控制系統(tǒng)的能控性和能觀性培訓(xùn)課件

3.1能控性的定義1．線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性定義線性連續(xù)定常系統(tǒng)：如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入，能在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)，轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)工，則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是能控的。幾點(diǎn)說明：1)在線性定常系統(tǒng)中，為簡便計(jì)，可以假定初始時(shí)刻，初始狀態(tài)為，而任意終端狀態(tài)就指定為零狀態(tài)。即8/23/20241控制系統(tǒng)的能控性和能觀性2)也可以假定=0，而工為任意終端狀態(tài)，換句話說，若存在一個(gè)無約束控制作用，在有限時(shí)間內(nèi)，能將由零狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到任意。在這種情況下，稱為狀態(tài)的能達(dá)性。3)在討論能控性問題時(shí)，控制作用從理論上說是無約束的，其取值并非唯一的，因?yàn)槲覀冴P(guān)心的只是它能否將驅(qū)動(dòng)到，而不計(jì)較的軌跡如何。2．線性連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)的能控性定義線性連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)：3．離散時(shí)間系統(tǒng)這里只考慮單輸入的n階線性定常離散系統(tǒng)：8/23/20242控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.2線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.2.1具有約旦標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)的能控性判別1．單輸入系統(tǒng)具有約旦標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)矩陣的單輸入系統(tǒng)，狀態(tài)方程為：線性定常系統(tǒng)能控性判別準(zhǔn)則有兩種形式，一種是先將系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)變換，把狀態(tài)方程化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型，再根據(jù)陣，確定系統(tǒng)的能控性；另一種方法是直接根據(jù)狀態(tài)方程的A陣和B陣，確定其能控性。或式中(2)(1)8/23/20243控制系統(tǒng)的能控性和能觀性8/23/20244控制系統(tǒng)的能控性和能觀性為簡明起見，下面列舉三個(gè)具有上述類型的二階系統(tǒng)，對(duì)其能控性加以剖析。(3)(4)(5)8/23/20245控制系統(tǒng)的能控性和能觀性1)對(duì)于式(3)的系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣A為對(duì)角線型，其標(biāo)量微分方程形式為：(6)(7)2)對(duì)于式(4)的系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣A為約旦型，微分方程組為：3)對(duì)于式(5)的系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣雖也為約旦型，但控制矩陣第二行的元素卻為0，其微分子方程組為：(8)(9)(10)(11)2．具有一般系統(tǒng)矩陣的多輸入系統(tǒng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：(12)8/23/20246控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.2.2直接從A與B判別系統(tǒng)的能控性1．單輸入系統(tǒng)線性連續(xù)定常單輸入系統(tǒng)：其能控的充分必要條件是由A、b構(gòu)成的能控性矩陣：滿秩，即。否則，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)為不能控的。2．多輸入系統(tǒng)對(duì)多輸入系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為：其能控的充分必要條件是矩陣：式中,B為階矩陣；為r維列矢量。的秩為。(14)(15)8/23/20247控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.3線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性3.3.1能觀性定義能觀性所表示的是輸出反映狀態(tài)矢量的能力，與控制作用沒有直接關(guān)系，所以分析能觀性問題時(shí)，只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)，即如果對(duì)任意給定的輸入，在有限觀測時(shí)間,使得根據(jù)期間的輸出能唯一地確定系統(tǒng)在初始時(shí)刻的狀態(tài)，則稱狀態(tài)是能觀測的。若系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，或簡稱是能觀的。(1)8/23/20248控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.3.2定常系統(tǒng)能觀性的判別定常系統(tǒng)能觀性的判別也有兩種方法，一種是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換，將系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式變換成約旦標(biāo)準(zhǔn)型，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)型下的C陣，判別其能觀性，另一種方法是直接根據(jù)A陣和C陣進(jìn)行判別。1．轉(zhuǎn)換成約旦標(biāo)準(zhǔn)型的判別方法線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)空問表達(dá)式為：現(xiàn)分兩種情況敘述如下：(1)A為對(duì)角線矩陣(2)8/23/20249控制系統(tǒng)的能控性和能觀性這時(shí)式(2)用房承租形式表示，可有：(3)(4)8/23/202410控制系統(tǒng)的能控性和能觀性從而可得結(jié)構(gòu)圖如圖所示。將式(3)帶入輸出方程式(4)，得：(2)A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型矩陣以三階為例：8/23/202411控制系統(tǒng)的能控性和能觀性這時(shí)，狀態(tài)方程的解為：從而(5)8/23/202412控制系統(tǒng)的能控性和能觀性由式(5)可知，當(dāng)且僅當(dāng)輸出．矩陣C中第一列元素不全為零時(shí)，y(t)中總包含著系統(tǒng)的全部自由分量而為完全能觀。2．直接從A、C陣判斷系統(tǒng)的能觀性約旦標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)具有串聯(lián)型的結(jié)構(gòu)，如圖所示：8/23/202413控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.4離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性與能觀性3.4.1能控性矩陣M離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：(1)3.4.2能觀性矩陣N離散時(shí)間系統(tǒng)的能觀性，是從下述兩個(gè)方程出發(fā)的。式中,為維列矢量；C為輸出矩陣，其余同式(6)。(2)當(dāng)系統(tǒng)為單輸入系統(tǒng)時(shí)，式中為標(biāo)量控制作用．控制陣為維列矢量；G為系統(tǒng)矩陣；為狀態(tài)矢量。8/23/202414控制系統(tǒng)的能控性和能觀性根據(jù)3.3節(jié)中能觀性定義，如果知道有限采樣周期內(nèi)的輸出，就能唯一地確定任意初始狀態(tài)矢量，則系統(tǒng)是完全能觀的，現(xiàn)根據(jù)此定義推導(dǎo)能觀性條件。從式(1)，有：若系統(tǒng)能觀，那么在知道時(shí)，應(yīng)能確定出，，現(xiàn)從式(7)可得：(3)寫成矩陣形式：8/23/202415控制系統(tǒng)的能控性和能觀性有唯一解的充要條件是其系數(shù)矩陣的秩等于。這個(gè)系數(shù)矩陣稱為能觀性矩陣。仿連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，記為N。即(4)(5)8/23/202416控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.5時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀性3.5.1能控性判別1.有關(guān)線性時(shí)變系統(tǒng)能控性的幾點(diǎn)說明這個(gè)限制條件是為了保證系統(tǒng)狀態(tài)方程的解存在且唯一。3)根據(jù)能控性定義，可以導(dǎo)出能控狀態(tài)和控制作用之問的關(guān)系式。4)非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性。2)定義中的，是系統(tǒng)在允許控制作用下，由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)狀態(tài)(原點(diǎn))的時(shí)刻。1)定義中的允許控制，在數(shù)學(xué)上要求其元在區(qū)間是絕對(duì)平方可積的，即8/23/202417控制系統(tǒng)的能控性和能觀性5)如果是能控狀態(tài)，則也是能控狀態(tài)，是任意非零實(shí)數(shù)。7)由線性代數(shù)關(guān)于線性空間的定義可知，系統(tǒng)中所有的能控狀態(tài)構(gòu)成狀態(tài)空間中的一個(gè)子空間。此子空間稱為系統(tǒng)的能控子空間，記為。6)如果和是能控狀態(tài)，則也必定是能控狀態(tài)。2．線性連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)的能控性判別時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：為非奇異的。系統(tǒng)在上狀態(tài)完全能控的充分必要條件是格拉姆矩陣為非奇異的。(1)(2)8/23/202418控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.5.2能觀性判別1．有關(guān)線性時(shí)變系統(tǒng)能觀性的幾點(diǎn)討論2)根據(jù)不能觀測的定義，可以寫出不能觀測狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式：這是一個(gè)很重要的關(guān)系式，下面的幾個(gè)推論都是由它推證出來的。3)對(duì)系統(tǒng)作線性非奇異變換，不改變其能觀測性。5)如果和都是不能觀的，則也是不能觀的。1)時(shí)間區(qū)間是識(shí)別初始狀態(tài)所需要的觀測時(shí)間，對(duì)時(shí)變系統(tǒng)來說，這個(gè)區(qū)問的大小和初始時(shí)刻的選擇有關(guān)。4)如果是不能觀測的，為任意非零實(shí)數(shù)，則也是不能觀測的。6)根據(jù)前面分析可以看出，系統(tǒng)的不能觀測狀態(tài)構(gòu)成狀態(tài)空間的一個(gè)子(3)8/23/202419控制系統(tǒng)的能控性和能觀性2．線性連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)能觀性判別為非奇異的。在上狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是格拉姆矩陣3.5.3連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)可控性和可觀性判別法則和連續(xù)定常系統(tǒng)的判別法之間的關(guān)系時(shí)變系統(tǒng)(4)(5)態(tài)空間中是零空間，則該系統(tǒng)才是完全能觀的。空間，稱為不能觀子空間，記為。只有當(dāng)系統(tǒng)的不能觀子空問。在狀8/23/202420控制系統(tǒng)的能控性和能觀性眾所周知，一個(gè)矩陣：因此，有這個(gè)矩陣的列矢量線性無關(guān)與非奇異等價(jià)。式中，為列矢量，當(dāng)且僅當(dāng)由構(gòu)成的格拉姆矩陣為非奇異時(shí)，列矢量是線性無關(guān)的?，F(xiàn)在8/23/202421控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.6能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系能控性與能觀性有其內(nèi)在關(guān)系，這種關(guān)系是由卡爾曼提出的對(duì)偶原理確定的，利用對(duì)偶關(guān)系可以把對(duì)系統(tǒng)能控性分析轉(zhuǎn)化為對(duì)其對(duì)偶系統(tǒng)能觀性的分析。從而也溝通了最優(yōu)控制問題和最優(yōu)估計(jì)問題之間的關(guān)系。3.6.1線性系統(tǒng)的對(duì)偶關(guān)系有兩個(gè)系統(tǒng)，一個(gè)系統(tǒng)為：另一個(gè)系統(tǒng)：為：若滿足下述條件，則稱與是互為對(duì)偶的。8/23/202422控制系統(tǒng)的能控性和能觀性式中，為維狀態(tài)矢量；各為r與m維控制矢量；各為與維輸出矢量；為系統(tǒng)矩陣；各為，與，維控制矩陣；各為與維輸出矩陣。8/23/202423控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.6.2對(duì)偶原理3.6.3時(shí)變系統(tǒng)的對(duì)偶原理時(shí)變系統(tǒng)的對(duì)偶關(guān)系和定常系統(tǒng)稍有不同，且其對(duì)偶原理的證明也復(fù)雜得多。對(duì)偶原理是現(xiàn)代控制理論中一個(gè)十分重要的概念，利用對(duì)偶原理可以把系統(tǒng)能控性分析方面所得到的結(jié)論用于其對(duì)偶系統(tǒng)，從而很容易地得到其對(duì)偶系統(tǒng)能觀性方面的結(jié)論。系統(tǒng)和是互為對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)，則的能控性等價(jià)于的能觀性，的能觀性等價(jià)于的能控性?；蛘哒f，若是狀態(tài)完全能控的(完全能觀的)，則是狀態(tài)完全能觀的(完全能控的)。8/23/202424控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.7狀態(tài)空間表達(dá)式的能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型3.7.1單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)艱如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，即滿足：對(duì)于一般的維定常系統(tǒng)：1．能控標(biāo)準(zhǔn)型(1)若線性定常單輸入系統(tǒng)：是能控的，則存在線性非奇異變換：8/23/202425控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(2)(3)使其狀態(tài)空間表達(dá)式(1)化成：(4)其中(5)8/23/202426控制系統(tǒng)的能控性和能觀性稱形如式(4)的狀態(tài)空間表達(dá)式為能控標(biāo)準(zhǔn)型。其中，為特征多項(xiàng)式：的各項(xiàng)系數(shù)。8/23/202427控制系統(tǒng)的能控性和能觀性若線性定常單輸入系統(tǒng)：2.能控標(biāo)準(zhǔn)型(6)相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式(6)轉(zhuǎn)換成：(7)是能控的，則存在線性非奇異變換：(8)其中(9)8/23/202428控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(10)(11)并稱形如式(8)的狀態(tài)空間表達(dá)式為能控標(biāo)準(zhǔn)型。式(9)中的是系統(tǒng)特征多項(xiàng)式：的各項(xiàng)系數(shù)，亦即系統(tǒng)的不變量。式(11)中的是相乘的結(jié)果，即：(12)8/23/202429控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.7.2單輸出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型與變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型的條件相似，只有當(dāng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀時(shí)，即有：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式才可能導(dǎo)出能觀標(biāo)準(zhǔn)型。若線性定常系統(tǒng)：是能觀的，則存在非奇異變換：(13)(14)1．能觀標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的能觀標(biāo)準(zhǔn)型也有兩種形式，能觀標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型，它們分別與能控標(biāo)準(zhǔn)型和能控標(biāo)準(zhǔn)型相對(duì)偶。8/23/202430控制系統(tǒng)的能控性和能觀性使其狀態(tài)空間表達(dá)式(13)化成：(15)其中(16)(17)(18)稱形如式(15)的狀態(tài)空間表達(dá)式為能觀標(biāo)準(zhǔn)型。其中是矩陣A的特征多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)。8/23/202431控制系統(tǒng)的能控性和能觀性取變換陣：直接驗(yàn)證，或者用對(duì)偶原理來證明。證明過程如下：首先構(gòu)造的對(duì)偶系統(tǒng)然后寫出對(duì)偶系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型，∑的狀態(tài)空間表達(dá)式的能觀標(biāo)準(zhǔn)型即是的能控標(biāo)準(zhǔn)型，即(19)8/23/202432控制系統(tǒng)的能控性和能觀性的能控標(biāo)準(zhǔn)I型對(duì)應(yīng)的系數(shù)陣；2．能觀標(biāo)準(zhǔn)型(20)若線性定常單輸出系統(tǒng)：是能觀的，則存在非奇異變換式中，為系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)II型對(duì)應(yīng)的系數(shù)陣；(21)的對(duì)偶系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)應(yīng)的系數(shù)陣。為系統(tǒng)為系統(tǒng)8/23/202433控制系統(tǒng)的能控性和能觀性使其狀態(tài)空問表達(dá)式(20)變換為：(22)其中(23)(24)(25)稱形如式(22)的狀態(tài)空間表達(dá)式為能觀標(biāo)準(zhǔn)型。8/23/202434控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.8線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.8.1按能控性分解設(shè)線性定常系統(tǒng)(1)是狀態(tài)不完全能控，其能控性判別矩陣：的秩則存在非奇異變換：(2)8/23/202435控制系統(tǒng)的能控性和能觀性將狀態(tài)空間表達(dá)式(1)變換為：(3)其中(4)(5)8/23/202436控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(6)可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式變換為式(3)后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間就被分解成能控的和不能控的兩部分，其中維子空問：是能控的，而維子系統(tǒng)：是不能控的。對(duì)于這種狀態(tài)結(jié)構(gòu)的分解情況如圖所示，因?yàn)閷?duì)不起作用，僅作無控的自由運(yùn)動(dòng)。顯然，若不考慮維子系統(tǒng)，便可得到一個(gè)低維的能控系統(tǒng)。8/23/202437控制系統(tǒng)的能控性和能觀性至于非奇異變換陣：(7)其中個(gè)列矢量可以按如下方法構(gòu)成，前個(gè)列矢量是能控性矩陣M中的個(gè)線性無關(guān)的列，另外的個(gè)列在確保為非奇異的條件下，完全是任意的。8/23/202438控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.8.2按能觀性分解設(shè)線性定常系統(tǒng)：其狀態(tài)不完全能觀的，其能觀性判別矩陣的秩(8)則存在非奇異變換：(9)8/23/202439控制系統(tǒng)的能控性和能觀性將狀態(tài)空間表達(dá)式(8)變換為：(10)其中(11)(12)(13)8/23/202440控制系統(tǒng)的能控性和能觀性可見，經(jīng)上述變換后系統(tǒng)分解為能觀的，維子系統(tǒng)：結(jié)構(gòu)圖如下。顯然，若不考慮維不能觀測的子系統(tǒng)，便得到一個(gè)。維的能觀系統(tǒng)。和不能觀的，維子系統(tǒng)：8/23/202441控制系統(tǒng)的能控性和能觀性非奇異變換陣是這樣構(gòu)成的，取(14)8/23/202442控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.8.3按能控性和能觀性進(jìn)行分解1)如果線性系統(tǒng)是不完全能控和不完全能觀的，若對(duì)該系統(tǒng)同時(shí)按能控性和能觀性進(jìn)行分解，則可以把系統(tǒng)分解成能控且能觀、能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀四部分。當(dāng)然，并非所有系統(tǒng)都能分解成有這四個(gè)部分的。2)變換矩陣R確定之后．只需經(jīng)討一次變換便可對(duì)系統(tǒng)同時(shí)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解．但是R陣的構(gòu)造需要涉及較多的線性空間概念。3)結(jié)構(gòu)分解的另一種方法：先把待分解的系統(tǒng)化約旦標(biāo)準(zhǔn)型，然后按能空判別法則和能管判別個(gè)狀態(tài)變量的能控型和能觀性，最后按能控能觀、能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀四種類型分類排列，即可組成相應(yīng)的子系統(tǒng)。8/23/202443控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.9傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)問題3.9.1實(shí)現(xiàn)問題的基本概念對(duì)于給定傳遞函數(shù)陣W(s)，若有一狀態(tài)空間表達(dá)式∑：則稱該狀態(tài)空間表達(dá)式∑為傳遞函數(shù)陣W(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。使之成立3.9.2能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)(1)3.7節(jié)已經(jīng)介紹，對(duì)于一個(gè)單輸入單輸出系統(tǒng)，一旦給出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，便可以直接寫出其能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。本節(jié)介紹如何將這些標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)推廣到多輸入多輸出系統(tǒng)。為此，必須把維的傳遞函8/23/202444控制系統(tǒng)的能控性和能觀性數(shù)陣寫成和單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相類似的形式，即式中，為維常數(shù)陣；分母多項(xiàng)式為該傳遞函數(shù)陣的特征多項(xiàng)式。顯然W(s)是一個(gè)嚴(yán)格真有理分式的矩陣，且當(dāng)時(shí)，W(s)對(duì)應(yīng)的就是單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。(2)對(duì)于式形式的傳遞函數(shù)陣的能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)為：(3)8/23/202445控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(4)(5)與此類推，