七年級數(shù)學下冊講義（北師大版）第四章第05講 模型構建專題：全等三角形中的常見八種模型(8類熱點題型講練)（解析版）

第05講模型構建專題：全等三角形中的常見八種模型(8類熱點題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【模型一平移型模型】 1【模型二軸對稱型模型】 3【模型三四邊形中構造全等三角形解題】 5【模型四一線三等角模型】 9【模型五三垂直模型】 14【模型六旋轉型模型】 18【模型七倍長中線模型】 24【模型八截長補短模型】 30【模型一平移型模型】例題：（2023上·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點，，，在同一直線上，，，．求證：．

【答案】證明見解析【分析】本題考查了三角形全等的性質與判定的應用以及兩直線平行的判定定理，解此題的關鍵是推出，注意全等三角形的對應邊相等；根據可知，又根據∠A=∠D，BE=CF可以判定，即可求證．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴在和中，∴，∴．【變式訓練】1．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在和中，點A、B、C在一條直線上，．求證：．

【答案】見解析【分析】根據平行線的性質得出，再根據全等三角形的判定定理證明．【詳解】，，在和中，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理和平行線的性質，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵．2．（2024上·新疆和田·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點、、、在同一條直線上，，，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理的應用，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．（1）先證明，然后根據證明即可；（2）根據全等三角形的性質得出，進而根據三角形內角和定理即可求解．【詳解】（1）證明：，，且，，在和中，，，（2）解：由（1）可知，，，，，，．【模型二軸對稱型模型】例題：（2024上·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）線段、相交于點，，，求證：．【答案】證明見解析．【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，根據可證，根據全等三角形的性質即可得證．【詳解】證明：在和中，，【變式訓練】1．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考一模）如圖，點D在上，點E在上，，．求證：．

【答案】見解析【分析】根據，推出，即可根據進行求證．【詳解】證明：，．在和中，，．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定，解題的關鍵是熟練掌握證明三角形全等的方法有．2．（2024上·山西陽泉·八年級統(tǒng)考期末）如圖1是小寧制作的燕子風箏，燕子風箏的骨架圖如圖2所示，，，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，先證明，再證明，即可得到．【詳解】解：∵，，即．在與中，．．∵，．【模型三四邊形中構造全等三角形解題】例題：如圖，在四邊形ABCD中，于點B，于點D，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，證明見解析【解析】【分析】（1）連接AC，證明△ACE≌△ACF，則S△ACE＝S△ACF，根據三角形面積公式求得S△ACF與S△ACE，根據S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根據垂直關系，以及三角形的外角性質可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：連接AC，如圖，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC證明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC與∠AFC互補，∠BEC與∠AEC互補，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，三角形的外角的性質，掌握三角形全等的性質與判定是解題的關鍵．【變式訓練】1．在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點，F(xiàn)是AB延長線上一點，且CE=BF．(1)試說明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關系并證明所歸納結論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（2）中結論仍然成立？【答案】(1)見解析；(2)CE+BG=EG，理由見解析；(3)當∠EDG=90°-α時，（2）中結論仍然成立．【解析】【分析】（1）首先判斷出，然后根據全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出．（2）猜想、、之間的數(shù)量關系為：．首先根據全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出；然后根據，可得，，再根據，判斷出，據此推得，所以，最后根據，判斷出即可．（3）根據（2）的證明過程，要使仍然成立，則，即，據此解答即可．(1)證明：，，，，又，，在和中，，．(2)解：如圖，連接，猜想、、之間的數(shù)量關系為：．證明：在和中，，，，又，，，由（1），可得，，，即，，在和中，，，又，，；(3)解：要使仍然成立，則，即，當時，仍然成立．【點睛】本題綜合考查了全等三角形的性質和判定，此題是一道綜合性比較強的題目，有一定的難度，能根據題意推出規(guī)律是解此題的關鍵．【模型四一線三等角模型】例題：（2023春·七年級課時練習）【探究】如圖①，點B、C在的邊上，點E、F在內部的射線上，分別是、△CAF的外角．若，，求證：△ABE≌△CAF．【應用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點D在邊上，，點E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．【答案】探究：見解析；應用：6【分析】探究：根據，，得出，根據，得出，再根據證明即可；應用：根據全等三角形的性質得出：，進而得出，根據，的面積為9，得出，即可得出答案．【詳解】探究證明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和△CAF中，∴；應用解：∵△ABE≌△CAF，∴，∴，∵，的面積為9，∴，∴與的面積之和為6，故答案為：6．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．【變式訓練】1．已知是經過頂點C的一條直線，．E、F分別是直線上兩點，且．(1)若直線經過的內部，且E、F在射線上，請解決下面問題：①如圖1，若，，求證：；②如圖2，若，探索三條線段的數(shù)量關系，并證明你的結論；(2)如圖3，若直線經過的外部，，題（1）②中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確的結論再給予證明．【答案】(1)①見解析；②，見解析(2)不成立，，見解析【分析】（1）①利用垂直及互余的關系得到，證明≌即可；②利用三等角模型及互補證明，得到≌即可；（2）利用互補的性質得到，證明≌即可．【詳解】（1）①證明：∵，∴，∴，∴，在和中，，∴≌，∴；②解：．證明：∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∴；（2）解：．理由：∵，又∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定及性質，能夠熟練運用三等角模型快速證明三角形全等是解題關鍵．2．（2024上·湖南株洲·八年級校聯(lián)考期末）（1）如圖①，已知∶中，，直線經過點于于，求證∶；（2）拓展∶如圖②，將（1）中的條件改為∶中，三點都在直線上，并且，為任意銳角或鈍角，請問結論是否成立？如成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）應用∶如圖③，在中，是鈍角，，，直線與BC的延長線交于點，若的面積是12，求與的面積之和．【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）先證明，，然后根據即可證明；（2）先證明，再證明，再利用全等三角形的性質可得結論；（3）同（2）可證，得出，再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比，得出即可得出結果．【詳解】解：（1）∵，∴，且，∴，在和中，，∴；（2）成立，證明如下：∵，∴，且，∴，在和中，，∴，∴，，∴．（3）同（2）可證，∴，設的底邊上的高為h，則的底邊上的高為h，∴，，∵，∴，∵，∴與的面積之和為6．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的內角和定理，三角形外角的性質以及不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比，結合題目所給條件，得出是解決問題的關鍵．【模型五三垂直模型】例題：（2023上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：(1)如圖1，點A在直線l上，，過點B作于點C，過點D作交于點E．得．又，可以推理得到．進而得到結論：_____，_____．我們把這個數(shù)學模型稱為“K字”模型或“一線三直角”模型；(2)如圖2，∠于點C，于點E，與直線交于點，求證：．【答案】(1)，(2)見解析【分析】本題考查一線三直角全等問題，（1）由，得，則，而，即可證明，得，，于是得到問題的答案；（2）作于點，因為于點，于點，所以，由（1）得，因為，所以，則，而，即可證明，得，所以，再證明，則．【詳解】（1））解：于點，于點，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，故答案為：，．（2）證明：如圖2，作于點，∵于點，于點E，∴，由，同理（1）得，∴，在和中，∴，∴．【變式訓練】1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當直線MN繞點A旋轉到圖1的位置時，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當直線MN繞點A旋轉到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．【答案】(1)90°(2)見解析(3)CD=BE+DE，證明見解析【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根據等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根據AAS可證△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易證△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由圖可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案為：90°．(2)證明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由圖可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【點睛】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線段所夾的角等于旋轉角，也考查了三角形全等的判定與性質．2．（2024上·吉林遼源·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，直線經過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉到①的位置時，求證：①；②；(2)當直線繞點C旋轉到②的位置時，求證：；(3)當直線繞點C旋轉到③的位置時，試問、、具有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出這個等量關系，不需要證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析(3)(或，)．【分析】本題考查了幾何變換綜合題，需要掌握全等三角形的性質和判定，垂線的定義等知識點的應用，解此題的關鍵是推出證明和全等的三個條件．題型較好．（1）①已知已有兩直角相等和，再由同角的余角相等證明即可證明；②由全等三角形的對應邊相等得到，，從而得證；（2）根據垂直定義求出，根據等式性質求出，根據證出和全等，再由全等三角形的對應邊相等得到，，從而得證；（3）同樣由三角形全等尋找邊的關系，根據位置尋找和差的關系．【詳解】（1）①證明：∵，，∴，，∴，在與中，，∴；②由①知，，∴，，∵，∴；（2）證明：∵于D，于E，∴，∴，，∴，在與中，，∴．∴，，∴．（3）解：同（2）理可證．∴，，∵∴，即；當旋轉到圖3的位置時，、、所滿足的等量關系是(或，)．【模型六旋轉型模型】例題：如圖，，，．（1）求證：；（2）若，試判斷與的數(shù)量及位置關系并證明；（3）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見詳解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）【分析】（1）根據三角形全等的證明方法SAS證明兩三角形全等即可；（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代換證明即可；（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，進而可知∠CFA【詳解】（1）∵∠CAB=∠EAD∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AE=AD在△AEC和△ADB中∴△AEC≌△ADB（SAS）（2）CE=BD且CE⊥BD，證明如下：將直線CE與AB的交點記為點O，由（1）可知△AEC≌△ADB，∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，∴∠BFO=∠CAB=∠=90°，∴CE⊥BD．（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD由（1）知△AEC≌△ADB，∴兩個三角形面積相等故AM·CE=AN·BD∴AM=AN∴AF平分∠DFC由（2）可知∠BFC=∠BAC=∴∠DFC=180°-∴∠CFA=∠DFC=【點睛】本題考查了全等三角形的證明，以及全等三角形性質的應用，正確掌握全等三角形的性質是解題的關鍵；【變式訓練】1．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，點D在邊AC上，且線段BD繞著點B按逆時針方向旋轉120°能與BE重合，點F是ED與AB的交點．（1）求證：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）∠BFE＝105°．【分析】（1）根據旋轉的性質證明△ABE≌△CBD（SAS），進而得證；（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根據三角形內角和定理進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵線段BD繞著點B按逆時針方向旋轉120°能與BE重合，∴BD＝BE，∠EBD＝120°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，∴∠DBC＝∠ABE，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD；（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣45°＝105°．【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，利用旋轉的性質證明是解題的關鍵．2．如圖，已知和中，，，，，，線段分別交，于點，．（1）請說明的理由；（2）可以經過圖形的變換得到，請你描述這個變換；（3）求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）通過觀察可知繞點順時針旋轉，可以得到；（3）【分析】（1）先利用已知條件∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，利用SAS可證△ABC≌△AEF，那么就有∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，那么∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，即有∠BAE=∠CAF=25°；（2）通過觀察可知△ABC繞點A順時針旋轉25°，可以得到△AEF；（3）由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，而∠AMB是△ACM的外角，根據三角形外角的性質可求∠AMB．【詳解】解：（1）∵，，，∴，∴，，∴，∴；（2）通過觀察可知繞點順時針旋轉，可以得到；（3）由（1）知，，∴．【點睛】本題利用了全等三角形的判定、性質，三角形外角的性質，等式的性質等．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關系為；（2）猜想論證當點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關系，并對圖2的結論進行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見解析；（3）72或2【分析】（1）首先通過SAS證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質和等量代換即可得出答案；（2）仿照（1）中證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質即可得出結論；（3）首先求出BE的長度，然后利用S△AED?AD?EB即可求解．【詳解】解：（1）如圖1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案為AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如圖2中，結論：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如圖3中，結論：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如圖2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB12×12＝72．如圖3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB2×2＝2．【點睛】本題主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性質并分情況討論是關鍵．【模型七倍長中線模型】例題：（2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，，，求中線的取值范圍．【答案】【分析】延長到，使,證明兩邊之和大于，兩邊之差小于，證明三角形全等，得到線段相等，等量代換得．【詳解】解：如圖，延長至，使，連接，∵為中點，∴，在和中，∴，∴，在中，，即，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形三邊之間的關系，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．【變式訓練】1．如圖，在中，是邊上的中線．延長到點，使，連接．(1)求證：；(2)與的數(shù)量關系是：____________，位置關系是：____________；(3)若，猜想與的數(shù)量關系，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)，(3)，證明見解析【分析】(1)根據三角形全等的判定定理，即可證得；(2)由，可得，，據此即可解答；(3)根據三角形全等的判定定理，可證得，據此即可解答．【詳解】（1）證明：是BC邊上的中線，，在與中，；（2）解：，，，，故答案為：，；（3）解：證明：，，，，在和中，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，熟練掌握和運用全等三角形的判定與性質是解決本題的關鍵．2．（2023上·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E，使，連接．請根據小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到，得到，在中求得的取值范圍，從而求得的取值范圍是．方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．(2)如圖2，是的中線，，，，試判斷線段與的數(shù)量關系，并加以證明；(3)如圖3，在中，D，E在邊上，且．求證：．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)見解析【分析】本題考查三角形全等的判定及性質，三角形的三邊關系．（1）由作圖可得，根據“”證得，得到，在中，根據三角形的三邊關系有，代入即可求解；（2）延長到M，使得，連接，則，由（1）同理可證，得到，，從而，又，因此，進而得證，故；（3）取的中點為M，連接并延長至N，使，連接、，證得得到，證得得到．延長交于F，由三角形的三邊關系得到，即．【詳解】（1）∵，∴∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵在中，，即，∴．故答案為：（2），理由：如圖，延長到M，使得，連接，∴，∵是的中線，∴，在和中∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴；（3）取的中點為M，連接并延長至N，使，連接、，∵點M是的中點，∴，在和中，∴，∴∵，∴，即，在和中，∴，∴，延長交于F，則，且，∴，∴，即．【模型八截長補短模型】例題：在四邊形中，點C是邊的中點．(1)如圖①，平分，，寫出線段，，間的數(shù)量關系及理由；(2)如圖②，平分，平分，，寫出線段，，，間的數(shù)量關系及理由．【答案】(1)，見解析(2)，理由見解析【分析】（1）在上取一點F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出結論；（2）在上取點F，使，連接，在上取點G，使，連接．可以求得，是等邊三角形，就有，進而得出結論；【詳解】（1），理由如下：在上取一點F，使，連接．∵平分，∴，在和中∴．∴，，∵C是邊的中點．∴，∴．∵，∴，∴．在和中∴．∴．∵，∴．（2），理由如下：在上取，，連接，．與（1）同理，可得，．∴，，，．∵，∴．∵，∴．∴為等邊三角形．∴．∵，∴．

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定及性質的運用，等邊三角形的性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．【變式訓練】1．如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）在上截取，連接，證明，根據全等三角形的性質得出，，進而證明，根據全等三角形的性質得出，進而即可求解；（2）根據全等三角形的性質，結合圖形可得，即可求解．【詳解】（1）解：在上截取，連接．

∵平分，∴．在和中，∴∴，．