應(yīng)用二元一次方程組-雞兔同籠（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）-八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

專題5.12應(yīng)用二元一次方程組——雞兔同籠（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識點(diǎn)1】列二元一次方程組解應(yīng)用題的基本步驟：審：通過審題，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題.設(shè)：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的兩個(gè)未知量（設(shè)元）.找：找出題目中的兩個(gè)等量關(guān)系.列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程組.解：解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值.答：檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義，寫出答案.特別提醒：1.一般設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就列幾個(gè)方程.2.設(shè)未知數(shù)和寫答案時(shí)，都要寫清單位名稱.【知識點(diǎn)2】年齡問題1.年齡問題的三個(gè)基本規(guī)律（1）每個(gè)人的年齡隨著時(shí)間的增加都增加相等的量；（2）兩個(gè)人之間的年齡差不變；（3）兩個(gè)人年齡的倍數(shù)關(guān)系是變化的量.2.求解年齡問題的方法從表示年齡間倍數(shù)關(guān)系的條件入手，抓住“年齡差”不變，應(yīng)用“差倍”“和倍”“和差”問題的數(shù)量關(guān)系.特別提醒：年齡問題解題口訣：歲差別不會變，同時(shí)相加減.歲數(shù)若改變，倍數(shù)也改變.【知識點(diǎn)3】列二元一次方程組體操隊(duì)古代問題古算題的文字一般用古文敘述，弄懂題意有一定困難，所以要先把題目用通俗的文字?jǐn)⑹?，然后找出題目中的等量關(guān)系，列出方程組.特別提醒：解古算題時(shí)，理解題目敘述的意思是關(guān)鍵，然后把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關(guān)系.【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)1】年齡問題；【考點(diǎn)2】分配問題；【考點(diǎn)3】和差倍分問題；【考點(diǎn)4】古代問題【考點(diǎn)一】年齡問題【例1】（2022下·云南·七年級云大附中?？计谥校┙衲辏?022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復(fù)辦學(xué)40周年校慶日，我校初一年級數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40．已知小明今年13歲，妹妹今年4歲．（1）求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）（2）假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學(xué)子？【答案】（1）爸爸36歲，爺爺76歲；（2）爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子【分析】（1）設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲，根據(jù)“爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40”列出二元一次方程組求解即可．（2）用現(xiàn)在年份減去年齡加15即可得到答案．解：（1）設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲．．解得：答：今年小明的爸爸36歲，爺爺76歲；（2）（年）（年）小明的爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2018·遼寧遼陽·八年級統(tǒng)考期末）10年前，小明媽媽的年齡是小明的6倍，10年后，小明媽媽的年齡是小明的2倍，小明和他媽媽現(xiàn)在的年齡分別是多少歲？若設(shè)小明和他媽媽現(xiàn)在分別是x歲和y歲，根據(jù)題意可列方程組為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】設(shè)小明和他媽媽現(xiàn)在分別是x歲和y歲，分別表示出十年前和十年后他們的年齡，根據(jù)題意列方程組即可．解：設(shè)小明和他媽媽現(xiàn)在分別是x歲和y歲．由題意得，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組．【變式2】（2021上·四川成都·八年級成都外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲．”乙對甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲．”則甲、乙現(xiàn)在的年齡分別是．【答案】42歲，23歲【分析】設(shè)甲現(xiàn)在x歲，乙現(xiàn)在y歲，根據(jù)甲、乙年齡之間的關(guān)系，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．解：設(shè)甲現(xiàn)在x歲，乙現(xiàn)在y歲，依題意，得：，解得：．答：甲現(xiàn)在42歲，乙現(xiàn)在23歲．故答案為：42歲，23歲．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二】分配問題【例2】（2016·湖南懷化·中考真題）有若干只雞和兔關(guān)在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有30個(gè)頭；從下面數(shù)，有84條腿，問籠中各有幾只雞和兔？【答案】籠子里雞有18只，兔有12只．試題分析：設(shè)這個(gè)籠中的雞有x只，兔有y只，根據(jù)“從上面數(shù)，有30個(gè)頭；從下面數(shù)，有84條腿”列出方程組，解方程組即可．解：設(shè)這個(gè)籠中的雞有x只，兔有y只，根據(jù)題意得：，解得；答：籠子里雞有18只，兔有12只．考點(diǎn)：二元一次方程組的應(yīng)用．【舉一反三】【變式1】（2023下·重慶巴南·七年級統(tǒng)考期末）用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身25個(gè)，或制盒底40個(gè)，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套罐頭盒．現(xiàn)有36張白鐵皮，設(shè)用x張制盒身，y張制盒底，恰好配套制成罐頭盒．則下列方程組中符合題意的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)用x張制盒身，y張制盒底，由題意列方程即可．解：設(shè)用x張制盒身，y張制盒底，由題意可得：故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查二元一次方程組問題，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系是關(guān)鍵．【變式2】（2023下·湖北襄陽·七年級統(tǒng)考期末）某校組織春季研學(xué)活動，若租用55座大巴車若干輛，則有8人沒有座位；若租用44座大巴車，則用車數(shù)量將增加2輛，并空出3個(gè)座位．設(shè)租用55座大巴車輛，租用44座大巴車輛，根據(jù)題意可列方程組為．【答案】【分析】根據(jù)題意列二元一次方程組即可．解：根據(jù)題意，得，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)實(shí)際問題列二元一次方程組，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系并正確列出方程組是解答的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】和差倍分問題【例3】（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶市第七中學(xué)校?？计谥校榱隧憫?yīng)“足球進(jìn)校園”的號召，某校計(jì)劃為學(xué)校足球隊(duì)購買一批足球，已知購買6個(gè)A品牌足球和4個(gè)B品牌足球共需960元；購買5個(gè)A品牌足球和2個(gè)B品牌足球共需640元．（1）求A，B兩種品牌足球的單價(jià)．（2）若該校計(jì)劃從某商城網(wǎng)購A，B兩種品牌的足球共20個(gè)，其中購買A品牌的足球不少于3個(gè)且不多于7個(gè)，則該校購買這些足球最少需要多少錢？【答案】（1）A種品牌的足球單價(jià)為80元，B種品牌的足球單價(jià)為120元；（2）學(xué)校最少需要花費(fèi)2120元【分析】（1）根據(jù)購買6個(gè)品牌的足球和4個(gè)品牌的足球共需960元；購買5個(gè)品牌的足球和2個(gè)品牌的足球共需640元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）設(shè)購買種品牌的足球個(gè)，則兩種品牌的足球個(gè)，然后根據(jù)購買品牌的足球不少于3個(gè)且不多于7個(gè)，可以得到的取值范圍，再依次代入計(jì)算可得結(jié)果．（1）解：設(shè)種品牌的足球單價(jià)為元，種品牌的足球單價(jià)為元，由題意可得：，解得，答：種品牌的足球單價(jià)為80元，種品牌的足球單價(jià)為120元；（2）若購品牌的足球個(gè)，則購買品牌的足球個(gè)，則共需要元，購買品牌的足球不少于3個(gè)且不多于7個(gè)，購買品牌的足球有3個(gè)或4個(gè)或5個(gè)或6個(gè)或7個(gè)，分別代入可得：當(dāng)購買品牌的足球7個(gè)時(shí)，式子取得最小值，原式，答：學(xué)校最少需要花費(fèi)2120元．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、列代數(shù)式以及求值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組，寫出相應(yīng)的代數(shù)式．【舉一反三】【變式1】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）為培養(yǎng)青少年的創(chuàng)新意識、動手實(shí)踐能力、現(xiàn)場應(yīng)變能力和團(tuán)隊(duì)精神，我市舉辦了第6屆青少年機(jī)器人競賽．組委會為每個(gè)比賽場地準(zhǔn)備了四條腿的桌子和三條腿的凳子共12個(gè)，若桌子腿數(shù)與凳子腿數(shù)的和為40條，則每個(gè)比賽場地有幾張桌子和幾條凳子?設(shè)有x張桌子，有y條凳子，根據(jù)題意所列方程組正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)四條腿的桌子和三條腿的凳子共12個(gè)可列方程，根據(jù)桌子腿數(shù)與凳子腿數(shù)的和為40條可列方程，組成方程組即可．解：根據(jù)題意可列方程組，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查實(shí)際問題抽出二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是要注意抓住題目中的一些關(guān)鍵性詞語，找出等量關(guān)系，列出方程組．【變式2】（2022上·全國·八年級專題練習(xí)）在《張丘建算經(jīng)》中有一道百雞問題：雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞．問雞翁、雞母、雞雛各幾何？翻譯為：1只公雞價(jià)值5文錢，1只母雞價(jià)值3文錢，三只小雞值一文錢，一個(gè)人用100文錢買了100只雞，問買的公雞、母雞、小雞各只？【答案】0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84【分析】設(shè)買了x只公雞，y只母雞，則買了只小雞，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y，均為自然數(shù)，即可求出結(jié)論．解：設(shè)買了x只公雞，y只母雞，則買了只小雞，依題意得：，∴．又∵x，y，均為自然數(shù)，∴或或或，∴買的公雞、母雞、小雞各0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84只．故答案為：0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四】古代問題【例4】（2022下·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個(gè)問題：“今有黃金九枚，白銀一十二枚，稱之重適等.交易其二，金輕二十四兩.問金、銀一枚各重幾何?”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀12枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換2枚后，甲袋比乙袋輕了24兩（袋子重量忽略不計(jì)），問：黃金、白銀每枚各重多少兩?【答案】黃金每枚重24兩，白銀每枚重18兩【分析】設(shè)黃金每枚重兩，白銀每枚重兩，根據(jù)兩袋互相交換2枚后，甲袋比乙袋輕了24兩可列方程，即可解得答案．解：設(shè)黃金每枚重兩，白銀每枚重兩，根據(jù)題意列方程得，，解得，答：黃金每枚重24兩，白銀每枚重18兩．【點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，正確列出方程組．【舉一反三】【變式1】（2022下·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺，若將繩四折測之，繩多一尺，井深幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺，把繩四折來量，井外余繩一尺，井深幾尺？則該問題的井深是（

）尺．A．5 B．8 C．32 D．36【答案】B【分析】設(shè)繩長為x尺，井深為y尺，根據(jù)等量關(guān)系“把繩三折來量，井外余繩四尺，把繩四折來量，井外余繩一尺”列出方程組求解即可．解：設(shè)繩長是x尺，井深是y尺，由題意可得：，解得：．所以井深是8尺．故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用．要讀懂題目的意思、根據(jù)題目給