人教版初中數(shù)學同步講義八年級上冊第01講 軸對稱（解析版）

第01講軸對稱課程標準學習目標①軸對稱與軸對稱圖形的概念②軸對稱與軸對稱圖形的性質③線段的垂直平分線認識軸對稱與軸對稱圖形的概念，并能夠熟練判斷。掌握軸對稱與軸對稱圖形的性質，并能夠熟練應用其解決相關題目。掌握垂直平分線的定義，性質，判定，并能夠熟練應用垂直平分線的性質與判定。知識點01軸對稱圖形的概念軸對稱圖形的概念：若一個圖形沿著某條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，則這個圖形是一個軸對稱圖形。這條直線叫做軸對稱圖形的對稱軸?？梢杂卸鄺l對稱軸。題型考點：①軸對稱圖形的判斷。②對稱軸的判斷?！炯磳W即練1】1．下列交通安全圖標不是軸對稱圖形的是（）（圖中的三角形是等邊三角形）A． B． C． D．【解答】解：選項A、B、D均能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，選項C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，故選：C．【即學即練2】2．圓是軸對稱圖形，它的對稱軸有（）A．1條 B．2條 C．4條 D．無數(shù)條【解答】解：圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是經(jīng)過圓心的直線，有無數(shù)條．故選：D．知識點02軸對稱軸對稱的概念：一個圖形沿著某一條直線對折與另一個圖形能夠完全重合，則這兩個圖形的位置關系成軸對稱。這條直線是軸對稱的對稱軸。只有一條對稱軸。重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角。重合的點叫做對應點。注意：軸對稱圖形是一個圖形的形狀特點，軸對稱是兩個圖形的形狀特點加上位置特點構成。題型考點：①判斷軸對稱?！炯磳W即練1】3．下列選項中左右兩圖成軸對稱的為（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)軸對稱的概念．只有C成軸對稱．故選：C．知識點03軸對稱與軸對稱圖形的性質軸對稱與軸對稱圖形的性質：①軸對稱圖形對稱軸兩旁的部分全等，成軸對稱的兩個圖形全等。②對應邊相等，對應角相等。對應邊若不與對稱軸平行，則延長線的交點一定交于對稱軸上。③對稱軸經(jīng)過任何一組對應點連線的中點且與線段垂直。④對應點的連線之間相互平行。題型考點：①對性質的理解。②利用性質計算。【即學即練1】4．如圖，△ABC和△A′B′C′關于直線對稱，下列結論中：①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′＝∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直線BC和B′C′的交點不一定在l上，正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，∴①△ABC≌△A′B′C′，正確；②∠BAC＝∠B′AC′，∴∠BAC+∠CAC′＝∠B′AC′+∠CAC′，即∠BAC′＝∠B′AC，正確；③l垂直平分CC′，正確；④應為：直線BC和B′C′的交點一定在l上，故本小題錯誤．綜上所述，結論正確的是①②③共3個．故選：B．【即學即練2】5．如圖，△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，∠A＝50°，∠C′＝30°，則∠B的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．70° D．80°【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，∠A＝50°，∠C′＝30°，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝30°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故選：B．【即學即練3】6．如圖，△ABC中，直線DE是AB邊的對稱軸，交AC于D，交AB于E，如果BC＝6，△BCD的周長為17，那么AC邊的長是11．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∵△BCD的周長為17，∴CD+BD+BC＝17，∴CD+AD+BC＝17，即AC+BC＝17，∵BC＝6，∴AC＝11，故答案為：11．知識點04垂直平分線垂直平分線的定義：過線段的中點且與線段垂直的直線是這條線段的垂直平分線。如圖，若C點事AB的中點，則MN是線段AB的垂直平分線。垂直平分線的性質：①垂直平分線垂直且平分線段。則∠PCA＝∠PCB＝90°，AC＝BC。②垂直平分線上任意一點到線段兩端點的距離相等。即PA＝PB。所以△PAB是等腰三角形。在Rt△PAC與Rt△PBC中∴Rt△PAC≌Rt△PBC∴∠A＝∠B；∠APC＝∠BPC。垂直平分線的判定到線段兩端點距離相等的點一定在這條線斷的垂直平分線上。題型考點：①利用垂直平分線的性質求值。②垂直平分線的判定。【即學即練1】7．如圖：Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，∠CAD：∠DAB＝2：1，則∠B的度數(shù)為（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【解答】解：在Rt△ABC中∵DE是AB的垂直平分線∴∠B＝∠BAD∵∠CAD：∠DAB＝2：1∴4∠B＝90°∴∠B＝22.5°故選：B．【即學即練2】8．如圖所示，在△ABC中，AB的垂直平分線交AC于點E，若AE＝，則BE兩點間的距離是（）A． B． C． D．【解答】解：連接BE，∵DE垂直平分線AB∴BE＝AE＝2．故選：C．【即學即練3】9．如圖，DE是△ABC的邊BC的垂直平分線，若AC＝8，AB＝6，BC＝4，則△ADB的周長為（）A．14 B．13 C．12 D．10【解答】解：∵DE是△ABC的邊BC的垂直平分線，∴CD＝BD，∵AC＝AD+CD，∴AC＝AD+BD＝8，∴△ADB的周長＝AD+DB+AB＝AC+BC＝8+6＝14，故選：A．【即學即練4】10．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E．證明：BD垂直平分AE．【解答】證明：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴∠ABD＝∠EBD，∠BAD＝∠BED＝90°，在△BAD和△BED中∴△BAD≌△BED（AAS），∴AB＝BE，∵BD平分∠ABE，∴BD垂直平分AE（三線合一），題型01軸對稱與軸對稱圖形的判斷【典例1】下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B．是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C．不是軸對稱圖形，故此選項符合題意；D．是軸對稱圖形，故此選項不合題意．故選：C．【典例2】下列四個圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故A選項錯誤，不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故B選項錯誤，不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故C選項錯誤，不符合題意；D、是軸對稱圖形，故D選項正確，符合題意；故選：D．【典例3】將一張矩形的紙對折，然后用筆尖在上面扎出“B”，再把它鋪平，你可見到（）A． B． C． D．【解答】解：觀察選項可得：只有C是軸對稱圖形．故選：C．【典例4】觀察下圖中各組圖形，其中成軸對稱的為（只寫序號1，2等）．【解答】解：3中的傘把不對稱，故填①②④故填①②④題型02鏡面對稱的規(guī)律題【典例1】如圖是一個經(jīng)過改造的臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個球袋，如果一個球從A（﹣2，0）按照圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），第一次碰到桌面B的坐標是（0，2），則該球第二次碰到臺球桌面的坐標是（2，0），該球最后落入的球袋是2號袋．【解答】解：根據(jù)軸對稱的性質可知，臺球走過的路徑為：因為一個球從A（﹣2，0）按照圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），第一次碰到桌面B的坐標是（0，2），所以該球第二次碰到臺球桌面的坐標是（2，0），該球最后落入的球袋是2號袋．故答案為：（2，0），2．【典例2】如圖，彈性小球從點P（0，1）出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到正方形OABC的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當小球第1次碰到正方形的邊時的點為P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的邊時的點為P2，…，第n次碰到正方形的邊時的點為Pn，則點P2020的坐標是（）A．（0，1） B．（﹣2，4） C．（﹣2，0） D．（0，3）【解答】解：如圖，根據(jù)反射角等于入射角畫圖，可知光線從P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（﹣2，4），再反射到P5（﹣4，3），再反射到P點（0，1）之后，再循環(huán)反射，每6次一循環(huán)，2020÷6＝336……4，即點P2020的坐標是（﹣2，4），故選：B．【典例3】在桌球運動中，正面擊球時球碰到球桌邊緣會發(fā)生反彈，如圖建立平面直角坐標系，動點P從（0，2）出發(fā)，沿如圖所示方向運動，每當碰到長方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當點P第2022次碰到長方形的邊時，點P2022的坐標為（0，2）．【解答】解：依照題意畫出圖形，如圖所示．∵P（0，2），P1（2，0），P2（6，4），∴P3（8，2），P4（6，0），P5（2，4），P6（0，2），P7（2，0），…，∴Pn的坐標以6為循環(huán)單位循環(huán)．∵2022÷6＝337，∴點P2022的坐標是（0，2），故答案為：（0，2）．【典例4】如圖，彈性小球從點P（0，1）出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到正方形OABC的邊時反彈，反彈的反射角等于入射角（反射前后的線與邊的夾角相等），當小球第1次碰到正方形的邊時的點為P1（2，0），第2次碰到正方形的邊時的點為P2，…，第n次碰到正方形的邊時的點為Pn，則點P2021的坐標為（4，3）．【解答】解：如圖：根據(jù)反射角等于入射角畫圖，可知小球從P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（2，4），再反射到P5（4，3），再反射到P點（0，1）之后，再循環(huán)反射，每6次一循環(huán)，2021÷6＝336…5，即點P2021的坐標是（4，3）．故答案為：（4，3）．【典例5】如圖所示，彈性小球從點P（0，3）出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到矩形OABC的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當小球第1次碰到矩形的邊時的點為P1，第2次碰到矩形的邊時的點為P2，…，第n次碰到矩形的邊時的點為Pn，則點P2021的坐標是（1，4）．【解答】解：如圖，根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，根據(jù)圖形可以得到：每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)，經(jīng)過6次反彈后動點回到出發(fā)點（0，3），∵2021÷6＝336…5，當點P第2021次碰到矩形的邊時為第337個循環(huán)組的第5次反彈，點P的坐標為（1，4），故答案為：（1，4）．題型03軸對稱的性質理解【典例1】如圖，△ABC與△A'B'C'關于直線MN對稱，BB'交MN于點O，下列結論：①AB＝A'B'；②OB＝OB′；③AA'∥BB'中，正確的有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱，∴OB＝OB′，△ABC≌△A′B′C′，AA′∥BB′，故②③正確，∴AB＝A′B′，故①正確，所以正確的一共有3個，故選：A．【典例2】如圖，△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，連接AA′交對稱軸l于點M，若∠A＝50°，∠C′＝30°，則下列說法不正確的是（）A．三角形ABC與三角形A′B′C′的周長相等 B．AM＝A′M且AA′⊥l C．∠B＝100° D．連接BB′，CC′，則AA′，BB′，CC′三條線段不僅平行而且相等【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，∠A＝50°，∠C′＝30°，∴三角形ABC與三角形A′B′C′的周長相等，AM＝A′M且AA′⊥l，∠C＝∠C′＝30°，AA′∥BB′∥CC′，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°，∴A，B，C不符合題意；D符合題意．故選：D．【典例3】如圖，△ABC和△A'B'C'關于直線l對稱，下列結論：（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；（3）直線l垂直平分CC'；（4）直線l平分∠CAC'．正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：∵△ABC和△AB′C′關于直線l對稱，∴（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；（3）直線l垂直平分CC'；（4）直線l平分∠CAC'．綜上所述，正確的結論有4個，故選：D．題型04利用軸對稱的性質計算【典例1】如圖，△ABC與△A'B'C'關于直線l對稱，則AC＝（）A．A'B' B．B'C' C．BC D．A'C'【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，∴△ABC≌△A′B′C′，∴AC＝A'C′．故選：D．【典例2】如圖，△ABC與△A'B'C'關于直線l對稱，∠A＝54°，∠C'＝26°，則∠B等于（）A．36° B．154° C．80° D．100°【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，∴∠C＝∠C′＝26°，在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣54°﹣26°＝100°．故選：D．【典例3】如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，將點A與點B分別沿MN和EF折疊，使點A、B與點C重合，則∠NCF的度數(shù)為（）A．18° B．19° C．20° D．21°【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝100°，∵將點A與點B分別沿MN和EF折疊，使點A、B與點C重合，∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，∴∠NCF＝100°﹣30°﹣50°＝20°，故選：C．【典例4】在折紙游戲中，小穎將一張長方形紙片ABCD按如圖所示方式折疊，AE、AF為折痕，點B、D折疊后的對應點分別為B′、D′，若∠B′AD′＝12°，則∠EAF的度數(shù)為39°．【解答】解：∵∠B'AD'＝12°，∴2∠EAF＝90°﹣12°＝78°，∴∠EAF＝39°．故答案為：39°．【典例5】如圖，AD所在直線是△ABC的對稱軸，點E，F(xiàn)是AD上的兩點，若BD＝3，AD＝6，則圖中陰影部分的面積是9．【解答】解：∵△ABC關于直線AD對稱，∴B、C關于直線AD對稱，∴△CEF和△BEF關于直線AD對稱，BC＝2BD＝2×3＝6，AD⊥BC，∴S△BEF＝S△CEF，∵△ABC的面積是：＝，∴圖中陰影部分的面積是．故答案為：9．題型05利用垂直平分線的性質計算【典例1】如圖，△ABC中，BC的垂直平分線l與AC相交于點D，若△ABD的周長為12cm，則AB+AC＝12cm．【解答】解：∵l是BC的垂直平分線，∴DB＝DC，∵△ABD的周長為12cm，∴AB+AD+BD＝12cm，∴AB+AD+DC＝12cm，∴AB+AC＝12cm，故答案為：12．【典例2】如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長是（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴BE＝AE＝4，∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，故選：B．【典例3】如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點F，G，且△AEG的周長是20，則線段BC的長為（）A．40 B．20 C．15 D．10【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，GF是AC的垂直平分線，∴EB＝EA，GA＝GC，∵△AEG的周長是20，∴AE+EG+AG＝20，∴BE+EG+GC＝20，∴BC＝20．故選：B．【典例4】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分線MN交AC于D點，連接BD，則∠DBC的度數(shù)是（）A．22° B．27° C．32° D．40°【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝42°，∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣42°）＝69°，∵MN垂直平分線AB，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝42°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝69°﹣42°＝27°．故選：B．【典例5】如圖，在△ABC中，∠ABC＝52°，P為△ABC內一點，過點P的直線MN分別交AB、BC于點M，N，若M在PA的垂直平分線上，N在PC的垂直平分線上，則∠APC的度數(shù)為（）A．115° B．116° C．117° D．118°【解答】解：∵∠ABC＝52°，∴∠BMN+∠BNM＝128°．∵M在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，∴AM＝PM，PN＝CN．∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN．∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，∴∠MPA＝∠BMN，∠CPN＝∠BNM．∴∠MPA+∠CPN＝（∠BMN+∠BNM）＝×128°＝64°．∴∠APC＝180°﹣64°＝116°．故選：B．【典例6】如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC，分別交BC、AB于D、E，連接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝20°，則∠EFB的度數(shù)為（）A．56° B．58° C．60° D．63°【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵BE＝AC，∴CE＝AC，∵∠ACE＝20°，∴∠A＝∠AEC＝（180°﹣∠ACE）＝80°，∵∠AEC＝∠EBC+∠ECB＝80°，∴∠EBC＝∠ECB＝40°，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠EBC＝20°，∴∠EFB＝∠FBC+∠ECB＝60°，故選：C．【典例7】如圖：DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，則△EBC的周長為（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．28【解答】解：∵DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，∴AE＝CE，∴△EBC的周長＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米），故選：B．【典例8】如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交BC，AB于D，E兩點，若AE＝3cm，△ADC的周長為9cm，則△ABC的周長是（）A．6cm B．12cm C．15cm D．24cm【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DB＝DA，BE＝AE＝3cm，∵△ADC的周長為9cm，∴CD+DA+AC＝9cm，∴CD+BD+AC＝9cm，∴BC+AC＝9cm，∴△ABC的周長＝BC+AC+AB＝BC+AC+2AE＝9+2×3＝15（cm），故選：C．【典例9】如圖，∠AOB內一點P，P1，P2分別是P關于OA、OB的對稱點，P1P2交OA于點M，交OB于點N．若△PMN的周長是5cm，則P1P2的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解答】解：∵P點關于OA、OB的對稱點P1、P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周長＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，∵△PMN的周長是5cm，∴P1P2＝5cm．故選：C．1．下列倡導節(jié)約的圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A，B，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．C選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：C．2．如圖是臺球桌面示意圖，陰影部分表示四個入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋【解答】解：如圖所示，，球最后落入的球袋是2號袋，故選：B．3．如圖，△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱，P為MN上任意一點，下列說法不正確的是（）A．AP＝A′P B．MN垂直平分AA′，CC′ C．這兩個三角形的面積相等 D．直線AB，A′B′的交點不一定在MN上【解答】解：A、P到點A、點A′的距離相等正確，不符合題意；B、點C、點C′到直線MN的距離相等正確，點A、點A′到直線MN的距離相等正確，不符合題意；C、∵△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱，∴這兩個三角形的面積相等，不符合題意；D、直線AB，A′B′的交點一定在MN上，此選項錯誤，符合題意．故選：D．4．如圖，直線l，m相交于點O，P為這兩直線外一點，且OP＝3，若點P關于直線l，m的對稱點分別是點P1，P2，則P1，P2之間的距離可能是（）A．0 B．5 C．6 D．7【解答】解：連接OP1，OP2，P1P2，∵點P關于直線l，m的對稱點分別是點P1，P2，∴OP1＝OP＝3，OP＝OP2＝3，OP1+OP2＞P1P2，0＜P1P2＜6，故選：B．5．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB′關于直線AD對稱，點B的對稱點B′落在BC邊上．若∠C＝2∠B′AC，AB′平分∠DAC，則∠B的度數(shù)為（）A．67.5° B．50° C．45° D．22.5°【解答】解：設∠B′AC＝x，則∠C＝2x，∵AB′平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠B′AC＝2x，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠DAC＝90°，∴2x+2x＝90°，∴x＝22.5°．∴∠AB′D＝∠C+∠B′AC＝3x＝67.5°，∵△ADB與△ADB'關于直線AD對稱，∴∠B＝∠AB′D＝67.5°．故選：A．6．如圖所示，將∠A沿著BC折疊到∠A所在平面內，點A的對應點是A'，若∠A＝54°，則∠1+∠2＝（）A．144° B．108° C．72° D．54°【解答】解：由折疊的定義知：∠ABC＝∠A′BC，∠ACB＝∠A′CB，∵∠A＝54°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣54°＝126°∴∠ABA′+∠ACA′＝2×126°＝252°，∴∠1+∠2＝2×180°﹣（∠ABA′+∠ACA′）＝360°﹣252°＝108°，故選：B．7．如圖，四邊形ABCD為一矩形紙帶，點E、F分別在邊AB、CD上，將紙帶沿EF折疊，點A、D的對應點分別為A'、D'，若∠2＝α，則∠1的度數(shù)為（）A．2α B．90°﹣α C． D．【解答】解：由折疊可得：∠AEF＝∠A'EF，∴，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∴，故選：D．8．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，分別作AC，AB兩邊的垂直平分線PM、PN，垂足分別是點M、N，以下說法：①∠P＝60°；②∠EAF＝∠B+∠C；③PE＝PF；④點P到點B和點C的距離相等，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【解答】解：∵PM⊥AC，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∵∠BAC+∠PMA+∠PNA+∠P＝360°，∠BAC＝120°，∴∠P＝60°，故①符合題意；∵AC的垂直平分線是PM，∴EC＝EA，∴∠EAC＝∠C，同理：∠EAB＝∠B，∴∠EAC+∠EAB＝∠B+∠C，∵∠BAC＝120°，∴∠EAC+∠EAB＝∠B+∠C＝60°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAC+∠EAB）＝60°，∴∠EAF＝∠B+∠C，故②符合題意；∵∠PEF＝∠CEM＝90°﹣∠C，∠PFE＝∠BEN＝90°﹣∠B，∠B不一定等于∠C，∴∠PEF不一定等于∠PFE，∴PE不一定等于PF，故③不符合題意；∵PM，PN分別平分AC，AB，∴P是△ABC的外心，∴點P到點B和點C的距離相等，故④符合題意．∴正確的是①②④．故選：B．9．已知O為三邊垂直平分線交點，∠BAC＝70°，則∠BOC＝140°．【解答】解：∵已知點O為三邊垂直平分線交點，∴點O為△ABC的外心，∴∠BOC＝2∠BAC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝140°，故答案為：140°．10．如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分線交BC于點E，AC的垂直平分線交BC于點F，連接AE，AF，若△AEF的周長為7，則BC的長是（）A．7 B．8 C．9 D．無法確定【解答】解：∵AB的垂直平分線交BC于點E，∴EA＝EB，∵AC的垂直平分線交BC于點F．∴FA＝FC，∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝△AEF的周長＝7．故選：A．11．如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，這兩條垂直平分線分別交BC于點D、E．已知△ADE的周長為11cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為23cm，則OA的長為6cm．【解答】解：∵OM、ON分別為AB、AC的垂直平分線，∴DA＝DB，OA＝OB，EA＝EC，OA＝OC，∵△ADE的周長為11cm，∴AD+DE+EA＝11cm，∴BD+DE+EC＝11cm，即BC＝11cm，∵△OBC的周長為23cm，∴OB+BC+OC＝23cm，∴OB+OC＝23﹣11＝12（cm），∴OA＝6cm，故答案為：6cm．12．如圖，AE是∠CAM的角平分線，點B在射線AM上，DE是線段BC的中垂線交AE于E，過點E作AM的垂線交AM于點F．若∠ACB＝26°，∠EBD＝25°，則∠AED＝39．?【解答】解：連接CE，過E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，∵DE是線段BC的中垂線，∴∠EDC＝90°，CE＝BE，∴∠ECB＝∠EBD，∵∠EBD＝25°，∴∠ECB＝25°，∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，∵ER⊥AC，ED⊥BC，∴∠QRC＝∠QDE＝90°，∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，∵∠CQR＝∠EQD，∴∠ACB＝∠QED，∵∠ACB＝26°，∴∠QED＝26°，∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，∴ER＝EF，在Rt△ERC和Rt△EFB中，，∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝26°+25°＝51°，∵∠EFB＝90°，∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣51°＝39°，∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝26°+65°+39°＝130°，∵∠ARE＝∠AFE＝90°，∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∵AE平分∠CAM，∴∠CAE＝CAM＝25°，∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+26°＝51°，∵ED⊥BC，∴∠EDB＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣51°＝39°，故答案為：39．13．如圖，在△ABC中，點E是BC邊上的一點，連接AE，BD垂在平分AE，垂足為F，交AC于點D．連接DE．（1）若△ABC的周長為19，△DEC的周長為7，求AB的長．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝15°，求∠CDE的度數(shù)．【解答】解：（1）∵BD是線段AE的垂直平分線，∴AB＝BE，AD＝DE，∵△ABC的周長為19，△DEC的周長為7，∴AB+BE+EC+CD+AD＝19，C