解析幾何體表面積和體積

...wd......wd......wd...幾何體的外表積和體積解答根基1．如圖，在底半徑為2，母線長為4的圓錐中內接一個高為的圓柱，求圓柱的外表積和圓錐的體積．解：圓錐的高，圓柱的底面半徑r=1，外表積：圓錐體積：=．2．如圖，在正三棱臺ABC﹣A1B1C1中，其上、下底面邊長分別為3cm和6cm，AA1=3cm，求此三棱臺的側面積和體積．解：由正三棱臺的構造特征知，其上、下底面分別是邊長為3cm和6cm的等邊三角形，如圖O、O1為上、下底面的中心，∴OA=AD=×=2，OD=；O1A1=A1D1=×=，O1D1=∴棱臺的高h==，DD1==，∴三棱臺的側面積S=3××=；三棱臺的體積V=×〔×32+×62+×3×6〕×=．3．四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AB⊥BC，現(xiàn)將該梯形繞AB旋轉一周形成封閉幾何體，求該幾何體的外表積及體積．解：依題旋轉后形成的幾何體為上部為圓錐，下部為圓柱的圖形，如以以下列圖所示：其外表積S=圓錐側面積+圓柱側面積+圓柱底面積；∴S=4+8π+4π=12π+4；其體積V=圓錐體積+圓柱體積；∴V=．4.如圖，在底面半徑為2、母線長為4的圓錐中挖去一個高為的內接圓柱；〔1〕求圓柱的外表積；〔2〕求圓錐挖去圓柱剩下幾何體的體積．解：設圓錐、圓柱的底面半徑分別為R、r，高分別為h、h′．〔1〕圓錐的高h==2，又∵h′=，∴h′=h．∴=，∴r=1．∴S外表積=2S底+S側=2πr2+2πrh′=2π+2π×=2〔1+〕π〔2〕所求體積=5．正四棱錐〔底面是正方形，頂點在底面的射影是底面的中心〕的底面邊長為a，側棱長為a〔1〕求它的外接球的體積〔2〕求他的內切球的外表積．解：〔1〕由題意，四棱錐為正四棱錐，∵該四棱錐的側棱長為a，底面是邊長為a的正方形，∴四棱錐的高為a，設外接球的半徑為R，則有R2=〔a〕2+〔a﹣R〕2，∴R=a，∴外接球的體積為=；〔2〕設內切球的半徑為r，則∴r=a∴外表積為4πr2=．6．正方形的邊長為a，求側面積等于這個正方形的面積，高等于這個正方形邊長的直圓柱體的體積．解：設底面半徑為r，直圓柱體的高為h因為側面積等于這個正方形的面積，高等于這個正方形邊長所以有底面周長2πr=a，h=a，解得，由公式圓柱體體積V=πr2h=．7．某個四面體的棱長均為a，〔1〕求該四面體外接球的體積；〔2〕求該四面體內切球的體積．解：〔1〕：∵正四面體的棱長為a，∴此四面體一定可以放在正方體中，∴我們可以在正方體中尋找此四面體．如以以下列圖，四面體ABCD滿足題意，BC=a，∴正方體的棱長為a，∴此四面體的外接球即為此正方體的外接球，∵外接球的直徑=正方體的對角線長，∴外接球的半徑為R=?=a，所以，球的體積為π?a3=πa3．〔2〕設正四面體的內切球的半徑為r，由于正四面體的每個面的面積為S=?a?a?sin60°=a2，正四面體的高為h==a，故正四面體的體積為V=Sh=a3．再根據(jù)V=4[sr]=4×[?a2?r]，可得a3=4×[?a2?r]，求得r=a，故四面體內切球的體積V′=π?r3=?a3．8．半球內有一個內接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內，假設正方體棱長為，求球的外表積和體積．解：設正方形ABCD﹣A'B'C'D'的底面ABCD