空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

空間中直線與平面之間的位置關(guān)系知識點一直線與平面的位置關(guān)系1、直線和平面平行的定義如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么這條直線和這個平面平行。2、直線與平面位置關(guān)系的分類（1）直線與平面位置關(guān)系可歸納為(2)在直線和平面的位置關(guān)系中，直線和平面平行，直線和平面相交統(tǒng)稱直線在平面外，我們用記號來表示a∥和這兩種情形．(3)直線與平面位置關(guān)系的圖形畫法：①畫直線a在平面內(nèi)時，表示直線的直線段只能在表示平面的平行四邊形內(nèi)，而不能有部分在這個平行四邊形之外，這是因為這個用來表示平面的平行四邊形的四周應(yīng)是無限延伸而沒有邊界的，因而這條直線不可能有某部分在某外；②在畫直線a與平面相交時，表示直線a的線段必須有部分在表示平面a的平行四邊形之外，這樣既能與表示直線在平面內(nèi)區(qū)分開來，又具有較強(qiáng)的立體感；③畫直線與平面平行時，最直觀的畫法是用來表示直線的線在用來表示平面的平行四邊形之外，且與某一邊平行。例1、下列命題中正確的命題的個數(shù)為。①如果一條直線與一平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行；②如果一條直線與一平面相交，那么這條直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直；③過平面外一點有且只有一條直線與平畫平行；④一條直線上有兩點到一個平面的距離相等，則這條直線平行于這個平面。變式1、下列說法中正確的是。①直線l平行于平面內(nèi)無數(shù)條直線，則l//；②若直線a在平面外，則a//;③若直線a//b，直線，則a//;④若直線a//b，直線，那么直線a就平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線。變式2、下列命題中正確的個數(shù)是()①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行④若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點A.0B.1C.2D.3分析：如圖2,圖2我們借助長方體模型，棱AA1所在直線有無數(shù)點在平面ABCD外，但棱AA1所在直線與平面ABCD相交，所以命題①不正確；A1B1所在直線平行于平面ABCD，A1B1顯然不平行于BD，所以命題②不正確；A1B1∥AB,A1B1所在直線平行于平面ABCD，但直線AB平面ABCD,所以命題③不正確；l與平面α平行,則l與α無公共點,l與平面α內(nèi)所有直線都沒有公共點,所以命題④正確.答案：B變式3、若直線l上有兩個點到平面α的距離相等，討論直線l與平面α的位置關(guān)系.圖3解：直線l與平面α的位置關(guān)系有兩種情況（如圖3），直線與平面平行或直線與平面相交.例2、若兩條相交直線中的一條在平面α內(nèi)，討論另一條直線與平面α的位置關(guān)系.解：如圖5,另一條直線與平面α的位置關(guān)系是在平面內(nèi)或與平面相交.圖5用符號語言表示為：若a∩b=A,bα,則aα或a∩α=A.變式1、若兩條異面直線中的一條在平面α內(nèi)，討論另一條直線與平面α的位置關(guān)系.分析：如圖6,另一條直線與平面α的位置關(guān)系是與平面平行或與平面相交.圖6用符號語言表示為：若a與b異面,aα,則b∥α或b∩α=A.例3、若直線a不平行于平面α,且aα,則下列結(jié)論成立的是()2、直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。簡記為：“線線垂直，則線面垂直?！?1)判定定理的條件中，“平面內(nèi)的兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語，一定要記準(zhǔn)。(2)命題1：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線垂直于這個平面；命題2：如果一條直線垂直于平面的無數(shù)條直線，那么這條直線垂直于這個平面．以上兩個命題都是錯誤的，因為對于這兩個命題，都沒有體現(xiàn)出兩直線相交這一特性，(3)要判定一條直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內(nèi)能否找出兩條相交線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，這是無關(guān)緊要的。(4)其他判定直線和平面垂直的方法：兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條直線也垂直于這個平面。3、直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。直線與平面垂直還有如下性質(zhì)：(1)如果一條直線和一個平面垂直，則這條直線和這個平面內(nèi)任一條直線垂直。(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于同一個平面。(3)若于A，AP，則。例6、給出以下結(jié)論：①若直線a垂直平面內(nèi)的無窮多條直線，則直線a垂直平面；②無論直線a與平面是否垂直，a總垂直平面內(nèi)的無窮多條直線；③若直線a垂直平面內(nèi)的兩條直線，則直線a垂直平面；④若直線a垂直平面內(nèi)的所有直線，則直線a垂直平面其中正確的結(jié)論為。（寫出序號即可）．例7、如右圖，已知空間四邊形ABCD的邊BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E為垂足，作AH⊥BE于H，求證：AH⊥平面BCD。變式1、如右圖，已知P是△ABC所在平面外一點，PA，PB，PC兩兩垂直，H是△AC的垂心，求證：PH⊥平面ABC。例8、如右圖，已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面AC，再過A作AE⊥SB交SB于E，過E作EF⊥SC交SC于F，（1）求證：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD。變式1、如右圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，，求證：OO1⊥平面ABCD。鞏固練習(xí)一：選擇題1、下面四種說法中：（１）兩條平行直線中的一條平行于一個平面，則另一條也平行于這個平面；（２）平行于平面內(nèi)一條直線的直線平行于該平面；（３）過平面外一點只有一條直線和這個平面平行；（４）若一條直線和一個平面平行，則這條直線和這個平面內(nèi)所有直線都平行、正確說法的個數(shù)為（）Ａ、０；Ｂ、１；Ｃ、２；Ｄ、３2、下列命題中正確的是（）Ａ、平行于同一平面的兩條直線平行；Ｂ、垂直于同一條直線的兩條直線平行；Ｃ、若直線ａ于一個平面內(nèi)的一條直線ｂ平行，則ａ平行于這個平面；Ｄ、若一條直線平行于兩相交平面的交線，則這條直線至少平行于兩個平面中的一個異面直線a，b分別在平面內(nèi)，若，則直線必定與Ａ、分別與a，b相交B、與a，b都不相交C、至少與a，b中之一相交D、至多與a，b中之一相交4、下列命題中有幾個是正確的？其個數(shù)為（）分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線在空間不相交的兩條直線一定是異面直線不同在一個平面內(nèi)的兩條射線所在直線一定是異面直線既不平行也不相交的兩條線段所在直線一定是異面直線A、4個B、3個C、2個D、1個5、如果點P在直線上，而直線又在平面內(nèi)，則可記作（）A、B、C、D、6、已知相交直線AB、AC確定的平面，則下列說法不正確的是（）Ａ、直線AB、AC都不在平面內(nèi)B、平面經(jīng)過直線AB、ACC、只有A、B、C三點在平面內(nèi)D、直線AB、AC上所有的點都在平面內(nèi)7、下列命題中，真命題是（）Ａ、兩條相交直線上的三個點確定一個平面B、兩兩相交的三條直線共面Ｃ、不共面的四點中可以有三點在同一直線上D、三角形和梯形一定是平面圖形不共面的四個點中，（）Ａ、可能有三個點共線B、至少有三個點共線Ｃ、任何三個點都不共線D、只有三個點不共線用斜二測法畫平面圖形的直觀圖，對其中三條線段結(jié)論錯誤的是（）原相交的仍相交B、原垂直的仍垂直C、原平行的仍平行D、原共點的仍共點10、兩兩相交的四條直線確定平面的個數(shù)最多的是 （）

A、4個 B、5個 C、6個 D、8個11、平面過△ABC的重心，B、C在的同側(cè)，A在的另一側(cè)，若A、B、C到平面的距離分別為a、b、c，則a、b、c間的關(guān)系為()A、2a=b+cB、a=b+cC、2a=3(b+c)D、3a=2(b+二、填空題12、不共線的三個平面兩兩相交，可將空間分成的部分可能是________________個13、已知a，c異面，b，c異面,則a,b的位置關(guān)系是__________________14、已知，則的位置關(guān)系是_______________答案：一、選擇題A；2、D；3、C；4、D；5、C；6、A；7、D；8、C；9、B；10、C；11、A二、填空題12、4，7，813、平行，異面或相交14、相交或異面鞏固練習(xí)二：選擇題1、下列命題正確的個數(shù)是（）（１）若直線ｌ上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則ｌ平行這個平面；（２）若一條直線與一個平面平行，則這條直線與這個平面內(nèi)的所有直線都平行；（３）兩條平行線中的一條與一個平面平行，則另一條也和這個平面平行；（４）若一條直線與一個平面內(nèi)的無窮多條直線都平行，則這條直線與這個平面平行Ａ、０個；Ｂ、１個；Ｃ、２個；Ｄ、３個、2、直線在平面外指的是（）Ａ、直線與平面沒有公共點；Ｂ、直線與平面相交；Ｃ、直線與平面平行；Ｄ、直線與平面最多只有一個公共點3、設(shè)有如下三個命題：甲：相交兩直線ｌ、ｍ都在平面α內(nèi)，并且都不在平面β內(nèi)乙：ｌ、ｍ之中至少有一條與平面β相交丙：α和β相交當(dāng)甲成立時Ａ、乙是丙的充分而不必要條件；Ｂ、乙是丙的必要而不充分條件；Ｃ、乙是丙的充分且必要條件；Ｄ、乙既不是丙的充分條件又不是必要條件4、一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，則兩角的關(guān)系是（）相等B、互補(bǔ)C、互余D、不能確定空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點，設(shè)，那么（）Ａ、ＭＮ＞１B、ＭＮ＜１C、ＭＮ＝１D、ＭＮ與１的大小關(guān)系不能確定在正方體的棱所在的１２條直線中，取定一條，那么，其它的１１條直線可與它構(gòu)成異面直線的共有A、４條B、５條C、６條D、７條7、下面四個條件中能得出∥b的是（）A、且和c，b和c均無公共點B、和b無公共點C、和b與c成等角D、8、過平面內(nèi)一點及平面外一點的直線與平面內(nèi)的任一條直線的位置關(guān)系是（）A、相交B、平行C、異面D、相交或異面9、已知a,b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b（）定是異面直線B、定是相交直線C、不可能是平行直線D、不可能相交直線10、四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有 （）

A、4個 B、3個 C、2個 D、1個11、A,B,C,D是空間四點,AB與CD是異面直線,則必有()A、AC與BD異面,AD與BC共面B、AC與BD共面,AD與BC異面C、AC與BD異面,AD與BC異面D、AC與BD共面,AD與BC共面二、填空題12、若E、F、G、H順次為空間四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、DA的中點，且EG=3，F(xiàn)H=4，則AC2+BD2=.13、已知，且Ａ，Ｂ不重合，則位置關(guān)系是______________14、平面和相交，在，內(nèi)各取兩點，這四點都不在交線上，則這四個點能確定______平面。三、解答題15、試證明：過兩條異面直線中的一條直線有且只有一個平面與另一條直線平面、答案：一、選擇題1、A；2、D；3、C；4、D；5、B；6、A；7、A；8、D；9、C；10、A；11、C二、填空題12、5013、平行，異面或相交14、1或4三、解答題15、證明：證存在一個平面與另一條直線平行（存在性）、設(shè)a、b為異面直線，A為a上任一點，過b與A作一平面，在內(nèi)過A作直線c∥b，則由a、c確定的平面∥b、存在一個平面與b平行、aAaAcb假設(shè)還有過a且不與重合的平面∥b，∩=d、∵三個平面兩兩相交，且a、c交于A，∴其三條交線交于一點，即點A，而d∥b，∴c∥d、即過A存在兩條直線c、d都與b平行，這與平行公理相矛盾、故只有唯一一個平面與另一條直線平行、空間中直線與平面之間的位置關(guān)系一、選擇題1．直線l與平面α不平行，則()A．l與α相交 B．l?αC．l與α相交或l?α D．以上結(jié)論都不對【解析】若l與α不平行，則l與α相交或l?α.【答案】C2．直線a在平面γ外，則()A．a(chǎn)∥γB．a(chǎn)與γ至少有一個公共點C．a(chǎn)∩γ＝AD．a(chǎn)與γ至多有一個公共點【解析】直線a在平面γ外，其包括直線a與平面r相交或平行兩層含義，故a與r至多有一個公共點．【答案】D3．在長方體ABCD－A1B1C1D1的六個表面與六個對角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，與棱AA1A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【解析】如圖所示，結(jié)合圖形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D.【答案】B4．下列說法中正確的是()A．如果兩個平面α、β只有一條公共直線a，就說平面α、β相交，并記作α∩β＝aB．兩平面α、β有一個公共點A，就說α、β相交于過A點的任意一條直線C．兩平面α、β有一個公共點A，就說α、β相交于A點，并記作α∩β＝AD．兩平面ABC與DBC相交于線段BC【解析】B不正確，若A∈α∩β，則α，β相交于過A點的一條直線；同理C不正確；D不正確，兩個平面相交，其交線為直線而非線段．【答案】A5．如果空間的三個平面兩兩相交，那么()A．不可能只有兩條交線B．必相交于一點C．必相交于一條直線D．必相交于三條平行線【解析】空間三個平面兩兩相交，可能相交于一點，也可能相交于一條直線，還可能相交于三條平行線，故選A.【答案】A二、填空題6．已知平面α∥平面β，直線a?α，則直線a與平面β的位置關(guān)系為________．【解析】∵α∥β，∴α與β無公共點，∵a?α，∴a與β無公共點，∴a∥β.【答案】a∥β7．過平面外兩點作該平面的平行平面，可以作平面的個數(shù)是________．【解析】當(dāng)這兩點的連線不與平面平行時，過這兩點不存在與已知平面平行的平面．當(dāng)這兩點的連線與已知平面平行時，能作一個平面與已知平面平行，故填0或1.【答案】0或18．(2012·銀川高一評估)過三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱