2022屆云南省昆明市高三三診一模5月高考模擬數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

云南省昆明市2022屆高三“三診一模”高考模擬數(shù)學(xué)（理）試題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，且，則（

）A． B． C．2 D．3．為了鼓勵學(xué)生鍛煉身體，強健體魄，增強抵抗病毒能力，某校決定加強體育活動并對體育成績進行定期統(tǒng)計，下表是該校高三年級某次體育測試成績的樣本頻率分布表：500名高三學(xué)生體育成績的頻率分布表分組頻率該次高三年級體育測試成績中位數(shù)的估計值位于區(qū)間（

）A． B． C． D．4．已知數(shù)列是首項為1的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，，則輸出的（

）A．4 B．5 C．6 D．76．函數(shù)部分圖象大致為（

）A． B．C． D．7．四邊形中，，，，，則（

）A． B． C． D．8．雙曲線C：的左，右焦點分別為，，是C上一點，滿足，且，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．9．已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．10．一個球體被兩個平行平面所截，夾在兩平行平面間的部分叫做“球臺”，兩平行平面間的距離叫做球臺的高．如圖1，西晉越窯的某個“臥足杯”的外形可近似看作球臺，其直觀圖如圖2，已知杯底的直徑為cm，杯口直徑為cm，杯的深度為cm，則該臥足杯側(cè)面所在球面的半徑為（

）A．5cm B．cmC．cm D．cm11．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，過點的直線與交于A，兩點，且，設(shè)直線的斜率為，則（

）A． B． C． D．12．對于函數(shù)，有下列四個論斷：①是增函數(shù)②是奇函數(shù)③有且僅有一個極值點④的最小值為若其中恰有兩個論斷正確，則（

）A． B． C． D．13．已知x，y滿足，則的最小值為___________．14．若的展開式中存在項，且項的系數(shù)不為，則的值可以是__________．（寫出滿足條件的一個的值即可）15．某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，路途用時（單位：）服從正態(tài)分布；第二條路線較長但不擁擠，路途用時（單位：）服從正態(tài)分布．若有一天他出發(fā)時離上班時間還有，則__________．（精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）16．記數(shù)列的前項和為，則__________．17．從①，②兩個條件中選擇一個補充到題目中，完成下列問題：在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，且．(1)求的面積；(2)若是線段的中點，求的長．18．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，分別是棱，，的中點．(1)證明：平面；(2)若，，求與平面所成角的大?。?9．《中共中央國務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅戰(zhàn)的意見》提出“構(gòu)建智慧高效的生態(tài)環(huán)境管理信息化體系”，下一步，需加快推進5G、物聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、云計算等新信息技術(shù)在生態(tài)環(huán)境保護領(lǐng)域的建設(shè)與應(yīng)用，實現(xiàn)生態(tài)環(huán)境管理信息化、數(shù)字化、智能化．某科技公司開發(fā)出一款生態(tài)環(huán)保產(chǎn)品．已知該環(huán)保產(chǎn)品每售出件預(yù)計利潤為萬元，當(dāng)月未售出的環(huán)保產(chǎn)品，每件虧損萬元．根據(jù)市場調(diào)研，該環(huán)保產(chǎn)品的市場月需求量在（單位：件）內(nèi)取值，將月需求量區(qū)間平均分成組，以各組區(qū)間的中點值代表該組的月需求量，得到頻率分布折線圖如下：(1)請根據(jù)頻率分布折線圖，估計該環(huán)保產(chǎn)品的市場月需求量的平均值及方差；(2)以頻率分布折線圖的頻率估計概率，若該公司計劃環(huán)保產(chǎn)品的月產(chǎn)量，（單位：件），求月利潤（單位：萬元）的數(shù)學(xué)期望的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，是各組區(qū)間中點值，是各組月需求量對應(yīng)的頻率，）20．已知橢圓C：的左、右焦點分別為、，左頂點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)若直線l：與C交于點D，E，線段AD，AE的中點分別為P，Q．設(shè)過點且垂直于x軸的直線為，若直線OP與直線交于點S，直線OQ與直線交于點T，求．21．已知函數(shù)．(1)不等式在上恒成立，求實數(shù)的最小值；(2)函數(shù)，記在上的最大值為，證明：．22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的普通方程為，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求與的極坐標(biāo)方程；(2)在極坐標(biāo)系中，射線與，分別交于點A，B（異于極點），若，求的值．23．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且．(1)求的最小值；(2)證明：．參考答案：1．A【解析】【分析】由對數(shù)型復(fù)合函數(shù)定義域可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：，，.故選：A.2．D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件求出可得解.【詳解】設(shè)，則，所以，，所以，，得所以，.故選：D.3．C【解析】【分析】設(shè)中位數(shù)為，易得中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，從而有，解之即可得解.【詳解】解：設(shè)中位數(shù)為，因為，所以中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，則，解得，所以該次高三年級體育測試成績中位數(shù)的估計值位于區(qū)間.故選：C.4．C【解析】【分析】設(shè)公比為，根據(jù)等差中項和等比數(shù)列的通項公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，又，所以，所以，所以.所以.故選：C.5．C【解析】【分析】根據(jù)直到型循環(huán)運行可得結(jié)果.【詳解】第一次循環(huán)后可得，繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)后可得，繼續(xù)循環(huán)，第三次循環(huán)后可得繼續(xù)循環(huán)，，第四次循環(huán)后可得，繼續(xù)循環(huán)，第五次循環(huán)后可得，繼續(xù)循環(huán)，第六次循環(huán)后可得，終止循環(huán)，所以.故選：C6．C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)值在上的符號可判斷BD不正確；根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷A不正確.【詳解】當(dāng)時，，故BD不正確；當(dāng)時，，且為增函數(shù)，所以為減函數(shù)，故A不正確，故選：C.7．D【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算將分別用表示，再根據(jù)數(shù)量積的運算律即可得解.【詳解】解：，故，所以.故選：D.8．B【解析】【分析】分類討論的位置，根據(jù)雙曲線的定義和余弦定理列式可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)在雙曲線左支上時，，又，所以，所以，即，整理得，此方程不成立.當(dāng)在雙曲線右支上時，，又，所以，所以，即，整理得，得，所以或（舍去），所以C的離心率為.故選：B9．B【解析】【分析】等價轉(zhuǎn)化之后數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點個數(shù)來處理【詳解】設(shè)當(dāng)時，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減時，取得極大值當(dāng)趨向于，趨向于當(dāng)時，，單調(diào)遞增依題意可知，直線與的圖象有兩個不同的交點如圖所示，的取值范圍為故選：B10．A【解析】【分析】作出“球臺”的軸截面，利用勾股定理得到方程組，解得即可；【詳解】解：如圖所示，作出“球臺”的軸截面，設(shè)球心為，過作交于點，交于點，依題意，，，設(shè)球的半徑為，則且，即，解得，即球面的半徑為；故選：A11．A【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求得，再根據(jù)弦長公式求得，再求出交點坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式即可得解.【詳解】解：拋物線的焦點為，準(zhǔn)線，，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消得，則，故，解得，當(dāng)時，則，解得或4，故兩交點坐標(biāo)為，點與交點所在直線得斜率為，點與交點所在直線得斜率為，當(dāng)時，則，解得或1，故兩交點坐標(biāo)為，點與交點所在直線得斜率為，點與交點所在直線得斜率為，所以.故選：A.12．C【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的定義域確定無論為何值，②一定錯誤，在討論的范圍，當(dāng)時，恒大于零，故原函數(shù)沒有極值點和最小值，故不滿足題意，即選項B、D排除.當(dāng)時，函數(shù)不是增函數(shù)，在分別驗證選項A、C，當(dāng)時，求得函數(shù)最小值不為，當(dāng)時滿足題意.【詳解】函數(shù)的定義域為，故函數(shù)是非奇非偶，即無論為何值，②一定錯誤對函數(shù)進行求導(dǎo)，當(dāng)時，恒大于零，原函數(shù)單調(diào)遞增，故原函數(shù)沒有極值點和最小值，故選項B、D排除.當(dāng)時，函數(shù)不是增函數(shù)，故只能有③④正確；當(dāng)時，函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，令，，，在上單調(diào)遞增，由于，，故，使得，即

，，在單調(diào)遞減，，，在單調(diào)遞增

故函數(shù)有且僅有一個極值點，的最小值為故只滿足③，排除選項A當(dāng)時，，令，，，在上單調(diào)遞增，，，，在單調(diào)遞減，，，在單調(diào)遞增

故的最小值為故滿足③④故選：C.13．【解析】【分析】畫出可行域，根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義及數(shù)形結(jié)合法求最小值.【詳解】由題設(shè)可得如下可行域，目標(biāo)式的幾何意義為：直線在平移過程中與可行域有交點時與x軸的截距，所以要最小，只需與可行域有交點情況下與x軸的截距最小，如圖知：當(dāng)與重合時有最小值，則.故答案為：14．（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式分析滿足的關(guān)系式，再求解即可【詳解】由通項公式可得，當(dāng)時，，故可取當(dāng)時，故答案為：（答案不唯一）15．0.0116【解析】【分析】根據(jù)原則分別求出和，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以.故答案為：0.0116.16．.【解析】【分析】由式子可知，的最小正周期，驗證對，都有的值一個定值，求出，又由即可求解.【詳解】設(shè)，可知的最小正周期，令（，），則當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；當(dāng)時，則.對于，都有,所以即則又，所以；故答案為：.【點睛】本題考查了利用數(shù)列周期性求和的問題，解題的關(guān)鍵在于求出數(shù)列的周期，進行簡化求和的運算；本題觀察數(shù)列通項公式中猜想數(shù)列的周期，并驗證周期的數(shù)值，涉及到三函函數(shù)的運算，綜合性一般，需要較強的邏輯推理.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）若選擇①，則得，由余弦定理即可得到，結(jié)合條件，，代入三角形面積公式即可求解；若選擇②，由射影定理，又，，結(jié)合余弦定理即可得到，代入三角形面積公式即可求解；（2）由中點向量得，，平方化簡可得，即可求解.(1)選擇①，因為，即在中，由余弦定理得：，，，又，，故的面積.選擇②，因為，則射影定理，得，又，，在中，由余弦定理得：，，，故的面積.(2)因為是線段的中點，所以，即，則所以，故的長為.18．(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）依題意可得，，即可得到平面，再由為平行四邊形得到，從而得到平面，即可得到平面平面，即可得證；（2）與平面所成角就是與平面所成角，再求出點到平面的距離為，根據(jù)求出即得解.(1)證明：因為E、F、G分別是棱AB、AP、PD的中點，所以，，又平面，平面，所以平面，又因為底面為平行四邊形，所以，則，又平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面平面，又平面，所以平面.(2)解：因為平面平面，所以與平面所成角就是與平面所成角.因為.因為.因為平面,所以平面.因為,因為平面,所以平面，所以平面，因為平面,所以.設(shè)點到平面的距離為，又,所以.設(shè)與平面所成角為，所以.所以與平面所成角為.19．(1)平均值，方差(2)70.3【解析】【分析】（1）根據(jù)平均值與方差的公式計算即可；（2）根據(jù)題意可得當(dāng)月需求量為時產(chǎn)品會有剩余，當(dāng)月需求量為時所有產(chǎn)品都能賣出去，依此列式求得數(shù)學(xué)期望，進而分析最大值即可(1)由題，需求量為的頻率分別為故該環(huán)保產(chǎn)品的市場月需求量的平均值；方差(2)由題，，又，故當(dāng)時，取得最大值20．(1)(2)【解析】【分析】（1）依題意得到方程組，解得、、，即可得解；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，表示出即可得到的坐標(biāo)，同理得到的坐標(biāo)，從而表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算計算可得；(1)解：依題意可得，解得，所以橢圓方程為；(2)解：設(shè)，，則，，由消去整理得，所以，，由于：，，所以，同理可得，又，所以，，所以21．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)分析在上的單調(diào)性及最大值即可（2）根據(jù)，求導(dǎo)分析得在上有極大值點，進而放縮證明最大值大于等于極大值大于即可(1)，令有，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故，故實數(shù)，即的最小值為(2)由題，則，.先分析，因為，，故，故在上單調(diào)遞減.又，，即，，故在上有極大值點，設(shè)為，則，即得證【點睛】本題主要考查了求導(dǎo)分析函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，同時也考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題，需要根據(jù)題意分析極值點的范圍，屬于中檔題22．(1)的極坐標(biāo)方程為；的極坐標(biāo)方程為.(2)【解析】【分析】（1）消去參數(shù)得的直角坐標(biāo)方