七年級數學下冊講義（北師大版）第二章第02講 平行線的判定和性質(10類熱點題型講練)（原卷版）

第02講平行線的判定和性質(10類熱點題型講練)1．掌握同位角、內錯角、同旁內角的位置關系；2．掌握利用同位角、內錯角、同旁內角判定判定兩條直線平行的條件，并能解決一些問題；3．掌握平行線的性質與判定的綜合運用；4．體會平行線的性質與判定的區(qū)別與聯系．知識點01同位角、內錯角、同旁內角的概念1.同位角、內錯角和同旁內角：填空：(1)如圖，∠1和∠5，分別在直線AB，CD的上方（同一方），在直線EF的右側（同側）.具有這種位置關系的一對角是同位角.(2)如圖，∠3和∠5，在直線AB，CD之間，在直線EF的兩側.具有這種位置關系的一對角叫做內錯角.(3)如圖，∠3和∠6，在直線AB，CD之間，在直線EF的同側.具有這種位置關系的一對角叫做同旁內角.【總結】(1)同位角：在被截直線的同一方向，截線的同側的一對角.(2)內錯角：在被截直線的內側，截線的兩側的一對角.(3)同旁內角：在被截直線的內側，截線的同側的一對角.知識點02平行線的定義及表示(1)定義：在同一平面內內，不相交的兩條直線.(2)表示：平行用“∥”符號表示，讀作“平行于”.1.同一平面內，兩條直線的位置關系：(1)平行 (2)相交2.利用直尺和三角尺畫平行線：一“落”、二“靠”、三“移”、四“畫”.【注意】平行線的畫法四字訣1.“落”：三角板的一邊落在已知直線上；2.“靠”：用直尺緊靠三角板的另一邊；3.“移”：沿直尺移動三角板，直至落在已知直線上的三角板的一邊經過已知點；4.“畫”：沿三角板過已知點的邊畫直線.知識點03平行公理及推論(1)平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.(2)推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c.【注意】平行公理(1)“有且只有”強調直線的存在性和唯一性.(2)前提條件“經過直線外一點”，若點在直線上，不可能有平行線.知識點04平行線的判定方法平行線的判定方法1：(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，兩直線平行.(2)幾何語言：∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)，∴AB∥CD.平行線的判定方法2：(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內錯角相等，兩直線平行.(2)幾何語言：∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)，∴AB∥CD.平行線的判定方法3：(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行.(2)幾何語言：∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)，∴AB∥CD.平行線的其他判定方法：(1)在同一平面內，平行于同一條直線的兩條直線平行.(2)在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行.【總結】判定兩直線平行的方法方法一：平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線就是平行線.方法二：平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.方法三：同位角相等，兩直線平行.方法四：內錯角相等，兩直線平行.方法五：同旁內角互補，兩直線平行.方法六：同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行.知識點05平行線的性質(1)文字表達：①兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補；②簡單說成：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯家相等；兩直線平行，同旁內角互補；(2)幾何語言表述：已知，如圖所示，若AB∥CD，則①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)；②內錯角：∠2=∠8(或∠3=∠5)；③同旁內角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°).題型01同位角、內錯角、同旁內角的辨別【例題】（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┤鐖D，下列結論正確的是（

）A．與是對頂角B．與是同位角C．與是同旁內角D．與是同旁內角【變式訓練】1．（2023上·四川巴中·七年級四川省巴中中學?？茧A段練習）如圖所示，有下列五種說法：①和是同位角；②和是內錯角；③和是同旁內角；④和是同位角；⑤和是同旁內角；其中正確的是（）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤2．（2023下·廣東河源·七年級期中）如圖，a，b，c三條直線兩兩相交，下列說法錯誤的是（

）

A．與是同位角 B．與是內錯角C．與是對頂角 D．與是同旁內角題型02同位角相等，兩直線平行【例題】根據要求完成下面的填空：如圖，直線，被所截，若已知．

（______），又（已知），____________，∴____________（______）．【變式訓練】1．請完成下面的推理過程并在括號里填寫推理依據：如圖，，與平行嗎？為什么？

解：．理由如下：∵（已知），∴________°即________°（

）又∵（

），且（已知）∴（

）∴（

）2．如圖，已知，，，．與平行嗎？與平行嗎？閱讀下面的解答過程，并填空或填寫理由．

解：與平行；與平行，理由如下：，（________）（________）（________________________）；又（________）同理可得（________）∴（________）（________）（_____________________________）．題型03內錯角相等，兩直線平行【例題】如圖，交于，交于，交于，，，試判斷和的位置關系，并說明為什么．【變式訓練】1．推理填空：已知：如圖于B，于C，，求證：．

證明：∵于B，于C（已知）∴∴與互余，與互余又∵（），∴＝（）∴（）．2．如圖，直線交于點O，分別平分和，已知，且．(1)求的度數；(2)試說明的理由．題型04同旁內角互補，兩直線平行【例題】如圖，已知直線被直線所截，平分，平分，，嗎？為什么？解：∵平分，平分（已知），∴___________，___________，∴___________（），∵（），∴___________°，∴．【變式訓練】1．如圖，．試說明，根據圖形，完成下列推理：∵（已知）∴（等量代換）∴________//_________（_______________）∵相交，∴（____________）∵∴∴（___________________）2．完成下面的證明．已知：如圖，直線a，b，c被直線l所截，，．求證：．

證明：∵，∴______（______）．∵，∴______（______）．∴（______）．題型05平行線及平行公理【例題】如圖，已知直線a，b，c被d所截，且，．試說明：．解：因為（已知）（___________）所以___________=___________（等量代換）所以______________________（___________）又因為（已知）所以______________________（___________）【變式訓練】1．如圖所示，直線相交于點O，平分，平分，，垂足為點H，與平行嗎？說明理由．

2．如圖，，，垂足分別是，，．(1)判斷與的位置關系；（不需要證明）(2)求證：．題型06添加一條件使兩條直線平行【例題】（2023下·黑龍江牡丹江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，寫出能判定的一個條件（寫出一個即可）．【變式訓練】1．（2023下·江蘇蘇州·七年級校考階段練習）如圖，在下列四組條件中：①，②，③，④，能判定的是．（填序號）

2．（2023下·山東德州·七年級校考階段練習）如圖，已知直線，垂足為，且，若增加一個條件使得，試寫出一個符合要求的條件．

題型07根據平行線的性質求角度【例題】（2023下·新疆阿克蘇·七年級校考期末）如圖，，直線分別交、于點、，平分，，求的度數．

【變式訓練】1．（2023下·浙江金華·七年級校聯考期末）如圖，點在的延長線上，連接，作的角平分線分別交線段，于點，點，已知，．

(1)試說明；(2)若，，求的度數．2．（2023下·貴州黔南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，，，點E在線段上，，點F在直線上，．

(1)圖中與相等的角有__________；(2)若，求的度數；(3)在（2）的條件下，點C（點C不與B，H兩點重合）從點B出發(fā)，沿射線的方向運動，其他條件不變，求的度數．題型08平行線的性質在生活中的應用【例題】（2023下·全國·七年級期中）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，在A，B，C三處經過三次拐彎，此時道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行（即），若，，則的度數是．【變式訓練】1．（2023上·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）光線從空氣射入水中時，光線的傳播方向會發(fā)生改變，這就是折射現象．如圖，水面與底面平行，光線從空氣射入水里時發(fā)生了折射，變成光線射到水底C處射線X是光線的延長線，，，則的度數為．2．（2023下·江蘇蘇州·七年級蘇州市立達中學校校考期中）圖1中所示是學校操場邊的路燈，圖2為路燈的示意圖，支架、為固定支撐桿，燈體是，其中垂直地面于點，過點作射線與地面平行（即），已知兩個支撐桿之間的夾角，燈體與支撐桿之間的夾角，則的度數為．

題型09平行線的性質與判定綜合應用【例題】（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）【感知探究】（1）如圖①，已知，，點在上，點在上．求證：．【類比遷移】（2）如圖②，、、的數量關系為．（不需要證明）【結論應用】（3）如圖③，已知，，，則°．【變式訓練】1．（2023上·湖南岳陽·八年級校考開學考試）如圖，，，點F在的延長線上，點C在的延長線上，且平分．

(1)求證：；(2)若，求．2．（2023下·江蘇泰州·七年級?？计谥校┤鐖D，在中，點、在邊上，點在邊上，點在邊上，與的延長線交于點，，．

(1)與平行嗎？為什么？(2)若，求的度數．題型10根據平行線的性質與判定探究角的關系【例題】（2023下·浙江·七年級專題練習）如圖，已知直線，且和分別交于A、B兩點，點P在直線上．(1)之間的關系為；(2)如果點P在A、B兩點之間運動時，之間的關系為；(3)如果點P（點P和A、B不重合）在A、B兩點外側運動時，之間關系為．【變式訓練】1．（2023上·黑龍江佳木斯·八年級校考開學考試）如圖，已知，，點為射線上任意一點不與點重合，，分別平分和，交射線于點，點．

(1)圖中；(2)當時，；(3)隨點位置的變化，圖中與之間的數量關系始終為，請說明理由．2．（2023下·浙江杭州·七年級校聯考階段練習）如圖，已知直線與直線，直線分別交于點E，F，平分交直線于點M，且．

(1)求證：；(2)點G是射線上的一個動點(不與點M，F重合)，平分交直線于點H，過點H作交直線于點N，設．①點G在點F右側，且，求的度數；②點G在運動過程中，和之間有怎樣的數量關系？請寫出結論．一、單選題1．（2023下·云南昭通·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，下列條件不能判定的是（

）

A． B． C． D．2．（2023下·廣東江門·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，以下說法錯誤的是（

）

A．與是同位角 B．與是同位角C．與是內錯角 D．與是同旁內角3．（2023上·陜西銅川·八年級統(tǒng)考期末）如圖，下列推理及括號中所注明的推理依據錯誤的是（

）A．∵，（兩直線平行，同旁內角互補）B．，（兩直線平行，同旁內角互補）C．，（內錯角相等，兩直線平行）D．，（同位角相等，兩直線平行）4．（2023上·陜西榆林·八年級?？计谀┤鐖D，直線，直線與直線a相交于點P，與直線b相交于點Q，于點P，若，則的度數為（

）A． B． C． D．5．（2023上·四川宜賓·七年級四川省宜賓市第二中學校校考階段練習）如圖，已知：，，平分，，有下列結論：①；②；③；④.結論正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題6．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學校?？茧A段練習）如圖所示的四個圖形中，和是同位角的是．（填序號）

7．（2023下·湖北·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線DE經過點A，請?zhí)砑右粋€條件使直線，則該條件可以是．

8．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱風華中學校考期中）如圖，，．若，則的度數為．9．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市虹橋初級中學校校考階段練習）如圖，一條公路兩次拐彎后，和原來的方向相同，如果第一次拐的角是（即），那么第二次拐的角（）是度．10．（2023上·黑龍江大慶·八年級大慶一中?？计谥校┤鐖D，直線，將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖放置，，，固定的位置不變，將沿方向平移至點F正好落在直線上，再將繞點F順時針方向以每秒的速度進行旋轉，當與直線首次重合時停止運動當經過t秒時，線段與的一條邊平行，則t的值．

三、解答題11．（2023上·新疆克孜勒蘇·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，，試判斷與的大小關系，請補全證明過程，即在橫線處填上結論或理由．解：．理由如下：∵（已知），（_______），∴（_______），∴_______（_______），∴（_______），∵（已知），∴∠______________（_______），∴______________（_______），（_______）．12．（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）在下列解答中，填空（理由或數學式）．如圖，已知直線，，．(1)求的度數；(2)求證：直線．解：（1）∵（已知），且（），∴（）．∵（已知），∴（）．∴（等量代換）．證明：（2）∵（），∴（）．又∵（已知），∴（）．13．（2023上·吉林長春·七年級?？计谀┤鐖D，已知，與相交于點E，從點E引一條射線交線段于點F，若，，求證：．證明：∵（已知），∴（兩直線平行，同旁內角互補），又∵（已知），∴（____________________），∴__________（____________________），∴__________（____________________），∵（已知），∴（____________________），∵（已知），∴（____________________）．14．（2023上·重慶沙坪壩·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，在中，點在邊上，分別交，于點，，平分，，

(1)求證：；(2)若，，求的度數．15．（2023上·四川遂寧·七年級射洪中學校聯考階段練習）如圖1，直線，點分別在和上，，平分．(1)試說明：；(2