七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（北師大版）第五章第01講 軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的性質(zhì)(9類熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第01講軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的性質(zhì)(9類熱點(diǎn)題型講練)1.掌握對(duì)稱軸的畫法及條數(shù)的確定，體會(huì)軸對(duì)稱在生活中的應(yīng)用及其豐富的文化價(jià)值；2.掌握軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的概念；3.理解軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系.4.理解軸對(duì)稱的性質(zhì)；掌握軸對(duì)稱性質(zhì)的綜合應(yīng)用；并認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱中的對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角.知識(shí)點(diǎn)01軸對(duì)稱1.軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.2.軸對(duì)稱：如果兩個(gè)平面圖形沿一條直線對(duì)折后，能夠完全重合，那么稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸.知識(shí)點(diǎn)02軸對(duì)稱圖形如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.要點(diǎn)詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)03軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系要點(diǎn)詮釋:軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形來(lái)說(shuō)的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱；如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．知識(shí)點(diǎn)04軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)性質(zhì)：在軸對(duì)稱圖形或兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等.題型01軸對(duì)稱圖形的識(shí)別【例題】（2024·廣東湛江·一模）第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)將于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行，下列巴黎奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)中，軸對(duì)稱圖形是（

）A．B．C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2024·山西大同·一模）“二十四節(jié)氣”是根據(jù)太陽(yáng)在黃道(即地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道)上的位置來(lái)劃分的，是在我國(guó)春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期訂立的一種用來(lái)指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，下列四幅“二十四節(jié)氣”標(biāo)識(shí)圖中，文字上方所設(shè)計(jì)的圖案是軸對(duì)稱圖案的是（

）A．B．C．D．2．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）“天有日月，道分陰陽(yáng)”，從古至今，中國(guó)人一直都在追求對(duì)稱美．中國(guó)傳統(tǒng)圖形比較注重于對(duì)稱，其集中體現(xiàn)在文字和建筑、繪畫上，下列圖形、文字為軸對(duì)稱圖形的是（

）A．B．C．D．題型02畫對(duì)稱軸【例題】（22-23八年級(jí)上·江西贛州·期中）用三角尺分別畫出下列圖形的對(duì)稱軸．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）如圖所示，畫出它們各自的對(duì)稱軸．

2．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）如圖所示，判斷下列圖形是不是軸對(duì)稱圖形，如果是，請(qǐng)畫出它們所有的對(duì)稱軸．題型03求對(duì)稱軸條數(shù)【例題】（23-24八年級(jí)上·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸的條數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·河北滄州·階段練習(xí)）下列軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸條數(shù)最少的是（

）A．等邊三角形 B．正方形 C．正八邊形 D．圓2．（23-24八年級(jí)上·北京平谷·期末）下列圖形都是軸對(duì)稱圖形，其中恰有2條對(duì)稱軸的圖形是（

）A． B． C． D．題型04成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的識(shí)別【例題】（23-24八年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期中）下列各組圖形中，兩個(gè)圖案是軸對(duì)稱的有（

）A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·天津和平·期中）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）軸對(duì)稱圖形只有一條對(duì)稱軸，（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是一條線段，（3）兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這兩個(gè)圖形的全等圖形，（4）全等的兩個(gè)圖形一定成軸對(duì)稱，（5）軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，而軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形而言．A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）下列同類型的每個(gè)網(wǎng)格中均有兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形可以由另一個(gè)進(jìn)行軸對(duì)稱變換得到的是（

）A． B． C． D．題型05根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷【例題】（23-24八年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，與△關(guān)于直線對(duì)稱，交于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①；②；③中，正確的有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，和關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)P為直線l上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A．B．l垂直平分C．D．2．（23-24八年級(jí)上·福建莆田·期中）與關(guān)于直線對(duì)稱，在上，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）

A．是等腰三角形B．垂直平分，C．與面積相等D．直線，的交點(diǎn)不在上題型06根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解【例題】（23-24八年級(jí)上·吉林·期中）如圖，和關(guān)于直線對(duì)稱，與的交點(diǎn)在直線上．(1)圖中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)______，的對(duì)應(yīng)邊是______；(2)若，，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，其中，，，．(1)你認(rèn)為點(diǎn)與點(diǎn)有何關(guān)系？連接，則線段與直線有何關(guān)系？(2)求的度數(shù)；(3)求的周長(zhǎng)和面積．2．（23-24七年級(jí)上·山東東營(yíng)·期末）如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，其中，，，．(1)線段與的關(guān)系是什么？(2)求的度數(shù)；(3)求的周長(zhǎng)題型07臺(tái)球桌面上的對(duì)稱軸問(wèn)題【例題】（23-24八年級(jí)上·山東聊城·期中）數(shù)學(xué)在我們的生活中無(wú)處不在，就連小小的臺(tái)球桌上都有數(shù)學(xué)問(wèn)題，如圖所示，，若，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時(shí)，必須保證為．

【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·山東德州·期中）如圖，桌球的桌面上有，兩個(gè)球，若要將球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中球，則，，，，4個(gè)點(diǎn)中，可以反彈擊中球的是點(diǎn)．題型08軸對(duì)稱中的光線反射問(wèn)題【例題】（23-24八年級(jí)上·廣西玉林·期末）如圖，兩條平行直線，，從點(diǎn)光源射出的光線射到直線上的點(diǎn)，入射角為，然后反射光線射到直線上的點(diǎn)，當(dāng)這束光線繼續(xù)從點(diǎn)反射出去后，反射光線與直線的夾角度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（22-23九年級(jí)下·河北保定·階段練習(xí)）通過(guò)光的反射定律知道，入射光線與反射光線關(guān)于法線成軸對(duì)稱（圖1）．在圖2中，光線自點(diǎn)射入，經(jīng)鏡面反射后經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)2．（2022·浙江臺(tái)州·一模）根據(jù)光學(xué)中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等．如圖，是兩面互相平行的平面鏡，一束光線m通過(guò)鏡面反射后的光線為n，再通過(guò)鏡面β反射后的光線為k．光線m與鏡面的夾角的度數(shù)為，光線n與光線k的夾角的度數(shù)為．則x與y之間的數(shù)量關(guān)系是．題型09折疊問(wèn)題【例題】（23-24七年級(jí)上·江西贛州·期末）如圖，長(zhǎng)方形紙片，點(diǎn)分別在邊上，連接，將對(duì)折，點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，得到折痕；將對(duì)折，點(diǎn)落在直線的處，得到折痕．(1)若，的余角有；(2)若，說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)下·河北石家莊·階段練習(xí)）有一條長(zhǎng)方形紙帶，將紙帶沿折疊，如圖所示，則折疊后的度數(shù)是.2．（23-24七年級(jí)上·浙江杭州·期末）綜合與實(shí)踐：利用折紙可以作出相等的角．如圖，有長(zhǎng)方形紙片，在上取一點(diǎn)O，以為折痕翻折紙片，點(diǎn)B落在點(diǎn)，以為折痕翻折紙片，點(diǎn)A落在點(diǎn)，分別連接．(1)根據(jù)題意，____________，____________．(2)記．①如圖1，若點(diǎn)恰好落在上，求的度數(shù)．②如圖2，折疊后的紙片間出現(xiàn)縫隙，點(diǎn)在的外側(cè)，求的度數(shù)（用含有的代數(shù)式表示）．③如圖3，折疊后的紙片間出現(xiàn)重疊，點(diǎn)在的內(nèi)部，求的度數(shù)（用含有的代數(shù)式表示）．一、單選題1．（2023·甘肅定西·二模）“致中和，天地位焉，萬(wàn)物育焉．”對(duì)稱美是我國(guó)古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運(yùn)用于建筑、器物、繪畫、標(biāo)識(shí)等作品的設(shè)計(jì)上，使對(duì)稱之美驚艷了千年的時(shí)光．在下列簡(jiǎn)圖中，不是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．B． C．D．2．（2023八年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖是一個(gè)臺(tái)球桌面的示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔．若一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過(guò)多次反射），則該球最后將落入的球袋是（

）

A．1號(hào)袋 B．2號(hào)袋 C．3號(hào)袋 D．4號(hào)袋3．（23-24八年級(jí)上·四川南充·期末）如圖，與關(guān)于直線l對(duì)稱，連接，，，其中分別交，于點(diǎn)D，，下列結(jié)論：①；②；③直線l垂直平分；④直線與的交點(diǎn)不一定在直線l上．其中正確的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④4．（23-24八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，射線與射線平行，點(diǎn)在射線上，，（為常數(shù)，且），為射線上的一動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），將沿翻折得到，連接，則最大時(shí)，的度數(shù)為（）A． B． C． D．5．（22-23七年級(jí)上·河北石家莊·期末）按如圖的方法折紙，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．與互余 B． C．與互補(bǔ) D．平分二、填空題6．（23-24八年級(jí)上·河北廊坊·期中）某車標(biāo)是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，有條對(duì)稱軸7．（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，，將沿折疊得到，與交于點(diǎn)．則的度數(shù)是．8．（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，連接，分別交，于，，連接，．若，則的周長(zhǎng)是．9．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）如圖，三角形紙片，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，把沿著翻折，得到，與交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，，，的面積為2，則的長(zhǎng)為.

10．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）有一無(wú)彈性細(xì)線，拉直時(shí)測(cè)得細(xì)線長(zhǎng)為，現(xiàn)進(jìn)行如下操作：1．在細(xì)線上任取一點(diǎn)；2．將細(xì)線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，記折點(diǎn)為點(diǎn)；3．將細(xì)線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，記折點(diǎn)為點(diǎn)．繼續(xù)進(jìn)行折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，并把點(diǎn)和與其重疊的點(diǎn)處的細(xì)線剪開(kāi)，使細(xì)線分成長(zhǎng)為的三段，當(dāng)，則細(xì)線未剪開(kāi)時(shí)的長(zhǎng)為．三、解答題11．（23-24六年級(jí)上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）畫出下列圖形中所有的對(duì)稱軸

12．（23-24八年級(jí)上·山東濱州·期末）如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A，B，要在河邊上建一自來(lái)水廠向A村與B村供水，若要使水廠到A，B村的水管（同樣的料）用料最省，則水廠應(yīng)建在什么位置？(1)請(qǐng)利用尺規(guī)作圖的方法找出水廠應(yīng)建位置（保留作圖痕跡）；(2)請(qǐng)根據(jù)畫法寫出每一步的詳細(xì)作圖步驟；(3)請(qǐng)根據(jù)畫法證明你的結(jié)論．13．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）如圖所示，是由經(jīng)軸對(duì)稱變換得到的，對(duì)稱軸為直線．

(1)與全等嗎？全等的兩個(gè)三角形一定能經(jīng)軸對(duì)稱變換互相得到嗎？(2)分別找出點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，如果點(diǎn)在內(nèi)，那么點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)一定在內(nèi)嗎？(3)連接，線段與直線有怎樣的關(guān)系？14．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）圖①是一張長(zhǎng)方形的紙帶，將這張紙帶沿折疊成圖②，再沿折疊成圖③．

(1)若，請(qǐng)你求出圖③中的度數(shù)；(2)若，請(qǐng)你直接用含