1823正方形課件人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

18.2.3正方形第十八章平行四邊形導(dǎo)入新課正方形思考

正方形和矩形有什么關(guān)系？1．回顧矩形、菱形的性質(zhì)和判定定理．2．用一張長(zhǎng)方形的紙片(如圖所示)折出一個(gè)正方形．動(dòng)手中對(duì)正方形產(chǎn)生感性認(rèn)識(shí)，并感知正方形與矩形的關(guān)系．探究新知思考正方形有哪些性質(zhì)？

正方形是我們熟悉的幾何圖形，它的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.正方形是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？正方形也是矩形，所以它具有矩形的性質(zhì)，四個(gè)角相等，對(duì)角線相等.正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性質(zhì)，即正方形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

正方形是軸對(duì)稱圖形嗎？有幾條對(duì)稱軸？是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸.鄰邊相等矩形〃〃正方形〃〃

菱形一個(gè)角是直角正方形∟正方形定義有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫正方形.知識(shí)歸納正方形的四個(gè)角都是直角；正方形的四條邊都相等；正方形的對(duì)角線相等，并且互相垂直平分；正方形是軸對(duì)稱圖形，它有四條對(duì)稱軸.正方形的性質(zhì)1.把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片如圖那樣折一下，就可以裁出一個(gè)正方形紙片，為什么？解：由折疊可知：∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，∴四邊形ABCD是矩形.又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形.ABCD練習(xí)2.如何從一塊長(zhǎng)方形木板中裁出一個(gè)最大的正方形木板呢？解：在長(zhǎng)方形木塊較長(zhǎng)的一邊上截取一段等于較短的一條邊長(zhǎng)，即可得到最大的正方形木板。ABCD探究新知正方形、菱形、矩形、平行四邊形之間有什么關(guān)系？思考矩形菱形正方形平行四邊形鄰邊相等有一個(gè)直角一組鄰邊相等有一個(gè)直角做一做

準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開(kāi)，折疊部分得到一個(gè)正方形，可量一量驗(yàn)證驗(yàn)證.正方形矩形正方形一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直矩形滿足怎樣條件的矩形是正方形？如何判定一個(gè)四邊形是正方形呢？探究新知已知：如圖,在矩形ABCD中,AC,DB是它的兩條對(duì)角線,

AC⊥DB.求證：矩形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO

，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴矩形ABCD是正方形.求證：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.ABCDO做一做

把可以活動(dòng)的菱形框架的一個(gè)角變?yōu)橹苯牵^察這時(shí)菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等菱形已知：如圖,在菱形ABCD中,AC,DB是它的兩條對(duì)角線，AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.ABCDO求證：對(duì)角線相等的菱形是正方形.∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四邊形ABCD是正方形.證明：知識(shí)歸納正方形矩形有一組鄰邊相等菱形有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角正方形常見(jiàn)的判定方法先證是矩形再證是菱形或先證是菱形再證是矩形平行四邊形如圖，四邊形ABCD是一塊正方形場(chǎng)地，小華和小芳在AB邊上取定了一點(diǎn)E，測(cè)量知EC=30m，EB=10m.這塊場(chǎng)地的面積和對(duì)角線長(zhǎng)分別是多少？解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=90°.在Rt△BEC中，（m）練習(xí)連接AC，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=20（m），AC===40（m）S正方形ABCD=BC2=

（20）2

=800（m2）所以正方形的對(duì)角線長(zhǎng)40m，面積為800m2.例題與練習(xí)例1求證：正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.已知：如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O。求證：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形。ABCDO證明：∵四邊形ABCD是正方形。∴AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.圖中共有多少個(gè)等腰直角三角形？例2如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N.(1)求證：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求證：四邊形MPND是正方形．證明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB；(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四邊形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，∴PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN，∴四邊形MPND是正方形．例題與練習(xí)練習(xí)1．教材P60練習(xí)第3題．2．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，則以AC為邊長(zhǎng)的正方形ACEF的周長(zhǎng)為(

)A．14B．15C．16D．17C3．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊三角形ADE，則∠BED的度數(shù)是______．45°4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)O為邊AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE＝OD，連接AE，BE.(1)求證：四邊形AEBD是矩形；(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形．并說(shuō)明理由．解：(1)∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴BO＝AO.又∵OE＝OD，∴四邊形AEBD是平行四邊形．∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四邊形AEBD是矩形；(2)當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，矩形AEBD是正方形．理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，由(1)，得四邊形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．(答案不唯一，言之有理即可)課堂小結(jié)1.四個(gè)角都是直角2.四條邊都相