陜西省西安電子科技大附中2025屆高三5月信息卷(最后一模)數(shù)學(xué)試題試卷含解析_第1頁(yè)
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陜西省西安電子科技大附中2025屆高三5月信息卷(最后一模)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,為上異于,的任一點(diǎn),為的中點(diǎn),若,則等于()A. B. C. D.2.“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:X01Pabc其中a,b,.若X的方差對(duì)所有都成立,則()A. B. C. D.4.已知,是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于,兩點(diǎn),若,則△的內(nèi)切圓的半徑為()A. B. C. D.5.已知命題若,則,則下列說(shuō)法正確的是()A.命題是真命題B.命題的逆命題是真命題C.命題的否命題是“若,則”D.命題的逆否命題是“若,則”6.在中,為中點(diǎn),且,若,則()A. B. C. D.7.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,則()A.5 B.10 C.15 D.208.已知雙曲線()的漸近線方程為,則()A. B. C. D.9.已知函數(shù),存在實(shí)數(shù),使得,則的最大值為()A. B. C. D.10.已知全集,集合,,則()A. B. C. D.11.已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.12.設(shè),是雙曲線的左,右焦點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線,垂足為.若,則的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.下圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的S的值是______.14.秦九韶算法是南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項(xiàng)式簡(jiǎn)化算法,如圖所示的框圖給出了利用秦九韶算法求多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例,若輸入,的值分別為4,5,則輸出的值為______.15.等差數(shù)列(公差不為0),其中,,成等比數(shù)列,則這個(gè)等比數(shù)列的公比為_____.16.若x,y滿足,且y≥?1,則3x+y的最大值_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定:從2017年秋季高中入學(xué)的新生開始,不分文理科;2020年開始,高考總成績(jī)由語(yǔ)數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為、、、、、、、共8個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則,確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、.選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí),將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī),依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級(jí)成績(jī).某校高一年級(jí)共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試,其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布.(1)求物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機(jī)抽取3人,記表示這3人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(附:若隨機(jī)變量,則,,)18.(12分)如圖,三棱臺(tái)的底面是正三角形,平面平面,.(1)求證:;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)是橢圓上且不在軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)右焦點(diǎn)作的平行線交橢圓于、兩個(gè)不同的點(diǎn),求的值.20.(12分)一張邊長(zhǎng)為的正方形薄鋁板(圖甲),點(diǎn),分別在,上,且(單位:).現(xiàn)將該薄鋁板沿裁開,再將沿折疊,沿折疊,使,重合,且重合于點(diǎn),制作成一個(gè)無(wú)蓋的三棱錐形容器(圖乙),記該容器的容積為(單位:),(注:薄鋁板的厚度忽略不計(jì))(1)若裁開的三角形薄鋁板恰好是該容器的蓋,求,的值;(2)試確定的值,使得無(wú)蓋三棱錐容器的容積最大.21.(12分)如圖,四棱錐中,平面,,,.(I)證明:;(Ⅱ)若是中點(diǎn),與平面所成的角的正弦值為,求的長(zhǎng).22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;(2)若函數(shù)沒有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】

根據(jù)題意,用表示出與,求出的值即可.【詳解】解:根據(jù)題意,設(shè),則,又,,,故選:A.本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量,是基礎(chǔ)題.2.A【解析】

先求解函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的等價(jià)條件,得到,分析即得解.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則,解得,故“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的充分不必要條件.故選:A本題考查了充分不必要條件的判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值,又對(duì)所有成立,所以,解得,故選:D.本題綜合考查了隨機(jī)變量的期望?方差的求法,結(jié)合了概率?二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí),需要學(xué)生具備一定的計(jì)算能力,屬于中檔題.4.B【解析】

設(shè)左焦點(diǎn)的坐標(biāo),由AB的弦長(zhǎng)可得a的值,進(jìn)而可得雙曲線的方程,及左右焦點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出三角形ABF2的面積,再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個(gè)三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由雙曲線的方程可設(shè)左焦點(diǎn),由題意可得,由,可得,所以雙曲線的方程為:所以,所以三角形ABF2的周長(zhǎng)為設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,所以三角形的面積,所以,解得,故選:B本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法,內(nèi)切圓的半徑與三角形長(zhǎng)周長(zhǎng)的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應(yīng)用,屬于中檔題.5.B【解析】

解不等式,可判斷A選項(xiàng)的正誤;寫出原命題的逆命題并判斷其真假,可判斷B選項(xiàng)的正誤;利用原命題與否命題、逆否命題的關(guān)系可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】解不等式,解得,則命題為假命題,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;命題的逆命題是“若,則”,該命題為真命題,B選項(xiàng)正確;命題的否命題是“若,則”,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;命題的逆否命題是“若,則”,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:B.本題考查四種命題的關(guān)系,考查推理能力,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】

選取向量,為基底,由向量線性運(yùn)算,求出,即可求得結(jié)果.【詳解】,,,,,.故選:B.本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,平面向量基本定理,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】

利用等差通項(xiàng),設(shè)出和,然后,直接求解即可【詳解】令,則,,∴,,∴.本題考查等差數(shù)列的求和問題,屬于基礎(chǔ)題8.A【解析】

根據(jù)雙曲線方程(),確定焦點(diǎn)位置,再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線(),所以,又因?yàn)闈u近線方程為,所以,所以.故選:A.本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】

畫出分段函數(shù)圖像,可得,由于,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,分析最值,即得解.【詳解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故選:A本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化劃歸,綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.10.B【解析】

直接利用集合的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】解:全集,集合,,則,故選:.本題考查集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】

求出導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定參數(shù)范圍.【詳解】,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,∴在上只有一個(gè)極大值也是最大值,顯然時(shí),,時(shí),,因此要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則,∴.故選:B.本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍.12.B【解析】

設(shè)過(guò)點(diǎn)作的垂線,其方程為,聯(lián)立方程,求得,,即,由,列出相應(yīng)方程,求出離心率.【詳解】解:不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)作的垂線,其方程為,由解得,,即,由,所以有,化簡(jiǎn)得,所以離心率.故選:B.本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解、推理論證能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

根據(jù)流程圖,運(yùn)行程序即得.【詳解】第一次運(yùn)行,;第二次運(yùn)行,;第三次運(yùn)行,;第四次運(yùn)行;所以輸出的S的值是.故答案為:本題考查算法流程圖,是基礎(chǔ)題.14.1055【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖中的程序,即可求得結(jié)果.【詳解】模擬執(zhí)行程序如下:,滿足,,滿足,,滿足,,滿足,,不滿足,輸出.故答案為:1055.本題考查程序框圖的模擬執(zhí)行,屬基礎(chǔ)題.15.4【解析】

根據(jù)等差數(shù)列關(guān)系,用首項(xiàng)和公差表示出,解出首項(xiàng)和公差的關(guān)系,即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題意得:,則整理得,,所以故答案為:4此題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算,涉及等比中項(xiàng),考查基本計(jì)算能力.16.5.【解析】

由約束條件作出可行域,令z=3x+y,化為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè),當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取最大值5.故答案為:5本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(Ⅰ)1636人;(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性,可將區(qū)間分為和兩種情況,然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的概率,進(jìn)而可求出相應(yīng)的人數(shù);(Ⅱ)由題意得成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]的概率為,且,由此可得的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)槲锢碓汲煽?jī),所以.所以物理原始成績(jī)?cè)冢?7,86)的人數(shù)為(人).(Ⅱ)由題意得,隨機(jī)抽取1人,其成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]內(nèi)的概率為.所以隨機(jī)抽取三人,則的所有可能取值為0,1,2,3,且,所以,,,.所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望.(1)解答第一問的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布的三個(gè)特殊區(qū)間表示所求概率的區(qū)間,再根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求解,解題時(shí)注意結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性.(2)解答第二問的關(guān)鍵是判斷出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,然后可得分布列及其數(shù)學(xué)期望.當(dāng)被抽取的總體的容量較大時(shí),抽樣可認(rèn)為是等可能的,進(jìn)而可得隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.18.(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)取的中點(diǎn)為,連結(jié),易證四邊形為平行四邊形,即,由于,為的中點(diǎn),可得到,從而得到,即可證明平面,從而得到;(Ⅱ)易證,,兩兩垂直,以,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量為,設(shè)與平面所成角為,則,即可得到答案.【詳解】解:(Ⅰ)取的中點(diǎn)為,連結(jié).由是三棱臺(tái)得,平面平面,從而.∵,∴,∴四邊形為平行四邊形,∴.∵,為的中點(diǎn),∴,∴.∵平面平面,且交線為,平面,∴平面,而平面,∴.(Ⅱ)連結(jié).由是正三角形,且為中點(diǎn),則.由(Ⅰ)知,平面,,∴,,∴,,兩兩垂直.以,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,,,,∴,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.由可得,.令,則,,∴.設(shè)與平面所成角為,則.本題考查了空間幾何中,面面垂直的性質(zhì),線線垂直的證明,及線面角的求法,考查了學(xué)生的邏輯推理能力與計(jì)算求解能力,屬于中檔題.19.(Ⅰ)(Ⅱ)1【解析】

(Ⅰ)由題,得,,解方程組,即可得到本題答案;(Ⅱ)設(shè)直線,則直線,聯(lián)立,得,聯(lián)立,得,由此即可得到本題答案.【詳解】(Ⅰ)由題可得,即,,將點(diǎn)代入方程得,即,解得,所以橢圓的方程為:;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,設(shè)直線,則直線,聯(lián)立,整理得,所以,聯(lián)立,整理得,設(shè),則,所以,所以.本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及直線與橢圓的綜合問題,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.20.(1),;(2)當(dāng)值為時(shí),無(wú)蓋三棱錐容器的容積最大.【解析】

(1)由已知求得,求得三角形的面積,再由已知得到平面,代入三棱錐體積公式求的值;(2)由題意知,在等腰三角形中,,則,,寫出三角形面積,求其平方導(dǎo)數(shù)的最值,則答案可求.【詳解】解:(1)由題意,為等腰直角三角形,又,,恰好是該零件的蓋,,則,由圖甲知,,,則在圖乙中,,,,又,平面,平面,;(2)由題意知,在等腰三角形中,,則,,.令,,,.可得:當(dāng)時(shí),,當(dāng),時(shí),,當(dāng)時(shí),有最大值.由(1)知,平面,該三棱錐容積的最大值為,且.當(dāng)時(shí),取得最大值,無(wú)蓋三棱錐容器的容積最大.答:當(dāng)值為時(shí),無(wú)蓋三棱錐容器的容積最大.本題考查棱錐體積的求法,考查空間想象能力與思維能力,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值,屬于中檔題.21.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)取的中點(diǎn),連接,由,,得三點(diǎn)共線,且,又,再利用線面垂直的判定定理證明.(Ⅱ)設(shè),則,,在底面中,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,兩式相加求得,再過(guò)作,則平面,即點(diǎn)到平面的距離,由是中點(diǎn),得到到平面的距離,然后根據(jù)與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】(Ⅰ)取的中點(diǎn),連接,由,,得三點(diǎn)共線,且,又,,所以平面,所以.(Ⅱ)設(shè),,,在底面中,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,兩式相加得:,所以,,過(guò)作,則平面,即點(diǎn)到平面的距離,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以為到平面的距離,因?yàn)榕c平面所成的角的正弦值為,

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