新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)鞏固練習(xí)18 圓錐曲線經(jīng)典難題之一類交點軌跡問題的通性通法研究（解析版）

微專題18圓錐曲線經(jīng)典難題之一類交點軌跡問題的通性通法研究【秒殺總結(jié)】交點軌跡問題的常用技巧：1、兩直線方程相乘消元2、兩直線方程相除，相當(dāng)于兩斜率比問題，平方轉(zhuǎn)韋達(dá)結(jié)構(gòu)可消元3、定比點差法4、同構(gòu)5、硬解坐標(biāo)【典型例題】例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作直線交雙曲線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，求直線SKIPIF1<0的方程；(3)設(shè)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱的兩點，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點是否在一條直線上？請說明你的理由.【解析】(1)由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.(2)方法1：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0依題意有SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.方法2：設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，與雙曲線的方程SKIPIF1<0聯(lián)立得：SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.此時SKIPIF1<0，所以直線MN的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.(3)方法1：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線PM的方程為SKIPIF1<0，直線ON的方程SKIPIF1<0，聯(lián)立兩方程，可得SKIPIF1<0①結(jié)合（2）方法2，可得SKIPIF1<0代入①得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.所以直線PM與QN的交點在定直線SKIPIF1<0上.方法2：設(shè)直線MN的方程為SKIPIF1<0，與雙曲線的方程SKIPIF1<0聯(lián)立得：SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，聯(lián)立兩方程，可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以直線PM與QN的交點在定直線SKIPIF1<0上.例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線SKIPIF1<0的頂點為原點，其焦點SKIPIF1<0SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．(1)求拋物線SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一動點，過點SKIPIF1<0作拋物線SKIPIF1<0的兩條切線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為切點，求直線SKIPIF1<0的方程，并證明直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0；(3)過（2）中的點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交拋物線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別作拋物線SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交點SKIPIF1<0滿足的軌跡方程．【解析】(1)設(shè)拋物線的方程為SKIPIF1<0，∵拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)切點為SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則切線的斜率為SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以上方程的兩根，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，∵切線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在切線SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0．(3)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0，則交點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)過SKIPIF1<0點的直線為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴點SKIPIF1<0滿足的軌跡方程為SKIPIF1<0．例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，橢圓上的點到焦點的最小距離為1．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點），SKIPIF1<0于SKIPIF1<0點．試求點SKIPIF1<0的軌跡方程．【解析】(1)由題意知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故橢圓的方程為SKIPIF1<0．(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（i）若SKIPIF1<0軸，可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0軸，可設(shè)SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0；（ii）當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率存在且不為0時，設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（記為①SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可知直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（記為②SKIPIF1<0，將②代入①，化簡得SKIPIF1<0．綜合（1）、（2），可知點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0．例4．（2023·全國·高三開學(xué)考試）橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且過點SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點，動點A，B在橢圓上（不含長軸端點），且關(guān)于y軸對稱，P為橢圓上異于A，B的動點，直線PA與PB分別交y軸于M，N兩點求證：直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點在定圓上.【解析】(1)解：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，把點SKIPIF1<0代入方程得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.(2)解：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0方程：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由BP方程：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，②由①②相乘得SKIPIF1<0，③由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在橢圓上可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入③式可得：SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點在定圓SKIPIF1<0上.例5．（【全國市級聯(lián)考】山西省晉中市2023屆高三1月高考適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦點是橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的右焦點，且兩曲線有公共點SKIPIF1<0（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若過點SKIPIF1<0且斜率不為零的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，已知直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相較于點SKIPIF1<0，試判斷點SKIPIF1<0是否在一定直線上？若在，請求出定直線的方程；若不在，請說明理由.【解析】試題分析：（1）由條件易得：SKIPIF1<0，從而得到橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）先由特殊位置定出SKIPIF1<0，猜想點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，由條件可得直線SKIPIF1<0的斜率存在，設(shè)直線SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0有兩個不等的實根，利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化條件即可.試題解析：（1）將SKIPIF1<0代入拋物線SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∴拋物線的焦點為SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，又點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，

解得SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0（2）方法一當(dāng)點SKIPIF1<0為橢圓的上頂點時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，此時點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)點SKIPIF1<0為橢圓的下頂點時，由對稱性知：SKIPIF1<0.猜想點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，證明如下：由條件可得直線SKIPIF1<0的斜率存在，設(shè)直線SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0有兩個不等的實根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0聯(lián)立兩直線方程得SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0點橫坐標(biāo)）將SKIPIF1<0代入上述方程中可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0將SKIPIF1<0代入上式可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，此式成立∴點SKIPIF1<0在定直線SKIPIF1<0上.方法二由條件可得直線SKIPIF1<0的斜率存在，設(shè)直線SKIPIF1<0聯(lián)立方程SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0有兩個不等的實根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線，有：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線，有：SKIPIF1<0上兩式相比得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴點SKIPIF1<0在定直線SKIPIF1<0上．例6．（安徽省淮北市樹人高級中學(xué)、蕭縣實驗中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，右焦點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓上．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）若直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，已知直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，證明：點SKIPIF1<0在定直線上，并求出此定直線的方程．【解析】解:(1)因為SKIPIF1<0,所以c=1,由題意知:SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,則橢圓的方程為:SKIPIF1<0.(2)由橢圓對稱性知G在SKIPIF1<0上,假設(shè)直線l過橢圓上頂點,則SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0其交點SKIPIF1<0,所以G在定直線x=1上;當(dāng)M不在橢圓頂點時,設(shè)SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,整理得:SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)x=1時,SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,上式顯然成立,所以G在定直線x=1上.例7．（【全國百強(qiáng)?！亢邶埥‰p鴨山市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三4月月考數(shù)學(xué)（理）試題）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為SKIPIF1<0，且經(jīng)過點SKIPIF1<0.（1）求橢圓C的方程；（2）動直線SKIPIF1<0與橢圓C相交于點M，N，橢圓C的左右頂點為SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，證明點SKIPIF1<0在定直線上，并求出定直線的方程.【解析】(1)離心率為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0①，橢圓經(jīng)過點SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0②，由①②聯(lián)立方程組，解得SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為SKIPIF1<0(2)由橢圓的對稱性可知點G一定在SKIPIF1<0上，假設(shè)直線SKIPIF1<0過橢圓的上頂點，則MSKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然直線SKIPIF1<0過定點（4，0）所以SKIPIF1<0，橢圓方程與直線方程聯(lián)立，求出點N的坐標(biāo)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0兩方程聯(lián)立，解得交點SKIPIF1<0，所以G在定直線SKIPIF1<0上．當(dāng)M不是橢圓頂點時，設(shè)SKIPIF1<0橢圓方程與直線SKIPIF1<0聯(lián)立SKIPIF1<0消去y，整理得SKIPIF1<0所以有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0把SKIPIF1<0

代入整理得：SKIPIF1<0所以有SKIPIF1<0顯然成立，所以G在定直線SKIPIF1<0上．例8．（山西省晉城市2023屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的右焦點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右兩個頂點.若過點SKIPIF1<0且斜率不為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，且線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)已知直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線.【解析】(1)設(shè)點SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，易知點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.(2)易知點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線.例9．（廣東省東莞市2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查高三數(shù)學(xué)試題）已知橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點分別是SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，記橢圓SKIPIF1<0的左右頂點分別為SKIPIF1<0，上頂點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為2.（1）求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）不過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，記直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．試問：直線SKIPIF1<0是否恒過一定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【解析】(1)設(shè)橢圓C的長半軸為a．依題意，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的面積為2得SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以，橢圓C的方程是SKIPIF1<0(2)將直線SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0（*）設(shè)SKIPIF1<0則．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由題意SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入上式并化簡得整理得SKIPIF1<0將式代入SKIPIF1<0由直線不過點B得SKIPIF1<0，從而化簡后：SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0【過關(guān)測試】1．（四川省2023屆高三大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué)第二次統(tǒng)一監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點A，B的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P是坐標(biāo)平面內(nèi)的動點，且直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之積等于SKIPIF1<0.設(shè)點P的軌跡為C.（1）求軌跡C的方程；（2）某同學(xué)對軌跡C的性質(zhì)進(jìn)行探究后發(fā)現(xiàn)：若過點SKIPIF1<0且傾斜角不為0的直線SKIPIF1<0與軌跡C相交于M，N兩點，則直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交點Q在一條定直線上.此結(jié)論是否正確？若正確，請給予證明，并求出定直線方程；若不正確，請說明理由.【解析】（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故軌跡C的方程為：SKIPIF1<0（2）根據(jù)題意，可設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去x并整理得SKIPIF1<0其中，SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因直線SKIPIF1<0的傾斜角不為0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等于SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不為0），從而可設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0①，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0②，所以，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交點SKIPIF1<0的坐標(biāo)滿足：SKIPIF1<0而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，即點Q在直線SKIPIF1<0上.所以，探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是正確的.2．（浙江省杭州第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知圓SKIPIF1<0以及圓SKIPIF1<0.(1)求過點（1，2），并經(jīng)過圓M與圓C的交點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0，過點D作斜率非0的直線SKIPIF1<0，交圓M于P、Q兩點.（i）過點D作與直線l1垂直的直線l2，交圓M于EF兩點，記四邊形EPFQ的面積為S，求S的最大值；（ii）設(shè)B(6，0)，過原點O的直線OP與BQ相交于點N，試討論點N是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.【解析】（1）聯(lián)立兩圓方程，可得SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則所求圓所過點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的中垂線為SKIPIF1<0軸，則可設(shè)圓心SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故所求圓的半徑SKIPIF1<0，故圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）（i）由SKIPIF1<0，則圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，由直線SKIPIF1<0過點D且斜率非0，則可設(shè)SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0過點D，則可設(shè)SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，取等號，故四邊形EPFQ的面積為S最大值為SKIPIF1<0.（ii）設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，N在定直線SKIPIF1<0.3．（江蘇省南通市海安高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積．即橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓SKIPIF1<0的中心為坐標(biāo)原點，焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均在x軸上，橢圓SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，且短軸長為SKIPIF1<0．橢圓SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有相同的離心率．（1）求m的值與橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓SKIPIF1<0的左頂點A作直線l，交橢圓SKIPIF1<0于另一點B，交橢圓SKIPIF1<0于P，Q兩點（點P在A，Q之間）．①求SKIPIF1<0面積的最大值（O為坐標(biāo)原點）；②設(shè)PQ的中點為M，橢圓SKIPIF1<0的右頂點為C，直線OM與直線BC的交點為N，試探究點N是否在某一條定直線上運動，若是，求出該直線方程；若不是，請說明理由．【解析】（1）由題意可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因為橢圓SKIPIF1<0的焦點在x軸上，所以SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0得焦點在y軸上，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（2）①當(dāng)直線AB與x軸重合時，O，P，Q三點共線，不符合題意故設(shè)直線AB的方程為：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由（1）知橢圓SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0聯(lián)立方程SKIPIF1<0消去x得：SKIPIF1<0由韋達(dá)定理得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<0此時SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0面積的最大值為：SKIPIF1<0②由①知：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴直線OM的斜率：SKIPIF1<0則直線OM的方程為：SKIPIF1<0聯(lián)立方程SKIPIF1<0消去x得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0則直線BC的方程為：SKIPIF1<0聯(lián)立直線OM和BC的方程SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0∴點N在定值直線SKIPIF1<0運動.4．（湖南省部分校教育聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底測試數(shù)學(xué)試題）設(shè)SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左?右兩個焦點，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，若點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0的右支上，且SKIPIF1<0的面積為3.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程；(2)若雙曲線SKIPIF1<0的兩頂點分別為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，試探究直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點SKIPIF1<0是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；若不在，請說明理由.【解析】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0,故雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0.（2）由（1）可知雙曲線的方程為SKIPIF1<0.（i）當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0，（ii）當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率存在時，易得直線l不和漸近線平行，且斜率不為0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的方程可得：SKIPIF1<0，兩邊平方得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，（舍去SKIPIF1<0.綜上，SKIPIF1<0在定直線上，且定直線方程為SKIPIF1<0.5．（上海市格致中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等軸雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的頂點，若橢圓SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的一個交點是P，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點M是雙曲線SKIPIF1<0上任意不同于其頂點的動點，設(shè)直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的乘積為定值；(3)過點SKIPIF1<0任作一動直線l交橢圓SKIPIF1<0與A，B兩點，記SKIPIF1<0，若在直線AB上取一點R，使得SKIPIF1<0，試判斷當(dāng)直線l運動是，點R是否在某一定直線上運動？若是，求出該直線的方程；若不是，請說明理由.【解析】（1）有由題可知：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以橢圓的方程為SKIPIF1<0（2）設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（3）依題可知：直線的斜率存在，設(shè)方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0由SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<06．（黑龍江省齊齊哈爾市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓的右焦點，SKIPIF1<0為橢圓上的動點，SKIPIF1<0的最大值為3.（1）求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點，過點SKIPIF1<0作直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，試探究點SKIPIF1<0是否在某條定直線上，若是，請求出該定直線方程，若不是，請說明理由.【解析】（1）由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）由題知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，將其與SKIPIF1<0聯(lián)立，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理得SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，聯(lián)立①②得SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0③，直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0④，聯(lián)立③④得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0點在定直線SKIPIF1<0上.7．（湖北省云學(xué)新高考聯(lián)盟學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，圓M是以SKIPIF1<0兩點為直徑的圓，且圓N與圓M關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱．(1)求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0，過點C作直線SKIPIF1<0，交圓N于P、Q兩點，P、Q不在y軸上．①過點C作與直線SKIPIF1<0垂直的直線SKIPIF1<0，交圓N于SKIPIF1<0兩點，記四邊形SKIPIF1<0的面積為S，求S的最大值；②設(shè)直線SKIPIF1<0,SKIPIF1<0相交于點G，試討論點G是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．【解析】（1）由題意得：SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，故圓M的圓心坐標(biāo)為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0圓M的方程為：SKIPIF1<0，因為圓N關(guān)于圓M關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，所以圓N的圓心為SKIPIF1<0所以圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0.（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（?。┤鬝KIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0斜率不存在，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立.綜上所述，因為SKIPIF1<0，所以S的最大值為7；（ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組得：SKIPIF1<0消y得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立解得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點G在定直線SKIPIF1<0上.8．（江蘇省南京市第九中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，圓M是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點為直徑的圓，且圓N與圓M關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱.(1)求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過點C作直線SKIPIF1<0，交圓N于P、Q兩點，P、Q不在y軸上.（i）過點C作與直線SKIPIF1<0垂直的直線SKIPIF1<0，交圓N于E、F兩點，記四邊形EPFQ的面積為S，求S的最大值；（ii）設(shè)直線OP，DQ相交于點G，試討論點G是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.【解析】（1）由題意得：圓M的半徑為SKIPIF1<0，圓心M即AB的中點為SKIPIF1<0，圓M的方程為：SKIPIF1<0，因為圓N與圓M關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，所以圓N的圓心SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，所以圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0；（2）依題意可知，直線SKIPIF1<0的斜率存在，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（i）若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0斜率不存在，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0