第01講 三角函數(shù)的概念與誘導公式（練習）（解析版）

第01講三角函數(shù)的概念與誘導公式（模擬精練+真題演練）1．（2023·江蘇揚州·揚州中學校考模擬預測）在平面直角坐標系中，如圖所示，將一個半徑為1的圓盤固定在平面上，圓盤的圓心與原點重合，圓盤上纏繞著一條沒有彈性的細線，細線的端頭（開始時與圓盤上點重合）系著一支鉛筆，讓細線始終保持與圓相切的狀態(tài)展開，切點為，細繩的粗細忽略不計，當時，點與點之間的距離為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】展開過程中：,,故選：D.2．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作．其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積（弦×矢+矢×矢）．弧田（如圖）由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為，半徑為的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積約是（

）（精確到）

A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，弦(m)，矢(m)，則弧田面積=()，所以弧田面積約是.故選：A3．（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預測）中國古代數(shù)學專著《九章算術》的第一章“方田”中載有“半周半徑相乘得積步”，其大意為：圓的半周長乘以其半徑等于圓面積.南北朝時期杰出的數(shù)學家祖沖之曾用圓內(nèi)接正多邊形的面積“替代”圓的面積，并通過增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n使得正多邊形的面積更接近圓的面積，從而更為“精確”地估計圓周率π.據(jù)此，當n足夠大時，可以得到π與n的關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設圓的半徑為，將內(nèi)接正邊形分成個小三角形，由內(nèi)接正邊形的面積無限接近圓的面即可得：，解得：.故選：A.4．（2023·北京海淀·北大附中?？既＃┤鐖D，點為角的終邊與單位圓的交點，（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由單位圓可知，，且為第一象限角，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系可得，所以，所以.故選：D5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學校考模擬預測）如圖，的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】

設，則，，因，則，故，，故選：B6．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，即，所以，即，所以，故選：C．7．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得：，所以.故選：A8．（2023·寧夏銀川·統(tǒng)考模擬預測）在平面直角坐標系中，角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，現(xiàn)將角的終邊繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)與單位圓交點的縱坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，所以，則.故選：A.9．（多選題）（2023·吉林·統(tǒng)考二模）如圖，A，B是在單位圓上運動的兩個質(zhì)點.初始時刻，質(zhì)點A在（1，0）處，質(zhì)點B在第一象限，且.質(zhì)點A以的角速度按順時針方向運動，質(zhì)點B同時以的角速度按逆時針方向運動，則（

）A．經(jīng)過1后，扇形AOB的面積為B．經(jīng)過2后，劣弧的長為C．經(jīng)過6后，質(zhì)點B的坐標為D．經(jīng)過后，質(zhì)點A，B在單位圓上第一次相即【答案】BD【解析】對于，由題意可知：經(jīng)過1后，，所以此時扇形AOB的面積為，故選項錯誤；對于，經(jīng)過2后，，所以此時劣弧的長為，故選項正確；對于，經(jīng)過6后，質(zhì)點轉(zhuǎn)過的角度為，結合題意，此時質(zhì)點為角的終邊與單位圓的交點，所以質(zhì)點B的坐標為，故選項錯誤；對于，經(jīng)過后，質(zhì)點轉(zhuǎn)過的角度為，質(zhì)點轉(zhuǎn)過的角度為，因為，所以經(jīng)過后，質(zhì)點，在單位圓上第一次相遇，故選項正確，故選：.10．（多選題）（2023·云南紅河·彌勒市一中?？寄M預測）下列說法正確的是（

）A．角終邊在第二象限或第四象限的充要條件是B．圓的一條弦長等于半徑，則這條弦所對的圓心角等于C．經(jīng)過小時，時針轉(zhuǎn)了D．若角和角的終邊關于對稱，則有【答案】ABD【解析】對于A，因為角終邊在第二象限或第四象限，此時終邊上的點的橫坐標和縱坐標異號，故；因為，所以或，故角終邊上點坐標對應為：或即或，所以角終邊在第二象限或第四象限，綜上，角終邊在第二象限或第四象限的充要條件是，故A正確對于B，圓的一條弦長等于半徑，故由此弦和兩條半徑構成的三角形是等邊三角形，所以弦所對的圓心角為，故B正確；對于C，鐘表上的時針旋轉(zhuǎn)一周是，其中每小時旋轉(zhuǎn)，所以經(jīng)過4小時應旋轉(zhuǎn)，故C錯誤；對于D，角和角的終邊關于直線對稱，則，，故D正確故選：ABD11．（多選題）（2023·吉林長春·吉林省實驗?？寄M預測）如圖所示，設單位圓與x軸的正半軸相交于點，以x軸非負半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，P，則下列說法正確的是（

）A．B．扇形的面積為C．D．當時，四邊形的面積為【答案】ACD【解析】由題意圓的半徑選項A：由題意得所以所以，故A正確；選項B：因為，所以扇形的面積，故B錯誤；選項C，故C正確；選項D：因為，所以故D正確故選：ACD.12．（多選題）（2023·浙江金華·浙江金華第一中學校考模擬預測）已知，，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對于A：因為所以即，所以A正確;對于B、C：因為，且，所以，即，所以所以B錯誤，C正確;對于D：聯(lián)立，解得所以，所以D正確.故選：ACD.13．（2023·上海徐匯·位育中學?？寄M預測）已知為銳角，若，則________．【答案】【解析】，所以，因為為銳角，所以，，故答案為：14．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知，則_______．【答案】【解析】，故答案為：15．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知為銳角，滿足，則________．【答案】2【解析】因為，整理得，解得或，又因為為銳角，則，所以.故答案為：2.16．（2023·上海徐匯·南洋中學?？既＃┮阎粋€半徑為4的扇形圓心角為，面積為，若，則_____．【答案】/0.5【解析】已知扇形半徑為，圓心角為，∵扇形面積，∴，∴，解得：.故答案為：.1．（2022?甲卷）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”．如圖，是以為圓心，為半徑的圓弧，是的中點，在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值的計算公式：．當，時，A． B． C． D．【答案】【解析】，，，是的中點，在上，，延長可得在上，，．故選：．2．（2020?上海）“”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】【解析】（1）若，則，““是““的充分條件；（2）若，則，得不出，“”不是“”的必要條件，“”是“”的充分非必要條件．故選：．3．（2021?甲卷）若，，則A． B． C． D．【答案】【解析】由，得，即，，，則，解得，則，．故選：．4．（2020?新課標Ⅱ）若為第四象限角，則A． B． C． D．【答案】【解析】為第四象限角，則，，則，是第三或第四象限角或為軸負半軸上的角，，故選：．5．（2020?新課標Ⅰ）已知，且，則A． B． C． D．【答案】【解析】由，得，即，解得（舍去），或．，，，則．故選：．6．（2023?乙卷）若，，則．【答案】．【解析】，，令，，設終邊上一點的坐標，則，則．故答案為：．7．（2022?浙江）若，，則，．【答案】；．【解析】，，，，，，解得，，．故答