淺談圓錐曲線動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題的求解方法

PAGEPAGE1淺談圓錐曲線動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題的求解方法高中數(shù)學(xué)中的解析幾何中是一個(gè)極其重要的內(nèi)容，它涉及到代數(shù)，幾何，三角等多方面的知識(shí)，這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)，是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)更加深入的了解，是在初等數(shù)學(xué)中重點(diǎn)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的過(guò)程，是同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)的理解發(fā)生質(zhì)的變化的時(shí)刻。其中，對(duì)于圓錐曲線中求動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題是練習(xí)、考試中經(jīng)常出現(xiàn)的，而同學(xué)們也對(duì)此還沒(méi)有完全掌握，對(duì)此類題沒(méi)有系統(tǒng)的分析，歸納，不容易下手。本文就重點(diǎn)對(duì)于該問(wèn)題進(jìn)行探討，歸納總結(jié)出對(duì)于求動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題的一般方法。直接法當(dāng)題目條件已經(jīng)給出或者可以得到有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系時(shí)，可以直接設(shè)所求動(dòng)點(diǎn)為，然后根據(jù)題設(shè)條件，利用基本公式等列出等量關(guān)系，從而得到軌跡方程。這是探求軌跡方程最基本的方法。【例】求與直線的距離等于5的點(diǎn)的軌跡方程。設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離為5，即或者所求的軌跡方程為或者定義法當(dāng)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)滿足的條件與圓錐曲線的定義或與平面幾何中的基本軌跡所滿足的條件基本接近，可以通過(guò)對(duì)題目條件做必要的轉(zhuǎn)化，使用定義完成求軌跡方程。【例】動(dòng)圓與定圓C1：和C2：都外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。解：定圓的圓心為，半徑,定圓圓心，半徑，設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為。依題意，得。由雙曲線的定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)的距離之差為定值。所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線，雙曲線的中心在的重點(diǎn).焦距，所以又。所以雙曲線的方程為轉(zhuǎn)移法（代入法）當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)M隨另一動(dòng)點(diǎn)N的變化而變化，而N點(diǎn)在已知曲線上運(yùn)動(dòng)，且M,N兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系比較直接，可以將求M點(diǎn)的軌跡方程轉(zhuǎn)移為求N點(diǎn)的軌跡方程，再利用兩者的關(guān)系代入，間接得到M的軌跡方程?！纠恳粍?dòng)點(diǎn)A在圓上移動(dòng)時(shí)，求它與定義的連線中點(diǎn)M點(diǎn)的軌跡方程解：，AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為則有，所以，代入，得。即為軌跡方程。復(fù)數(shù)法與轉(zhuǎn)移法類似，只是當(dāng)M,N兩點(diǎn)恰好為某一特殊多邊形的其中兩頂點(diǎn)時(shí)，可以用復(fù)數(shù)的方法解決問(wèn)題?！纠恳阎c(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P為一邊按逆時(shí)針?lè)较蜃稣切蜲PQ，求三角形OPQ的重心G的軌跡方程。解：設(shè)，由題設(shè)以及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可知又點(diǎn)在拋物線上，化簡(jiǎn)得，參數(shù)法當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)M隨N點(diǎn)的變化而變化，N點(diǎn)恰在已知曲線上運(yùn)動(dòng)，但M，N的關(guān)系不直接，并且動(dòng)點(diǎn)M隨某個(gè)量變化而變化時(shí)，可以通過(guò)選擇合適的量作為參量，把M點(diǎn)的坐標(biāo)用參量表示，再消去參數(shù)即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。參數(shù)法是求軌跡方法的重要方法?！纠恳阎獧E圓，它的平行弦所在直線的斜率為k（定值），求這些平行弦中點(diǎn)的軌跡。解：設(shè)平行線方程為。。。①，將它代入橢圓方程并整理，得設(shè)平行兩端點(diǎn)分別為，弦中點(diǎn)為，則。。。②，代入①得，。。。③，由②、③消去參數(shù)m得所以，所求軌跡為直線被已知橢圓所截得的線段，不包括兩端點(diǎn)。交軌法當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)M恰好為兩動(dòng)曲線的交點(diǎn)并且兩曲線隨著某參量的變化而變化時(shí)，可以選用合適的參量，在寫(xiě)出只含有參量的兩動(dòng)曲線的方程的基礎(chǔ)上，消去參量即可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。【例】已知兩點(diǎn)P(-2,2),Q(0,2)以及一條直線,設(shè)長(zhǎng)為的線段AB在直線l上移動(dòng)(A在B的左下方)，求直線PA和QB額交點(diǎn)M的軌跡方程。解：由于A點(diǎn)在上，故可設(shè)。當(dāng)時(shí)，直線PA的方程為，直線QB的方程為，由（1），（2）消去t，得到M點(diǎn)的軌跡方程為，而當(dāng)時(shí)，所得M點(diǎn)也滿足方程。極坐標(biāo)法當(dāng)題目涉及的有關(guān)線段有公共的一個(gè)端點(diǎn)，且這個(gè)端點(diǎn)為直角坐標(biāo)的原點(diǎn)或者圓錐曲線的焦點(diǎn)等時(shí)，我們可以建立極坐標(biāo)系，寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)方程。若有需要，可以繼續(xù)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的軌跡方程?！纠咳鐖D，給出定點(diǎn)和直線，B是直線l的動(dòng)點(diǎn)，的平分線交AB于