2025年山東淄博高三一模高考數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

第1頁/共1頁淄博市2024-2025學(xué)年度高三模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2、回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A.R B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.1253.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.4.已知圓錐的母線長為6，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.5.某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.4．則王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為（）A.0.24 B.1 C.0.5 D.0.526.已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A.2 B.4 C.8 D.187.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)、、且，使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.8.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線．例如曲線：，當(dāng)時(shí)，是我們熟知的圓；當(dāng)時(shí)，曲線是形狀如“四角星”的曲線，稱為星形線，常用于超輕材料的設(shè)計(jì)．則下列關(guān)于曲線說法錯(cuò)誤的是（）A.曲線關(guān)于軸對(duì)稱B.曲線上的點(diǎn)到軸，軸的距離之積不超過C.曲線與有8個(gè)交點(diǎn)D.曲線所圍成圖形的面積小于2二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但選不全的得部分分，有選借的得0分．9.隨機(jī)變是服從正態(tài)分布，令函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.是增函數(shù)C.是偶函數(shù) D.圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱10.如圖，棱長為2的正方體中，分別是棱，棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則三棱錐的體積為定值C.若，則直線與直線所成角的最小值為60°D.若動(dòng)點(diǎn)在三棱錐外接球的表面上，則點(diǎn)的軌跡長度為11.過點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.數(shù)列的前項(xiàng)和為 D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，首項(xiàng)和為，若，則公比______．13.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且角為銳角，，則的值為______．14.如圖，在的方格中，每一行隨機(jī)設(shè)置1個(gè)陷阱（起點(diǎn)和終點(diǎn)處無陷阱）.玩家從起點(diǎn)方格出發(fā)，每次可以向右或向下移動(dòng)一格到達(dá)下一格.若遇到含有設(shè)置陷阱的方格，則被重置回起點(diǎn)，然后該玩家會(huì)尋找未走過的路線繼續(xù)挑戰(zhàn)，直至到達(dá)終點(diǎn).若重置若干次以后始終未能到達(dá)終點(diǎn)，則挑戰(zhàn)失敗.該玩家挑戰(zhàn)失敗的概率為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某地為調(diào)查大型水域的水質(zhì)情況，設(shè)置若干站點(diǎn)檢測水質(zhì)指數(shù)（“M指數(shù)”．），以這些站點(diǎn)所測“M指數(shù)”的平均值為依據(jù)，接報(bào)此大型水域的水質(zhì)情況．下圖是2024年11月份30天內(nèi)該大型水域“M指數(shù)”的頻率分布直方圖，其中分組區(qū)間分別為：，，，，，，，．（1）規(guī)定：“指數(shù)”不超過50為“優(yōu)質(zhì)水源日”，否則稱為“非優(yōu)質(zhì)水源日”．對(duì)該地區(qū)50名外出郊游市民進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

男市民女市民合計(jì)優(yōu)質(zhì)水源日出游12

30非優(yōu)質(zhì)水源日出游

6

合計(jì)

50請(qǐng)完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為優(yōu)質(zhì)水源日出游與性別有關(guān)？（2）從“指數(shù)”在第一組和第二組的所有天數(shù)中選取3天的數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)價(jià)，記這3天的數(shù)據(jù)來自第一組的數(shù)據(jù)有天，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：．0.10.050.010.00500012.7063.8416.6357.87910.82816.已知雙曲線，離心率，點(diǎn)雙曲線上（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若的周長為12，求直線的方程．17.如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)在上，且．（1）點(diǎn)在線段上，且平面，證明：為線段的中點(diǎn)；（2）若平面與平面所成的角的余弦值為，求的長度．18.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：時(shí)，；（3）若不等式對(duì)任意的都成立（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求整數(shù)的最大值．19.一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù)①并且對(duì)的每一個(gè)允許值，由方程組①所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么方程①就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程，例如圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)，橢圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）．動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和點(diǎn)到定直線的距離的比是常數(shù)，點(diǎn)的軌跡方程為．（1）求曲線的普通方程，寫出的參數(shù)方程（不證明）；（2）求證：；（3）定點(diǎn)在上；為常數(shù)且，按如下規(guī)則依次構(gòu)造點(diǎn)，過點(diǎn)做斜率的直線與交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為，證明：．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A.R B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交集計(jì)算和二次不等式以及指數(shù)函數(shù)的不等式解法即可求解.【詳解】,,,故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.125【答案】B【解析】【分析】據(jù)復(fù)數(shù)的模長結(jié)合乘法運(yùn)算可得復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)的概念和模長公式即可求解.【詳解】，則，則，則.故選：B3.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出的坐標(biāo)，利用給定條件得到，再利用投影向量公式求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，解得，，即向量在向量上的投影向量?故選：A.4.已知圓錐的母線長為6，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)扇形弧長求底面半徑，再代入圓錐的表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得，所以該圓錐的表面積為.故選：C5.某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.4．則王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為（）A.0.24 B.1 C.0.5 D.0.52【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全概率公式，分別計(jì)算出第一天去餐廳且第二天去餐廳的概率，以及第一天去餐廳且第二天去餐廳的概率，然后將這兩個(gè)概率相加，即可得到王同學(xué)第二天去餐廳用餐的概率.【詳解】已知王同學(xué)第一天隨機(jī)選擇一家餐廳用餐，那么去餐廳的概率為（因?yàn)橹挥小杉也蛷d，隨機(jī)選擇一家，去每家的概率都是）.又已知如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為（表示在第一天去餐廳的條件下，第二天去餐廳的概率）.根據(jù)條件概率公式（其中、為事件，表示與同時(shí)發(fā)生的概率），可得第一天去餐廳且第二天去餐廳的概率為：同理，第一天去餐廳的概率為.已知如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為（表示在第一天去餐廳的條件下，第二天去餐廳的概率）.根據(jù)條件概率公式，可得第一天去餐廳且第二天去餐廳的概率為：因?yàn)椤暗谝惶烊ゲ蛷d且第二天去餐廳”與“第一天去餐廳且第二天去餐廳”這兩個(gè)事件是互斥的（即這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生），所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式（其中、為互斥事件，表示或發(fā)生的概率），可得王同學(xué)第二天去餐廳用餐的概率為：故選：C6.已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A.2 B.4 C.8 D.18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化到里面計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．故選：C.7.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)、、且，使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性得出，可得出，求出的取值范圍，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的取值范圍.【詳解】如下圖所示：令，解得，故當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為直線，則，因?yàn)?，所以，，又因?yàn)?，，由可得，則，則，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于結(jié)合正弦型函數(shù)的對(duì)稱性以及函數(shù)解析式將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)量的函數(shù)，求出變量范圍后，轉(zhuǎn)化為值域問題求解.8.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線．例如曲線：，當(dāng)時(shí)，是我們熟知的圓；當(dāng)時(shí)，曲線是形狀如“四角星”的曲線，稱為星形線，常用于超輕材料的設(shè)計(jì)．則下列關(guān)于曲線說法錯(cuò)誤的是（）A.曲線關(guān)于軸對(duì)稱B.曲線上的點(diǎn)到軸，軸的距離之積不超過C.曲線與有8個(gè)交點(diǎn)D.曲線所圍成圖形的面積小于2【答案】C【解析】【分析】對(duì)A，在方程中，以替代方程不變，可判斷；對(duì)B，由基本不等式求解判斷；對(duì)C，易得曲線在的內(nèi)部，作出圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)；對(duì)D，易求圍成的正方形面積為2，又曲線在的內(nèi)部，得解.【詳解】對(duì)于A，在方程中，以替代方程不變，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，同理，以；替代方程均不變，所以曲線關(guān)于軸，坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，如圖，故A正確；對(duì)于B，曲線上點(diǎn)到軸的距離為，到軸的距離為，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，故B正確；對(duì)于C，在第一象限內(nèi)，，所以曲線在直線的下方，所以兩者有4個(gè)交點(diǎn)，分別為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，圍成的正方形面積為，所以曲線圍成圖形的面積小于2，故D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程分析曲線在第一象限的性質(zhì).二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但選不全的得部分分，有選借的得0分．9.隨機(jī)變是服從正態(tài)分布，令函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.是增函數(shù)C.是偶函數(shù) D.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】AD【解析】【分析】由正態(tài)分布可求得，判斷A；易得在上是減函數(shù)，可判斷B；計(jì)算，可判斷C；證明可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)增大時(shí)，減少，所以在上是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，所以關(guān)于對(duì)稱，所以，則，故D正確.故選：AD.10.如圖，棱長為2的正方體中，分別是棱，棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則三棱錐體積為定值C.若，則直線與直線所成角的最小值為60°D.若動(dòng)點(diǎn)在三棱錐外接球的表面上，則點(diǎn)的軌跡長度為【答案】ABD【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可證明判斷A，若，點(diǎn)在直線，可得體積為定值判斷B；上求得直線與直線所成角的最小值判斷C；確定外接球的球心，進(jìn)而軌跡的周長判斷D.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，所以，即

，所以，又，所以，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，，所以點(diǎn)在直線上，又因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所心，又平面，平面，所以平面，所以到平面的距離為定值，又的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；點(diǎn)為的中點(diǎn)，坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

，向量，向量，設(shè)直線與直線所成的角為，，又因?yàn)椋?dāng)

時(shí)，，即直線與直線所成角的最小值為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槿忮F即為三棱錐，又底面是直角三角形，過的中點(diǎn)作平面，是三棱錐外接球的球心，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以三棱錐外接球的半徑，因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，又在三棱錐外接球的表面上，所以

的軌跡是平面截三棱錐外接球的截面圓，又易得到平面的距離為1，所以截面圓的半徑為，所以

的軌跡的周長為

，故D正確.故選：ABD.11.過點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.數(shù)列的前項(xiàng)和為 D.【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)直線，方程聯(lián)立由判斷A；可得，，從而結(jié)合累加法求和可判斷B；由，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可判斷C；令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可判斷D.【詳解】設(shè)直線，聯(lián)立，得，則由，即，解得（負(fù)值舍去），故A正確；可得，，所以，故B正確；因?yàn)?，則，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，設(shè)，則，可得在上單調(diào)遞增，則時(shí)，，又，則，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出切線方程，方程聯(lián)立由，得出，，進(jìn)而判斷各選項(xiàng).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，首項(xiàng)和為，若，則公比______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的定義以及等比數(shù)列的定義，建立方程，可得答案.【詳解】由，則，由，，則，整理可得，分解因式可得，解得或（舍去）.故答案為：.13.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且角為銳角，，則的值為______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)二倍角公式求出的值，進(jìn)而求出的值，再利用正弦定理求出的值，判斷的范圍并求出的值，最后根據(jù)三角函數(shù)的兩角和公式求出的值.【詳解】已知，根據(jù)二倍角公式，則有.因?yàn)闉殇J角，即，等式兩邊同時(shí)除以可得：.已知，將其代入可得：，解得.因?yàn)闉殇J角，根據(jù)，可得.由正弦定理，已知，，，則.因?yàn)?，根?jù)大邊對(duì)大角可知，又因?yàn)闉殇J角，所以也為銳角.根據(jù)，可得因?yàn)椋?，則.故答案為：14.如圖，在的方格中，每一行隨機(jī)設(shè)置1個(gè)陷阱（起點(diǎn)和終點(diǎn)處無陷阱）.玩家從起點(diǎn)方格出發(fā)，每次可以向右或向下移動(dòng)一格到達(dá)下一格.若遇到含有設(shè)置陷阱的方格，則被重置回起點(diǎn)，然后該玩家會(huì)尋找未走過的路線繼續(xù)挑戰(zhàn)，直至到達(dá)終點(diǎn).若重置若干次以后始終未能到達(dá)終點(diǎn)，則挑戰(zhàn)失敗.該玩家挑戰(zhàn)失敗的概率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由題知，玩家從起點(diǎn)方格出發(fā)，每次向右或向下移動(dòng)一格，可以順利到達(dá)終點(diǎn)，即為挑戰(zhàn)成功，反之挑戰(zhàn)失敗.用表示第行第列含有陷阱的方格，則第1行含有陷阱的方格為，第2行含有陷阱的方格為，第3行含有陷阱的方格為，所以每一行隨機(jī)設(shè)置1個(gè)陷阱（起點(diǎn)和終點(diǎn)處無陷阱）共有個(gè)基本事件，具體如下：，，，，，，，，，，，，玩家挑戰(zhàn)失敗的基本事件有，，，，，，，共個(gè)，所以玩家挑戰(zhàn)失敗的概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某地為調(diào)查大型水域的水質(zhì)情況，設(shè)置若干站點(diǎn)檢測水質(zhì)指數(shù)（“M指數(shù)”．），以這些站點(diǎn)所測“M指數(shù)”的平均值為依據(jù)，接報(bào)此大型水域的水質(zhì)情況．下圖是2024年11月份30天內(nèi)該大型水域“M指數(shù)”的頻率分布直方圖，其中分組區(qū)間分別為：，，，，，，，．（1）規(guī)定：“指數(shù)”不超過50為“優(yōu)質(zhì)水源日”，否則稱為“非優(yōu)質(zhì)水源日”．對(duì)該地區(qū)50名外出郊游的市民進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

男市民女市民合計(jì)優(yōu)質(zhì)水源日出游12

30非優(yōu)質(zhì)水源日出游

6

合計(jì)

50請(qǐng)完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為優(yōu)質(zhì)水源日出游與性別有關(guān)？（2）從“指數(shù)”在第一組和第二組的所有天數(shù)中選取3天的數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)價(jià)，記這3天的數(shù)據(jù)來自第一組的數(shù)據(jù)有天，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）答案見詳解（2）答案見詳解【解析】【分析】（1）完善列聯(lián)表，根據(jù)公式計(jì)算出卡方，即可得解；（2）由題知的可能取值為，然后計(jì)算相對(duì)應(yīng)的概率，畫出分布列，最后求出期望.【小問1詳解】

男市民女市民合計(jì)優(yōu)質(zhì)水源日出游121830非優(yōu)質(zhì)水源日出游14620合計(jì)2624

50，所以有的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)水源日出游與性別有關(guān).【小問2詳解】根據(jù)題意，第一組有天，第二組有天，所以的可能取值為，，，，，的分布列為0123.16.已知雙曲線，離心率，點(diǎn)在雙曲線上（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若的周長為12，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得：，，解方程求出，即可得出答案；（2）由題意可得，設(shè)，與雙曲線聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，利用弦長公式即可求解.【小問1詳解】由題意可得，則，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得：，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】因?yàn)榈闹荛L為12，所以①，由雙曲線的定義可得：，所以②，所以由①②可得：，由（1）知，，所以，因?yàn)橹本€的斜率不為，所以設(shè)，則聯(lián)立直線與雙曲線可得，當(dāng)，即，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以，，所以，所以，解得：（舍去）或，所以，直線的方程為：，即.17.如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)在上，且．（1）點(diǎn)在線段上，且平面，證明：為線段的中點(diǎn)；（2）若平面與平面所成的角的余弦值為，求的長度．【答案】（1）見解析（2）的長度為或【解析】【分析】（1）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，由線面平行的性質(zhì)定理證明，即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出直線的方向向量和平面的法向量，由線面角的向量公式即可得出答案.【小問1詳解】連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，又因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以為線段的中點(diǎn)；【小問2詳解】連接，因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，因?yàn)槠矫嫠云矫嬗忠驗(yàn)?，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，，所以，令，，所以，所以與平面所成的角的余弦值為，所以與平面所成的角的正弦值為，即，所以，化簡可得：，解得：或，即或，所以或.18.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：時(shí)，；（3）若不等式對(duì)任意的都成立（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求整數(shù)的最大值．【答案】（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）見解析（3）整數(shù)的最大值為．【解析】【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)區(qū)間；（2）要證，即證，令，對(duì)求導(dǎo)，得到即可證明.（3）分離常數(shù)，得，為此求出函數(shù)在上的最小值．這可利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解．【小問1詳解】函數(shù)的定義域是，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.【小問2詳解】要證時(shí)，，即證在恒成立，令，，，令，，當(dāng)時(shí)，，，所以上單調(diào)遞減，所以，則，所以在上單調(diào)遞減，所，所以，綜上，時(shí)，；【小問3詳解】不等式等價(jià)于不等式，由可得：，