案例二：收藏家買畫問題

案例二：收藏家買畫問題一個(gè)收藏家正在考慮買一幅名畫，這幅畫標(biāo)價(jià)為5000美元。如果是真品，它可值1萬美元；如果是贗品，它就一錢不值。此外，買一幅假畫或沒能買下一幅真畫都會損害她的名譽(yù)，其價(jià)值分別是6000美元與3000美元。如果由賣畫者以往的資料知這幅畫以概率0.75是真品，以概率0.25是贗品，她是否應(yīng)買這幅畫？一位鑒賞家能以概率0.95識別一幅真畫，以概率0.7識別一幅假畫。如果他說這幅畫是真品，她買下這幅畫將要冒多少風(fēng)險(xiǎn)？如果該鑒賞家的咨詢費(fèi)為500美元，問她是否請?jiān)撹b賞家鑒別？這是一個(gè)貝葉斯決策（估計(jì)）問題。設(shè)表示該幅畫的真與假，，分別表示該畫是真品與贗品兩種狀態(tài)，即能取的兩個(gè)值。，分別表示她買與不買這幅畫的兩個(gè)行動(dòng)（決策），則由題意，有，且收益函數(shù)由如下矩陣（稱為收益矩陣）給出（表1）：表1兩種狀態(tài)、兩種決策下的收益矩陣品別買否真品（）贗品（）買（）5000（美元）-6000（美元）不買（）-3000（美元）0故A。在實(shí)際當(dāng)中損失函數(shù)往往由具體問題的收益函數(shù)（矩陣）按下式確定A其中A為的花寫，是決策空間，由所有可能的決策（行動(dòng)）組成的集合。從而，損失函數(shù)由如下矩陣（稱為損失矩陣）給出（表2）表2兩種狀態(tài)、兩種決策下的損失矩陣（真品）（贗品）（買）06000（不買）80000于是采取行動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)為采取的風(fēng)險(xiǎn)為因?yàn)椋?，她先?yàn)最優(yōu)行動(dòng)是（買下這幅畫）?；蛞?yàn)椴扇⌒袆?dòng)的平均收益為采取行動(dòng)的平均收益為所以，她先驗(yàn)最優(yōu)行動(dòng)仍是（買下這幅畫）。設(shè)，分別表示鑒賞家說這幅畫是真與假（兩個(gè)情報(bào)值），表示鑒賞家的鑒別可能結(jié)果。則得條件分布矩陣（條件似然分布矩陣）如表3：表3條件似然分布矩陣P0.750.250.950.300.050.70由全概率公式，得從而因?yàn)樨惾~斯風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小幾乎處處等價(jià)于達(dá)到最小，而類似地，，因此，當(dāng)鑒賞家說這幅畫是真品時(shí)她（最優(yōu)行動(dòng)是）買下這幅畫所冒風(fēng)險(xiǎn)為571.2美元。當(dāng)鑒賞家談這幅畫是贗品時(shí)，她（最優(yōu)行動(dòng)是）不買這幅畫，所冒風(fēng)險(xiǎn)為1412美元?；蛴墒找婢仃嚨脳l件平均收益如下：故亦得上述結(jié)論：當(dāng)鑒賞家說該幅畫是真品時(shí)她應(yīng)買下該幅畫，否則她不買。由全數(shù)學(xué)期望公式，得即最小風(fēng)險(xiǎn)為749.8美元，而先驗(yàn)（行動(dòng)）最小風(fēng)險(xiǎn)為1500美