第02講 常用邏輯用語（五大題型）（講義）（解析版）

第02講常用邏輯用語目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識點(diǎn)1：充分條件、必要條件、充要條件 4知識點(diǎn)2：全稱量詞與存在量詞 4知識點(diǎn)3：含有一個量詞的命題的否定 5解題方法總結(jié) 5題型一：充分條件與必要條件的判斷 6題型二：根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍 8題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假 10題型四：根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍 11題型五：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定 1304真題練習(xí)·命題洞見 1505課本典例·高考素材 1706易錯分析·答題模板 19易錯點(diǎn)：混淆充分條件與必要條件 19答題模板：充分條件與必要條件的判斷 19

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計考情分析（1）必要條件、充分條件、充要條件；（2）全稱量詞與存在量詞；（3）全稱量詞命題與存在量詞命題的否定．2024年新高考II卷第2題，5分2023年新高考I卷第7題，5分2023年天津卷第2題，5分2023年全國甲卷第7題，5分2022年天津卷第2題，5分2021年全國甲卷第7題，5分從近幾年高考命題來看，常用邏輯用語沒有單獨(dú)命題考查，偶爾以已知條件的形式出現(xiàn)在其他考點(diǎn)的題目中．重點(diǎn)關(guān)注如下兩點(diǎn)：（1）集合與充分必要條件相結(jié)合問題的解題方法；（2）全稱命題與存在命題的否定和以全稱命題與存在命題為條件，求參數(shù)的范圍問題．復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；2、理解判定定理與充分條件的關(guān)系、性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系；3、理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進(jìn)行否定．

知識點(diǎn)1：充分條件、必要條件、充要條件1、定義如果命題“若，則”為真（記作），則是的充分條件；同時是的必要條件．2、從邏輯推理關(guān)系上看（1）若且，則是的充分不必要條件；（2）若且，則是的必要不充分條件；（3）若且，則是的的充要條件（也說和等價）；（4）若且，則不是的充分條件，也不是的必要條件．對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實(shí)質(zhì)：，則是的充分條件，同時是的必要條件．所謂“充分”是指只要成立，就成立；所謂“必要”是指要使得成立，必須要成立（即如果不成立，則肯定不成立）．【診斷自測】（2024·北京西城·二模）已知．則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以充分性成立，取，滿足，但，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.知識點(diǎn)2：全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞與全稱量詞命題．短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示．含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題．全稱量詞命題“對中的任意一個，有成立”可用符號簡記為“”，讀作“對任意屬于，有成立”．（2）存在量詞與存在量詞命題．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示．含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題．存在量詞命題“存在中的一個，使成立”可用符號簡記為“”，讀作“存在中元素，使成立”（存在量詞命題也叫存在性命題）．【診斷自測】下列命題中的假命題是(

)A．R B．RC．R D．R【答案】C【解析】因?yàn)椋赃x項A、B均為真命題，選項C為假命題；因?yàn)樵赗上的值域可知，所以D為真命題；故選：C知識點(diǎn)3：含有一個量詞的命題的否定（1）全稱量詞命題的否定為，．（2）存在量詞命題的否定為．【診斷自測】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知命題，則為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，可得：命題的否定為：為．故選：C．解題方法總結(jié)1、從集合與集合之間的關(guān)系上看設(shè)．（1）若，則是的充分條件（），是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；簡記：“小大”．（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；（3）若，則與互為充要條件．2、常見的一些詞語和它的否定詞如下表原詞語等于大于小于是都是任意（所有）至多有一個至多有一個否定詞語不等于小于等于大于等于不是不都是某個至少有兩個一個都沒有（1）要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合中的每一個元素證明其成立，要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合中的一個，使得其不成立即可．（2）要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合中能找到一個使之成立即可，否則這個存在量詞命題就是假命題．題型一：充分條件與必要條件的判斷【典例1-1】（2024·浙江寧波·二模）已知平面，則“”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由于，所以，若，則，，故充分性成立，若，，設(shè)，，則存在直線使得，所以，由于，故，同理存在直線使得，所以，由于，故，由于不平行，所以是平面內(nèi)兩條相交直線，所以，故必要性成立，故選：C【典例1-2】（2024·湖南·二模）已知實(shí)數(shù)，則下列選項可作為的充分條件的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】取，，滿足，但是推不出，故排除A；取，，滿足，但是推不出，故排除B；取，，滿足，但是推不出，故排除D；由，，可推出，即，即，故充分性成立.故選：C.【方法技巧】1、要明確推出的含義，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立．2、充分必要條件在面對集合問題時，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．【變式1-1】（2024·遼寧沈陽·二模）已知向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，，即，故，解得.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A【變式1-2】（2024·福建福州·模擬預(yù)測）設(shè)，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時，或，則，即充分性成立；當(dāng)時，，則，即必要性成立；綜上可知，“”是“”的充要條件.故選：C.【變式1-3】（多選題）已知p是r的充分而不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，下列命題正確的是（

）A．r是q的充分條件 B．p是q的充分條件C．r是q的必要而不充分條件 D．r是s的充分而不必要條件【答案】AB【解析】由已知得，，，，所以且，故A正確，C不正確；，B正確；且，D不正確．故選:AB．題型二：根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍【典例2-1】設(shè)，，若“”是“”的充要條件，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解不等式可得，由題意可知，，因此，.故選：C.【典例2-2】給出如下三個條件：①充要②充分不必要③必要不充分.請從中選擇補(bǔ)充到下面橫線上.已知集合，，存在實(shí)數(shù)使得“”是“”的條件.【答案】②，③【解析】①“”是“”的充要條件，則，，此方程無解，故不存在實(shí)數(shù)，則不符合題意；②“”是“”的充分不必要條件時，，，；解得，符合題意；③“”是“”的必要不充分條件時，當(dāng)，，得；當(dāng)，需滿足，，，解集為；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍.故答案為：②，③.【方法技巧】1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含關(guān)系．2、把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式求解.在充分必要條件求解參數(shù)取值范圍時，要注意端點(diǎn)能否能取到，容易出錯．【變式2-1】已知命題“方程至少有一個負(fù)實(shí)根”，若為真命題的一個必要不充分條件為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】若命題“方程至少有一個負(fù)實(shí)根”為真命題，時，，符合題意；當(dāng)時，，且，則此時方程有一個正根和一個負(fù)根，符合題意；當(dāng)時，由，解得，此時方程為符合題意；由解得，此時，則此時方程有兩個負(fù)根，符合題意.綜上所述，為真命題時，的取值范圍是.若為真命題的一個必要不充分條件為，則.故答案為：【變式2-2】已知集合，，若“”是“”的必要非充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】由題意可得，，若“”是“”的必要非充分條件，則集合B是集合A的真子集，則，且等號不能同時成立，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.【變式2-3】已知命題，若是的充要條件，則．【答案】-1【解析】由題意得，，得，設(shè)，，由是的充要條件，得，即，得．故答案為：-1題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假【典例3-1】下列正確命題的個數(shù)為（

）①，；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】，，①正確；當(dāng)時，，②錯誤；當(dāng)時，，③正確；由于，而都是無理數(shù)，④錯誤，所以正確命題的個數(shù)為2.故選：B【典例3-2】（2024·高三·北京通州·期中）下列命題中的假命題是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對于A，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的值域?yàn)椋?，，A對；對于B，當(dāng)時，，B對；對于C，當(dāng)時，，C錯；對于D，當(dāng)時，，D對.故選：C.【方法技巧】1、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷既要理解漢字意思，又要使用數(shù)學(xué)結(jié)論．2、全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷相對簡單，注重細(xì)節(jié)即可．【變式3-1】下列命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（

）A．B．每個等腰三角形都有內(nèi)切圓C．D．存在一個正整數(shù)，它既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)【答案】D【解析】B與C均為全稱量詞命題，A與D均為存在量詞命題，BC錯誤；因?yàn)?，則“”是假命題，A錯誤；正整數(shù)2既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，則“存在一個正整數(shù)，它既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)”是真命題，D正確.故選：D【變式3-2】（2024·廣東東莞·三模）已知全集和它的兩個非空子集，的關(guān)系如圖所示，則下列命題正確的是（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由圖可知，且，非空，則根據(jù)子集的定義可得：對于，，不正確，對于，，正確，對于，，不正確，對于，，不正確，故選：．【變式3-3】（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）已知集合M，N滿足，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對于A，取，滿足，而，A錯誤；對于B，取，滿足，而，B錯誤；對于C，根據(jù)集合交集的定義可知，，故C正確，對于D，取，滿足，但，不成立，D錯誤，故選：C題型四：根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍【典例4-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知命題“對于，”為真命題，寫出符合條件的的一個值：．【答案】（答案不唯一）【解析】對于，，當(dāng)時，對于，，則可取任意負(fù)數(shù)，如；故答案為：.【典例4-2】（2024·高三·湖北武漢·期末）若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】若命題“，”是真命題，可得即可；易知在上單調(diào)遞增，所以，可得；又因?yàn)樵撁}是假命題，所以可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【方法技巧】1、在解決求參數(shù)的取值范圍問題上，可以先令兩個命題都為真命題，若哪個是假命題，去求真命題的補(bǔ)集即可．2、全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問題，要注意端點(diǎn)是否可以取到．【變式4-1】若命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)槊}“，”是真命題，當(dāng)，即時，不等式為，顯然不滿足題意，；當(dāng)，即時，所以，解得．故答案為：．【變式4-2】（2024·遼寧·三模）若“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)椤?，使”是假命題，所以“，”為真命題，其等價于在上恒成立，又因?yàn)閷春瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【變式4-3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）命題：存在，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，若的否定為真命題，則的取值范圍是.【答案】【解析】命題p的否定為：任意，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，而，得，故答案為：題型五：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定【典例5-1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）命題“，，”的否定形式是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】由全稱量詞命題與存在量詞命題的否定可知：命題“，，”的否定形式是“，，”.故選：C【典例5-2】（2024·陜西商洛·三模）命題“對任意的”的否定是（

）A．不存在 B．存在C．存在 D．對任意的【答案】C【解析】“對任意的”的否定是：存在.故選：C．【方法技巧】含量詞命題的否定，一是改寫量詞，二是否定結(jié)論.【變式5-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）命題的否定是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)槊}，則其否定為.故選:B【變式5-2】已知命題，則（

）A．，，且是真命題B．，，且是假命題C．，，且是假命題D．，，且是真命題【答案】D【解析】由，，則，，由，則有，等價于等價于，令，則，則時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故，即，故原命題錯誤，則是真命題.故選：D.【變式5-3】（2024·貴州遵義·一模）已知命題，，則為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由命題，可知，為，，故D正確；ABC錯誤；故選：D1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【解析】對A，當(dāng)時，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當(dāng)時，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對B，當(dāng)時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；對D，當(dāng)時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.故選：C.2．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題【答案】B【解析】對于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，對于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，綜上，和都是真命題.故選：B.3．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】由為整數(shù)能推出為整數(shù)，故“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分條件，由,為整數(shù)不能推出為整數(shù)，故“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的不必要條件，綜上所述，“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分不必要條件，故選：A.4．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)榭傻茫寒?dāng)時，，充分性成立；當(dāng)時，，必要性不成立；所以當(dāng)，是的充分不必要條件.故選：A.1．設(shè)集合滿足條件p，滿足條件q.（1）如果，那么p是q的什么條件？（2）如果，那么p是q的什么條件？（3）如果，那么p是q的什么條件？試舉例說明.【解析】（1）若，則有，即每個使p成立的元素也使q成立，即，所以p是q的充分條件.如，，，是的充分條件.（2）若，則有，即每個使q成立的元素也使p成立，即，所以p是q的必要條件.如，，則，是的必要條件.（3）若，則，，所以p是q的充要條件.如，是的充要條件.2．在下列各題中,判斷p是q的什么條件(請用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分又不必要條件”回答):(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等邊三角形;(2)在一元二次方程中，有實(shí)數(shù)根，;(3);(4);(5).【解析】(1)因?yàn)榈妊切问翘厥獾牡冗吶切?故p是q的必要不充分條件.(2)一元二次方程有實(shí)數(shù)根則判別式.故p是q的充要條件.(3)因?yàn)?故且；當(dāng)時不一定成立.故p是q的充分不必要條件.(4)因?yàn)?故或,所以不一定成立；當(dāng)時一定成立.故p是q的必要不充分條件.(5)當(dāng)時,滿足但不成立.當(dāng)時,滿足但不成立.故p是q的既不充分又不必要條件.3．設(shè)a,b,c分別是的三條邊,且.我們知道,如果為直角三角形,那么(勾股定理).反過來,如果,那么為直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,為直角三角形的充要條件是.請利用邊長a,b,c分別給出為銳角三角形和鈍角三角形的一個充要條件,并證明.【解析】解:(1)設(shè)a,b,c分別是的三條邊,且,為銳角三角形的充要條件是.證明如下:必要性:在中,是銳角,作,D為垂足,如圖(1).顯然,即.充分性:在中,,不是直角.假設(shè)為鈍角,如圖(2).作,交BC延長線于點(diǎn)D.則.即,與“”矛盾.故為銳角,即為銳角三角形.(2)設(shè)a,b,c分別是的三條邊,且,為鈍角三角形的充要條件是.證明如下:必要性:在中,為鈍角,如圖(2),顯然:.即.充分性:在中,,不是直角,假設(shè)為銳角,如圖(1),則.即,這與“”矛盾,從而必為鈍角,即為鈍角三角形.4．寫出下列命題的否定,并判斷它們的真假：(1)，一元二次方程有實(shí)根；(2)每個正方形