2025年高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案數(shù)學(xué)提升版第十一章第1講含答案

2025年高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案數(shù)學(xué)提升版第十一章第1講含答案第1講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有eq\x(\s\up1(01))兩類不同的方案．在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝eq\x(\s\up1(02))m＋n種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要eq\x(\s\up1(03))兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝eq\x(\s\up1(04))m×n種不同的方法．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏,步步相依，缺一不可1．(人教A選擇性必修第三冊(cè)6.1練習(xí)T3改編)快遞員去某小區(qū)送快遞，該小區(qū)共有四個(gè)出入口，每個(gè)出入口均可進(jìn)出，則該快遞員進(jìn)出該小區(qū)的方案種數(shù)為()A．6 B．8C．16 D．14答案C解析方案種數(shù)為4×4＝16，故選C.2．(人教B選擇性必修第二冊(cè)3.1.1練習(xí)AT1改編)某同學(xué)逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，決定至少買其中的一本，則購(gòu)買方案有()A．3種 B．6種C．7種 D．9種答案C解析買一本，有3種方案；買兩本，有3種方案；買三本，有1種方案．因此共有3＋3＋1＝7種購(gòu)買方案．故選C.3．將3張不同的奧運(yùn)會(huì)門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是()A．2160 B．720C．240 D．120答案B解析分步來(lái)完成此事．第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8種分法．共有10×9×8＝720種分法．故選B.4．已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定的不同平面的個(gè)數(shù)為()A．40 B．16C．13 D．10答案C解析分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的8個(gè)點(diǎn)可以確定8個(gè)不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個(gè)點(diǎn)可以確定5個(gè)不同的平面．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13個(gè)不同的平面．故選C.5．(人教A選擇性必修第三冊(cè)習(xí)題6.1T6(1)改編)已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從M，N這兩個(gè)集合中各選一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)有________個(gè)．答案6解析第一象限內(nèi)不同的點(diǎn)有2×2＝4個(gè)，第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)有1×2＝2個(gè)，故共有4＋2＝6個(gè)．考向一分類加法計(jì)數(shù)原理例1(1)我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的共有()A．18個(gè) B．15個(gè)C．12個(gè) D．9個(gè)答案B解析依題意知，這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個(gè)位數(shù)之和為4.由4，0，0組成的有3個(gè)，分別為400，040，004；由3，1，0組成的有6個(gè)，分別為310，301，130，103，013，031；由2，2，0組成的有3個(gè)，分別為220，202，022；由2，1，1組成的有3個(gè)，分別為211，121，112，共3＋6＋3＋3＝15(個(gè))．(2)設(shè)集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，則方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示的焦點(diǎn)位于y軸上的橢圓有()A．6個(gè) B．8個(gè)C．12個(gè) D．16個(gè)答案A解析因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以m<n，當(dāng)m＝1時(shí)，n＝2，3，4；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝3，4；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝4，即所求的橢圓共有3＋2＋1＝6(個(gè))．故選A.使用分類加法計(jì)數(shù)原理時(shí)應(yīng)注意的三個(gè)方面(1)各類方法之間相互獨(dú)立，每種方法都能完成這件事，且方法總數(shù)是各類方法數(shù)相加得到的．(2)分類時(shí)，首先要在問(wèn)題的條件之下確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的分類標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類．(3)完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，且分別屬于不同類的方法都是不同的．1.某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有()A．4種 B．10種C．18種 D．20種答案B解析依題意，得可能剩余一本畫冊(cè)或一本集郵冊(cè)兩類情況．第一類，剩余的是一本畫冊(cè)，此時(shí)滿足題意的贈(zèng)送方法共有4種；第二類，剩余的是一本集郵冊(cè)，此時(shí)滿足題意的贈(zèng)送方法共有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)．因此滿足題意的贈(zèng)送方法共有4＋6＝10種．故選B.2．滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為()A．14 B．13C．12 D．10答案B解析當(dāng)a＝0時(shí)，關(guān)于x的方程為2x＋b＝0，此時(shí)有序數(shù)對(duì)(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)均滿足要求；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此時(shí)滿足要求的有序數(shù)對(duì)為(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)．綜上，滿足要求的有序數(shù)對(duì)共有13個(gè)．故選B.3．如果一個(gè)三位正整數(shù)形如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．240 B．204C．729 D．920答案A解析若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個(gè)位數(shù)字可選1或0，凸數(shù)為120與121，共2個(gè)．若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，則凸數(shù)有2×3＝6(個(gè))．若a2＝4，滿足條件的凸數(shù)有3×4＝12(個(gè))，…，若a2＝9，滿足條件的凸數(shù)有8×9＝72(個(gè))．所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個(gè))．故選A.考向二分步乘法計(jì)數(shù)原理例2(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．9答案B解析分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路徑．故選B.(2)“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為()5A．72 B．108C．144 D．196答案C解析依題意，5的上方和左邊所填數(shù)字只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊所填數(shù)字只能從6，7，8，9中選?。谝徊?，填上方空格，有4種方法；第二步，填左方空格，有3種方法；第三步，填下方空格，有4種方法；第四步，填右方空格，有3種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的填法種數(shù)為4×3×4×3＝144.故選C.(3)現(xiàn)安排一份5天的工作值班表，每天有一個(gè)人值班，共有5個(gè)人，每個(gè)人都可以值多天或不值班，但相鄰兩天不能同一個(gè)人值班，則此值班表共有________種不同的排法．答案1280解析完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步乘法計(jì)數(shù)原理，分步進(jìn)行：第一天有5種不同排法，第二天不能與第一天已排的人相同，所以有4種不同排法，依次類推，第三、四、五天都有4種不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280種不同的排法．利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的．(2)將這件事劃分成幾個(gè)步驟來(lái)完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成，這是分步的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵，從計(jì)數(shù)上來(lái)看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù)．1.(2023·汕頭二模)電腦調(diào)色板有紅、綠、藍(lán)三種基本顏色，每種顏色的色號(hào)均為0～255.在電腦上繪畫可以分別從三種顏色的色號(hào)中各選一個(gè)配成一種顏色，那么在電腦上可配成的顏色種數(shù)為()A．2563 B．27C．2553 D．6答案A解析分3步取色，第一、第二、第三次都有256種取法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共可配成256×256×256＝2563種顏色．故選A.2．為響應(yīng)國(guó)家“節(jié)約糧食”的號(hào)召，某同學(xué)決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜，并在用餐時(shí)積極踐行“光盤行動(dòng)”，則不同的選取方法有()A．48種 B．36種C．24種 D．12種答案B解析由題意可知，分三步完成：第一步，從2種主食中任選一種有2種選法；第二步，從3種素菜中任選一種有3種選法；第三步，從6種葷菜中任選一種有6種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有2×3×6＝36(種)不同的選取方法．故選B.3．從－1，0，1，2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，則可組成________個(gè)不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個(gè)．(用數(shù)字作答)答案186解析一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有3×3×2＝18個(gè)不同的二次函數(shù)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，同上可知共有3×2＝6個(gè)偶函數(shù)．多角度探究突破考向三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用角度與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題例3(1)用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．243 B．252C．261 D．279答案B解析由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復(fù)數(shù)字)的個(gè)數(shù)為9×10×10＝900，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×9×8＝648，則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900－648＝252.故選B.(2)從2，3，4，5，6，7，8，9這8個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所產(chǎn)生的不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為()A．56 B．54C．53 D．52答案D解析在8個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字共可產(chǎn)生8×7＝56個(gè)對(duì)數(shù)值，在這56個(gè)對(duì)數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，則滿足條件的對(duì)數(shù)值共有56－4＝52個(gè)．故選D.角度與幾何有關(guān)的問(wèn)題例4(1)從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有()A．8種 B．12種C．16種 D．20種答案B解析正方體共有3組對(duì)面互不相鄰．與正方體的每組對(duì)面相鄰的面有4個(gè)，所以有3×4＝12種選法．故選B.(2)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是()A．60 B．48C．36 D．24答案B解析長(zhǎng)方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×6＝36，另含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)對(duì)角面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是36＋12＝48.故選B.角度與涂色、種植有關(guān)的問(wèn)題例5(1)(2023·常州模擬)中國(guó)是世界上最早發(fā)明雨傘的國(guó)家，傘是中國(guó)勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，…，8，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域(如區(qū)域1與區(qū)域5)所涂顏色相同．若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有()A．1050種 B．1260種C．1302種 D．1512種答案C解析由題意可得，只需確定區(qū)域1，2，3，4的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色．先涂區(qū)域1，有7種選擇；再涂區(qū)域2，有6種選擇；當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域3有5種選擇，剩下的區(qū)域4有5種選擇；當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域4有6種選擇．故不同的涂色方案有7×6×(5×5＋6)＝1302種．故選C.(2)在一塊并排10壟的田地中，種植作物時(shí)每種作物種植一壟，相鄰的壟不種同一種作物．現(xiàn)有3種作物可選，則有________種種植方法；若3種作物必須都種，則有________種種植方法；若只在其中2壟種植其中的A，B兩種作物，要求A，B兩種作物的間隔不小于6壟，則有________種種植方法．答案1536153012解析3種作物任選時(shí)，種植第1壟有3種選擇，第2壟有2種選擇，后面的壟只需與前一壟不同即可，共有3×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝1536(種)種植方法.3種作物都選時(shí)，只需排除只用2種作物完成種植的情況，共有1536－3×2×1×1×1×1×1×1×1×1＝1530(種)種植方法．兩種作物的間隔不小于6壟時(shí)，分兩步：第一步，先選壟，如圖所示，共有6種選法；第二步，種植A，B兩種作物，有2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得有6×2＝12(種)種植方法．利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)當(dāng)題目無(wú)從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法．(2)分類時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問(wèn)題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律．(3)對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，一般是先分類再分步．1.如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是()A．48 B．18C．24 D．36答案D解析分類討論：第1類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2×12＝24個(gè)；第2類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)．所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24＋12＝36個(gè)．故選D.2．(2023·菏澤模擬)某旅游景區(qū)有如圖所示A至H共8個(gè)停車位，現(xiàn)有2輛不同的白色車和2輛不同的黑色車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方法種數(shù)為()A．288 B．336C．576 D．1680答案B解析第一步：排白車，第一行選一個(gè)位置，則第二行有三個(gè)位置可選，由于白車是不相同的，故白車的停法有4×3×2＝24種；第二步：排黑車，若白車選AF，則黑車有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG，共7種選擇，由于黑車是不相同的，故黑車的停法有2×7＝14種．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的停車方法種數(shù)為24×14＝336.故選B.3.某社區(qū)新建了一個(gè)休閑小公園，幾條小徑將公園分成5塊區(qū)域，如圖．社區(qū)準(zhǔn)備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各塊區(qū)域，要求每個(gè)區(qū)域種植一種顏色的花卉，且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所選花卉顏色不能相同，則不同的種植方法種數(shù)為()A．96 B．114C．168 D．240答案C解析首先在a中種植，有4種不同方法，其次在b中種植，有3種不同方法，再次在c中種植，若c與b同色，則c有1種方法，d有3種不同方法，若c與b不同色，則c有2種不同方法，d有2種不同方法，最后在e中種植，有2種不同方法，所以不同的種植方法共有4×3×(1×3＋2×2)×2＝168(種)．故選C.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．在某學(xué)校舉行的“文學(xué)名著閱讀月”活動(dòng)中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)相約去學(xué)校圖書室借閱四大名著——《紅樓夢(mèng)》《三國(guó)演義》《水滸傳》《西游記》(每種名著至少有5本)，若每人只借閱一本名著，則不同的借閱方案種數(shù)為()A．1024 B．625C．120 D．5答案A解析對(duì)于五名同學(xué)來(lái)說(shuō)，每人都有4種借閱可能，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有45＝1024種可能．故選A.2．從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．6答案B解析分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個(gè)位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，有3×2×2＝12個(gè)奇數(shù)；第2類，偶奇奇，個(gè)位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，有3×2×1＝6個(gè)奇數(shù)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有12＋6＝18個(gè)奇數(shù)．故選B.3．7人站成兩排隊(duì)列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊(duì)列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對(duì)位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為()A．120 B．240C．360 D．480答案C解析第一步，從甲、乙、丙三人中選一個(gè)加到前排，有3種方法；第二步，前排3人形成了4個(gè)空，任選一個(gè)空加一人，有4種方法；第三步，后排4人形成了5個(gè)空，任選一個(gè)空加一人，有5種方法，此時(shí)形成了6個(gè)空，任選一個(gè)空加一人，有6種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的加入方法種數(shù)為3×4×5×6＝360.故選C.4．甲、乙、丙三個(gè)人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過(guò)4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種 B．6種C．10種 D．16種答案B解析分兩類：甲第一次踢給乙時(shí)，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)；同理，甲先傳給丙時(shí)，滿足條件的也有3種傳遞方式．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有3＋3＝6種傳遞方式．故選B.5．(2023·寶雞模擬)某社區(qū)計(jì)劃在端午節(jié)前夕按如下規(guī)則設(shè)計(jì)香囊：在基礎(chǔ)配方以外，從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選一味添加到香囊中，則不同的添加方案有()A．13種 B．14種C．15種 D．16種答案C解析從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選一味，有Ceq\o\al(1,4)＝4種方法；選兩味，有Ceq\o\al(2,4)＝6種方法；選三味，有Ceq\o\al(3,4)＝4種方法；四味中藥全選，有Ceq\o\al(4,4)＝1種方法，所以從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選一味添加到香囊中，不同的添加方案共有4＋6＋4＋1＝15種．故選C.6.(2023·南通模擬)在中華傳統(tǒng)文化里，建筑、器物、書法、詩(shī)歌、對(duì)聯(lián)、繪畫幾乎無(wú)不講究對(duì)稱之美．如圖所示是清代詩(shī)人黃柏權(quán)的《茶壺回文詩(shī)》，其以連環(huán)詩(shī)的形式展現(xiàn)，20個(gè)字繞著茶壺成一圓環(huán)，無(wú)論順著讀還是逆著讀，皆成佳作．?dāng)?shù)學(xué)與生活也有許多奇妙的聯(lián)系，如2020年02月02日(20200202)被稱為世界完全對(duì)稱日(公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完全對(duì)稱的日期)．?dāng)?shù)學(xué)上把20200202這樣的對(duì)稱數(shù)叫回文數(shù)，如11，242，5225都是回文數(shù)，則用0，1，2，3，4，5這些數(shù)字構(gòu)成的所有三位數(shù)的回文數(shù)中，能被3整除的個(gè)數(shù)是()A．8 B．10C．11 D．13答案B解析當(dāng)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都相同時(shí)，有111，222，333，444，555，共5個(gè)；當(dāng)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字有兩個(gè)相同時(shí)，有141，252，303，414，525，共5個(gè)，所以滿足題意的回文數(shù)共有10個(gè)．故選B.7.《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬．設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是()A．8 B．12C．16 D．18答案C解析根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，當(dāng)A1ABB1為底面矩形時(shí)，有4個(gè)滿足題意；當(dāng)A1AFF1為底面矩形時(shí)，有4個(gè)滿足題意；當(dāng)A1ACC1為底面矩形時(shí)，有4個(gè)滿足題意；當(dāng)A1AEE1為底面矩形時(shí)，有4個(gè)滿足題意．故共有4＋4＋4＋4＝16個(gè)．故選C.8.(2023·南寧模擬)五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想．多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面．五行學(xué)說(shuō)是華夏文明重要的組成部分．古代先民認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系．五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)變化．所以，在中國(guó)，“五行”有悠久的歷史淵源．如圖是五行圖，現(xiàn)有4種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色(例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色)，五行相克可以用同一種顏色(例如火與水相克可以用同一種顏色)，則不同的涂色方法種數(shù)是()A．30 B．120C．150 D．240答案D解析由題意，不妨設(shè)4種顏色分別為A，B，C，D，先填涂區(qū)域“火”，有4種選擇，不妨設(shè)區(qū)域“火”填涂的顏色為A，接下來(lái)填涂區(qū)域“土”，有3種選擇，分別為B，C，D，若區(qū)域“土”填涂的顏色為B，則區(qū)域“金”填涂的顏色可為A，C，D；若區(qū)域“土”填涂的顏色為C，則區(qū)域“金”填涂的顏色可為A，B，D；若區(qū)域“土”填涂的顏色為D，則區(qū)域“金”填涂的顏色可為A，B，C.綜上所述，區(qū)域“金”填涂A，B，C，D的方案種數(shù)分別為3，2，2，2，接下來(lái)考慮區(qū)域“水”的填涂方案：若區(qū)域“金”填涂的顏色為A，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為B，C，D；若區(qū)域“金”填涂的顏色為B，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為A，C，D；若區(qū)域“金”填涂的顏色為C，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為A，B，D；若區(qū)域“金”填涂的顏色為D，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為A，B，C.則區(qū)域“水”填涂A的方案種數(shù)為2×3＝6，填涂B的方案種數(shù)為3＋2×2＝7，填涂C的方案種數(shù)為3＋2×2＝7，填涂D的方案種數(shù)為3＋2×2＝7.從區(qū)域“火”“土”“金”填涂至區(qū)域“水”，填涂區(qū)域“水”的方案還和填涂區(qū)域“木”有關(guān)，若區(qū)域“水”填涂的顏色為A，則區(qū)域“木”填涂的顏色可為B，C，D；若區(qū)域“水”填涂的顏色為B，則區(qū)域“木”填涂的顏色可為C，D；若區(qū)域“水”填涂的顏色為C，則區(qū)域“木”填涂的顏色可為B，D；若區(qū)域“水”填涂的顏色為D，則區(qū)域“木”填涂的顏色可為B，C.所以，當(dāng)區(qū)域“火”填涂顏色A時(shí)，填涂方案種數(shù)為6×3＋7×2×3＝60.因此不同的涂色方法種數(shù)是4×60＝240.故選D.二、多項(xiàng)選擇題9．現(xiàn)有4個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有7人、8人、9人、10人，則下列說(shuō)法正確的是()A．選1人為負(fù)責(zé)人的選法有34種B．每組選1名組長(zhǎng)的選法有5400種C．若推選2人發(fā)言，這2人需來(lái)自不同的小組，則不同的選法有420種D．若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，加入的小組可自由選擇，且第一組必須有人選，則不同的選法有37種答案AD解析對(duì)于A，4個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故選1人為負(fù)責(zé)人的選法有34種，A正確；對(duì)于B，分四步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中各選1名組長(zhǎng)，所以不同的選法共有7×8×9×10＝5040(種)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，分六類：從第一、二組中各選1人，有7×8種不同的選法，從第一、三組中各選1人，有7×9種不同的選法，從第一、四組中各選1人，有7×10種不同的選法，從第二、三組中各選1人，有8×9種不同的選法，從第二、四組中各選1人，有8×10種不同的選法，從第三、四組中各選1人，有9×10種不同的選法．所以不同的選法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若不考慮限制條件，每個(gè)人都有4種選法，共有43＝64種選法，其中第一組沒(méi)有人選，每個(gè)人都有3種選法，共有33＝27種選法，所以不同的選法共有64－27＝37(種)，D正確．10.(2023·嘉興模擬)如圖，把圖中A，B，C，D，E五塊區(qū)域涂上顏色，相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，現(xiàn)有n種不同的顏色可供選擇，則()A．n≥3B．當(dāng)n＝4時(shí)，若B，D同色，共有48種涂法C．當(dāng)n＝4時(shí)，若B，D不同色，共有48種涂法D．當(dāng)n＝5時(shí)，總的涂色方法有420種答案ABD解析對(duì)于A，由于區(qū)域A與B，C，D均相鄰，所以至少需要三種及以上的顏色才能保證相鄰區(qū)域不同色，故A正確．對(duì)于B，當(dāng)n＝4時(shí)，按照ABC的順序涂，每一個(gè)區(qū)域需要一種顏色，此時(shí)有4×3×2＝24種涂法，涂D時(shí)，由于B，D同色(D只有一種顏色可選)，所以只需要從剩下的顏色或與A同色的兩種顏色中選擇一種涂E，共有24×2＝48種涂法，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)n＝4時(shí)，涂ABC有4×3×2＝24種涂法，由于B，D不同色(D只有一種顏色可選)，此時(shí)A，B，C，D四塊區(qū)域所用顏色各不相同，涂E只能用與A同色的顏色，此時(shí)共有24種涂法，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，當(dāng)n＝5時(shí)，按照ABC的順序涂，每一個(gè)區(qū)域需要一個(gè)顏色，此時(shí)有5×4×3＝60種涂法，涂D時(shí)，若B，D同色(D只有一種顏色可選)，只需要從剩下的兩種顏色中或與A同色的顏色中選擇一種涂E，共有60×3＝180種涂法；若B，D不同色，此時(shí)A，B，C，D四塊區(qū)域所用顏色各不相同，有5×4×3×2＝120種涂法，只需要從剩下的顏色或與A同色的兩種顏色中選擇一種涂E，此時(shí)共有120×2＝240種涂法．綜上可知，總的涂色方法有180＋240＝420種，故D正確．故選ABD.11．用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小，則稱這個(gè)數(shù)為“凹數(shù)”，如301，423等都是“凹數(shù)”，則下列結(jié)論中正確的是()A．組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為60B．在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為30C．在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為20D．在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為30答案BC解析對(duì)于A，因?yàn)榘傥粩?shù)上的數(shù)字不能為零，所以組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為4×4×3＝48，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將所有三位數(shù)的偶數(shù)分為兩類：①個(gè)位數(shù)為0，則有4×3＝12個(gè)，②個(gè)位數(shù)為2或4，則有2×3×3＝18個(gè)，所以在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為12＋18＝30，故B正確；對(duì)于C，D，將這些“凹數(shù)”分為三類：①十位為0，則有4×3＝12個(gè)，②十位為1，則有3×2＝6個(gè)，③十位為2，則有2×1＝2個(gè)，所以在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為12＋6＋2＝20，故C正確，D錯(cuò)誤．故選BC.三、填空題12．世界杯參賽球隊(duì)共32支，現(xiàn)分成8個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽，決出16強(qiáng)(各組的前2名小組出線)，這16支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，決出8強(qiáng)，再?zèng)Q出4強(qiáng)，直到?jīng)Q出冠、亞軍和第三名、第四名，則比賽進(jìn)行的總場(chǎng)數(shù)為________．答案64解析因?yàn)?個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽，每個(gè)小組進(jìn)行6場(chǎng)小組賽，所以小組賽的場(chǎng)數(shù)為8×6＝48，因?yàn)?6支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，所以淘汰賽的場(chǎng)數(shù)為8＋4＋2＋2＝16，因此比賽進(jìn)行的總場(chǎng)數(shù)為48＋16＝64.13．4張卡片的正、反面分別寫有0與1，2與3，4與5，6與7，將其中3張卡片排放在一起，可組成________個(gè)不同的三位數(shù)．答案168解析要組成三位數(shù)，根據(jù)首位、十位、個(gè)位應(yīng)分三步：第一步：首位可放8－1＝7個(gè)數(shù)；第二步：十位可放6個(gè)數(shù)；第三步：個(gè)位可放4個(gè)數(shù)．故由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共可組成7×6×4＝168個(gè)不同的三位數(shù)．14.(2023·重慶聯(lián)考階段練習(xí))某小區(qū)物業(yè)在該小區(qū)的一個(gè)廣場(chǎng)布置了一個(gè)如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個(gè)區(qū)域．現(xiàn)有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰的區(qū)域(有公共邊)不能布置相同的花卉，且每個(gè)區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有________種．答案1560解析如圖，不同的布置方案分兩類：當(dāng)A與C布置相同的花卉時(shí)，先安排E，有6種不同的選擇，再安排A與C，有5種不同的選擇，再安排B，有4種不同的選擇，最后安排D，有4種不同的選擇，共有6×5×4×4＝480種不同的選擇．當(dāng)A與C布置不同的花卉時(shí)，先安排E，有6種不同的選擇，再安排A與C，有5×4種不同的選擇，再安排B，有3種不同的選擇，最后安排D，有3種不同的選擇，共有6×5×4×3×3＝1080種不同的選擇．所以不同的布置方案有480＋1080＝1560種．四、解答題15．已知a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰(含等邊)三角形，這樣的三角形一共有多少個(gè)？解先考慮等邊的情況，a＝b＝c＝1，2，…，6，有6個(gè)，再考慮等腰的情況，若a＝b＝1，c<a＋b＝2，此時(shí)c＝1與等邊重復(fù)；若a＝b＝2，c<a＋b＝4，則c＝1，3，有2個(gè)；若a＝b＝3，c<a＋b＝6，則c＝1，2，4，5，有4個(gè)；若a＝b＝4，c<a＋b＝8，則c＝1，2，3，5，6，有5個(gè)；若a＝b＝5，c<a＋b＝10，則c＝1，2，3，4，6，有5個(gè)；若a＝b＝6，c<a＋b＝12，則c＝1，2，3，4，5，有5個(gè)，故這樣的三角形一共有27個(gè)．16．有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法？(六名同學(xué)不一定都能參加)(1)每人只參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)；(3)每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限．解(1)每人都可以從三個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同的報(bào)名方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有36＝729種．(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有6×5×4＝120種．(3)每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六名同學(xué)中選出一人參賽，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有63＝216種．第2講排列與組合[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.理解排列、組合的概念.2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利用排列組合解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．1．排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并按照eq\x(\s\up1(01))一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合eq\x(\s\up1(02))作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有eq\x(\s\up1(03))不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)eq\a\vs4\al(\x(\s\up1(04))Aeq\o\al(m,n))表示．(2)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的eq\x(\s\up1(05))所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記作eq\x(\s\up1(06))Ceq\o\al(m,n)．3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝eq\x(\s\up1(07))n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\x(\s\up1(08))eq\f(n！,（n－m）！)；(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\x(\s\up1(09))eq\f(n（n－1）…（n－m＋1）,m！)＝eq\x(\s\up1(10))eq\f(n！,m?。╪－m）！)(n，m∈N*，且m≤n)性質(zhì)(1)Aeq\o\al(n,n)＝eq\x(\s\up1(11))n?。?2)0?。絜q\x(\s\up1(12))1；(3)Ceq\o\al(0,n)＝eq\x(\s\up1(13))1，Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(\x(\s\up1(14))Ceq\o\al(n－m,n))；(4)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝eq\x(\s\up1(15))Ceq\o\al(m,n＋1)解決排列與組合問(wèn)題的“四項(xiàng)基本原則”(1)特殊優(yōu)先原則：如果問(wèn)題中有特殊元素或特殊位置，優(yōu)先考慮這些特殊元素或特殊位置．(2)先取后排原則：在既有取出又需要對(duì)取出的元素進(jìn)行排列時(shí)，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再進(jìn)行排列．(3)正難則反原則：當(dāng)直接求解困難時(shí)，采用間接法解決問(wèn)題．(4)先分組后分配原則：在分配問(wèn)題中如果被分配的元素多于位置，這時(shí)要先進(jìn)行分組，再進(jìn)行分配．1．(人教B選擇性必修第二冊(cè)習(xí)題3－1AT2(1)改編)若Aeq\o\al(3,2n)＝10Aeq\o\al(3,n)，則n＝()A．1 B．8C．9 D．10答案B解析原式等價(jià)于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，且n≥3，整理，得n＝8.故選B.2．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有()A．Ceq\o\al(45,400)·Ceq\o\al(15,200)種 B．Ceq\o\al(20,400)·Ceq\o\al(40,200)種C．Ceq\o\al(30,400)·Ceq\o\al(30,200)種 D．Ceq\o\al(40,400)·Ceq\o\al(20,200)種答案D解析根據(jù)比例分配的分層隨機(jī)抽樣的定義知，初中部共抽取60×eq\f(400,600)＝40名，高中部共抽取60×eq\f(200,600)＝20名，根據(jù)組合數(shù)的概念及分步乘法計(jì)數(shù)原理，知不同的抽樣結(jié)果共有Ceq\o\al(40,400)·Ceq\o\al(20,200)種．故選D.3．若原來(lái)站成一排的4個(gè)人重新站成一排，恰有一個(gè)人站在自己原來(lái)的位置上，則不同的站法種數(shù)為()A．4 B．8C．12 D．24答案B解析根據(jù)題意，分兩步考慮：第一步，先從4個(gè)人里選1人，其位置不變，站法有Ceq\o\al(1,4)＝4(種)；第二步，剩余3人都不站在自己原來(lái)的位置上，有2種站法．故不同的站法共有4×2＝8(種)．故選B.4．(多選)(2023·邢臺(tái)檢測(cè))生命在于運(yùn)動(dòng)，小蘭給自己制定了周一到周六的運(yùn)動(dòng)計(jì)劃，這六天每天安排一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，其中有兩天練習(xí)瑜伽，另外四天的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目互不相同，且運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目為跑步、爬山、打羽毛球和跳繩．()A．若瑜伽被安排在周一和周六，則共有48種不同的安排方法B．若周二和周五至少有一天安排練習(xí)瑜伽，則共有216種不同的安排方法C．若周一不練習(xí)瑜伽，周三爬山，則共有36種不同的安排方法D．若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，則共有240種不同的安排方法答案BCD解析對(duì)于A，若瑜伽被安排在周一和周六，則共有Aeq\o\al(4,4)＝24種不同的安排方法，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若周二和周五至少有一天安排練習(xí)瑜伽，則由間接法可得，不同的安排方法種數(shù)為Aeq\o\al(4,6)－Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,4)＝216，故B正確；對(duì)于C，若周一不練習(xí)瑜伽，周三爬山，則共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)＝36種不同的安排方法，故C正確；對(duì)于D，若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，則先排其他四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，共有Aeq\o\al(4,4)種不同的安排方法，再?gòu)?個(gè)空位里插入2個(gè)安排練習(xí)瑜伽，故共有Aeq\o\al(4,4)Ceq\o\al(2,5)＝240種不同的安排方法，故D正確．故選BCD.5．(人教A選擇性必修第三冊(cè)6.2.3練習(xí)T3改編)現(xiàn)有1，3，7，13這4個(gè)數(shù)，從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相加，可以得到________個(gè)不相等的和；從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相減，可以得到________個(gè)不相等的差．答案610解析從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相加有1＋3＝4，1＋7＝8，1＋13＝14，3＋7＝10，3＋13＝16，7＋13＝20，可以得到6個(gè)不相等的和．從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相減有1－3＝－2，3－1＝2，1－7＝－6，7－1＝6，1－13＝－12，13－1＝12，3－7＝－4，7－3＝4，3－13＝－10，13－3＝10，7－13＝－6，13－7＝6，可以得到10個(gè)不相等的差．考向一排列問(wèn)題例1有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)選其中5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排一排，女生必須站在一起；(5)全體排一排，男生互不相鄰；(6)全體排一排，甲、乙兩人中間恰好有3人；(7)全體排一排，甲必須排乙前面；(8)全體排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端．解(1)Aeq\o\al(5,7)＝2520種方法．(2)Aeq\o\al(7,7)＝5040種方法．(3)解法一：先排甲，有5種方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)種方法，故共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600種方法．解法二：先排排頭和排尾有Aeq\o\al(2,6)種方法，其余位置有Aeq\o\al(5,5)種排法，故共有Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)＝3600種方法．(4)將女生看成一個(gè)整體，用捆綁法，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)＝576種方法．(5)先排女生有Aeq\o\al(4,4)種，再將男生插空有Aeq\o\al(3,5)種，故共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440種方法．(6)將甲、乙及中間三人看作一個(gè)整體，先排甲、乙有Aeq\o\al(2,2)種方法，再排中間三人有Aeq\o\al(3,5)種方法，最后將他們看作一個(gè)整體與剩下的2人全排列，有Aeq\o\al(3,3)種方法，故共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝720種方法．(7)eq\f(Aeq\o\al(7,7),Aeq\o\al(2,2))＝2520種方法．(8)Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720種方法．求解有限制條件排列問(wèn)題的主要方法直接法分類法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，將要完成的事件分成幾個(gè)類型，分別計(jì)算每個(gè)類型中的排列數(shù)，再由分類加法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)分步法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，將事件分成幾個(gè)步驟來(lái)完成，分別計(jì)算出各步驟的排列數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)捆綁法相鄰問(wèn)題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問(wèn)題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列后的空中定序法對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以已定元素的全排列間接法對(duì)于分類過(guò)多的問(wèn)題，一般利用正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法用0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字，(1)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？(2)能組成多少個(gè)奇數(shù)數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)(無(wú)重復(fù)數(shù)字)?解(1)符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：第一類，0在個(gè)位時(shí)，有Aeq\o\al(3,5)個(gè)；第二類，2在個(gè)位時(shí)，千位從1，3，4，5中選定1個(gè)，有Aeq\o\al(1,4)種，十位和百位從余下的數(shù)字中選，有Aeq\o\al(2,4)種，于是有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)個(gè)；第三類，4在個(gè)位時(shí)，與第二類同理，也有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理得，能組成Aeq\o\al(3,5)＋2Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＝156個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．(2)先排0，2，4，再讓1，3，5插空，總的排法共Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144種，其中0在排頭，將1，3，5插在后3個(gè)空的排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12種，此時(shí)構(gòu)不成六位數(shù)，故符合要求的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為144－12＝132.考向二組合問(wèn)題例2某課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名隊(duì)長(zhǎng)．現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生當(dāng)選；(2)兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(4)男生甲和女生乙當(dāng)選；(5)最多有兩名女生當(dāng)選．解(1)只有一名女生當(dāng)選即有一名女生和四名男生當(dāng)選，故共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,8)＝350種．(2)兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選，共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,11)＝165種．(3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選含有兩類：只有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選和有兩名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選．故共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,11)＝825種(或采用間接法：Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825種)．(4)男生甲和女生乙當(dāng)選，則需從剩余11人中選3人，有Ceq\o\al(3,11)＝165種．(5)最多有兩名女生當(dāng)選含有三類：有兩名女生當(dāng)選、只有一名女生當(dāng)選和沒(méi)有女生當(dāng)選．故共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966種．組合問(wèn)題的常見(jiàn)類型及求解策略(1)“含有”或“不含有”問(wèn)題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外的元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。?2)“至少”或“最多”問(wèn)題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．1.圓周上有10個(gè)等分點(diǎn)，以這10個(gè)等分點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形，其中梯形的個(gè)數(shù)為()A．10 B．20C．40 D．60答案D解析如圖所示，10點(diǎn)連線中有5條為圓的直徑，其每條直徑分別有4條弦與之平行，可構(gòu)成5×(Ceq\o\al(2,5)－2)＝40個(gè)梯形；10點(diǎn)連線中有5組與構(gòu)成的5條直徑不平行的4條平行弦，如A3A5∥A2A6∥A1A7∥A10A8，可構(gòu)成5×(Ceq\o\al(2,4)－2)＝20個(gè)梯形．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共構(gòu)成40＋20＝60個(gè)梯形．故選D.2．(多選)在某地實(shí)施的新高考改革方案中，選擇性考試科目有物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門．學(xué)生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長(zhǎng)興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再?gòu)恼?、地理、化學(xué)、生物4門科目中選擇2門，考試成績(jī)計(jì)入考生總分，作為統(tǒng)一高考招生錄取的依據(jù)．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說(shuō)法正確的是()A．若任意選科，選法總數(shù)為Ceq\o\al(2,4)B．若化學(xué)必選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)C．若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)D．若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1答案BD解析若任意選科，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)，A錯(cuò)誤；若化學(xué)必選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)，B正確；若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1)，C錯(cuò)誤；若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1，D正確．故選BD.多角度探究突破考向三分組、分配問(wèn)題角度不同元素的分配問(wèn)題例3按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方法？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本．解(1)無(wú)序不均勻分組問(wèn)題．先選1本有Ceq\o\al(1,6)種選法；再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有Ceq\o\al(2,5)種選法；最后余下3本全選有Ceq\o\al(3,3)種方法，故共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種．(2)有序不均勻分組問(wèn)題．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種．(3)無(wú)序均勻分組問(wèn)題．共有eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,3))＝15種．(4)在(3)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有15Aeq\o\al(3,3)＝90種．(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，這是部分均勻分組問(wèn)題，求出組合總數(shù)除以Aeq\o\al(2,2)即可，共有eq\f(Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))＝15種．(6)在(5)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有15Aeq\o\al(3,3)＝90種．角度相同元素的分配問(wèn)題(隔板法)例4將12個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中．(1)若每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球，則不同放法有多少種？(2)若每盒可空，則不同的放法有多少種？解(1)將12個(gè)小球排成一排，中間有11個(gè)間隔，在這11個(gè)間隔中選出3個(gè)，放上“隔板”，若把“|”看作隔板，則如圖○○|○○○○|○○○○|○○，隔板將一排球分成四塊，從左到右可以看成四個(gè)盒子放入的球數(shù)．這樣每一種隔板的插法，就對(duì)應(yīng)了球的一種放法，即每一種從11個(gè)間隔中選出3個(gè)間隔的組合對(duì)應(yīng)一種放法，所以不同的放法有Ceq\o\al(3,11)＝165(種)．(2)因?yàn)槊亢锌煽眨愿舭逯g允許無(wú)球，那么插入法就無(wú)法應(yīng)用，現(xiàn)建立如下數(shù)學(xué)模型．將三塊隔板與12個(gè)球排成一排，則如圖○○○||○○○○○|○○○○中的隔板將這一排球分成四塊．從左到右可以看成四個(gè)盒子放入的球數(shù)，即1，2，3，4四個(gè)盒子相應(yīng)放入3個(gè)，0個(gè)，5個(gè)，4個(gè)小球．這樣每一種隔板與球的排列法，就對(duì)應(yīng)了球的一種放法．排列的位置有15個(gè)，先從這15個(gè)位置中選出3個(gè)位置放隔板有Ceq\o\al(3,15)種排法，再在余下的位置放球，只有一種放法，所以隔板與球的排列法有Ceq\o\al(3,15)種，即不同的放法有Ceq\o\al(3,15)＝455(種)．解決分組、分配問(wèn)題的策略相同元素的分配問(wèn)題常用“隔板法”不同元素的整體均分問(wèn)題分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)不同元素的部分均分問(wèn)題若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！提醒：隔板法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確確定空位個(gè)數(shù)以及需要的隔板個(gè)數(shù)，使用這種方法需要注意兩個(gè)方面的問(wèn)題：一是要根據(jù)題意確定能否轉(zhuǎn)化為“每組至少一個(gè)”的問(wèn)題，以便確定能否利用隔板法；二是要注意準(zhǔn)確確定空位數(shù)以及需要的隔板數(shù)，一般來(lái)說(shuō)，兩端不能插隔板．1.(2023·福建省高考適應(yīng)性練習(xí))中國(guó)救援力量在國(guó)際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻(xiàn)，很好地展示了國(guó)際形象，增進(jìn)了國(guó)際友誼，多次為祖國(guó)贏得了榮譽(yù)．現(xiàn)有5支救援隊(duì)前往A，B，C三個(gè)受災(zāi)點(diǎn)執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊(duì)只能去其中的一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，且每個(gè)受災(zāi)點(diǎn)至少安排1支救援隊(duì)，其中甲救援隊(duì)只能去B，C兩個(gè)受災(zāi)點(diǎn)中的一個(gè)，則不同的安排方法種數(shù)是()A．72 B．84C．88 D．100答案D解析若甲去B受災(zāi)點(diǎn)，則剩余4支救援隊(duì)可只去A，C兩個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，也可分為3組去A，B，C三個(gè)受災(zāi)點(diǎn)．當(dāng)剩余4支救援隊(duì)只去A，C兩個(gè)受災(zāi)點(diǎn)時(shí)，可按1，3或2，2分配，此時(shí)的分配方法有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,1)·Aeq\o\al(2,2)＋eq\f(Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)＝14種；當(dāng)剩余4支救援隊(duì)分為3組去A，B，C三個(gè)受災(zāi)點(diǎn)時(shí)，先從4支救援隊(duì)中選出2支救援隊(duì)，即可分為3組，然后分配到三個(gè)受災(zāi)點(diǎn)即可，此時(shí)的分配方法有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝36種．綜上可得，甲去B受災(zāi)點(diǎn)，不同的安排方法種數(shù)是14＋36＝50.同理，甲去C受災(zāi)點(diǎn)，不同的安排方法種數(shù)也是50，所以不同的安排方法種數(shù)是50＋50＝100.故選D.2．某市擬成立一個(gè)由6名高中學(xué)生成立的調(diào)查小組，并準(zhǔn)備將這6個(gè)名額分配給本市的4所重點(diǎn)中學(xué)，要求每所重點(diǎn)中學(xué)都有學(xué)生參加，那么不同名額分配方法的種數(shù)是()A．10 B．20C．24 D．28答案A解析如圖所示，6個(gè)名額排成一列，6個(gè)名額之間有5個(gè)空，任找3個(gè)空插入隔板就是一種名額分配方法，故共有Ceq\o\al(3,5)＝10(種)分配方法．故選A.○|○○|○|○○3．某省示范性高中安排6名高級(jí)教師(不同姓)到基礎(chǔ)教育薄弱的甲、乙、丙三所中學(xué)進(jìn)行支教，每所學(xué)校至少去1人，因工作需要，其中李老師不去甲校，則分配方案種數(shù)為________．答案360解析解法一：根據(jù)6名高級(jí)教師到甲、乙、丙三所中學(xué)進(jìn)行支教，每所學(xué)校至少去1人，可分四種情況：①甲校安排1名教師，分配方案種數(shù)為Ceq\o\al(1,5)(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2))＝150；②甲校安排2名教師，分配方案種數(shù)為Ceq\o\al(2,5)(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2))＝140；③甲校安排3名教師，分配方案種數(shù)為Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝60；④甲校安排4名教師，分配方案種數(shù)為Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝10.由分類加法計(jì)數(shù)原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360(種)分配方案．解法二：由6名教師到三所學(xué)校，每所學(xué)校至少去1人，可能的分組情況為4，1，1；3，2，1；2，2，2.①對(duì)于第一種情況，由于李老師不去甲校，李老師自己去一個(gè)學(xué)校有Ceq\o\al(1,2)種，其余5名老師分成一人組和四人組有Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(2,2)種，共Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(2,2)＝20(種)；李老師分配到四人組且該組不去甲校有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝40(種)，則第一種情況共有20＋40＝60(種)；②對(duì)于第二種情況，李老師分配到一人組有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝40(種)，李老師分配到兩人組有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,2)＝80(種)，李老師分配到三人組有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝120(種)，所以第二種情況共有40＋80＋120＝240(種)；③對(duì)于第三種情況，共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝60(種)．綜上所述，共有60＋240＋60＝360(種)分配方案．4．把分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，且若分得的卡片超過(guò)一張，則必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．答案36解析先將卡片分為符合條件的3份，由題意，3人分5張卡片，且每人至少一張，至多三張，若分得的卡片超過(guò)一張，則必須是連號(hào)，相當(dāng)于將1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)用2個(gè)板子隔開，在4個(gè)空位插2個(gè)板子，共有Ceq\o\al(2,4)＝6種情況，再對(duì)應(yīng)到3個(gè)人，有Aeq\o\al(3,3)＝6種情況，則共有6×6＝36種分法．課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·全國(guó)甲卷)有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為()A．120 B．60C．40 D．30答案B解析先從五名志愿者中選擇1人連續(xù)參加兩天社區(qū)服務(wù)，有Ceq\o\al(1,5)＝5種方法；再?gòu)氖Ｓ嗟?人中選擇2人分別參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有Aeq\o\al(2,4)＝12種方法．所以恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為5×12＝60.故選B.2．甲、乙兩人要在一排8個(gè)空座上就座，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有()A．10種 B．16種C．20種 D．24種答案C解析一排共有8個(gè)座位，現(xiàn)有兩人就座，故有6個(gè)空座．∵要求每人兩旁均有空座，∴在6個(gè)空座的中間5個(gè)空中插入2個(gè)座位讓兩人就座，即有Aeq\o\al(2,5)＝20種坐法．故選C.3．(2023·滄州模擬)用短語(yǔ)“mathstest”中所有的重復(fù)字母重新排列，能組成不同排列的個(gè)數(shù)為()A．10 B．20C．30 D．40答案A解析由s有2個(gè)，t有3個(gè)，則將這5個(gè)字母看成不同時(shí)的排列為Aeq\o\al(5,5)，故所求排列個(gè)數(shù)為eq\f(Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3))＝10.故選A.4．(2023·佛山二模)“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃”簡(jiǎn)稱“珠峰計(jì)劃”，是國(guó)家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問(wèn)”而推出的一項(xiàng)人才培養(yǎng)計(jì)劃，旨在培養(yǎng)中國(guó)自己的學(xué)術(shù)大師．已知浙江大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、武漢大學(xué)、中山大學(xué)均有開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地，某班級(jí)有5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，則每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇的不同方法共有()A．120種 B．180種C．240種 D．300種答案C解析將5位同學(xué)分為2，1，1，1的分組，再分配到4所學(xué)校，共有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240種方法．故選C.5．將5件相同的小禮物全部送給3個(gè)不同的球迷，要讓每個(gè)球迷都得到禮物，不同的分法有()A．2種 B．10種C．5種 D．6種答案D解析把5件相同的小禮物排成一排，5件禮物之間共有4個(gè)空，任選2個(gè)空插入板子，共有Ceq\o\al(2,4)＝6種不同的方法．故選D.6．(2024·百色模擬)某中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強(qiáng)中有3個(gè)種子選手，將這12人任意分成3組(每組4個(gè)人)，則3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的分法種數(shù)為()A．210 B．105C．315 D．630答案C解析由題意，12人任意分成3組，3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的方法有eq\f(Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(4,8)Ceq\o\al(4,4),Aeq\o\al(2,2))＝315種．故選C.7．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有()A．12種 B．24種C．36種 D．48種答案B解析因?yàn)楸?、丁要在一起，先把丙、丁捆綁，看作一個(gè)元素，連同乙、戊看成三個(gè)元素排列，有Aeq\o\al(3,3)種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插入方式；注意到丙、丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有Aeq\o\al(3,3)×2×2＝24種不同的排列方式．故選B.8．將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．72 B．120C．192 D．240答案D解析末尾是2或6，不同偶數(shù)的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,5)＝120；末尾是4，不同偶數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(5,5)＝120，故共有120＋120＝240個(gè)．故選D.二、多項(xiàng)選擇題9．(2024·鄭州開學(xué)考試)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加演出，下列說(shuō)法中正確的是()A．若甲不在正中間，則不同的排列方式共有96種B．若甲、乙、丙三人互不相鄰，則不同的排列方式共有6種C．若甲、丙、丁從左到右的順序一定，則不同的排列方式共有20種D．若甲與乙相鄰，且甲與丙不相鄰，則不同的排列方式共有36種答案ACD解析對(duì)于A，因?yàn)榧撞辉谡虚g，則甲的不同的排列方式有Ceq\o\al(1,4)＝4種，剩余的四人全排列，不同的排列方式有Aeq\o\al(4,4)＝24種，所以不同的排列方式共有4×24＝96種，故A正確．對(duì)于B，若甲、乙、丙三人互不相鄰，則甲、乙、丙三人在首位、中間和末位，則不同的排列方式有Aeq\o\al(3,3)＝6種，剩余的兩人全排列，不同的排列方式有Aeq\o\al(2,2)＝2種，所以不同的排列方式共有6×2＝12種，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，若甲、丙、丁從左到右的順序一定，則有四個(gè)間隔空位，若乙、戊不相鄰，把乙、戊安排在四個(gè)間隔空位中，不同的排列方式有Aeq\o\al(2,4)＝12種；若乙、戊相鄰，把兩人看成整體安排在四個(gè)間隔空位中，不同的排列方式有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝8種，所以不同的排列方式共有12＋8＝20種，故C正確．對(duì)于D，若甲與乙相鄰，有2Aeq\o\al(4,4)＝48種排法，若甲與乙相鄰又滿足甲與丙相鄰，首先將甲、乙、丙捆綁起來(lái)作為一個(gè)整體并把甲放在乙與丙之間，乙與丙可互換位置，所以首先排列甲、乙、丙有2種排法，把甲、乙、丙組成的整體和剩下的兩人進(jìn)行排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6種排法，所以甲與乙相鄰，且甲與丙相鄰，有2×6＝12種排法，所以若甲與乙相鄰，且甲與丙不相鄰，則不同的排列方式共有48－12＝36種，故D正確．故選ACD.10．(2023·哈爾濱期末)現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，若每人都安排一項(xiàng)工作，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．不同的安排方法數(shù)為54B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的安排方法數(shù)為Aeq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)C．每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同的安排方法數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)D．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則不同的安排方法數(shù)為(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))Aeq\o\al(3,3)答案ABD解析對(duì)于A，安排5人參加四項(xiàng)工作，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則共有45種不同的安排方法，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排四項(xiàng)工作，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)種不同的安排方法，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)題意，分兩種情況討論：①?gòu)谋?、丁、戊中選出2人開車，②從丙、丁、戊中選出1人開車，則有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)種不同的安排方法，C正確；對(duì)于D，分兩步分析：先將5人分為3組，有eq\f(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2),Aeq\o\al(2,2))＋eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3),Aeq\o\al(2,2))種分組方法，再給分好的3組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，有Aeq\o\al(3,3)種情況，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2),Aeq\o\al(2,2))＋\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3),Aeq\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)種不同的安排方法，D錯(cuò)誤．故選ABD.11．現(xiàn)有4個(gè)小球和4個(gè)小盒子，下列相關(guān)結(jié)論正確的是()A．若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，則共有24種放法B．若4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個(gè)空盒的放法共有18種C．若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，且恰有一個(gè)空盒的放法共有144種D．若編號(hào)為1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，沒(méi)有一個(gè)空盒但小球的編號(hào)和盒子的編號(hào)全不相同的放法共有9種答案BCD解析若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，共有44＝256種放法，故A錯(cuò)誤；若4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個(gè)空盒，則一個(gè)盒子放3個(gè)小球，另一個(gè)盒子放1個(gè)小球或兩個(gè)盒子均放2個(gè)小球，共有Ceq\o\al(2,4)(Aeq\o\al(2,2)＋1)＝18種放法，故B正確；若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，且恰有一個(gè)空盒，則兩個(gè)盒子中各放1個(gè)小球，另一個(gè)盒子中放2個(gè)小球，共有Ceq\o\al(1,4)·eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\a