直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系課前自主預(yù)習(xí)案課堂互動(dòng)探究案課前自主預(yù)習(xí)案必

備

知

識(shí)1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d________rΔ________0相切d________rΔ________0相離d________rΔ________0<>＝＝><

則兩圓C1，C2有以下位置關(guān)系：位置關(guān)系外離內(nèi)含相交內(nèi)切外切圓心距與半徑的關(guān)系________________________________________圖示公切線條數(shù)40213d>r1＋r20≤d<|r1－r2||r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2【常用結(jié)論】1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.

夯

實(shí)

基

礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若直線平分圓的周長(zhǎng)，則直線一定過(guò)圓心．(

)(2)在圓中最長(zhǎng)的弦是直徑．(

)(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有解，則直線與圓相交．(

)(4)聯(lián)立兩相交圓的方程，并消去二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在直線的方程．(

)√√×√

答案：B

3．(教材改編)圓x2＋y2＋4x－4y＋7＝0與圓(x－1)2＋(y－4)2＝16的位置關(guān)系是(

)A．外切 B．內(nèi)切C．相交 D．相離答案：C

4．(易錯(cuò))過(guò)點(diǎn)P(2，4)作圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為(

)A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝0答案：C

5．(易錯(cuò))若半徑為r，圓心為(0，1)的圓和定圓(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，則r＝_____________．

課堂互動(dòng)探究案1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系．2．能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題．問(wèn)題思考·夯實(shí)技能【問(wèn)題1】幾何法、代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系各有什么特點(diǎn)？

【問(wèn)題2】將兩個(gè)相交的非同心圓的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相減，可得一直線方程，這條直線方程具有什么樣的特殊性呢？答案：“幾何法”側(cè)重于圖形的幾何性質(zhì)，步驟較簡(jiǎn)潔；“代數(shù)法”則側(cè)重于“坐標(biāo)”與“方程”．判斷直線與圓的位置關(guān)系，一般用幾何法．答案：兩圓相減得一直線方程，它經(jīng)過(guò)兩圓的公共點(diǎn)．經(jīng)過(guò)相交兩圓的公共交點(diǎn)的直線是兩圓的公共弦所在直線．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一

直線與圓的位置關(guān)系例1(1)已知M(a，b)(ab≠0)是圓O：x2＋y2＝r2內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以M為中點(diǎn)的弦所在直線m和直線l：ax＋by＝r2，則(

)A．m∥l且l與圓相交B．m⊥l且l與圓相離C．m∥l且l與圓相離D．m⊥l且l與圓相交答案：C

答案：A

題后師說(shuō)判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓上或圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交或相切．鞏固訓(xùn)練1(1)設(shè)m∈R，則直線l：mx＋y－m－1＝0與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系為(

)A．相離

B．相切C．相交或相切

D．相交答案：

C

解析：因?yàn)閙x＋y－m－1＝0，所以m(x－1)＋y－1＝0，即直線恒過(guò)定點(diǎn)(1，1)；因?yàn)辄c(diǎn)(1，1)恰在x2＋y2＝2上，所以直線和圓的位置關(guān)系是相交或相切．故選C.

－4

答案：

B

(2)[2024·湖北荊州模擬]若直線x－2y＋a＝0被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長(zhǎng)為2，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_________．1解析：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，則(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1，1)，半徑r＝1，弦長(zhǎng)為2，則直線過(guò)圓心，即1－2＋a＝0，解得a＝1.題后師說(shuō)角度二切線問(wèn)題例3(1)[2024·河北張家口模擬]過(guò)點(diǎn)P(1，1)作圓E：x2＋y2－4x＋2y＝0的切線，則切線方程為(

)A．x＋y－2＝0B．2x－y－1＝0C．x－2y＋1＝0D．x－2y＋1＝0或2x－y－1＝0答案：

C

答案：D

題后師說(shuō)求過(guò)某點(diǎn)的圓的切線問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求切線方程．若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn))，則過(guò)該點(diǎn)的切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過(guò)該點(diǎn)的切線有兩條，此時(shí)注意斜率不存在的切線．

答案：

A

答案：D

題后師說(shuō)涉及與圓的弦長(zhǎng)、切線有關(guān)線段長(zhǎng)度的最值(范圍)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是弄清楚圓心到已知直線的最短距離，然后再解決問(wèn)題．鞏固訓(xùn)練2(1)[2024·吉林延邊模擬]經(jīng)過(guò)P(2，3)向圓x2＋y2＝4作切線，切線方程為(

)A．5x－12y＋26＝0B．13x－12y＋10＝0C．5x－12y＋26＝0或x＝2D．13x－12y＋10＝0或x＝2答案：C

(2)[2024·廣東深圳模擬]若過(guò)點(diǎn)M(2，1)的直線l與圓O：x2＋y2＝8交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB最短時(shí)直線l的方程為(

)A．2x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0C．x＋2y－4＝0 D．2x＋y－5＝0答案：D

答案：

BD

(2)[2024·山東濰坊模擬]已知圓C：x2＋y2－4xcosθ－4ysinθ＝0，與圓C總相切的圓D的方程是_________．x2＋y2＝16解析：圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝4，圓C的圓心為(2cosθ，2sinθ)，半徑為2，由圓心坐標(biāo)可知圓心軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，故圓C上總有點(diǎn)與原點(diǎn)距離為4，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知圓D的方程是：x2＋y2＝16.題后師說(shuō)(1)處理與兩圓的位置關(guān)系相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，多用圓心距與兩圓半徑的和或差的大小關(guān)系判斷，一般不采用代數(shù)法．(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到．(3)求兩圓公共弦長(zhǎng)時(shí)，在其中一圓中，弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．鞏固訓(xùn)練3(1)已知圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4，則圓C1與C2的位置關(guān)系是(

)A．內(nèi)含

B．相交C．外切

D．相離答案：D

(2)[2024·河南駐馬店模擬]若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的長(zhǎng)為1，則直線AB的方程為(

)A．2ax＋by－1＝0

B．2ax＋by－3＝0C．2ax＋2by－1＝0

D．2ax＋2by－3＝0答案：D

答案：B

2．(多選)[2021·新高考Ⅱ卷]已知直線l：ax＋by－r2＝0(r>0)與圓C：x2＋y2＝r2，點(diǎn)A(a，b)，則下列說(shuō)法正確的是(

)A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切答案：ABD

3．[2022·新高考Ⅰ卷]寫(xiě)出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋