七年級數(shù)學(xué)下冊講義（北師大版）第一章第03講 同底數(shù)冪的除法(6類熱點題型講練)（解析版）

第03講同底數(shù)冪的除法(6類熱點題型講練)1.經(jīng)歷同底數(shù)冪的除法法則的探索過程，理解同底數(shù)冪的除法法則;2.理解零次冪和負整數(shù)指數(shù)冪的意義，并能進行負整數(shù)指數(shù)冪的運算;3.會用同底數(shù)冪的除法法則進行計算.知識點01同底數(shù)冪的除法(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.要點詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.逆用公式：即（都是正整數(shù)）.知識點02零指數(shù)冪：（a≠0）知識點03負指數(shù)冪：（a≠0，p是正整數(shù)）題型01同底數(shù)冪的除法【例題】（2023上·八年級課時練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把當(dāng)作一個整體，根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計算，再利用積的乘方法則計算即可；（2）先根據(jù)冪的乘方法則計算，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計算；（3）先根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算同時根據(jù)有理數(shù)乘方進行運算，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計算即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）．【點睛】本題考查整式的乘除混合運算，掌握相應(yīng)的運算法則、掌握運算順序是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·全國·八年級課堂例題）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的除法運算即可求解；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的除法運算即可求解；（3）根據(jù)同底數(shù)冪的除法運算即可求解．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．【點睛】本題主要考查整式的乘除法的運算，掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·全國·八年級課堂例題）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用同底數(shù)冪的除法法則計算即可；（2）利用同底數(shù)冪的乘法和除法法則計算即可；（3）利用積的乘方和同底數(shù)冪的除法法則計算即可；（4）先把，底數(shù)作為一個整體，利用同底數(shù)冪的乘法和除法計算即可；【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，積的乘方，熟練運用這些運算法則是解題的關(guān)鍵．題型02同底數(shù)冪除法的逆用【例題】（2023上·八年級課時練習(xí)）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）逆運用同底數(shù)冪的除法的性質(zhì)解答即可；（2）逆運用冪的乘方與同底數(shù)冪的除法進行計算即可得解．【詳解】（1）解：，，；（2），，．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，冪的乘方的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·安徽安慶·七年級校考期中）已知，，求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪除法的逆運算法則求解即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的除法的逆運算和冪的乘方的逆運算法則求解即可．【詳解】（1）解：，，；（2）解：，，．【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的除法的逆運算，冪的乘方的逆運算，（，都是整數(shù)），（，都是整數(shù)），熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）根據(jù)條件求值：(1)已知，，求的值；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）先根據(jù)冪的乘方計算法則求出，，再由同底數(shù)冪除法的逆運算法則得到，據(jù)此代值計算即可；（2）先根據(jù)冪的乘方的逆運算法則將原式變形為，再根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運算得到，由此推出，則．【詳解】（1）解：∵，，∴，，即，，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘除法的逆運算，冪的乘方和冪的乘方的逆運算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．題型03冪的混合運算【例題】（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先計算冪的乘方，再計算同底數(shù)冪的除法；（2）先計算同底數(shù)冪的乘法、乘方，再計算同底數(shù)冪的乘法與除法．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法與除法，，，（，，都是正整數(shù)），注意負數(shù)的奇次冪還是負數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·山東泰安·六年級校考階段練習(xí)）計算下列各題(1)(2)（是整數(shù)）(3)（是整數(shù)）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法法則計算即可；（3）先化為同底數(shù)冪，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計算即可；【詳解】（1）；（2）；（3）；【點睛】本題主要考查了冪的混合運算及其逆運用，熟練掌握冪的運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·全國·七年級假期作業(yè)）計算：(1)(2)；(3)先化簡，再求值：，其中．【答案】(1)(2)(3)，－25．【分析】（1）先算冪的乘方，再算乘除，最后計算加減即可求解；（2）把作為一個整體，從左往右計算，即可求解；（3）先算括號內(nèi)的，再計算除法，最后再代入求值，即可求解．【詳解】（1）原式；（2）原式．（3）原式===，當(dāng)=－5時，原式=－25．【點睛】本題主要考查了冪的混合運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握冪的運算法則，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪法則是解題的關(guān)鍵．題型04零指數(shù)冪【例題】計算：．【答案】1【詳解】解：．故答案為：1【變式訓(xùn)練】1．計算：．【答案】1【詳解】解：，故答案為：．2．計算：．【答案】【詳解】解：.題型05負整數(shù)指數(shù)冪【例題】計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【變式訓(xùn)練】1．計算：．【詳解】解：．2．計算：．【詳解】．題型06用科學(xué)計數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)【例題】（2023上·遼寧鐵嶺·八年級統(tǒng)考期末）若一粒米的質(zhì)量約是，將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．【答案】【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【詳解】解：，故答案為：【變式訓(xùn)練】1．（2023上·黑龍江佳木斯·八年級統(tǒng)考期末）納米是一種長度單位，1納米米，冠狀病毒的直徑約為120納米，將120納米用科學(xué)記數(shù)法表示為米．【答案】【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法的運用，負指數(shù)的運用，同底數(shù)冪的運算，科學(xué)記數(shù)法的表示為，確定的值的方法是：原數(shù)變?yōu)闀r，小數(shù)點移動的位數(shù)與的絕對值相同．當(dāng)小數(shù)點向右移動時，為負數(shù)；當(dāng)小數(shù)點向左移動時，為正數(shù)；最后根據(jù)同底數(shù)冪的運算法則即可求解．【詳解】解：納米=，故答案為：．2.（2023上·江蘇南京·八年級南京大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┪覈呀?jīng)成功研制出超導(dǎo)量子計算原型機“祖沖之二號”．根據(jù)已公開的最優(yōu)經(jīng)典算法，在處理“量子隨機線路取樣”問題時，“祖沖之二號”用時大約為秒，將用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為．【答案】【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面0的個數(shù)所決定．【詳解】解：，故答案為：．一、單選題1．（2023上·河南濮陽·八年級校聯(lián)考期中）下列各式運算結(jié)果為的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法，冪的乘方，合并同類項的運算法則計算各項，即可得到答案．【詳解】解：A．，故選項符合題意；B．，故選項不符合題意；C．，故選項不符合題意；D．，故選項不符合題意.故選：A．2．（2023上·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期中）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是合并同類項，同底數(shù)冪的除法，乘法運算，積的乘方運算，根據(jù)各自的運算法則逐一分析即可，熟記運算法則是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并，不符合題意；B、，故本選項計算錯誤，不符合題意；C、，計算正確，符合題意；D、，故本選項計算錯誤，不符合題意；故選：C．3．（2023上·吉林松原·八年級校聯(lián)考期末）經(jīng)測算，一粒芝麻的質(zhì)量約為，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【詳解】解：．故選：D．4．（2023上·河南濮陽·八年級校聯(lián)考期中）若，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查零指數(shù)冪的意義，根據(jù)零指數(shù)冪的定義即可判斷．【詳解】解：根據(jù)零指數(shù)冪的意義，，∴．故選：C．5．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級?？茧A段練習(xí)）下列四個算式：①；②；③；④．其中計算不正確的是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．②③【答案】B【分析】本題考查冪的運算，涉及同底數(shù)冪的除法、積的乘方、冪的乘方等知識，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．根據(jù)同底數(shù)冪的除法、積的乘方、冪的乘方法則逐個解題【詳解】解：①，錯誤，②，正確，③，錯誤，④，正確故①③錯誤，故選：B．二、填空題6．（2023上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】本題考查整式的運算中積的乘方及整式除法，解題的關(guān)鍵是掌握整式運算的相關(guān)法則．先算積的乘方，再從左到右依次計算；【詳解】解：，故答案為：．7．（2023上·吉林松原·八年級校聯(lián)考期末）計算：．【答案】【分析】本題考查了整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．先計算整數(shù)指數(shù)冪的運算，然后進行有理數(shù)的加法運算，由此得到答案．【詳解】解：，故答案為：．8．（2023上·重慶九龍坡·八年級重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則代數(shù)式的值為．【答案】1【分析】本題主要考查冪的乘方逆運算和同底數(shù)冪除法逆運算，先將變形為，再把變形為，然后整體代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：1．9．（2023上·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┤A為搭載了最新一代處理器麒麟，這款芯片采用了最先進的制造工藝，已知，將用科學(xué)記數(shù)法表示為：．【答案】【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時n是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案．【詳解】解：，故答案為：．10．（2023上·四川資陽·八年級四川省安岳中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數(shù)相同，則的值等于．

【答案】2【分析】本題主要考查了整式的加減計算，同底數(shù)冪除法的逆運算，先分別表示出經(jīng)過取走和取出后，甲、乙、丙三個袋子中的球數(shù)分別為，，，再由題意可得最后三個袋子中的球都是21個，由此得到，即，最后根據(jù)進行計算求解即可．【詳解】解：經(jīng)過取走和取出后，甲、乙、丙三個袋子中的球數(shù)分別為，，，∵一共有個球，且最后三個袋子中的球的數(shù)量相同，∴最后三個袋子中的球都是21個，∴，∴，∴，故答案為：2．三、解答題11．（2023上·廣東江門·八年級江門市福泉奧林匹克學(xué)校?？计谥校┯嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥勘绢}主要考查了單項式乘以單項式，積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪除法等計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵，注意同底數(shù)冪乘除法指數(shù)是相加減，冪的乘方和積的乘方指數(shù)是相乘．【詳解】解：原式．12．（2023下·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期中）計算(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)絕對值、有理數(shù)的乘方、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪化簡，然后再計算即可；（2）先算乘方，再算乘法和除法，最后合并同類項即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．【點睛】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)的四則混合運算、零次冪、負整數(shù)次冪、整式的四則混合運算等知識點，靈活運用相關(guān)知識點是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023下·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)負整指數(shù)冪，乘方以及零指數(shù)冪求解即可；（2）根據(jù)冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法和除法求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：【點睛】此題考查了零指數(shù)冪，負整指數(shù)冪，冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘除法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運算法則．14．（2023下·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)4(2)【分析】（1）根據(jù)絕對值的意義，零指數(shù)與負整數(shù)指數(shù)冪的意義進行即可；（2）根據(jù)冪運算性質(zhì)進行運算，最后合并同類項即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，冪的混合運算．掌握冪的相關(guān)運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）已知，，求：(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)6(2)【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．（1）利用同底數(shù)冪的乘法的法則進行求解即可；（2）利用同底數(shù)冪的除法的法則及冪的乘方的法則進行求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴；（2）∵，，∴．16．（2023上·陜西延安·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）按要求解答下面各題．(1)已知，求的值；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)，代值求解即可；（2）根據(jù)，即