高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料05 不等式教學(xué)案（學(xué)生版）

【2013考綱解讀】

從近幾年高考題目來(lái)看，不等式的性質(zhì)和解不等式問(wèn)題多以一個(gè)選擇題的形式出現(xiàn)，且

多與集合、簡(jiǎn)易邏輯、函數(shù)知識(shí)相結(jié)合，難度較低。

了解不等式（組）的實(shí)際背景；會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型，通過(guò)函數(shù)

圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系，會(huì)解一元二次不等式，

對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖；會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式

組，了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，會(huì)從實(shí)際情境

中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決；了解基本不等式的證明過(guò)程，會(huì)用

基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮?wèn)題。學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法分析

和解決有關(guān)不等式問(wèn)題，形成良好的思維品質(zhì),培養(yǎng)判斷推理和邏輯思維能力。

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建】

廠I性質(zhì)、兩數(shù)大小比較I—I不等式的證明不

等

—?元二次不等式I—I簡(jiǎn)單■的分式不等式I—式

的

一I二元一次不等式（組）|一I簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃I—應(yīng)

川

-I基本不等式I-I最值定理一

【重點(diǎn)知識(shí)整合】

1.不等式的基本性質(zhì)

2.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式實(shí)際上就是求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的實(shí)數(shù)根（如果有實(shí)數(shù)根），再結(jié)

合對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖冢確定其大于零或者小于零的區(qū)間,在含有字母參數(shù)的不等式中還要根據(jù)

參數(shù)的不同取值確定方程根的大小以及函數(shù)圖象的開(kāi)口方向，從而確定不等式的解集.

3.基本不等式

不等式士W牛（心0,匕乂）稱(chēng)為基本不等式，常見(jiàn)的與這個(gè)不等式有關(guān)的其他不等式

有：；；

a+b>2ylab(a95>0)XaSER)i>0)；A+-

>2(x>0)的>0)等.

sau

4.二元一次不等式（組）和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

（1）線性規(guī)劃問(wèn)題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等；

（2）解不含實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟：①畫(huà)出可行域；②根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)

的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點(diǎn)；③求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值.

【高頻考點(diǎn)突破】

考點(diǎn)一不等式的解法

一元二次不等式ax'+Zur+cXH或〈0）（aWO,/=4一4ac>0）,如果a與aV+6x+c同

號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與ax'+H+c異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同

號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.即或X〉X2=（X—荀）（X—X2）>O（X1〈X2）；X1〈X〈X2=（X—荀）（X

—X2）〈O（X1<X2）.

例1.已知函數(shù)f（x）=e'—1,g（x）=-v+4x—3.若有f（a）=g（垃,則b的取值范圍

為（）_

A.[2—低2+72]B.（2—鏡，2+72）

C.[1,3]D.（1,3）

【變式探究】解關(guān)于x的不等式a/-（a+1）x+1<0（a>0）.

【方法技巧】

(1)解簡(jiǎn)單的分式、指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的基本思想是等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元

二次不等式)求解.

(2)解決含參數(shù)不等式的難點(diǎn)在于對(duì)參數(shù)的恰當(dāng)分類(lèi)，關(guān)鍵是找到對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論的原

因?確定好分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，有理有據(jù)、層次清楚地求，解.

考點(diǎn)二線性規(guī)劃

實(shí)質(zhì)上是數(shù)形結(jié)合思想的一種具體體現(xiàn)，即將最值問(wèn)題直觀、簡(jiǎn)便地尋找出來(lái).它還是

一種較為簡(jiǎn)捷的求最值的方法，具體步驟如下：

(1)根據(jù)題意設(shè)出變量，建立目標(biāo)函數(shù)；

(2)列出約束條件；

(3)借助圖形確定函數(shù)最值的取值位置，并求出最值；

(4)從實(shí)際問(wèn)題的角度審查最值，進(jìn)而作答.

例2.某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車(chē)和7輛

載重量為6噸的乙型卡車(chē).某天需送往/地至少72噸的貨物，派用的每輛車(chē)需滿(mǎn)載且只運(yùn)

送一次，派用的每輛甲型卡車(chē)需配2名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)450元；派用的每輛乙型卡

車(chē)需配1名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)350元.該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類(lèi)卡車(chē)的車(chē)輛數(shù)，

可得最大利潤(rùn)2=()

A.4650元B.4700元

C.4900元D.5000元

論X，

【變式探究】當(dāng)變量X，J滿(mǎn)足約束條件，x+319時(shí)，z

x>m

=x-3j?的最大值為S,則實(shí)數(shù)m的值是

()

A.-4B.-3

C.-2D.-1

【方法技巧】解決線性規(guī)劃問(wèn)題首先要作出可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義,

數(shù)形結(jié)合找出目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)

確，整點(diǎn)問(wèn)題要驗(yàn)證解決.

考點(diǎn)三基本不等式

基本不等式：號(hào)》迎

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)@=力時(shí)取等號(hào).

(3)應(yīng)用：兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們

的積有最大值.

例3.某車(chē)間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件，則

Y

平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為d天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備

O

費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品

()

A.60件B.80件

C.100件D.120件

【變式探究】設(shè)0<a<6,則下列不等式中正確的是（）

A.a<b<y[ab<~~—B.a<y[ab<~~—<b

C.a<-\[ab<b<~~~D.yfab<b

【難點(diǎn)探究】

難點(diǎn)一一元二次不等式的解法

例L已知0：xoGR,欣+1W0,<7：xdR,/+〃五+1〉0.若0/\口為真命題，則實(shí)數(shù)勿

的取值范圍是（）

A.（—8,—2）B.[—2,0）

C.（-2,0）D.[0,2]

難點(diǎn)二基本不等式的應(yīng)用

例2.設(shè)x,J：為實(shí)數(shù)，若4/+j：+g=i,則2x+j?的最大值是.

【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)典型條件最值問(wèn)題，已知條件實(shí)際上是一條曲線的方程，目標(biāo)就

是當(dāng)點(diǎn)（x，1】在這條曲線上變化時(shí)，求線性目標(biāo)函數(shù)?=2X+T的最大值，在本題的各個(gè)解法

中注意方法2,這是解決這類(lèi)試題的一個(gè)通用方法.使用基東不等式求二元函數(shù)最值時(shí)一定

要注意等號(hào)成立的條件，在求解過(guò)程中盡可能的只使用一次基本不等式，如果使用兩次基本

不等式則需要驗(yàn)證兩次不等式是否等號(hào)成立的條件相同,如果兩次不等式等號(hào)成立的條件產(chǎn)

生矛盾，則求解結(jié)果就是錯(cuò)誤的.使用基本不等式求最值有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q1變換已

知條件和求解目標(biāo)，常數(shù)代換等）.

難點(diǎn)三線性規(guī)劃問(wèn)題的解法

jx+],22,

例3.已知0是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)/（一L1）,若點(diǎn)Mx,?。槠矫鎱^(qū)域:xW1,上的一個(gè)

lj<2

動(dòng)點(diǎn)，則西?日血取值范圍是L）

A.[-1,0]B.[0,1]

C.[0,2]D.[-1,2]

【點(diǎn)評(píng)】在線性約束條件下，線性約束條件所表示的區(qū)域一般是一個(gè)多邊形區(qū)域或者

一個(gè)以直線為邊界的無(wú)限區(qū)域，如果目標(biāo)函數(shù)是線性的，則可以根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確

定目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的位置,如本題中的目標(biāo)函數(shù)2=—x+y變換后即尸x+z,

則目標(biāo)函數(shù)z的幾何意義即直線尸x+z在y軸上的截距，截距最大（?。r(shí)的位置就是目標(biāo)

函數(shù)取得最大（小）值的位置，在一些含有參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題中這個(gè)思想顯得更為重要。

【歷屆高考真題】

[2012年高考試題】

1.【2012高考真題重慶理2】不等式上的解集為

2x+l

對(duì)

2.12012高考真題浙江理9】設(shè)a大于0,b大于0.

A.若2a+2a=2b+3b,則a>bB.若2'+2a=2b+3b,則a>b

C.若2*-2a=2-3b,貝a>bD.2a-2a=ab-3b,貝l]a<b

3.12012高考真題四川理9】某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品。已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需

耗A原料1千克、3原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，3原料1千克。每

桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元。公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，

要求每天消耗A、3原料都不超過(guò)12千克。通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，，從每天生產(chǎn)的甲、

乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是()

A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元

Ix+2v>2

412012高考真題山東理5]已知變量工J滿(mǎn)足約束條件'2x+v<4,則目標(biāo)函數(shù)

'4x-v>-l

z=3x-j的取值范圍是

(A)[-^6](B)[-1-1]

(C)[-L6](D)[-6力

x-y<10

5.12012高考真題遼寧理8】設(shè)變量x,y滿(mǎn)足<0Vx+y420,則2x+3y的最大值為

0<y<15

(A)20(B)35(C)45(D)55

J<2

6.12012高考真題廣東理5】已知變量x,y滿(mǎn)足約束條件<x+y21,則z=3x+y的最

x-y<1

大值為

A.12B.11C.3D.-1

8.12012高考真題江西理8】某農(nóng)戶(hù)計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過(guò)50計(jì)，投

入資金不超過(guò)54萬(wàn)元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表

年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)

黃瓜4噸1.2萬(wàn)元0.55萬(wàn)元

韭菜6噸0.9萬(wàn)元0.3萬(wàn)元

為使一年的種植總利潤(rùn)（總利潤(rùn)=總銷(xiāo)售收入減去總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜

的種植面積（單位：畝）分別為

A.50,0B.30,20C.20,30D.力,50

9.12012高考真題湖北理6】設(shè)—也是正數(shù),且

K+T：-Z:=40,=20,貝U---=

x+y+z

10.[2012高考真題福建理9]若函數(shù)戶(hù)2,圖像上存在點(diǎn)（x,y）滿(mǎn)足約束條件

x+y-3<0

Jx-2v-3>0,則實(shí)數(shù)m的最大值為

x>m

13

A.一B.lC.-D.2

7?

11.[2012高考真題山東理13】若不等式匠—4區(qū)2的解集為{坤4%<3},則實(shí)數(shù)

k=.

'x>0

12.12012高考真題安徽理11】若羽y滿(mǎn)足約束條件：<x+2y23；則x—y的取值范

2x+y<3

圍為?

fx-y+l>0.

/x.y.3W0.

13.【2012高考真題全國(guó)卷理13]若x,y滿(mǎn)足約束條件?一"3f則z=3x-y的最

小值為.

14.[2012高考江蘇13](5分)已知函數(shù)/。)=;?+依+伙的值域?yàn)閇0,+oo),

若關(guān)于X的不等式f(x)<c的解集為(加，m+6),則實(shí)數(shù)C的值為▲.

15.[2012高考江蘇14](5分)已知正數(shù)a2,c滿(mǎn)足：

h

5c-3W6W4e,ac\^b+a\nc則一的取值范圍是▲.

a

?2NO

17.12012高考真題新課標(biāo)理14】設(shè)工J滿(mǎn)足約束條件：[則z=X-2j

I、x+y<3

的取值范圍為

[2011年高考試題】

x+2y-5〉0

1.(2011年高考浙江卷理科5)設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組[2x+y-7〉0,若為整

x>0,y>0,

數(shù)，則3x+4y的最小值是

(A)14(B)16(C)17(D)19

2.(2011年高考浙江卷理科7)若a力為實(shí)數(shù)，貝I"0<a0<l”是a或人〉工的

ba

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不

必要條件

3.(2X)11年高考安徽卷理科4)設(shè)變量光,y滿(mǎn)足W+N^l,則x+2y的最大值和最小值

分別為

(A)1,—1(B)2,—2(C)1,—2(D)2,—1

11.(2011年高考江西卷理科3)若f(x)=T=,則/(x)的定義域?yàn)?/p>

/logi(2x+l)

A.(—―,0)B.(—―,0].C.(——,+℃)

D?(0,+oo)

12.(2011年高考江西卷理科4匿/(x)=丁-2x-41nx,則/,(x)>0的解集為

A.(0.+-X)B.GL0U0，+X)c.(2,+x)D.

(-1.0)

y>x

13.(2011年高考湖南卷理科7股在妁束條件‘j4爾下，目標(biāo)函數(shù)二=》+切

的最大值小于2,則％的取值范圍為

)

A.IL1+72IB.|l+j2s+x|C.(13D.(3s+x)

14.(2011年高考廣東卷理科5)已知平面直角坐標(biāo)系x0y上的區(qū)，域D由不等式組

0<x<yfl

<y<2給定.若M(x,y)為D上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(、歷，1).則z=OMOA的最大

x<y[ly

值為()

A.472B.3A/2C.4D.3

15.(2011年高考湖北卷理科8)已知向量a=(x+z,3),A=(2,y-z),且若x,y滿(mǎn)足

不等式國(guó)+|y|vi,則z的取值范圍為

A.[—2,2]B.[—2,3]C.[—3,2]D.[—3,3]

16.（20H年高考湖北卷理科9）若實(shí)數(shù)a/滿(mǎn)足020/20,且而=0,則稱(chēng)a與）互補(bǔ)，

I己0（a,b）=J.?+/-a-4那么0（a,b）=0是a與b互補(bǔ)的

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

1.（2011年高考浙江卷理科16）設(shè)羽y為實(shí)數(shù)，若4必+V+孫=1,則2x+y的最大值

是

2.（2011年高考天津卷理科13）已知集合

f1]

A=[x€J?|x+3|+|x-4|<9j;B={xeR\x=4t+--67te（0:+x）,則集合

ItJ

AcB=________

_\.1Y14A

3.（2011年高考湖南卷理科10）設(shè)XJWR,且0=0,貝—+4j"的最

\.y"人r）

小值為.

4.（2011年高考廣東卷理科9）不等式|x+l|-|x-3|>0的解集是.

5.（2011年高考安徽卷江蘇制在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函

2

數(shù)了（尤）=—的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的最小值是

X

三、解答題：

1.（2011年高考廣東卷理科21）（本小題滿(mǎn)分14分）

A.在平面直角坐標(biāo)系xOy上，給定拋物線L:y=（x2實(shí)數(shù)p,q滿(mǎn)足p?—4“之0,

xi,X2是方程方-px+夕=0的兩根,記夕(p,g)=max{M,民|}。

19

(1)過(guò)點(diǎn))(pow0)作L的切線教y軸于點(diǎn)

B.證明：對(duì)線段AB上任一點(diǎn)Q(p,q)有

(2)設(shè)M(a,b)是定點(diǎn)，其中a,b滿(mǎn)足a2<b>0,af0.過(guò)M(a,b)作L的兩條切

線切點(diǎn)分別為與y軸分別交與F,F'?線段EF上異于

兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為證明：圄>|用O儀=與

X.M(arb)exoq6)

■?

1A「

(3)設(shè)D={(x,y)|y<x-l,y>-(x+1)2--}.當(dāng)點(diǎn)(p,q)取遍D時(shí)，求吹〃《)的最

小值(記為1m)和最大值(記為佐紅).

[2010年高考試題】

Y2—X—6

1.(2010全國(guó)卷2理數(shù))(5)不等式--------->0的解集為

x-1

(A){x|x<—2,敢>3}(B)[x\x<-2,或1V%<3}

(C){+2Vx<1,或A3}(D)[x\-2<x<l,或1V%<3}

x—2x—2

----->------

2.(2010江西理數(shù))3.不等式無(wú)工的解集是()

A.(0,2)B.(-oo,0)C.(2,+8)D.(-00,0)u(0,+oo)

3.(2010重慶理數(shù))(7)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是

-11

A.3B.4C.9D.—

2

y>0

4.（2010重慶理數(shù)）（4）設(shè)變量x,y滿(mǎn)足約束條件<x-y+120,則z=2x.+y的最大

x+y-3<0

值為

A.—2B.4C.6D.8

,11,

5.（2010四川理數(shù)）（12）設(shè)a>b>c>0,則2礦H---H-----------10ac+25c~的

aba（a-b）

最小值是

（2）2（皮4（C）2節(jié)（〃）5

6.（2010四川理數(shù)）（7）某加工廠用某原料由甲車(chē)間加工出』產(chǎn)品，由乙車(chē)間加工出5

產(chǎn)品用車(chē)間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí)可加工出7千克產(chǎn)品，每千克產(chǎn)品獲利

40元，乙車(chē)間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)6小時(shí)可加工出4千克5產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利

50元.甲、乙兩車(chē)間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車(chē)間耗費(fèi)工時(shí)總和不

得超過(guò)430小時(shí)，甲、乙兩車(chē)間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為

（J）甲車(chē)間加工原料10箱，乙車(chē)間加工原料60箱

（5）甲車(chē)間加工原料15箱，乙車(chē)間加工原料55箱

（C）甲車(chē)間加工原料1S箱，乙車(chē)間加工原料50箱

（D）甲車(chē)間加工原料40箱，乙車(chē)間加工原料30箱

x>1

7.（2010福建理數(shù)）8.設(shè)不等式組<x-2y+320所表示的平面區(qū)域是R,平面區(qū)域是5

y>x

與R關(guān)于直線3x-4y-9=0對(duì)稱(chēng)，對(duì)于R中的任意一點(diǎn)A與5中的任意一點(diǎn)B,\AB\

的最小值等于（）

2812

A.—B.4C.—D.2

55

8.（2010遼寧理數(shù)）（14）已知-1<%+y<4且2<x-y<3,則z=2x-3y的取

值范圍是（答案用區(qū)間表示）

2x-v+2>0

9.（2010安徽理數(shù)）13、設(shè)xj滿(mǎn)足約束條件'8x-j-4S0,若目標(biāo)函數(shù)

[x>05v>0

z=abx+y（a>0.b>0）的最大值為S,則a+6的最小值為,

y<x,

10.2（010湖北理數(shù)）已知二=2x-j,式中變量x,j滿(mǎn)足妁束條件<x+j2L，則

L<1

z的最大值為

11.（2010湖北理數(shù)）15.設(shè)a>0,b>0,稱(chēng)一絲為a,b的調(diào)和平均數(shù)。如圖，C為線段

a+b

AB上的點(diǎn)，且AC=a,CB=b,0為AB中點(diǎn)，以AB為直徑做半，圓。過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交半圓

于D。連結(jié)0D,AD,BD。過(guò)點(diǎn)C作0D的垂線，垂足為E。則圖中線段0D的長(zhǎng)度是a,b的

算術(shù)平均數(shù)，線段的長(zhǎng)度是a,b的幾何平均數(shù)，線段一的長(zhǎng)度是a,b的調(diào)和平均數(shù)。

23

12.（2010江蘇卷）12、設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足3WxpW8,4W工W9,則占的最大值是

▲

13.（20.10浙江理數(shù)）（18）（本題滿(mǎn)分14分）在4ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為

a,b,c,已知COs2C=-L（I）求sinC的值；

4

（II）當(dāng)a=2,2sinA=sinC時(shí)，求b及c的長(zhǎng).

U.（2010遼寧理數(shù)）（17）（本小題滿(mǎn)分12分）

在△ABC中，&b,c分別為內(nèi)角AB:C的對(duì)邊，且

ZizsinA=Qa+c）sin8+（2c+5）sinC.

（I）求A的大??；

（II）求sin3+sinC的最大值.

15.（2010江西理數(shù)）17.（本小題滿(mǎn)分12分）

“、八x,：.（*（吟

/1x|=1l+cotx）sin*x+wsinx+—sinx---

已知函數(shù)I”14人

'713疝

（1）當(dāng)m=O時(shí)，求八X）在區(qū)間-V4」上的取值范圍；

⑵當(dāng)tana=2時(shí)，5,求m