2018版 第5章 第1節(jié)　萬有引力定律及引力常量的測定

第頁第1節(jié)萬有引力定律及引力常量的測定學習目標知識脈絡1.了解開普勒三定律的內(nèi)容．2．知道萬有引力定律的內(nèi)容、表達式及適用條件，并會用其解決簡單的問題．(重點)3．知道萬有引力常量的測定方法及該常量在物理學上的重要意義．4．會用萬有引力定律計算天體質(zhì)量，掌握天體質(zhì)量求解的基本思路．(重點、難點)行星運動的規(guī)律eq\o([先填空])開普勒三定律定律內(nèi)容圖示開普勒第一定律所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上開普勒第二定律太陽與任何一個行星的連線(矢徑)在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等開普勒第三定律行星繞太陽運行軌道半長軸r的立方與其公轉(zhuǎn)周期T的平方成正比，公式：eq\f(r3,T2)＝keq\o([再判斷])1．為了便于研究問題，通常認為行星繞太陽做勻速圓周運動．(√)2．太陽系中所有行星的運動速率是不變的．(×)3．太陽系中軌道半徑大的行星其運動周期也長．(√)eq\o([后思考])如圖5-1-1所示，所有行星都繞太陽在橢圓軌道上運行，某一行星繞太陽運動的速率在不同位置都一樣大嗎？圖5-1-1【提示】不一樣，在行星距離太陽較近時速率大，在行星距離太陽較遠時速率小．eq\o([合作探討])如圖5-1-2所示為地球繞太陽運動的示意圖，A、B、C、D分別表示春分、夏至、秋分、冬至時地球所在的位置．探討1：太陽是否在軌道平面的中心？夏至、冬至時地球到太陽的距離是否相同？圖5-1-2【提示】太陽不在軌道平面中心，夏至、冬至地球到太陽的距離不同．探討2：一年之內(nèi)秋冬兩季比春夏兩季為什么要少幾天？根據(jù)地球的公轉(zhuǎn)周期計算火星的公轉(zhuǎn)周期還需要知道什么數(shù)據(jù)？【提示】根據(jù)開普勒第二定律，地球在秋冬兩季比在春夏兩季離太陽距離近，線速度大，所以秋冬兩季比春夏兩季要少幾天．根據(jù)eq\f(r3,T2)＝k，要計算火星的公轉(zhuǎn)周期還要知道火星軌道半徑與地球軌道半徑的比值．eq\o([核心點擊])1．從空間分布上認識：行星的軌道都是橢圓，不同行星軌道的半長軸不同，即各行星的橢圓軌道大小不同，但所有軌道都有一個共同的焦點，太陽在此焦點上．因此開普勒第一定律又叫焦點定律．2．對速度大小的認識(1)如圖5-1-3所示，如果時間間隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由開普勒第二定律，面積SA＝SB，可見離太陽越近，行星在相等時間內(nèi)經(jīng)過的弧長越長，即行星的速率越大．因此開普勒第二定律又叫面積定律．圖5-1-3(2)近日點、遠日點分別是行星距離太陽的最近點、最遠點，所以同一行星在近日點速度最大，在遠日點速度最?。?．對周期長短的認識(1)行星公轉(zhuǎn)周期跟軌道半長軸之間有依賴關(guān)系，橢圓軌道半長軸越長的行星，其公轉(zhuǎn)周期越長；反之，其公轉(zhuǎn)周期越短．(2)該定律不僅適用于行星，也適用于其他天體．例如，繞某一行星運動的不同衛(wèi)星．(3)研究行星時，常數(shù)k與行星無關(guān)，只與太陽有關(guān)．研究其他天體時，常數(shù)k只與其中心天體有關(guān)．1．關(guān)于開普勒對于行星運動規(guī)律的認識，下列說法正確的是()A．所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓B．所有行星繞太陽運動的軌道都是圓C．所有行星的軌道半長軸的二次方跟公轉(zhuǎn)周期的三次方的比值都相同D．所有行星的公轉(zhuǎn)周期與行星的軌道半徑成正比【解析】由開普勒第一定律知所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上，選項A正確，B錯誤；由開普勒第三定律知所有行星的軌道半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，選項C、D錯誤．【答案】A2．某行星繞太陽運行的橢圓軌道如圖5-1-4所示，F(xiàn)1和F2是橢圓軌道的兩個焦點，行星在A點的速率比在B點的大，則太陽是位于()【導學號：45732148】圖5-1-4A．F2 B．AC．F1 D．B【解析】根據(jù)開普勒第二定律：太陽和行星的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積，因為行星在A點的速率比在B點的速率大，所以太陽在離A點近的焦點上，故太陽位于F2.【答案】A3．某人造地球衛(wèi)星運行時，其軌道半徑為月球軌道半徑的eq\f(1,3)，則此衛(wèi)星運行周期大約是()A．3～5天 B．5～7天C．7～9天 D．大于9天【解析】月球繞地球運行的周期約為27天，根據(jù)開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，得eq\f(r3,T2)＝eq\f(r\o\al(3,月),T\o\al(2,月))，則T＝eq\f(1,3)×27×eq\r(\f(1,3))(天)≈5.2(天)．【答案】B應用開普勒定律注意的問題1．適用對象：開普勒定律不僅適用于行星，也適用于衛(wèi)星，只不過此時eq\f(r3,T2)＝k，比值k是由中心天體所決定的另一恒量，與環(huán)繞天體無關(guān)．2．定律的性質(zhì)：開普勒定律是總結(jié)行星運動的觀察結(jié)果而總結(jié)出來的規(guī)律．它們每一條都是經(jīng)驗定律，都是從觀察行星運動所取得的資料中總結(jié)出來的．3．對速度的認識：當行星在近日點時，速度最大．由近日點向遠日點運動的過程中，速度逐漸減小，在遠日點時速度最?。f有引力定律eq\o([先填空])1．內(nèi)容自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的方向沿兩物體的連線，引力的大小F與這兩個物體質(zhì)量的乘積m1m2成正比，與這兩個物體間距離r的平方成反比．2．表達式：F＝eq\f(Gm1m2,r2)(1)r是兩質(zhì)點間的距離(若為勻質(zhì)球體，則是兩球心的距離)．(2)G為萬有引力常量，G＝6.67×10－11m3/(kg·s2)．eq\o([再判斷])1．一個蘋果由于其質(zhì)量很小，所以它受的萬有引力幾乎可以忽略．(×)2．任何兩物體間都存在萬有引力．(√)3．地球?qū)υ虑虻囊εc地面上的物體所受的地球引力是兩種不同性質(zhì)的力．(×)eq\o([后思考])如圖5-1-5所示，同一個物體在地球表面的不同位置時，所受的萬有引力大小相同嗎？圖5-1-5【提示】由于地球不是一個標準的球體，物體處于地面的不同位置時，物體到地心的距離不同，所以萬有引力的大小可能不同．eq\o([合作探討])如圖5-1-6所示，天體是有質(zhì)量的，人是有質(zhì)量的，地球上的其他物體也是有質(zhì)量的．請思考：圖5-1-6探討1：任意兩個物體之間都存在萬有引力嗎？“兩個物體之間的距離r”指物體哪兩部分間的距離？【提示】任意兩物體之間都存在萬有引力，r指兩物體重心之間的距離．探討2：地球?qū)θ说娜f有引力與人對地球的萬有引力大小相等嗎？【提示】相等．符合牛頓第三定律．eq\o([核心點擊])1．萬有引力定律公式的適用條件：嚴格地說，萬有引力定律公式F＝Geq\f(m1m2,r2)只適用于計算兩個質(zhì)點間的相互作用，但對于下述兩類情況，也可用該公式計算：(1)兩個質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用，可用該公式計算，其中r是兩個球體球心間的距離．(2)一個均勻球體與球外一個質(zhì)點間的萬有引力，可用公式計算，其中r為球心到質(zhì)點間的距離．2．萬有引力的“四性”四性內(nèi)容普遍性萬有引力不僅存在于太陽與行星、地球與月球之間，宇宙間任何兩個有質(zhì)量的物體之間都存在著這種相互吸引的力相互性兩個有質(zhì)量的物體之間的萬有引力是一對作用力和反作用力，根據(jù)牛頓第三定律，總是滿足大小相等，方向相反，分別作用在兩個物體上宏觀性地面上的一般物體之間的萬有引力比較小，與其他力比較可忽略不計，但在質(zhì)量巨大的天體之間或天體與其附近的物體之間，萬有引力起著決定性作用特殊性兩個物體之間的萬有引力只與它們本身的質(zhì)量和它們之間的距離有關(guān)，而與所在空間的運動性質(zhì)無關(guān)，也與周圍是否存在其他物體無關(guān)4．要使兩物體間的萬有引力減小到原來的eq\f(1,4)，下列辦法不可采用的是()A．使物體的質(zhì)量各減小一半，距離不變B．使其中一個物體的質(zhì)量減小到原來的eq\f(1,4)，距離不變C．使兩物體間的距離增為原來的2倍，質(zhì)量不變D．使兩物體間的距離和質(zhì)量都減為原來的eq\f(1,4)【解析】根據(jù)F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，A、B、C三種情況中萬有引力均減為原來的eq\f(1,4)，當距離和質(zhì)量都減為原來的eq\f(1,4)時，萬有引力不變，選項D錯誤．【答案】D5．某實心勻質(zhì)球半徑為R，質(zhì)量為M，在球外離球面h高處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點，則其受到的萬有引力大小為()【導學號：45732149】A．Geq\f(Mm,R2) B．Geq\f(Mm,R＋h2)C．Geq\f(Mm,h2) D．Geq\f(Mm,R2＋h2)【解析】萬有引力定律中r表示兩個質(zhì)點間的距離，因為勻質(zhì)球可看成質(zhì)量集中于球心上，所以r＝R＋h.【答案】B6．已知太陽的質(zhì)量M＝2.0×1030kg，地球的質(zhì)量m＝6.0×1024kg，太陽與地球相距r＝1.5×1011m，(比例系數(shù)G＝6.67×10－11N·m2/kg2)求：(1)太陽對地球的引力大?。?2)地球?qū)μ柕囊Υ笮。窘馕觥?1)太陽與地球之間的引力跟太陽的質(zhì)量成正比、跟地球的質(zhì)量成正比，跟它們之間的距離的二次方成反比，則F＝Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(6.67×10－11×2.0×1030×6.0×1024,1.5×10112)N＝3.56×1022N.(2)地球?qū)μ柕囊εc太陽對地球的引力是作用力與反作用力，由牛頓第三定律可知F′＝F＝3.56×1022N.【答案】(1)3.56×1022N(2)3.56×1022N萬有引力定律的應用方法1．首先分析能否滿足用F＝Geq\f(m1m2,r2)公式求解萬有引力的條件．2．明確公式中各物理量的大?。?．利用萬有引力公式求解引力的大小及方向．引力常量的測定及意義eq\o([先填空])1．在1798年，即牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律一百多年以后，英國物理學家卡文迪許利用扭秤實驗，較準確地測出了引力常量. G＝6.67×10－11m3/(kg·s2)．2．意義：使用萬有引力定律能進行定量運算，顯示出其真正的實用價值．3．知道G的值后，利用萬有引力定律可以計算出天體的質(zhì)量，卡文迪許也因此被稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”．eq\o([再判斷])1．引力常量是牛頓首先測出的．(×)2．卡文迪許通過改變質(zhì)量和距離，證實了萬有引力的存在及萬有引力定律的正確性．(√)3．卡文迪許第一次測出了引力常量，使萬有引力定律能進行定量計算，顯示出真正的實用價值．(√)eq\o([后思考])卡文迪許為什么被人們稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”？【提示】因為卡文迪許測出引力常量G值之后，它使萬有引力定律有了真正的實用價值，利用萬有引力定律便可以計算出地球的質(zhì)量，所以卡文迪許被稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”．eq\o([合作探討])觀察圖5-1-7，請思考：圖5-1-7探討1：如果知道自己的重力，你能求出地球的質(zhì)量嗎？如果能，還需要知道哪些物理量？【提示】能，根據(jù)mg＝Geq\f(Mm,R2)，M＝eq\f(gR2,G)，故還需要萬有引力常量，地球半徑．探討2：如何能測得地球的密度呢？【提示】根據(jù)萬有引力提供向心力，先求出地球質(zhì)量，再根據(jù)ρ＝eq\f(M,V)計算地球密度．eq\o([核心點擊])1．天體質(zhì)量的計算：下面以計算地球的質(zhì)量為例，介紹兩種方法．方法1：已知月球(地球的衛(wèi)星)繞地球運動的周期T和軌道半徑r，可計算出地球的質(zhì)量M.由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r得M＝eq\f(4π2r3,GT2).方法2：已知地球的半徑R和地球表面的重力加速度g，可求得地球的質(zhì)量．不考慮地球自轉(zhuǎn)，地面上質(zhì)量為m的物體所受的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，即mg＝eq\f(GMm,R2)，M＝geq\f(R2,G).2．計算天體的密度(1)若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)將M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式得：ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)當衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π,GT2).(2)已知天體表面上的重力加速度為g，則ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\f(gR2,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πRG).7．對于引力常量G的理解，下列說法中錯誤的是()A．G是一個比值，在數(shù)值上等于質(zhì)量均為1kg的兩個質(zhì)點相距1m時的引力大小B．G的數(shù)值是為了方便而人為規(guī)定的C．G的測定使萬有引力定律公式更具有實際意義D．G的測定從某種意義上也能夠說明萬有引力定律公式的正確性【解析】根據(jù)萬有引力定律公式F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，G＝eq\f(Fr2,m1m2)，當r＝1m，m1＝m2＝1kg時，G＝F，故A正確；G是一個有單位的物理量，單位是m3/(kg·s2)．G的數(shù)值不是人為規(guī)定的，而是在牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律一百多年后，由卡文迪許利用扭秤實驗測出的，故B錯誤，C、D正確．【答案】B8．“嫦娥一號”是我國首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200km的圓形軌道上運行，運行周期為127分鐘．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半徑約為1.74×103km.利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為()【導學號：45732150】A．8.1×1010kg B．7.4×1013kgC．5.4×1019kg D．7.4×1022kg【解析】設探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m，月球的質(zhì)量為M，根據(jù)萬有引力提供向心力Geq\f(mM,R＋h2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)(R＋h)，將h＝200000m，T＝127×60s，G＝6.67×10－