哈爾濱市中考數學模擬試卷分類匯編整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題(附答案)

哈爾濱市中考數學模擬試卷分類匯編整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題(附答案)一、整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題1．閱讀理解題：定義：如果一個數的平方等于－1，記為i2=－1，這個數i叫做虛數單位.那么形如a+bi（a，b為實數）的數就叫做復數，a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部，它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似.例如計算：（2+i）+（3-4i）=5－3i.（1）填空：i3=________，i4="________"；（2）計算：①；②；（3）若兩個復數相等，則它們的實部和虛部必須分別相等，完成下列問題：已知：（x+y）+3i=（1－x）－yi，（x，y為實數），求x，y的值.（4）試一試：請利用以前學習的有關知識將化簡成a+bi的形式2．【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形.如何把二次_一項式ax2+bx+c進行因式分解呢?我們已經知道，(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2.反過來，就得到：a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).我們發(fā)現(xiàn)，二次項的系數a分解成a1a2，常數項c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2，如圖①所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次項系數b，那么ax2+bx+c就可以分解為(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1，c1位于圖的上一行，a2，c2位于下一行.像這種借助畫十字交叉圖分解系數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”.例如，將式子x2-x-6分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積，即1=1×1，把常數項-6也分解為兩個因數的積，即-6=2×（-3)；然后把1，1，2，-3按圖②所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到1×(-3)+1×2=-1，恰好等于一次項的系數-1，于是x2-x-6就可以分解為(x+2)(x-3).（1）請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖③的虛線方框內填入適當的數，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x-6=________.（2）【理解與應用】請你仔細體會上述方法，并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：Ⅰ.2x2+5x-7=________；Ⅱ.6x2-7xy+2y2=________

.（3）【探究與拓展】對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關于x，y的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解.如圖④，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)，請你認真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：Ⅰ.分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4=________

.Ⅱ.若關于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成兩個一次因式的積，求m的值.________Ⅲ.己知x，y為整數，且滿足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1，請寫出一組符合題意的x，y的值.________3．閱讀下列材料:對于多項式x2+x-2，如果我們把x=1代入此多項式，發(fā)現(xiàn)x2+x-2的值為0，這時可以確定多項式中有因式(x-1):同理，可以確定多項式中有另一個因式(x+2)，于是我們可以得到:x2+x-2=(x-1)(x+2)又如:對于多項式2x2-3x-2，發(fā)現(xiàn)當x=2時，2x2-3x-2的值為0，則多項式2x2-3x-2有一個因式(x-2)，我們可以設2x2-3x-2=(x-2)(mx+n)，解得m=2，n=1，于是我們可以得到:2x2-3x-2=(x-2)(2x+1)請你根據以上材料，解答以下問題:（1）當x=________時，多項式6x2-x-5的值為0，所以多項式6x2-x-5有因式________

，從而因式分解6x2-x-5=________.（2）以上這種因式分解的方法叫試根法，常用來分解一些比較復雜的多項式.請你嘗試用試根法分解多項式:①2x2+5x+3;②x3-7x+6（3）小聰用試根法成功解決了以上多項式的因式分解，于是他猜想:代數式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3有因式________

，________

，

________

，所以分解因式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3=________。4．有一個邊長為m+3的正方形，先將這個正方形兩鄰邊長分別增加1和減少1，得到的長方形①的面積為S1.（1）試探究該正方形的面積S與S1的差是否是一個常數，如果是，求出這個常數；如果不是，說明理由；（2）再將這個正方形兩鄰邊長分別增加4和減少2，得到的長方形②的面積為S2.①試比較S1，S2的大??；②當m為正整數時，若某個圖形的面積介于S1，S2之間（不包括S1，S2）且面積為整數，這樣的整數值有且只有16個，求m的值.5．數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助理解數學問題．（1）請寫出圖1、圖2、圖3分別能解釋的乘法公式．（2）用4個全等的長和寬分別為a、b的長方形拼擺成一個如圖4的正方形，請你寫出這三個代數式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關系．（3）根據（2）中你探索發(fā)現(xiàn)的結論，完成下列問題：①當a+b＝5，ab＝﹣6時，則a﹣b的值為________．②設，B＝x﹣2y﹣3，計算：（A+B）2﹣（A﹣B）2的結果________．6．如果一個正整數能表示為兩個連續(xù)偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘數”（1）28和2012這兩個數是“神秘數”嗎？為什么？（2）設兩個連續(xù)偶數為2k+2和2k(其中k取非負整數)，由這兩個連續(xù)偶數構造的神秘數是4的倍數嗎？為什么？（3）兩個連續(xù)奇數的平方差(k取正數)是神秘數嗎？為什么？7．提出問題：“周長一定的長方形，當鄰邊長度滿足什么條件時面積最大？”探究發(fā)現(xiàn)：如圖所示，小敏用4個完全相同的、鄰邊長度分別為a、b的長方形拼成一個邊長為（a+b）的正方形（其中a、b的和不變，但a、b的數值及兩者的大小關系都可以變化）.仔細觀察拼圖，我們發(fā)現(xiàn)，如果右圖中間有空白圖形F，那么它一定是正方形（1）空白圖形F的邊長為________；（2）通過計算左右兩個圖形的面積，我們發(fā)現(xiàn)（a+b）2、（a﹣b）2和ab之間存在一個等量關系式.①這個關系式是________；②已知數x、y滿足：x+y＝6，xy＝，則x﹣y＝________；問題解決：問題：“周長一定的長方形，當鄰邊長度滿足什么條件時面積最大？”①對于周長一定的長方形，設周長是20，則長a和寬b的和是________面積S＝ab的最大值為________，此時a、b的關系是________；②對于周長為L的長方形，面積的最大值為________.活動經驗：周長一定的長方形，當鄰邊長度a、b滿足________時面積最大.8．已知A=2a-7，B=a2-4a+3，C=a2+6a-28，其中．（1）求證：B-A＞0，并指出A與B的大小關系；（2）閱讀對B因式分解的方法：解：B=a2-4a+3=a2-4a+4-1=（a-2）2-1=（a-2+1）（a-2-1）=（a-1）（a-3）.請完成下面的兩個問題：①仿照上述方法分解因式：x2-4x-96；②指出A與C哪個大？并說明你的理由．9．著名的瑞士數學家歐拉曾指出：可以表示為四個整數平方之和的甲、乙兩數相乘，其乘積仍然可以表示為四個整數平方之和，即

，這就是著名的歐拉恒等式，有人稱這樣的數為“不變心的數”．實際上，上述結論可概括為：可以表示為兩個整數平方之和的甲、乙兩數相乘，其乘積仍然可以表示為兩個整數平方之和．【閱讀思考】在數學思想中，有種解題技巧稱之為“無中生有”．例如問題：將代數式改成兩個平方之差的形式．解：原式﹒（1）【動手一試】試將改成兩個整數平方之和的形式．（12+52）（22+72）=________；（2）【解決問題】請你靈活運用利用上述思想來解決“不變心的數”問題：將代數式改成兩個整數平方之和的形式（其中a、b、c、d均為整數），并給出詳細的推導過程﹒10．閱讀理解.因為，

①因為

②所以由①得：

，由②得：所以試根據上面公式的變形解答下列問題：（1）已知，則下列等式成立的是（

）①；

②；

③；④；A.①B.①②C.①②③D.①②③④；（2）已知，求下列代數式的值：①；②；③.11．現(xiàn)有若干張如圖1所示的正方形紙片A，B和長方形紙片C．（1）小王利用這些紙片拼成了如圖2的一個新正方形，通過用兩種不同的方法計算新正方形面積，由此，他得到了一個等式：________；（2）小王再取其中的若干張紙片（三種紙片都要取到）拼成一個面積為a2+3ab+nb2的長方形，則n可取的正整數值是________，并請你在圖3位置畫出拼成的長方形________；（3）根據拼圖經驗，請將多項式a2+5ab+4b2分解因式．12．如圖，有足夠多的邊長為a的小正方形（A類）、寬為a長為b的長方形（B類）以及邊長為b的大正方形（C類），發(fā)現(xiàn)利用圖①中的三種材料若干可以拼出一些長方形來解釋某些等式．嘗試解決：（1）取圖①中的若干個（三類圖形都要取到）拼成一個長方形，使其面積為（a+b）（a+b），在下面虛線框中畫出圖形，并根據圖形回答（a+b）（a+b）=________．（2）圖②是由圖①中的三種材料拼出的一個長方形，根據②可以得到并解釋等式：________（3）若取其中的若干個（三類圖形都要取到）拼成一個長方形，使其面積為3a2+4ab+b2．你畫的圖中需要B類卡片________張；（4）分解因式：3a2+4ab+b2．拓展研究：如圖③，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若用m、n表示四個直角三角形的兩直角邊邊長（b＞a），觀察圖案，以下關系式中正確的有________．（填寫正確選項的序號）（1）ab=（2）a+b=m（3）a2+b2=（4）a2+b2=m2【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題1．（1）-i；1（2）解：①（2+i）（2-i）=4-i2=5②（2+i）2=i2+4i+4=-1+4i+4=3+4i；∵（x+y）+3i=（1-x）-yi，∴x+y=1-x，3=-y，解析：（1）-i；1（2）解：①（2+i）（2-i）=4-i2=5②（2+i）2=i2+4i+4=-1+4i+4=3+4i；∵（x+y）+3i=（1-x）-yi，∴x+y=1-x，3=-y，∴x=2，y=-3；原式=i.（3）∵（x+y）+3i=(1-x)-yi，∴x+y=1-x，3=-y，∴x=2，y=-3；（4）【解析】【解答】解：（1）∵i2=-1，∴i3=i2?i=-1?i=-i，i4=i2?i2=-1?（-1）=1【分析】（1）由于i3=i2?i，i4=i2?i2，將i2=－1代入計算即可；（2）①利用平方差公式計算可得（2+i）（2-i）=4-i2

，然后代入計算即可；②

利用完全平方公式計算可得（2+i）2=i2+4i+4，然后代入計算即可；（3）由（x+y）+3i=(1-x)-yi，可得x+y=1-x，3=-y，據此解出x、y的值即可；（4）利用平方差公式及分式的基本性質進形解答即得.2．（1）(x+3)(x-2)（2）(x-1)(2x+7)；(2x-y)(3x-2y)（3）(x+2y-1)(3x-y+4)；解：如圖，∵關于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-解析：（1）(x+3)(x-2)（2）(x-1)(2x+7)；(2x-y)(3x-2y)（3）(x+2y-1)(3x-y+4)；解：如圖，∵關于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成兩個一次因式的積，∴存在其中1×1=1，9×(-2)=-18，(-8)×3=--24；而7=1×(-2)+1×9，-5=1×(-8)+1×3，∴m=9×3+(-2)×(-8)=43或m=9×(-8)+(-2)×3=-78.故m的值為43或者-78.；x=-1，y=0(答案不唯一)【解析】【解答】（1）

將式子x2-x-6分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積，即1=1×1，把常數項-6也分解為兩個因數的積，即-6=3×（-2)；然后把1，1，3，-2按下圖所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到1×(+3)+1×(-2)=-1，恰好等于一次項的系數1，于是x2+x-6就可以分解為(x+3)(x-2).（2）根據基本原理，同樣得出十字交叉圖：Ⅰ.

II.∴2x2+5x-7=

(x-1)(2x+7),

6x2-7xy+2y2=(2x-y)(3x-2y);（3）Ⅰ.根據ax2+bxy+cy2+dx+ey+f分解因式的基本原理得如圖所示的雙十字交叉圖：所以3x2+5xy-2y2+x+9y-4=(x+2y-1)(3x-y+4)

；Ⅱ如圖：x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成(x-2y+3)(x+9y-8),或分解成：(x-2y-8)(x+9y+3),所以m=43或-78.III.x2+3xy+2y2+2x+3y=-1,得

x2+3xy+2y2+2x+3y+1=0,如圖所示：得(x+2y+1)(x+y+1)=0，∴

x+2y+1=0，或x+y+1=0，或

x+2y+1=0且x+y+1=0∴如當x=-1時，y=0,或x=3,y=-4等均可使上式成立?！痉治觥浚?）根據題給基本原理分步解答，即左側相乘等于二次項，右側相乘等于常數項，交叉相乘再相加等于中間項，最終得出如圖所示的十字交叉結果。（2）根據十字相乘法的原理畫出十字相乘圖，就能得出分解因式的結果。（3）I.對于雙十字相乘法，同樣也模仿十字相乘法根據其基本原理，分步解答，畫出雙十字交叉圖，根據原理驗證各項系數，得出因式分解的結論。II.y項系數不定，先根據雙十字相乘法畫出雙十字相乘圖，在滿足其他項系數前提下，再算m項系數。III.先根據雙十字相乘原理分解因式，要使二元二次式等于零，只要一個因式等于即可，所以符合條件的答案不唯一。3．（1）1；x-1；(x-1)(6x+5)（2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)（3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-(解析：（1）1；x-1；(x-1)(6x+5)（2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)（3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-(y-2)3-(x-y)3=3(x-2)(y-2)(x-y)【解析】【分析】（1）根據閱讀材料可知當x=1時多項式6x2-x-5的值為0，從而可得到多項式6x2-x-5的一個因式為（x-1）即可將此多項式分解因式。（2）將x=-1代入2x2+5x+3，可知其值為0，因此可將此多項式分解因式；將x=1代入x3-7x+6，可知x3-7x+6=0，再將x=2代入，可知x3-7x+6=0，從而可將其多項式進行分解因式。（2）利用試根法，將已知多項式進行分解因式即可。4．（1）解：S與S1的差是是一個常數，∵s=(m+3)2=m2+6m+9，∴，∴S與S1的差是1（2）解：∵∴，∴當-2m+1﹥0，即-1﹤m﹤12解析：（1）解：S與S1的差是是一個常數，∵，∴，∴S與S1的差是1（2）解：∵∴，∴當-2m+1﹥0，即-1﹤m﹤時，﹥；當-2m+1﹤0，即m﹥時，﹤；當-2m+1=0，即m=時，=；②由①得，S1﹣S2＝-2m+1，∴，∵m為正整數，∴，∵一個圖形的面積介于S1，S2之間（不包括S1，S2）且面積為整數，整數值有且只有16個，∴16＜≤17，∴＜m≤9，∵m為正整數，∴m=9【解析】【分析】（1）根據正方形的面積計算方法及長方形的面積計算方法分別表示出S與S1，再根據整式減法運算求出S與S1的差即可得出結論；（2）①根據正方形的面積計算方法及長方形的面積計算方法分別表示出S1與S2，再根據整式減法運算求出S1與S2的差，再根據差大于0時，﹥；差小于0時，

＜；差等于0時，=；分別列出不等式或方程，求解即可；②由①得，S1﹣S2＝-2m+1，故=2m-1,由于一個圖形的面積介于S1，S2之間（不包括S1，S2）且面積為整數，整數值有且只有16個，故16＜≤17，解不等式組并求出其整數解即可。5．（1）圖1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；圖2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；圖3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（2）圖4：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab（3解析：（1）圖1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；圖2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；圖3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（2）圖4：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab（3）±7；∵，B＝x﹣2y﹣3，∴（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4×A×B＝4××（x﹣2y﹣3）＝（x+2y﹣3）（x﹣2y﹣3）＝[（x﹣3）+2y][（x﹣3）﹣2y]＝x2﹣6x+9﹣4y2．【解析】【解答】（3）①由（2）知：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∵a+b＝5，ab＝﹣6，∴52﹣（a﹣b）2＝4×（﹣6），（a﹣b）2＝25+24＝49，∴a﹣b＝±7，故答案為：±7；【分析】（1）根據圖形面積直接得出即可；（2）用兩種方法表示陰影部分的面積可得結論；（3）①根據（2）中的等量關系代入計算可得結論；②同理根據（2）中的公式代入可得結論．6．（1）解：設設這兩個連續(xù)偶數分別為2m，2m+2，則根據題意得：(2m+2)2-(2m)2=28，8m+4=28，m=3，∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，∴28是“神解析：（1）解：設設這兩個連續(xù)偶數分別為2m，2m+2，則根據題意得：(2m+2)2-(2m)2=28，8m+4=28，m=3，∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，∴28是“神秘數”.(2m+2)2-(2m)2=2012，8m+4=2012，m=501，∴2m=1002∴2012是“神秘數”.（2）解：是；理由如下：∵(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，∴由這兩個連續(xù)偶數構造的神秘數是4的倍數.（3）解：由（2）可知“神秘數”可表示為4(2n-1)，∵2n-1是奇數，∴4(2n-1)是4的倍數，但一定不是8的倍數，設兩個連續(xù)的奇數為2n-1和2n+1，則(2n+1)2-(2n-1)2=8n.∴連續(xù)兩個奇數的平方差是8的倍數，∴連續(xù)兩個奇數的平方差不是“神秘數”.【解析】【分析】（1）根據“神秘數”的定義，設這兩個連續(xù)偶數分別為2m，2m+2，列方程求出m的值即可得答案；（2）根據“神秘數”的定義可知(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，即可得答案；（3）由（2）可知“神秘數”是4的倍數，但一定不是8的倍數，而連續(xù)兩個奇數的平方差一定是8的倍數，即可得答案.7．（1）a﹣b（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；5或﹣5；10；25；a＝b；116L2；a＝b【解析】【解答】（1）由圖可知：空白圖形F的邊長為：a﹣b，故答案為：a﹣b；解析：（1）a﹣b（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；5或﹣5；10；25；a＝b；L2；a＝b【解析】【解答】（1）由圖可知：空白圖形F的邊長為：a﹣b，故答案為：a﹣b；（2）①左圖形的面積為：2a×2b＝4ab，右圖形的面積為：（a+b）2﹣（a﹣b）2，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故答案為：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；②由（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab得：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，即：62﹣（x﹣y）2＝4×，∴（x﹣y）2＝25，∴x﹣y＝5或x﹣y＝﹣5，故答案為：5或﹣5；問題解決：解：①∵長方形的周長是20，∴2（a+b）＝20，∴a+b＝10，則b＝10﹣a，∴面積S＝ab＝a（10﹣a）＝﹣a2+10a＝﹣（a﹣5）2+25，∴a＝5時，S＝ab的最大值為25，此時a、b的關系是a＝b，故答案為：10，25，a＝b；②對于周長為L的長方形，設一邊長為a，則鄰邊長為﹣a，∴面積；∴面積的最大值為L2；故答案為：L2；活動經驗：解：周長一定的長方形，當鄰邊長度a、b滿足a＝b時面積最大；故答案為：a＝b.【分析】探究發(fā)現(xiàn)（1）由圖可知：空白圖形F的邊長為：a-b；（2）①由矩形的性質得出左圖形的面積為：2a×2b=4ab，由正方形的性質得出右圖形的面積為：（a+b）2-（a-b）2，即可得出答案；②由①得出（x-y）2=25，即可得出答案；問題解決①由長方形的性質得出a+b=10，面積S=ab=a（10-a）=-a2+10a=-（a-5）2+25，由二次函數的性質即可得出答案；②由長方形的性質得出面積；由二次函數的性質即可得出答案；活動經驗根據前面的問題即可得出結論.8．（1）解：B-A=a2-4a+3-2a+7=a2-6a+10=（a-3）2+1＞0，B＞A（2）解：①x2-4x-96=x2-4x+4-100=（x-2）2-102=（x-2+1解析：（1）解：B-A=a2-4a+3-2a+7=a2-6a+10=（a-3）2+1＞0，B＞A（2）解：①x2-4x-96=x2-4x+4-100=（x-2）2-102=（x-2+10）（x-2-10）=（x+8）（x-12）；②C-A=a2+6a-28-2a+7=a2+4a-21=（a+7）（a-3）．因為a＞2，所以a+7＞0，從而當2＜a＜3時，A＞C；當a=3時，A=C；當a＞3時，A＜C【解析】【分析】（1）根據題意B-A=（a-3）2+1＞0，得到A與B的大小關系是B＞A；（2）根據完全平方公式a2-2ab+b2=（a-b）2和平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，分解即可；由C-A=（a+7）（a-3），再由a>2，得到a+7＞0，2＜a＜3時，A＞C；當a=3時，A=C；當a＞3時，A＜C.9．（1）(12+52)(22+72)=32+372（2）解：(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2，證明如下：

(a2+b2)(c2+d2)

=(a2c2解析：（1）（2）解：，證明如下：

【解析】【分析】（1）根據歐拉公式即可得出答案。（2）根據歐拉公式再利用完全平方公式的性質