第2章 實(shí)數(shù)（單元測試基礎(chǔ)卷）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

第2章實(shí)數(shù)（單元測試·基礎(chǔ)卷）【要點(diǎn)回顧】【要點(diǎn)1】平方根、立方根1.平方根定義一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方根等于a,即：那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記作，讀作“根號(hào)a”；2.立方根定義如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.【要點(diǎn)2】二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式叫做二次根式.2.二次根式的性質(zhì)（1）；（2）；（3）.3最簡二次根式（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足這兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式.4.同類二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類二次根式.【要點(diǎn)3】二次根式的運(yùn)算1.乘除法法測2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列各數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（

）A． B．1.414 C． D．2．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．3．的計(jì)算結(jié)果估計(jì)在（

）A．1至1.5之間 B．1.5至2之間 C．2至2.5之間 D．2.5至3之間4．下列二次根式中，能與合并的是（

）A． B． C． D．5．下列說法錯(cuò)誤的是(

)A．的平方根是 B．的立方根是C．是的平方根 D．是的平方根6．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．7．的平方根為（

）A．2 B． C．4 D．8．已知，與是同一個(gè)數(shù)的平方根，則m的值是（

）A． B．1 C．或1 D．9．已知，，，，那么精確到的近似值是（

）A． B． C． D．10．以單位長度為邊長畫一個(gè)正方形，以頂點(diǎn)為圓心、對(duì)角線長為半徑畫弧，與數(shù)軸的交點(diǎn)為（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），再以頂點(diǎn)為圓心，對(duì)角線長為半徑畫弧，與數(shù)軸的交點(diǎn)為（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），已知正方形兩條對(duì)角線相等，設(shè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是，則點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．的絕對(duì)值是．12．若有意義，則a的取值范圍為．13．化簡：．14．已知，則．15．已知，則代數(shù)式的值為．16．如圖，在原點(diǎn)為O的數(shù)軸上，作一個(gè)兩直角邊長分別是1和2，斜邊為的直角三角形，點(diǎn)A在點(diǎn)O左邊的數(shù)軸上，且，則點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是．17．（1）若，則代數(shù)式的值為．（2）如下是按規(guī)律排列的一列單項(xiàng)式：，…則第10個(gè)單項(xiàng)式是．18．【動(dòng)手實(shí)踐】小明學(xué)習(xí)了《數(shù)學(xué)》第63頁的“實(shí)驗(yàn)與探究”后做了如下探索：他按圖1方法把邊長為5厘米和3厘米的兩個(gè)正方形切割成5塊，按圖2方式拼成的一個(gè)大正方形，則大正方形的邊長是厘米．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（1）；（2）20．（8分）求代數(shù)式的值，其中．如圖是小明和小穎的解答過程：

填空：_______________的解法是錯(cuò)誤的；求代數(shù)式的值，其中．21．（10分）解答下列問題．（1）已知，，求．（2）已知實(shí)數(shù)，滿足，求的平方根．22．（10分）觀察下列等式：；；；；……請(qǐng)你按上述規(guī)律寫出第5個(gè)等式：_______；用含字母n（n為正整數(shù)）的等式表示這一規(guī)律，并給出證明．23．（10分）如圖是一塊正方形紙片．

如圖1，若正方形紙片的面積為，則此正方形的邊長的長為，對(duì)角線的長為；如圖2，若正方形紙片的面積為，李明同學(xué)想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長和寬之比為，他能裁出嗎？請(qǐng)說明理由．24．（12分）閱讀下列材料，然后回答問題：閱讀：在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，可以將進(jìn)一步化簡：方法一:方法二:【探究】選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算下列各式：（1）；（2）．【猜想】＝．參考答案1．C【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】解：屬于無理數(shù)的是．故選：C．【點(diǎn)撥】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及像，等有這樣規(guī)律的數(shù)．2．A【分析】根據(jù)被開方數(shù)中不含分母，不含能開得盡方的因數(shù)或因式即為最簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式的定義依次判斷即可．【詳解】解：A是最簡二次根式，故符合題意；B不是最簡二次根式，不符合題意；C不是最簡二次根式，不符合題意；D不是最簡二次根式，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了最簡二次根式的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)二次根式的乘法，可化簡二次根式，根據(jù)2.25，3，4的關(guān)系，可得答案．【詳解】解：原式＝，，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了估算無理數(shù)的大小，先化簡二次根式，再比較二次根式的大?。?．D【分析】把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式，由此即可判斷．【詳解】解：A、＝2，故A不符合題意；B、＝2，故B不符合題意；C、＝2，故C不符合題意；D、＝2，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的是同類二次根式的含義，熟記同類二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．5．A【分析】根據(jù)平方根與立方根的定義逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：A.的平方根是，故該選項(xiàng)不正確，符合題意；

B.的立方根是，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；C.是的平方根，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

D.是的一個(gè)平方根，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了平方根、立方根的定義，熟練掌握平方根、立方根的定義是解題的關(guān)鍵．平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，那么這個(gè)數(shù)就叫的平方根，其中屬于非負(fù)數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根．立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根．6．C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則對(duì)各選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、為無理數(shù)，不能與有理數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算，故錯(cuò)誤，不符合題意；B、根據(jù)二次根式計(jì)算法則，同類二次根式相減時(shí)，系數(shù)相減，應(yīng)該為，故錯(cuò)誤，不符合題意；C、根據(jù)二次根式乘法法則，計(jì)算正確，符合題意；D、根據(jù)二次根式除法法則，應(yīng)該為，不符合題意；故選C．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的四則運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是熟悉二次根式計(jì)算法則．7．B【分析】先求得，再求4的平方根即可．【詳解】∵，∴4平方根為，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了求立方根，平方根，熟練掌握求根的基本方法是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】依據(jù)平方根的性質(zhì)列方程求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上分析可得：或，故C正確．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平方根的性質(zhì)，明確與相等或互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】先根據(jù)無理數(shù)的估算確定的取值范圍，再利用四舍五入找出近似值即可．【詳解】解：，，，，精確到的近似值是，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了無理數(shù)的估算，熟練掌握估算方法是解題關(guān)鍵．10．A【分析】由勾股定理求出的長，從而可求出的長，由在數(shù)軸上表示的數(shù)是，即可得到點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)．【詳解】解：由題意知，四邊形是正方形，，，，，，，，，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，關(guān)鍵是由勾股定理求出的長．11．【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵，∴的絕對(duì)值是：．故答案為：．【點(diǎn)撥】此題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，正確掌握絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．【分析】利用被開方數(shù)的非負(fù)性即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的被開方數(shù)的非負(fù)性，掌握二次根式的被開方數(shù)大于等于零是解題關(guān)鍵．13．【分析】進(jìn)行分母有理化運(yùn)算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查分母有理化運(yùn)算，掌握分母有理化是解題的關(guān)鍵．14．【分析】由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得，，再代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，，解得：，，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是算術(shù)平方根的非負(fù)性的應(yīng)用，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的含義，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解，是解本題的關(guān)鍵．15．【分析】直接把代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：把代入代數(shù)式得：故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是代數(shù)式的求值，同時(shí)考查了二次根式的平方運(yùn)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形斜邊的長度，也就求出了的長，結(jié)合圖中點(diǎn)A的位置確定點(diǎn)A表示的數(shù)．【詳解】解：由題知，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得，直角三角形的斜邊，則，∵如圖，點(diǎn)A是以原點(diǎn)O為圓心為半徑作弧與數(shù)軸的交點(diǎn)，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)勾股定理確定斜邊的長度，即確定的長度是解答本題的關(guān)鍵．17．【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)單項(xiàng)式的系數(shù)的絕對(duì)值為，字母都為，指數(shù)的規(guī)律為對(duì)應(yīng)的序號(hào)，系數(shù)的符號(hào)奇數(shù)個(gè)時(shí)為正，偶數(shù)個(gè)時(shí)為負(fù)，乘以即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴故答案為：；（2），…∴第個(gè)單項(xiàng)式為，∴第10個(gè)單項(xiàng)式是．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的計(jì)算，單項(xiàng)式規(guī)律，掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則以及找到單項(xiàng)式的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．18．【分析】先求解邊長為5厘米和3厘米的兩個(gè)正方形的面積之和為34，可得大正方形的面積為34，從而可得答案．【詳解】解：由題意可得：邊長為5厘米和3厘米的兩個(gè)正方形的面積之和為，∴拼成的大正方形的面積為34，∴大正方形的邊長為，故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是等面積法的應(yīng)用，算術(shù)平方根的應(yīng)用，理解拼接前后的面積不變是解本題的關(guān)鍵．19．（1）3；（2）4【分析】（1）利用平方根的性質(zhì)化簡，再結(jié)合零指數(shù)冪的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)化簡即可求出答案．（2）利用平方根的性質(zhì)化簡，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則即可解答．【詳解】解：（1）原式（2）原式【點(diǎn)撥】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．20．(1)小明(2)【分析】（1）由于當(dāng)，，由此可知小明的解法是錯(cuò)誤的；（2）仿照題意中小穎的解法求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，小明的解法是錯(cuò)誤的，因?yàn)樾∶髟诨喍胃降臅r(shí)候沒有注意符號(hào)問題，當(dāng)，，故答案為：小明（2）解：，當(dāng)時(shí)，，∴原式．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的化簡求值，熟知是解題的關(guān)鍵．21．（1）19；（2）．【分析】（1）先把x、y分母有理化，求出x+y與xy，再將原式配方后，整體代入計(jì)算即可，（2）利用二次根式被開方數(shù)有意義，求出x，y的值，代入求出值，再求平方根即可．【詳解】（1），．，，．（2），，，，，6的平方根為．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的條件求值問題，掌握二次根式的條件求值方法，會(huì)分母有理化，會(huì)利用被開方數(shù)有意義求字母的值是解題關(guān)鍵．22．(1)(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)所給式子的形式進(jìn)行求解；（2）根據(jù)所給式子的形式不難看出式子的值與序號(hào)之間的關(guān)系：第n個(gè)等式：．【詳解】（1）解：∵；；；；……∴第5個(gè)等式：，故答案為：；（2）解：第n個(gè)等式：，證明：，∵n為正整數(shù)，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，掌握將數(shù)字與序號(hào)建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵．23．(1)，2(2)他不能裁出，理由見解析【分析】（1）由正方形面積，確定出正方形邊長，即可利用勾股定理確定正方形的對(duì)角線長；（2）利用方程思想求出長方形的長邊，然后與正方形邊長比較大小即可．【詳解】（1）解：∵正方形紙片的面積為，∴此正方形的邊長的長為∴正方形的對(duì)角線長為：，故答案為：，2．（2）解：他不能裁出，理由如下：根據(jù)題意設(shè)長方形的長和寬分別為和．∴，解得：，∴長方形的長為．∵正方形的面積為，∴正方形的邊長為，∵，∴，∴他不能裁出．