù)個(gè)數(shù)為1，3，7，，，，，，，集合中元素之和為：．故答案為：643．【點(diǎn)評】本題考查元素與集合的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是難題．三．解答題（共1小題）10．（2021?黃浦區(qū)三模）集合，；，，2，，集合，，若集合中元素個(gè)數(shù)為，且所有元素從小到大排列后是等差數(shù)列，則稱集合為“好集合”．（1）判斷集合，2，、，2，3，是否為“好集合”；（2）若集合，3，5，是“好集合”，求的值；（3）“好集合”的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）求出，對應(yīng)的；（2）寫出對應(yīng)的，根據(jù)該數(shù)列為等差數(shù)列得出，即可得到的值；（3）首先觀察元素個(gè)數(shù)為4滿足題意，然后證明和時(shí)不符合題意即可．【解答】解：（1）因?yàn)椋?，對應(yīng)的，4，，故是“好集合”，因?yàn)椋?，3，對應(yīng)的，4，5，6，，元素個(gè)數(shù)，故不是“好集合”；（2）由于，3，5，對應(yīng)的，6，8，，，，而，故中元素從小到大的順序?yàn)?，6，8，，，或4，6，，8，，，因?yàn)樵摂?shù)列為等差數(shù)列，所以公差，所以，所以；（3）“好集合”的元素個(gè)數(shù)存在最大值4，由（2）知，，3，5，即為“好集合”，先證明都不是“好集合”，不妨設(shè)，記，中的所有元素從小到大排列為構(gòu)成的數(shù)列公差為，顯然，，所以，假設(shè)，①當(dāng)時(shí)，可得，所以，，所以，，，在此后的兩項(xiàng)之和中，最小，所以，所以，余下的項(xiàng)中，和較小，因?yàn)?，所以，，則，而，這與“中元素個(gè)數(shù)為”矛盾；②當(dāng)時(shí)，可得，，余下的項(xiàng)中，和較小，若，則，所以，這與“中元素個(gè)數(shù)為”矛盾，若，則，所以，所以，，在此后的兩項(xiàng)之和中，最小，所以，所以，同理，所以，這與“中元素個(gè)數(shù)為”矛盾；綜上，假設(shè)不成立，所以，當(dāng)時(shí)，顯然，，，，所以，則，，所以，，若，由，得，所以，這與“中元素個(gè)數(shù)為”矛盾；所以，由，所以，，，因?yàn)?，所以，所以，，，成等差?shù)列，故，這與“中元素個(gè)數(shù)為”矛盾，所以不符合題意，綜上所述：“好集合”的元素個(gè)數(shù)存在最大值4．【點(diǎn)評】本題考查了集合的互異性和等差數(shù)列的性質(zhì)，首先需要觀察出不能出現(xiàn)重復(fù)元素，通過這個(gè)作為切入點(diǎn)進(jìn)行求解，需要很強(qiáng)的邏輯思維能力，屬于難題．一．選擇題1．（2022?上海）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，則A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1}【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：∵A＝[﹣1，2），B＝Z，∴A∩B＝{﹣1，0，1}，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了集合的交集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．2．（2021?上海）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，則下列關(guān)系中，正確的是（）A．A?B B．?RA??RB C．A∩B＝? D．A∪B＝R【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算對每一