七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（北師大版）第四章第03講 探究三角形全等的條件(6類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第03講探究三角形全等的條件(6類熱點(diǎn)題型講練)1．理解和掌握全等三角形判定方法“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”、“邊邊邊”定理.2．能把證明一對(duì)角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.知識(shí)點(diǎn)01全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.特別說明：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（可以寫成“角角邊”或“AAS”）特別說明：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.知識(shí)點(diǎn)02全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．知識(shí)點(diǎn)03全等三角形的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長(zhǎng)，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．（3）全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．題型01三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用【例題】（2024上·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，南寧白沙大橋是一座斜拉索橋，造型美觀，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（

）A．三角形的穩(wěn)定性 B．四邊形的不穩(wěn)定性C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．三角形內(nèi)角和等于【答案】A【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，由三角形的穩(wěn)定性，即可得到答案，掌握三角形的穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：南寧白沙大橋是一座斜拉索橋，造型美觀，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是三角形的穩(wěn)定性，故選：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河北滄州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）以下生活現(xiàn)象不是利用三角形穩(wěn)定性的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形穩(wěn)定性和四邊形不穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．【詳解】解：A，B，D是利用了三角形的穩(wěn)定性，C是利用了四邊形的不穩(wěn)定性．故選：C．2．（2024上·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）周日，小喬在家?guī)蛬寢尨驋咝l(wèi)生，為方便拆取窗簾，他拿來一個(gè)人字梯，并且在人字梯的中間綁了一條結(jié)實(shí)的繩子，如圖所示，請(qǐng)問小喬這樣做的道理是（

）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．三角形具有穩(wěn)定性 D．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】C【分析】本題考查的是三角形的性質(zhì)，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性判斷即可．【詳解】解：小喬這樣做的道理是三角形具有穩(wěn)定性，故選：C．3．（2024上·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，建筑工地上的塔吊機(jī)的框架設(shè)計(jì)成很多個(gè)三角形，這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是．【答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】本題主要考查了三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用，理解三角形穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．從安全角度和三角形的穩(wěn)定性質(zhì)進(jìn)行分析即可解答．【詳解】解：從安全角度講，塔吊機(jī)需要特別穩(wěn)固，框架設(shè)計(jì)成很多個(gè)三角形是利用了三角形具有穩(wěn)定性．故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．題型02用SSS證明兩三角形全等【例題】（2023·云南玉溪·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用“邊邊邊”的方法證明三角形全等．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中點(diǎn)，．求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)是的中點(diǎn)，得到，再利用證明兩個(gè)三角形全等．【詳解】證明：是的中點(diǎn)，，在和中，，【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)，三角形全等的判定，其中對(duì)三角形判定條件的確定是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)分別在上，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）直接根據(jù)證明即可．（2）根據(jù)（1）得，然后證明即可．【詳解】（1）解：證明：在和中，

∴．（2）解：由（1）知，∴

，

在和中，

∴，

∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記全等三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．題型03用ASA證明兩三角形全等【例題】（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，點(diǎn)，點(diǎn)在上，，求證：．

【答案】見解析【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，利用等式的性質(zhì)可得，然后再利用判定即可．【詳解】證明：∵，，，，即，在和中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．【變式訓(xùn)練】1．（2023·校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)A、、、在同一條直線上，若，，求證：．【答案】見解析【分析】由知，結(jié)合，，依據(jù)“”可判定≌，依據(jù)兩三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等可得．【詳解】證明：，，即，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃┤鐖D，在和中，，點(diǎn)B為中點(diǎn)，．(1)求證：．(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)4，見解析【分析】（1）根據(jù)判定即可；（2）根據(jù)和點(diǎn)B為中點(diǎn)即可求出．【詳解】（1）證明：∵，，，∴（2）解：∵，，∴，，∵點(diǎn)B為中點(diǎn)，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定條件是解答本題的關(guān)鍵．題型04用AAS證明兩三角形全等【例題】（2023·廣東汕頭·廣東省汕頭市聿懷初級(jí)中學(xué)?？既＃┤鐖D，點(diǎn)E在邊上，，，．求證：【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得出，即可利用“”證明．【詳解】證明：，，，，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，，，．

(1)求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)40°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用三角形全等的判定定理即可證明；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴．（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)，利用好數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由得，即，從而即可證得；（2）由可得，，即可得到，從而即可得證．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，；（2）解：，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型05用SAS證明兩三角形全等【例題】（2023·廣東廣州·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，，．求證：．

【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．【詳解】證明：在和中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，兩直角三角形全等還有等．【變式訓(xùn)練】1．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）已知，如圖，點(diǎn)、、、在同一直線上，、相交于點(diǎn)，，垂足為，，垂足為，且，．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)，，得到，根據(jù)，得到，結(jié)合，則可根據(jù)判定．【詳解】證明：，，，，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，熟記三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)濟(jì)南育英中學(xué)校考期中）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，，，．求證：．

【答案】見解析【分析】由得到，根據(jù)可得，又由，根據(jù)即可證明．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，根據(jù)題意找到證明全等需要的條件是解題的關(guān)鍵．題型06添加條件使兩三角形全等【例題】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，D在上，E在上，且，補(bǔ)充一個(gè)條件______后，可用“”判斷．

【答案】或【分析】由于兩個(gè)三角形已經(jīng)具備，，故要找邊的條件，只要不是這兩對(duì)角的夾邊即可．【詳解】解：∵，，∴若用“”判斷，可補(bǔ)充的條件是或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江雞西·?？既＃┤鐖D，點(diǎn)在一條直線上，已知，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件_________使得．（要求不添加任何線段）

【答案】（答案不唯一）【分析】由可得，再根據(jù)三角形全等的證明，可知可以添加條件為：兩邊及其夾角（）、兩邊及一邊（）即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴可添加條件為：可證明或可證明．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形全等判定，掌握證明全等三角形的方法有：,特別是不能判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．2．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，，，只需添加一個(gè)條件即可證明，這個(gè)條件可以是________（寫出一個(gè)即可）．【答案】或或或（答案不唯一）．【分析】根據(jù)，或添加條件即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即，則有邊角兩個(gè)條件，要添加一個(gè)條件分三種情況，（1）根據(jù)“”，則可添加：，（2）根據(jù)“”，則可添加：或，（3）根據(jù)“”，則可添加：，故答案為：或或或（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的幾種判斷方法．3．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________；要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________________．【答案】（或）（或）【分析】根據(jù)：斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，使，已知，，添加的條件是直角邊相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．【詳解】解：已知，，要使用“”，添加的條件是直角邊相等，故答案為：（或）；要使用“”，需要添加角相等，添加的條件為：（或）．故答案為：（或）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定．本題的關(guān)鍵是，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．一、單選題1．（2023上·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）巴東長(zhǎng)江大橋全長(zhǎng)公里，位于長(zhǎng)江水道之上，是連接巴東縣南北兩岸的重要通道．如圖，這是大橋中的斜拉索橋，那么斜拉索大橋中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（

）A．三角形的內(nèi)角和為 B．三角形的穩(wěn)定性C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．垂線段最短【答案】B【分析】本題考查三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中的應(yīng)用問題，根據(jù)三角形的三邊一旦確定，則形狀大小完全確定，即三角形的穩(wěn)定性．【詳解】解：可以推斷出斜拉索大橋中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是三角形的穩(wěn)定性．故選：B．2．（2024上·浙江衢州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小筧家里有一塊三角形玻璃碎了，他帶著殘缺的玻璃去玻璃店配一塊與原來相同的，請(qǐng)問師傅配出相同玻璃的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，根據(jù)全等三角形的判定，已知兩角和夾邊，就可以確定一個(gè)三角形．【詳解】解：此玻璃，不但保留了原三角形的兩個(gè)角還保留了其中一個(gè)邊，所以符合判定．故選：D．3．（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列條件中，不能作為判斷的條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．根據(jù)全等三角形的判定定理，逐項(xiàng)判斷，即可求解．【詳解】解：A、滿足邊邊角，不能判定，故本選項(xiàng)符合題意；B、滿足邊角邊，能判定，故本選項(xiàng)不符合題意；C、滿足邊邊邊，能判定，故本選項(xiàng)不符合題意；D、滿足角角邊，能判定，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．4．（2024上·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．7【答案】B【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)線段的和差求解即可．【詳解】∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴，故選：B．5．（2024上·海南儋州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小李用若干長(zhǎng)方體小木塊，分別壘了兩堵與地面垂直的木塊墻，其中木塊墻，．木塊墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板，點(diǎn)B在上，點(diǎn)A和C分別與木塊墻的頂端重合，則兩堵木塊墻之間的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．利用角角邊定理證明，然后結(jié)合全等三角形的性質(zhì)分析求解．【詳解】解：由題意可得在與中故選：D．二、填空題6．（2022上·新疆喀什·八年級(jí)?？计谥校榱耸挂簧扰f木門不變形，木工師傅在木門的背面加釘了一根木條這樣做的道理是【答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】本題主要考查了三角形具有穩(wěn)定性的應(yīng)用，用木條固定矩形門框，即是組成三角形，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋．【詳解】解：加上木條后，原不穩(wěn)定的四邊形中具有了穩(wěn)定的三角形，故這種做法根據(jù)的是三角形的穩(wěn)定性．故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．7．（2024上·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，若要證明，需要補(bǔ)充的個(gè)條件是．（寫出一個(gè)即可）【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形判定定理即可解答．【詳解】解：∵，∴，即，∵添加利用即可證明；添加利用即可證明；添加利用即可證明．故答案為：（答案不唯一）．8．（2024上·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將兩根長(zhǎng)度相等的鋼條，的中點(diǎn)固定在點(diǎn)，使，可以繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測(cè)量工具，則的長(zhǎng)等于內(nèi)槽寬，原因是和全等，那么判定和全等的依據(jù)為．

【答案】邊角邊【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用；由題意得，由對(duì)頂角相等即可判定兩個(gè)三角形全等．【詳解】解：連接、，

∵兩根長(zhǎng)度相等的鋼條，的中點(diǎn)固定在點(diǎn)，∴，∵，∴；故答案為：邊角邊．9．（2024上·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期末）教育部頒布的《基礎(chǔ)教育課程改革綱要》要求每位學(xué)生每學(xué)年都要參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，某學(xué)校社團(tuán)組織了一次測(cè)量探究活動(dòng)，測(cè)量校園內(nèi)的小河的寬度，如圖所示，小東和小穎在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)和、，使點(diǎn)、、共線且河岸平行，、分別與河岸垂直且A、、三點(diǎn)共線，他們已測(cè)得，河寬的長(zhǎng)為．【答案】/40米【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根據(jù)證明，得出即可．【詳解】解：∵、分別與河岸垂直，∴，∵A、、三點(diǎn)共線，點(diǎn)、、共線，∴，∵，∴，∴．故答案為：．10．（2023上·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，于A，于B，且，P點(diǎn)從B向A運(yùn)動(dòng)，速度為，Q點(diǎn)從B向D運(yùn)動(dòng)，速度為，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，則經(jīng)過s后，與全等．【答案】4【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解一元一次方程，先設(shè)運(yùn)動(dòng)x分鐘后與全等；分兩種情況：①若，則，此時(shí)，≌；②若，則，得出，，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵于點(diǎn)A，于B，∴．設(shè)運(yùn)動(dòng)x分鐘后與全等，由題意得：，，則．分兩種情況：①若，則，，．可知，∴≌；②若，則，解得：，可知，此時(shí)與不全等．綜上所述：運(yùn)動(dòng)后與全等．故答案為：4．三、解答題11．（2024上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、C、D、B在同一條直線上，點(diǎn)E、F分別在直線的兩側(cè)，，，．

(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)詳見解析(2)125°【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）由“SSS”可證；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴；在和中，，∴；（2）解：由（1）可知：，∴，∵，∴．12．（2023上·四川巴中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，，與交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)即可證明；（2）證明，進(jìn)而即可求解【詳解】（1）證明：∵于點(diǎn)D，于點(diǎn)E∴在與中，∴（）（2）解：由（1）得，∴，，∴，即又∵，∴（）∴，∴，∵，，∴13．（2024上·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是上一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)對(duì)頂角相等，中點(diǎn)的性質(zhì)得出，，根據(jù)，即可得證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出，進(jìn)而根據(jù)線段的和差即可求解．【詳解】（1）證明：，，是的中點(diǎn)，，又，；（2）解：，，．14．（2023上·四川眉山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，，，．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)60°【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等這是，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．（1）根據(jù)兩角夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等即可證明．（2）利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴∴15．（2024上·浙江麗水·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題主要考查了三角形全等的判定，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定定理．（1）根據(jù)判定即可；（2）根據(jù)題意可得，在中根據(jù)外角的性質(zhì)即可求出．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，在和中，，∴．（2）