2025年高考數(shù)學一輪復習-圓錐曲線的基本問題-專項訓練【含答案】

INCLUDEPICTURE"高分訓練.tif"INCLUDEPICTURE"E:\\數(shù)學課件\\高分訓練.tif"INETINCLUDEPICTURE"F:\\陳麗2022年\\2022\\課件\\二輪\\2023版創(chuàng)新設(shè)計二輪專題復習數(shù)學新教材通用版（魯津京……）\\教師word文檔\\板塊四平面解析幾何\\高分訓練.tif"INET2025年高考數(shù)學一輪復習-圓錐曲線的基本問題-專項訓練一、基本技能練1.雙曲線y2－2x2＝1的離心率是()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\f(\r(6),2)C.eq\r(3) D.eq\r(5)2.設(shè)經(jīng)過點F(1，0)的直線與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點.若線段AB中點的橫坐標為2，則|AB|＝()A.4 B.5C.6 D.73.已知點F為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，點P在拋物線上且橫坐標為8，O為坐標原點，若△OFP的面積為2eq\r(2)，則該拋物線的準線方程為()A.x＝－eq\f(1,2) B.x＝－1C.x＝－2 D.x＝－44.“1<k<5”是方程“eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示橢圓”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與x軸正半軸所成夾角為eq\f(π,3)，則C的離心率為()A.eq\f(2\r(3),3) B.2C.eq\r(3) D.36.直線y＝kx(k>0)與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)在第一、第三象限分別交于P，Q兩點，F(xiàn)2是C的右焦點，有|PF2|∶|QF2|＝1∶eq\r(3)，且PF2⊥QF2，則C的離心率是()A.eq\r(3) B.eq\r(6)C.eq\r(3)＋1 D.eq\r(6)＋17.已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的中心為O，過焦點F的直線l與M交于A，B兩點，線段AF的中點為P，若|OP|＝|PF|＝eq\f(\r(3),2)，則M的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,4)＋y2＝1 D.eq\f(x2,5)＋y2＝18.已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點和右焦點，過F2的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，△AF1F2的內(nèi)切圓半徑為r1，△BF1F2的內(nèi)切圓半徑為r2，若r1＝2r2，則直線l的斜率為()A.1 B.eq\r(2)C.2 D.2eq\r(2)9.(多選)已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為C上一點，則()A.C的離心率為eq\f(\r(2),2) B.△PF1F2的周長為5C.∠F1PF2<90° D.1≤|PF1|≤310.(多選)設(shè)拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，點M為C上一動點，E(3，1)為定點，則下列結(jié)論正確的有()A.準線l的方程是y＝－2B.以線段MF為直徑的圓與y軸相切C.|ME|＋|MF|的最小值為5D.|ME|－|MF|的最大值為211.已知拋物線y2＝2px的準線方程為x＝－1，則p＝________.12.已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(5)，且其虛軸長大于1，則雙曲線C的一個標準方程可以為________.二、創(chuàng)新拓展練13.(多選)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為A1，A2，點P是雙曲線C上異于頂點的一點，則()A.||PA1|－|PA2||＝2aB.若焦點F2關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點在C上，則C的離心率為eq\r(5)C.若雙曲線C為等軸雙曲線，則直線PA1的斜率與直線PA2的斜率之積為1D.若雙曲線C為等軸雙曲線，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，則∠PA1A2＝eq\f(π,10)14.(多選)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為C上任意一點，△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為I，圓I與PF1的切點為M，PI與x軸的交點為N，則以下結(jié)論正確的有()A.eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))有最大值a2B.內(nèi)切圓I面積有最大值eq\f(πb2c2,（a＋c）2)C.若|PM|＝eq\f(1,2)|F1F2|，則橢圓C的離心率為eq\f(1,2)D.若∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，則eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)＝eq\f(1,|PN|)15.設(shè)點F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點，點P是橢圓C上任意一點，若使得eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝m成立的點恰好是4個，則實數(shù)m的一個取值可以為________.16.已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2＝eq\f(π,3)，設(shè)橢圓、雙曲線的離心率分別為e1，e2，則eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)的最小值為________.參考答案與解析一、基本技能練1.答案B解析雙曲線方程化為eq\f(y2,1)－eq\f(x2,\f(1,2))＝1，則a2＝1，b2＝eq\f(1,2)，從而e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),2)，故選B.2.答案C解析因為拋物線為y2＝4x，所以p＝2，設(shè)A，B兩點橫坐標為x1，x2，因為線段AB中點的橫坐標為2，則eq\f(x1＋x2,2)＝2，即x1＋x2＝4，故|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋2＝6，故選C.3.答案B解析由拋物線的方程可得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，不妨設(shè)P在x軸上方，則y2＝2p×8，可得yp＝4eq\r(p)，則S△OFP＝eq\f(1,2)|OF|·yp＝eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×4eq\r(p)＝2eq\r(2)，解得p＝2，所以準線方程為x＝－eq\f(p,2)＝－1，故選B.4.答案B解析因為k＝3時，eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示圓，故充分性不成立.若eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示橢圓，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－1>0，,5－k>0，,k－1≠5－k，))∴1<k<5且k≠3，∴必要性成立.故“1<k<5”是“方程eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示橢圓”的必要不充分條件.故選B.5.答案A解析雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x，由題意可得eq\f(a,b)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，則eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(3),3)，故選A.6.答案C解析由對稱性可知四邊形PF1QF2為平行四邊形，又由PF2⊥QF2得四邊形PF1QF2為矩形，∴|PQ|＝|F1F2|＝2c，又|PF2|∶|QF2|＝1∶eq\r(3)，∴|QF2|－|PF2|＝(eq\r(3)－1)c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1，故選C.7.答案B解析不妨設(shè)F為橢圓M的右焦點，則其左焦點為F1，連接AF1，∵O為FF1中點，P為AF中點.∴OP為△AFF1的中位線.∴|AF1|＝2|OP|＝eq\r(3)，|AF|＝2|PF|＝eq\r(3).∴|AF1|＋|AF|＝2eq\r(3)＝2a，∴a＝eq\r(3).∴橢圓M的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1，故選B.8.答案D解析記△AF1F2的內(nèi)切圓圓心為C，△BF1F2的內(nèi)切圓圓心為D，邊AF1，AF2，F(xiàn)1F2上的切點分別為M，N，E，易知C，E橫坐標相等，|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，由|AF1|－|AF2|＝2a，即|AM|＋|MF1|－(|AN|＋|NF2|)＝2a，得|MF1|－|NF2|＝2a，即|F1E|－|F2E|＝2a，記C的橫坐標為x0，則E(x0，0)，于是x0＋c－(c－x0)＝2a，得x0＝a，同樣圓心D的橫坐標也為a，則有CD⊥x軸，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則∠OF2D＝eq\f(θ,2)，∠CF2O＝90°－eq\f(θ,2)，在△CEF2中，tan∠CF2O＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90°－\f(θ,2)))＝eq\f(r1,|EF2|)，在△DEF2中，tan∠OF2D＝taneq\f(θ,2)＝eq\f(r2,|EF2|)，由r1＝2r2，可得2taneq\f(θ,2)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90°－\f(θ,2)))＝eq\f(1,tan\f(θ,2))，解得taneq\f(θ,2)＝eq\f(\r(2),2)，則直線l的斜率為tanθ＝eq\f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝eq\f(\r(2),1－\f(1,2))＝2eq\r(2)，故選D.9.答案CD解析對于A，由橢圓方程知：a＝2，c＝eq\r(4－3)＝1，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，A錯誤；對于B，由橢圓定義知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2，∴△PF1F2的周長為4＋2＝6，B錯誤；對于C，當P為橢圓短軸端點時，taneq\f(∠F1PF2,2)＝eq\f(c,b)＝eq\f(\r(3),3)，∴tan∠F1PF2＝eq\f(2tan\f(∠F1PF2,2),1－tan2\f(∠F1PF2,2))＝eq\f(\f(2\r(3),3),1－\f(1,3))＝eq\r(3)，∴∠F1PF2＝60°，即(∠F1PF2)max＝60°，∴∠F1PF2<90°，C正確；對于D，∵|PF1|min＝a－c＝1，|PF1|max＝a＋c＝3，∴1≤|PF1|≤3，D正確.故選CD.10.答案BC解析拋物線C：y2＝8x的焦點為F(2，0)，準線為l：x＝－2，故A錯誤；設(shè)M(m，n)，MF的中點為N，可得|MF|＝m＋2＝2·eq\f(m＋2,2)，即N到y(tǒng)軸的距離是|MF|的一半，則以線段MF為直徑的圓與y軸相切，故B正確；設(shè)M在準線上的射影為H，由|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MH|，當E，M，H三點共線時，|ME|＋|MH|取得最小值，為3＋2＝5，故C正確；由|ME|－|MF|≤|EF|，當M為EF的延長線與拋物線的交點時，取得最大值|EF|，為eq\r(（3－2）2＋（1－0）2)＝eq\r(2)，故D錯誤.故選BC.11.答案2解析y2＝2px準線方程為x＝－eq\f(p,2)，則－eq\f(p,2)＝－1，∴p＝2.12.答案x2－eq\f(y2,4)＝1(答案不唯一)解析依題意，不妨取b＝2，由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(5)，,b＝2，,c2＝a2＋b2，))解得a＝1，b＝2，c＝eq\r(5).所以滿足題設(shè)的一個標準方程為x2－eq\f(y2,4)＝1.二、創(chuàng)新拓展練13.答案BCD解析對于A：在△PA1A2中，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，故||PA1|－|PA2||<|A1A2|＝2a，故A錯誤；對于B，焦點F2(c，0)，漸近線不妨取y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，設(shè)焦點F2關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點為(m，n)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n,m－c)×\f(b,a)＝－1，,b×\f(m＋c,2)－a×\f(n,2)＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(a2－b2,c)，,n＝\f(2ab,c)，))即F2關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2－b2,c)，\f(2ab,c)))，由題意該對稱點在雙曲線上，故eq\f(（a2－b2）2,a2c2)－eq\f(（2ab）2,b2c2)＝1，將c2＝a2＋b2代入，化簡整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，∴e＝eq\r(5)，故B正確；對于C：雙曲線C為等軸雙曲線，即C：x2－y2＝a2(a>0)，設(shè)P(x0，y0)(y0≠0)，則xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,0)＝a2，所以xeq\o\al(2,0)－a2＝y(tǒng)eq\o\al(2,0)，故kPA1·kPA2＝eq\f(y0,x0＋a)·eq\f(y0,x0－a)＝eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－a2)＝1，故C正確；對于D：雙曲線為等軸雙曲線，即C：x2－y2＝a2(a>0)，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，設(shè)∠PA1A2＝θ，∠A1PA2＝3θ，則∠PA2x＝4θ，根據(jù)C項中的結(jié)論kPA1·kPA2＝1，即有tanθ·tan4θ＝1，在三角形中，只有兩角互余時，它們的正切值才互為倒數(shù)，故θ＋4θ＝eq\f(π,2)，所以θ＝eq\f(π,10)，即∠PA1A2＝eq\f(π,10)，故D正確.故選BCD.14.答案BCD解析對A：eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－c2≤b2，故A不正確；對B：由等面積法，內(nèi)切圓I的半徑r＝eq\f(S△PF1F2,a＋c)≤eq\f(bc,a＋c)，所以內(nèi)切圓面積有最大值eq\f(πb2c2,（a＋c）2)，故B正確；對C：|PM|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c，2|PM|＋2c＝4c＝2a，橢圓C的離心率為eq\f(1,2)，故C正確；對D：若∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，由角平分線性質(zhì)得則eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)＝eq\f(1,|PN|)，故D正確.故選BCD.15.答案0(答案不唯一)解析當m＝0時，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，則eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，由橢圓方程可知a2＝4，b2＝1，c2＝3，因為c>b，所以以F1F2為直徑的圓與橢圓有4個交點.使得eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0成立的點恰好有4個.所以實數(shù)m的一個取值可以為0.16.答案1＋eq\f(\r(3),2)解析由題意，可設(shè)橢圓長半軸為a1，雙曲線的實半軸為a2，不妨設(shè)P為雙曲線右支