高中數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)課（三）概率教學(xué)案 蘇教版必修3

復(fù)習(xí)課(三)概率

常考點(diǎn)一古典概型

古典概型是學(xué)習(xí)及高考考查的重點(diǎn)，考查形式以填空題為主，試題難度屬容易或中等,

處理的關(guān)鍵在于用枚舉法找出試驗(yàn)的所有可能的基本事件及所求事件所包含的基本事

件.還要注意理解事件間關(guān)系，準(zhǔn)確判斷兩事件是否互斥，是否對(duì)立，合理利用概率加法

公式及對(duì)立事件概率公式.

［考點(diǎn)精要］

1.事件

(1)基本事件

在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)可能結(jié)果.

(2)等可能事件

若在一次試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基

本事件.

(3)互斥事件

①定義：不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件.如果事件4,42,…，4,中的任何

兩個(gè)都是互斥事件，就說事件4,42,…，A”彼此互斥.

②規(guī)定：設(shè)A,8為互斥事件，若事件A,8至少有一個(gè)發(fā)生，我們把這個(gè)事件記作4

+B.

(4)對(duì)立事件

兩個(gè)互斥事件必有一個(gè)發(fā)生，則稱這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記作彳.

2.概率的計(jì)算公式

(1)古典概型

①特點(diǎn)：有限性，等可能性.

事件A包含的基本事件數(shù)

②計(jì)算公式：

P(A)=試驗(yàn)的基本事件總數(shù).

(2)互斥事件的概率加法公式

①若事件4,8互斥，那么事件A+5發(fā)生的概率等于事件4,8分別發(fā)生的概率的和

即P(A+8)=P(4)+P(5).

②若事件4，A2,A”兩兩互斥.則

P(4+42+“?+A")=n4i)+尸(42)+”?+P(4).

(3)對(duì)立事件計(jì)算公式：P(A)=1一尸(A).

［典例］(1)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，

恰有一件次品的概率為.

(2)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概

率為.

(3)隨機(jī)擲兩枚骰子，它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率記為pi,點(diǎn)數(shù)之和大于5的

概率記為P2,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為P3，則pi，P2,P3從小到大依次為.

(4)(天津高考)設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采用分層抽

樣的方法從這三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取6名運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加比賽.

①應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為.

②將抽取的6名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為4,A2,A3,A4,AS,4.從這6名運(yùn)動(dòng)

員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽.則編號(hào)為人和4的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到概率

為.

［解］(1)記3件合格品為藥，金，血2件次品為6,弱，則任取2件構(gòu)成的基本事件空

間為。={(當(dāng),為)，但，*),(當(dāng)，以)，(ai,的)，(az,*),(a?,6>),(az,6),(as,th),

(a,㈤，⑸㈤},共10個(gè)基本事件.

記“恰有1件次品”為事件則/={(a,th),(a,3,(金，6i),(a,th),(a,

6),(急，㈤},共6個(gè)基本事件.

、6

故其概率為PG4)=而=0.6.

⑵設(shè)2本數(shù)學(xué)書分別為4,B,語文書為C,則所有的排放順序有48C,ACB,BAG,BCA,

CAB,CBA,共6種情況，其中數(shù)學(xué)書相鄰的有陽7,BAC,CAB,CBA,共4種情況，故2本

,42

數(shù)學(xué)書相鄰的概率P=z=W,

0o

(3)總的基本事件個(gè)數(shù)為36,向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10個(gè),則向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概

105513

率9=云=/；向上的點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率.=1一石=石；向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)與向

OO1ololo

1

上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的個(gè)數(shù)相等，故向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率即p\<p3<pz.

(4)①應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3,1,2.

②從6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為{4,4},U,4},

{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},

{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},共15種.

編號(hào)為4和4的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到的所有可能結(jié)果為{4,4},{4,4},

U,4},U,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},共9種.

o3

因此，事件4發(fā)生的概率PC4)=/=.

100

［答案］(1)0.6(2)j(3)pi<p3<p2(4)①3,1,2磴

［類題通法］

解決與古典概型問題時(shí)，把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和

隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算

［題組訓(xùn)練］

1.袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球.從中一

次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為.

解析：利用列舉法可求出基本事件總數(shù)為6種，其中符合要求的有5種，故「=/.

答案建

2.若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)

均等，則甲或乙被錄用的概率為.

解析：所有基本事件為（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，?。?，（甲，

丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，T,戊），（丙，丁，戊），共10

種，其中符合“甲與乙均未被錄用”的結(jié)果只有（丙，丁，戊）.

1Q

故所求概率

答案--

口來.10

3.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他

們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為.

解析：甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種的

所有可能情況為（紅，白），（白，紅），（紅，藍(lán)），（藍(lán)，紅），（白，藍(lán)），（藍(lán)，白），（紅，紅），

（白，白），（藍(lán)，藍(lán)），共9種，他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的所有可能情況為（紅，紅），（白，

31

白），（藍(lán)，藍(lán)），共3種.故所求概率為P=§=§.

答案：I

?？键c(diǎn)二'幾何概型

幾何概型是各類考查的重點(diǎn)，考查形式以填空題為主，試題難度比古典概型稍大.

［考點(diǎn)精要］

1.幾何概型的特征

（1）無限性：即試驗(yàn)結(jié)果有無限多個(gè).

（2）等可能性：即每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)是等可能的.

2.幾何概型的概率公式

在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式如下：

04構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）

尸（川一試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）

［典例］⑴在區(qū)間［0,5］上隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)P，貝歷程x2+2px+3p-2=0

有兩個(gè)負(fù)根的概率為.

（2）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撤1000粒豆子，有180粒落到陰

影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為.

(3)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P,使△AP5的最大邊是A3”發(fā)生

的概率為:，則喘=.

［解析］(1)設(shè)方程x2+2*+3〃-2=0有兩個(gè)負(fù)根分別為xi,X2,

pl=4p2—4(3〃-2)20,

，+1+必=—2pv0,解得|vp〈l或p22.

lxiX2=3p-2>0,

0-S+(5-2)2

故所求概率P=-------------=y

(2)依題意，得歷影=［1：*，所以1￡=：：：(),解得S用彩=0.18.

3正方彩1UUU1A11UUU

(3)由已知，點(diǎn)尸的分界點(diǎn)恰好是邊C。的四等分點(diǎn)，由勾股定理可得

AB^A^+AD\解得饋〉=看

即生=亞

VAB4.

［答案］(1)|(2)0.18(3)于

［類題通法］

(1)幾何概型概率的大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀位置無關(guān)，只和該區(qū)域的大小有關(guān).

(2)在解題時(shí)要準(zhǔn)確把握，要把實(shí)際問題作合理的轉(zhuǎn)化；要注意古典概型和幾何概型的

區(qū)別，正確地選用幾何概型的類型解題.

［題組訓(xùn)練］

1.(山東高考)在區(qū)間［0,2］上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,則事件“-14。晟+3^1”發(fā)生的

概率為.

解析：不等式一iWlog^x+yWl可化為log^Wlog^x+Owiogjl，即9x+吳2,

解得OWxW］3,故由幾何概型的概率公式得23

//UQ

答案：I3

2.(福建高考)如圖，矩形A8CZ)中，點(diǎn)A在x軸上,

x+l,x20,

為(1,0),且點(diǎn)。與點(diǎn)卻在函數(shù)Ax)=，1

—/+1,x<0

在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于

fx+1,x20,

解析：因?yàn)?,5點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),所以。點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),。點(diǎn)坐

—/+1,x<0,

標(biāo)為(-2,2),A點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,0),故矩形A8C。的面積為2X3=6,陰影部分的面積為^X3X1

答案：|

3.在體積為丫的三棱錐S-ABC的棱48上任取一點(diǎn)P,則三棱錐S-APC

V

的體積大于5的概率是.

解析：由題意可知詈三棱錐S-ABC的高與三棱錐S-APC的高

Vs-ABC3

相同.

作PM_LAC交于點(diǎn)M,BN工AC文于點(diǎn)、N,

則PM,BN分別為△APC與XABC的高,

VS-APC_S^APCPM1

所以9

VS.AB^S^B^^BN3

PMAP

又麗=加

所以標(biāo)>3，

2

故所求的概率為1(即為長(zhǎng)度之比).

答案常

?？键c(diǎn)三概率和統(tǒng)計(jì)綜合應(yīng)用

［考點(diǎn)精要］

對(duì)于給定的隨機(jī)事件4由于事件A發(fā)生的頻率6(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率

P(A),因此各類考試常常結(jié)合統(tǒng)計(jì)的知識(shí)考查概率.考查形式一般以解答題為主，難度中

等.解決此類考題要注意：①正確利用數(shù)形結(jié)合的思想.②充分利用概率是頻率的穩(wěn)定值,

用頻率估計(jì)概率.③準(zhǔn)確地處理所給數(shù)據(jù).

［典例］某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)

用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，得到A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B

地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表.

A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖

頻率

組距

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O

405060708090100滿意度評(píng)分

圖①

B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表

滿意度評(píng)

分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)2814106

(1)在圖②中作出B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)

滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可).

B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖

圖②

⑵根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度分為三個(gè)等級(jí):

滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意

估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？說明理由.

[ft?]⑴如圖所示.

通過兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平

均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，而A地區(qū)用

戶滿意度評(píng)分比較分散.

(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.

記以表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶

的滿意度等級(jí)為不滿意”.由直方圖得尸(CA)的估計(jì)值為(0.01+0.02+0.03)X10=0.6,P(CB)

的估計(jì)值為(0.005+0.02)X10=0.25.

所以A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.

［類題通法］

解決概率和統(tǒng)計(jì)綜合題，首先要明確頻率、概率、頻率分布表、頻率分布直方圖、概

率的計(jì)算方法等基本知識(shí)，要充分利用頻率估計(jì)概率及數(shù)形結(jié)合等基本思想，正確處理各

種數(shù)據(jù).

［題組訓(xùn)練］

1.隨機(jī)抽取某中學(xué)高三年級(jí)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測(cè)量出他們的身高(單位：cm),

獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖，其中甲班有一個(gè)數(shù)據(jù)被污損.

甲班乙班

2181

9?101703689

883216258

8159

(1)若已知甲班同學(xué)身高的平均數(shù)為170cm,求污損處的數(shù)據(jù)；

(2)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名身高不低于173cm的同學(xué)，求身高176cm的

同學(xué)被抽中的概率.

解：(1)設(shè)被污損的數(shù)字為a,由題意知，甲班同學(xué)身高的平均數(shù)為

—158+162+163+168+168+170+17l+179+170+a+182

*=10

=170,解得a=9.

(2)設(shè)“身高176cm的同學(xué)被抽中”的事件為A,

從乙班10名同學(xué)中抽取2名身高不低于173cm的同學(xué)有：{181,173},{181,176},

{181,178},{181,179},{179,173},(179,176},{179,178},{178,173},{178,176},{176,173},

42

共10個(gè)基本事件，而事件A含有4個(gè)基本事件，所以尸(A)=m=g.

2.某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，

隨機(jī)訪問50名職工.根據(jù)這5()名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪

制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：

［40,50),［50,60),［80,90),［90,100］.

(1)求頻率分布直方圖中。的值；

(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；

(3)從評(píng)分在［40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2

人的評(píng)分都在［40,50)的概率.

解：（1）因?yàn)椋?.004+a+0.018+0.022X2+0.028）X10=1,所以a=0.006.

⑵由所給頻率分布直方圖知,50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為(0.022+0.018)X10

=0.4,所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為0.4.

(3)受訪職工中評(píng)分在［50,60)的有：50X0.006X10=3(人)，記為③,A2,A3;

受訪職工中評(píng)分在［40,50)的有：50X0.004X10=2(人)，記為Bi,B2.

從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{Ai,A2},{Alt

AJ},Ai,Bi},{Ai,Bz},{A2,A3},{A2,Bi},{Aj,&},A3,Bi},{A3,82},{B\,Bi].又

因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在[40,50）的結(jié)果有1種，即{51,&},故所求的概率為心.

［回扣驗(yàn)收特訓(xùn)］

［對(duì)應(yīng)配套卷P105］

1.從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率

是.

解析：基本事件的總數(shù)為6,滿足條件的有{1,2},{2,4},2個(gè)，故尸=看=；.

答案《

2.盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球.若從中隨機(jī)摸出兩只球，則它們顏色

不同的概率是.

解析：基本事件總數(shù)有6個(gè)，滿足條件的有3個(gè)，故尸=；.

答案：I

3.如圖所示，陰影部分是一個(gè)等腰三角形ABC,其中一邊過圓心O,c

現(xiàn)在向圓面上隨機(jī)撒一粒豆子，則這粒豆子落到陰影部分的概率是

解析：向圓面上隨機(jī)撒一粒豆子，其結(jié)果有無限個(gè)，屬于幾何概型.設(shè)T5J

圓的半徑為r,全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積是圓面積幾戶，陰影部分的面積

是等腰直角三角形ABC的面積/，則這粒豆子落到陰影部分的概率是壬=；.

答案一

4.在區(qū)間［0,3］上任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)落在區(qū)間［2,3］上的概率是.

解析：設(shè)這個(gè)事件為A,所考查的區(qū)域。為一線段，Si)=3,又Si=l,/.P(A)=1.

答案:；

5.現(xiàn)有某類病毒記作XmY?,其中正整數(shù)"?，"Q〃W7,〃W9)可以任意選取，則m,n

都取到奇數(shù)的概率為.

解析：基本事件總數(shù)為N=7X9=63,其中m,n都為奇數(shù)的事件個(gè)數(shù)為M=4X5=

20,所以所求概率小:噂二患.

20

答案：63

6.小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到

圓心的距離大于;，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于上則去打籃球；否則，在

家看書.則小波周末不在家看書的概率為.

rtxi2-nx(j)27rxi

解析：去看電影的概率P產(chǎn)一7rxl一/去打籃球的概率尸2=：3岸~=言

故不在家看書的概率為尸=1+*=||.

13

答案：而

7.從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是.

解析：從五個(gè)數(shù)中任意取出兩個(gè)數(shù)的可能結(jié)果有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),

2

(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10個(gè)，其中“和為5”的結(jié)果有(1,4),(2,3),故所求概率為誣

=1

答案」

8.若?,/>€{-1,0,1,2),則使關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的概率為.

解析：要使方程有實(shí)數(shù)解，則。=0或

所有可能的結(jié)果為(一1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),

(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2),共16個(gè)，

其中符合要求的有13個(gè)，

故所求概率

1O

答案.—

口米.16

9.在一次教師聯(lián)歡會(huì)上，到會(huì)的女教師比男教師多12人，從這些教師中隨機(jī)挑選一

人表演節(jié)目，若選到男教師的概率為言9，則參加聯(lián)歡會(huì)的教師共有人.

解析：設(shè)男教師為x人，則女教師為（x+12）人.

依題意有：

x9

2X+12=20-AX=54-

二共有教師2X54+12=120（人）.

答案：120

10.在區(qū)間［0,1］上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記pi為事件“x+yW；”的概率，P2為事件

“孫的概率，則0,P2,按從小到大排列為.

解析：如圖，滿足條件的X,y構(gòu)成的點(diǎn)（X,y）在正方形QBC4內(nèi)，

r

其面積為1.事件“x+y/T”對(duì)應(yīng)的圖形為陰影△OOE,其面積為品：

x=,故PT4；事件“孫4”對(duì)應(yīng)的圖形為斜線表示部分，其

O\BX

11112

面積顯然大于石故P2>3，則piV3Vp2.

乙乙乙

答案：Pl〈gvp2

11.（山東高考）某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)

據(jù)如下表：（單位：人）

參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)

參加演講社團(tuán)85

未參加演講社團(tuán)230

（1）從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率；

（2）在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)4,Th,43,A4,

A5,3名女同學(xué)以，Bi,B.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求A被選中且

81未被選中的概率.

解：（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人，

故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有45—30=15（人），

所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為尸=靠=/

（2）從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件

有：

{Ai,Bi},{Ai,B2},{AltB3},{AI,Bi},{A2,B2},{A2,B3},{A3,Bt},{A3,B2},

{A3,Bi},{Ai,Bl},{A4,B2},{A4,Bi},{As,Bi},{As,B2},{As,B3},共15個(gè).

根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

事件“Ai被選中且9未被選中”所包含的基本事件有：

{Ai,&},{Ai,&},共2個(gè).

2

因此Ai被選中且Bt未被選中的概率為尸=運(yùn).

12.編號(hào)分別為4,A2,Au；的16名籃球運(yùn)動(dòng)員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如

下：

運(yùn)動(dòng)員編號(hào)AiA3A

A2454A7As

得分1535212825361834

運(yùn)動(dòng)員編號(hào)A10A12413A14415A16

A9An

得分1726253322123138

(1)將得分在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格:

區(qū)間[10,20)[20,30)[30,40]

人數(shù)

(2)從得分在區(qū)間［20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人，

①用運(yùn)動(dòng)員編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果；

②求這2人得分之和大于50的概率.

ft?：(1)4,6,6.

⑵①得分在區(qū)間［20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員編號(hào)為Aj,A4,AS,Al0,Au,A13,從中隨機(jī)抽取

2人，所有可能的抽取結(jié)果有：ph,A4},{A3,A5},{A3,AIO},{A3,An},{A3,An},{A4,

As},{At,Aio},{A4,A”},{A4,AH),{AS,A10},{A5,Au},{As,A13},{A10,An},{A10,

A13},{An,A13}共15種.

②“從得分在區(qū)間［20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人，這2人得分之和大于50”(記為

事件5)的所有可能結(jié)果有{4,As},{A4,A10},{A4,AH},{As,A10},{A10,Au}共5種.

所以P(B)=^=|.

13.在某次測(cè)驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分.用x“表示編號(hào)為“5=1,2,…，

6)的同學(xué)所得成績(jī)，且前5位同學(xué)的成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

編號(hào)n12345

成績(jī)Xn7076727072

(1)求第6位同學(xué)的成績(jī)打，及這6位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差s；

(2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率.

解：(1):?這6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分，

.,.1(70+76+72+70+72+X6)=75,解得x6=90.

這6位同學(xué)成績(jī)的方差

S2=1X[(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(90-75)2]=49,

標(biāo)準(zhǔn)差s=7.

⑵從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選出2位同學(xué)的選法有：(70,76),(70,72),(70,70),(70,72),

(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72),共10種,

恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68,75)中的有：(70,76),(76,72),(76,70),(76,72),共4種，

42

所求概率為尸

14.設(shè)式x)和g(x)都是定義在同一區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)，若對(duì)任意xG[l,2],都有血0+

g(x升W8,則稱兀T)和g(x)是"友好函數(shù)",設(shè)兀r)=ax,g(x)=§.

⑴若aG{l,4},be{-1,1,4},求於)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率；

(2)若QG[1,4],附1,4],求/U)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率.

解：⑴設(shè)事件A表示作)和g(x)是"友好函數(shù)"，

則(/U)+g(x)l(xW口⑵)所有的情況有：

1,1,41,1,4

LJx+0x+下4x~x>A4x+rA4x+-,

共6種且每種情況被取到的可能性相同.

又當(dāng)”>0,/>>o時(shí)，依+§在(o,、^上遞減，在+8)上遞增；

x—；和4x—：在(0,+8)上遞增，

所以對(duì)xG[l,2]可使|/(x)+g(x)l<8恒成立的有丫+=,x+34x-J,

?VV%wV

故事件A包含的基本事件有4種，

422

所以P(A)=k=],故所求概率是亍

(2)設(shè)事件B表示/(X)和g(x)是“友好函數(shù)”，

因?yàn)閍是從區(qū)間[1,4]中任取的數(shù)，分是從區(qū)間[1,4]中任取的數(shù)，所以點(diǎn)3,加所在區(qū)域

是長(zhǎng)為3,寬為3的矩形區(qū)域.

要使xG[l,2]時(shí)，(Ax)+g(xHW8恒成立，

需/U)+g(l)=a+6W8且<2)+g(2)=2a+^W8,

所以事件8表示的點(diǎn)的區(qū)域是如圖所示的陰影部分.

所以四=二9+加19

3X3-24'

故所求的概率是3.

［模塊綜合檢測(cè)］

(時(shí)間120分鐘滿分160分)

一'填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)把答案填寫在題中橫線上)

1.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，設(shè)事件4=｛抽到一等品｝,事件6=｛抽到二等品｝,

事件C=｛抽到三等品｝,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(O=0.1.則事件“抽到的不是一

等品”的概率為.

解析：設(shè)事件“抽到的不是一等品”為D,則A與。對(duì)立，

.,.P(O)=l-P(A)=0.35.

答案：0.35

2.甲、乙、丙三人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天，則甲緊接著排在乙前面值班的

概率是.

解析：甲、乙、丙三人在3天中值班的情況為：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、

乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6種，其中符合題意的有2種，故所求概率

為今

答案卷

3.根據(jù)下列算法語句，當(dāng)輸入x為60時(shí)，輸出y的值為.

Readx

IfxW50Then

y-0.5x

Else

L25+0,6X(X-50)

EndIf

Printy

0.5x,xW50,

解析：由題意知，該算法語句的功能是求分段函數(shù)y=,,、的值，

t25+0.6(x-50),x>50

所以當(dāng)x=60時(shí)，輸出y的值為25+0.6X(60—50)=31.

答案：31

4.從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率是

解析：取兩個(gè)數(shù)的所有情況有：(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6種情況.乘

21

積為6的有：(1,6),(2,3)共2種情況.所求事件概率為

答案心

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為.

I互I

1+1|

護(hù)

［S^-\og25k|

/輸;Hs/

施

解析：由程序框圖與循環(huán)結(jié)束的條件“A>4”可知，最后輸出的S=log255=T.

答案：\

6.（?；莞呖迹┠承８咭荒昙?jí)有900名學(xué)生，其中女生400名，按男女比例用分層抽樣

的方法，從該年級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為.

45Y

解析：設(shè)男生抽取x人，則有麗=900—400'解得x=25.

答案：25

7.（湖北高考）某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),

發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬元）都在區(qū)間［0.3,0.9］內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示.

（1）直方圖中的。=;

（2）在這些購物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間［05,0.9］內(nèi)的購物者的人數(shù)為.

解析：（1）由（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）X0.1=l,

解得a—3.

（2）區(qū)間。3,0.5］內(nèi)須率為0.1X（1.5+2.5）=0.4,

故［0.5,0.9］內(nèi)的頻率為1-0.4=0.6.

因此，消費(fèi)金額在區(qū)間［0.5,0.9］內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6X10000=6000.

答案：（1）3（2）6000

8.（陜西高考）某公司10位員工的月工資（單位：元）為XI，X2,…，X1O,其均值和方差

分別為X和s2,若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值

和方差分別為.

解析：對(duì)平均數(shù)和方差的意義深入理解可巧解.因?yàn)槊總€(gè)數(shù)據(jù)都加上了100,故平均數(shù)

也增加100,而離散程度應(yīng)保持不變.

答案：100+xs2

9.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲在心中任想一個(gè)數(shù)字，記為a,再由乙猜甲剛才

所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為兒且a,6G{1,2,3,4},若則稱甲、乙“心有靈

犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，得出他們“心有靈犀”的概率為.

解析：甲、乙所猜數(shù)字的基本事件有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16個(gè)，其中滿足|a—的基

本事件有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10個(gè)，故所求

概率為共=宗

loo

答案：!

10.正方形ABC。面積為S,在正方形內(nèi)任取一點(diǎn)/W,ZVIMB面積大于或等于gs的

概率為.

解析：如圖，設(shè)正方形ABC。的邊長(zhǎng)為a,則S=a2,△ABM的高為加

由題知，7力?。255=可。2,

答案：3

11.如下圖是C3A籃球聯(lián)賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員某賽季一些場(chǎng)次得分的莖葉圖，則

平均得分高的運(yùn)動(dòng)員是.

6

65

44+30+100+30

解析：X甲==20.4,

63+50+80

x乙==19.3,

10

Xf>X匕.

答案：甲

12.如圖，4是圓。上固定的一點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)4’，連接AA，,它是一

條弦，它的長(zhǎng)度小于或等于半徑長(zhǎng)度的概率為.

解析：如圖，當(dāng)AA'的長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度時(shí)，ZAOA'=60°,由圓

的對(duì)稱性及幾何概型得尸=粵=4.\

答案：5

13.為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)

班級(jí)參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7,樣本方差為4,且樣本數(shù)據(jù)互

不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為.

解析：設(shè)5個(gè)班級(jí)的數(shù)據(jù)分別為0VaVbVc<d<e.由平均數(shù)及方差的公式得

a+b+c+d+e(a-7>+S-7)2+(c-7>+(d-7>+(e—7)2

---------------------"7------(----、‘-'---'，/-------------------乙-------------------乙——/I-tU*>7

p+g+r+s+f=0,

d~7,e—7分別為p,q,r,s,t,則p,q,r,s,f均為整數(shù)，則

p2+q2+r1+s2+t2=20.

i$.fix)=(x—p)2+(x—q)2+(x—r)2+(x—s)2=4x2-2(p+q+r+s)x+(p2+q2+r2+s2)=4x2+

2a+20—戶,由(x—p)2,(x—q)2,(x-r)2,(x—s)2不能完全相同知"r)>0,則判別式/<(),

解得一4?<4,

所以一3近fW3,所以最大值為10.

答案：10

14.設(shè)集合4={1,2},8={1,2,3},分別從集合A和8中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和心確定平

面上的一個(gè)點(diǎn)P(a,b),記“點(diǎn)P(a,/>)落在直線x+y="上”為事件G,(2式"W5,"GN),

若事件C,,的概率最大，則n的所有可能值為.

解析：事件G,的總事件數(shù)為6.只要求出當(dāng)“=2,3,4,5時(shí)的基本事件個(gè)數(shù)即可.

當(dāng)n=2時(shí)，落在直線x+j=2上的點(diǎn)為(1,1);

當(dāng)〃=3時(shí)，落在直線x+y=3上的點(diǎn)為(1,2),(2,1);

當(dāng)〃=4時(shí)，落在直線x+y=4上的點(diǎn)為(1,3),(2,2);

當(dāng)"=5時(shí)，落在直線x+y=5上的點(diǎn)為(2,3);

顯然當(dāng)”=3或4時(shí)，事件&,的概率最大為］

答案：3或4

二,解答題（本大題共6小題，共90分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（本小題滿分14分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù).乙組記

錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示.

甲組乙組

990X89

1110

（1）如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；

（2）如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為

19的概率.

（注：方差S2=1［（X1—工產(chǎn)+（X2—三產(chǎn)+…+（X“一行溝，其中T為石，處…，X"的

平均數(shù)）

解：（1）當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10,

—8+8+9+1035

所以平均數(shù)為:

x=4=~4;

方差為：

s2=；X（8一舒+（8一受2+（9一聆+（10—舒叫

（2）記甲組四名同學(xué)為4,A2,A3,Ai,他們植樹的棵數(shù)依次為9,9,11,11;

乙組四名同學(xué)為Bi,Bi,BitBi,他們植樹的棵數(shù)依次為9,8,9,10.分另4從甲、乙兩組

中隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有16個(gè)：

(Ai,Bi),(Ai,B2),(Ai,&),(Ai,B4),

(A2,Bi),(^2,Bi),(A2,&),(42,國(guó)),

(A3,BI),(A3,Bi),(A3,B3),(A3,B4),

(A4,Bi),(A4,&),(A4,B3),(A4,84),

用C表示“選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19”這一事件，則C中的結(jié)果有4個(gè)，它

41

們是：（Ai,84）,（A2,B4）,（A3,歷），（4i,Bi）.故所求概率為尸（。=而=彳

16.（本小題滿分14分）（廣東高考）從一批蘋果中，隨機(jī)抽取50個(gè)，其重量（單位：克）

的頻數(shù)分布表如下：

分組（重量）[80,85)